DEFINICIÓN DE LÍMITE INTUITIVA Y FORMAL
Summary
TLDREl guion explica de manera intuitiva y formal el concepto de límite en matemáticas. Se utiliza la función f(x) = x^2 - 1 para ilustrar cómo el límite de la función al acercarse x a 2 es 3. Se presentan ejemplos numéricos donde f(x) se acerca a 3 cuando x se aproxima a 2, tanto desde valores menores como mayores. Además, se definen delta y epsilon para simbolizar las diferencias más pequeñas posibles entre x y 2, y entre f(x) y 3, respectivamente. Se establece la relación entre delta y epsilon para entender el límite formal de una función.
Takeaways
- 📐 La definición intuitiva del límite se ilustra con la función f(x) = x^2 - 1 y cómo el valor de f(x) se acerca a 3 cuando x se acerca a 2.
- 🔍 Se muestra que tanto valores de x menores que 2 (como 1.99, 1.999) como valores mayores que 2 (como 2.01, 2.001) hacen que f(x) se aproxime a 3.
- 📉 Se calcula la diferencia entre los valores de x y 2 (denominada delta) para valores menores y mayores de 2, mostrando que la diferencia se vuelve más pequeña a medida que x se acerca a 2.
- 📊 Se evalúa la diferencia entre los valores de f(x) y 3 (denominada epsilon), observando que esta diferencia también se reduce a medida que f(x) se acerca a 3.
- 🧮 Se explica que tanto para valores menores como mayores que 2, la diferencia entre x y 2 (delta) y entre f(x) y 3 (epsilon) tiende a cero.
- 📖 Se define formalmente el límite de una función f(x) cuando x tiende a un valor a, usando las nociones de delta y epsilon.
- 🔢 Se establece que para cualquier epsilon mayor que 0, existe un delta mayor que 0 tal que si la diferencia absoluta entre x y a (delta) es menor que delta, entonces la diferencia absoluta entre f(x) y l (epsilon) es menor que epsilon.
- 📘 Se enfatiza que el límite de f(x) cuando x se acerca a a es l si, dado cualquier epsilon, se puede encontrar un delta que satisfaga la condición del límite.
- 📌 Se menciona que la definición formal del límite es crucial para entender la aproximación de una función a un valor específico cuando la variable independiente se acerca a un punto.
- 📐 Se resalta que el concepto de límite es fundamental en el cálculo y permite predecir el comportamiento de las funciones cerca de puntos específicos.
Q & A
¿Qué es un límite intuitivo en matemáticas?
-Un límite intuitivo es la idea de cómo se comporta una función cuando la variable se acerca a un cierto valor, sin necesariamente llegar a ese valor.
¿Cuál es la función f(x) que se utiliza en el guion para ilustrar el concepto de límite?
-La función utilizada es f(x) = x^2 - 1.
¿Qué valores se asignan a x para aproximarse al número 2 en el ejemplo del guion?
-Se asignan valores como 19, 1.99, 1.999, 1.9999 y 1.99999.
¿Cuál es el resultado de f(x) cuando x toma el valor de 19?
-Cuando x es 19, f(x) es 361.
¿Cómo se calcula el valor absoluto de x - 2 para x = 1.99?
-El valor absoluto de 1.99 - 2 es 0.01.
¿Cuál es la diferencia entre el valor de f(x) y 3 cuando x es 21?
-La diferencia entre f(x) y 3 cuando x es 21 es 0.41.
¿Qué significa el valor de delta en el contexto de la definición formal del límite?
-Delta representa la diferencia más pequeña que se puede elegir para que la propiedad del límite se cumpla, es decir, la diferencia entre x y el valor al que se acerca (en este caso, 2).
¿Qué es epsilon en la definición formal del límite?
-Epsilon es la diferencia más pequeña posible entre el valor de la función f(x) y el límite cuando x se acerca al valor de a (en este caso, 2).
¿Cómo se define formalmente el límite de una función f(x) cuando x tiende a un valor a?
-El límite de f(x) cuando x tiende a a es l si, para cualquier epsilon mayor que 0, existe un delta mayor que 0 tal que si el valor absoluto de x - a es mayor que 0 y menor que delta, entonces el valor absoluto de f(x) - l es menor que epsilon.
¿Cuál es el límite de la función f(x) = x^2 - 1 cuando x tiende a 2 según el guion?
-El límite de la función f(x) = x^2 - 1 cuando x tiende a 2 es 3.
Outlines
📚 Intuición y definición formal del límite
El primer párrafo explora la definición intuitiva y formal del límite en matemáticas. Se utiliza la función f(x) = x^2 - 1 para ilustrar cómo el valor de la función se acerca al número 3 cuando x se aproxima a 2. A través de ejemplos numéricos, se muestra cómo f(x) tiende a 3 tanto para valores de x menores como mayores de 2. Además, se calcula la diferencia absoluta entre x y 2, y entre f(x) y 3, para demostrar cómo estas diferencias se reducen a medida que x se acerca a 2.
🔍 Análisis detallado de la diferencia absoluta
Este segmento se centra en el análisis detallado de la diferencia absoluta entre el valor de la función f(x) y el número 3 para diferentes valores de x. Se presentan cálculos específicos para valores de x que se aproximan a 3, mostrando cómo la diferencia disminuye a medida que x se acerca a 3. Se introduce la noción de límite intuitivo de la función f(x) cuando x tiende a 2, concluyendo que este límite es 3.
📘 Definición formal del límite en matemáticas
El tercer párrafo proporciona una definición formal del límite en matemáticas. Se explica que el límite de f(x) cuando x se aproxima a un valor a (denominado 'a') es 'l' si, para cualquier diferencia 'épsilon' mayor que 0, existe una diferencia 'delta' mayor que 0 tal que si la diferencia absoluta de x con 'a' es mayor que 0 y menor que 'delta', entonces la diferencia absoluta de f(x) con 'l' es menor que 'épsilon'. Esto establece un marco formal para entender cómo se aproxima una función a un valor límite.
Mindmap
Keywords
💡Límite
💡Intuitivo
💡Formal
💡Valor absoluto
💡Delta (Δ)
💡Épsilon (ε)
💡Aproximación
💡Función
💡Cuadrado
💡Tendencia
Highlights
Definición intuitiva del límite con la función f(x) = x^2 - 1.
Valores de x que tienden a 2, mostrando aproximación al número 2.
Ejemplo con x = 19, f(x) = 361.
Valores más cercanos a 2, como x = 1.99, f(x) = 2.9601.
Observación de que f(x) tiende a 3 cuando x se acerca a 2.
Valores de x mayores que 2, como x = 21, f(x) = 3.41.
Análisis de valores de x muy cercanos a 2, como x = 2000.01, f(x) = 3.0004.
Evaluación de la diferencia entre x y el número 2 usando el valor absoluto.
Diferencia entre f(x) y 3 para valores de x cercanos a 2.
Observación de que la diferencia entre f(x) y 3 se vuelve más pequeña a medida que x se acerca a 2.
Definición formal del límite utilizando delta y epsilon.
Relación entre delta y epsilon en la definición formal del límite.
Condición formal para que el límite de f(x) cuando x tiende a a sea l.
Explicación de que para cualquier epsilon existen delta tal que la definición del límite se cumple.
Intuición del límite de la función f(x) = x^2 - 1 cuando x tiende a 2 es 3.
Simbolismo de la definición formal del límite con delta y epsilon.
Transcripts
definición intuitiva y formal del límite
definición intuitiva del límite tenemos
la función fx igual a x al cuadrado
menos 1 a x le vamos a asignar valores
que tienden a 2 es decir se aproximan al
número 2 veamos en la tabla
entonces consideremos números que se
aproximan a 2 pero menores que dos
números que se aproximan a dos pero
mayores que dos cuando x toma el valor
de 19 reemplazamos operamos con una
calculadora 19 al cuadrado menos 1 nos
da 2 61 es decir fx es 2 61 consideremos
un valor más cercano a 2 cuando x tome
el valor de 1.99 fx es 2 96 0 1 otro
valor mucho más cercano sería 1,999 para
x f x 299 6001 para x 1 99 99 f x 2 99
96 000 1 como se puede observar cuando x
toma valores cercanos a 20 valores
menores de 2
fx tiende a un número o se aproxima al
número 3
veamos ahora qué ocurre con valores
mayores que dos cuando x toma el valor
de 21 fx es 3,41 un número más cercano a
2 pero mayor que 2x toma el valor de 201
fx es 3,0 401 para x 2001 f x 300 4001
para x 200 01 efe x 30.00 40
001 entonces también cuando x toma
valores cercanos a 2 pero mayores que 2
f x se aproxima o tiende a 3 tenemos la
misma tabla ahora vamos a evaluar vamos
a evaluar la diferencia que hay entre
los valores que toma x y el número 2
para ello aplicamos el valor absoluto de
x menos 2 cuando x tome el valor de 19
tendríamos valor absoluto de 19 menos 2
es igual a 0 1 esta es la diferencia
cuando x toma el valor de 1,99 tenemos
valor absoluto de 199 menos 2 igual a
0,01 esta diferencia es más pequeña
cuando x tome el valor de 1,999 tenemos
valor absoluto de 1 999 menos 2 es igual
a 0
001 y cuando x toma el valor de 199 99
tenemos valor absoluto de 199 99 menos 2
es igual a 0 0001 es decir cuando x se
aproxima a 2 tomando números menores que
2 la diferencia cada vez es más pequeña
veamos ahora qué ocurre cuando x toma
los valores mayores que dos cuando x
toma el valor de 21 el valor absoluto de
212 es igual a 0,1 cuándo x tome el
valor de 201 el valor absoluto de 2012
es igual a 0,01
cuando x toma el valor de 2001 el valor
absoluto de 2001 menos 2 es igual a 0
001 y cuando x toma el valor de 2 000 1
el valor absoluto de 2000 uno menos dos
es igual a 0 0001 veamos qué ocurre con
fx entonces para calcular la diferencia
entre el valor que toma fx y el número 3
utilizamos el valor absoluto df de x 3
cuando x vale 261 el valor absoluto de
261 menos 3 es igual a 0 39 cuando fx es
igual a 2,96 01 el valor absoluto de
2,96 01 menos 3 es igual a 0 0 3 99 para
fx 2,99
01 el valor absoluto de 299 60 0 13 es
igual a 0 003 999 y para fx 2,999 0001
el valor absoluto de 299 96 000 1 - 3 es
igual a 0 0003 99 99 es decir cuando fx
toma valores cercanos a tres la
diferencia entre fx y tres es cada vez
más pequeña veamos qué ocurre para
números mayores que 3par a fx 3,41
la diferencia es 0 41 para f x 30 40 1
la diferencia es 0 04 01 para f x 300
400 1
la diferencia es 0,00 400 1 y para fx
igual a 3000 4000 1
la diferencia es 0,0004 0001 ahora y ya
podemos deducir intuitivamente el límite
de la función
efe se deduce intuitivamente que el
límite de la función
efe de x cuando x tiende a dos es 3
simbólicamente tenemos la función fx
igual a x al cuadrado menos 1 entonces
el límite cuando x tiende a 2 es decir
cuando x toma valores cercanos
valores menores que 2 y valores mayores
que 2 de x al cuadrado menos 1 es igual
a 3 definición formal del límite la
diferencia entre el valor que toma x
cuando se aproxima a 2 tomando valores
menores que 2 o cuando x se aproxima a 2
tomando valores mayores que 2 se
simboliza por delta es decir la
diferencia más pequeña es representada
por delta por tanto x menos 2 tiene que
ser mayor que 0 y menor que delta ahora
la diferencia entre fx y 3 es decir
cuando fx toma valores cercanos a 3 pero
menores que 3 y valores cercanos a 3
pero mayores que 3 se simboliza por
épsilon épsilon viene a ser la
diferencia más pequeña posible entonces
el valor absoluto de fx
es menor que epsilon debemos advertir
que delta depende de la magnitud de
épsilon simbólicamente decimos si el
valor absoluto de x menos 2 es mayor que
0 y menor que delta entonces el valor
absoluto de fx menos 3 es menor que
epsilon
definición formal del límite el límite
cuando extiende aa de fx es igual a l es
decir cuando x se aproxima al valor de a
tomando valores menores que a
y cuando x se aproxima a a tomando
valores mayores que a la diferencia
entre x y a es el valor absoluto de x
menos a y esto tiene que ser mayor que 0
y menor que delta fx se aproxima o
tiende a l es decir fx toma valores
cercanos a él pero menores que l
valores cercanos a l pero mayores que l
la diferencia entre fx y l se escribe
valor absoluto de fx menos l y tiene que
ser menor que epsilon ahora si podemos
definir formalmente el límite
sea es una función definida en todo
número de algún intervalo abierto y que
contenga a a excepto posiblemente en el
número a mismo
el límite de fx cuando extiende aa es el
y se escribe el límite cuando extiende a
de fx es igual a él si el siguiente
enunciado es verdadero dada cualquier
diferencia épsilon mayor que 0 sin
importar cuán pequeña sea existe una
diferencia delta mayor que 0 tal que si
el valor absoluto de x menos a es mayor
que 0 y menor que delta entonces el
valor absoluto de fx menos l es menor
que epsilon
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