¿QUÉ ES UN NÚMERO? ¡No es tan fácil como parece!
Summary
TLDREl vídeo explora la complejidad y diversidad del concepto de 'número'. Desde los números naturales y enteros, pasando por fracciones y números racionales, hasta la introducción de los irracionales y reales, el guía matemático desentraña cómo los números se han expandido para abarcar conceptos más allá de las proporciones y cantidades. La discusión incluye la demostración de que la raíz cuadrada de 2 es irracional y la introducción de números complejos, destacando el análisis complejo como una rama importante de las matemáticas. El vídeo concluye dejando al espectador con preguntas sobre la existencia de los números y su significado.
Takeaways
- 🔢 Los números son una abstracción de la cantidad, como se usa para contar objetos.
- 🌐 Los números naturales son los primeros que se nos vienen a la mente cuando hablamos de números.
- 📉 Los números negativos representan una cantidad que nos falta y forman parte de los números enteros junto con los naturales y el cero.
- 🔄 Las fracciones son necesarias para representar proporciones y son el resultado de dividir entre números enteros.
- ✅ Los números racionales son una clase de equivalencia que incluye fracciones y sus múltiples formas equivalentes.
- 📏 El teorema de Pitágoras muestra que algunas longitudes, como la raíz cuadrada de 2, no pueden ser expresadas como fracciones y son irracionales.
- 🚫 La demostración de que la raíz cuadrada de 2 no es racional es un ejemplo de cómo llegar a una contradicción si se asume lo contrario.
- 📚 La definición rigurosa de los números reales, que incluye tanto racionales como irracionales, se estableció en el siglo XIX.
- 🔍 Hay diferentes categorías de números reales, como los algebraicos, normales, constructivos y computables, que son objeto de estudio en matemáticas.
- 🤔 La existencia de los números y su significado es una pregunta filosófica que se debe explorar en futuras discusiones.
Q & A
¿Qué es un número según el video?
-El video explica que un número puede entenderse como una abstracción de una cantidad, como en los números naturales, o como una representación de una proporción, como en los números racionales. Existen diferentes tipos de números que usamos en matemáticas, como naturales, enteros, racionales, irracionales, reales y complejos.
¿Qué son los números naturales?
-Los números naturales son los primeros números que usamos para contar cantidades, como 1, 2 o 3. Son una abstracción de la cantidad y han sido uno de los primeros logros de la humanidad en cuanto a comunicación y matemáticas.
¿Qué representan los números negativos?
-Los números negativos pueden entenderse como una representación de una carencia o deuda. Aunque no son exactamente una abstracción de una cantidad física, tienen sentido en operaciones como restar y forman, junto con los números naturales y el cero, el conjunto de los números enteros.
¿Cuál es el significado del número 0 en matemáticas?
-El número 0 es fundamental en matemáticas, ya que permite realizar operaciones como sumar, restar y multiplicar. Aunque ahora lo vemos como algo natural, su inclusión en el conjunto de números fue un gran logro científico que permitió avanzar enormemente en las matemáticas.
¿Por qué son necesarios los números racionales?
-Los números racionales son necesarios cuando queremos expresar divisiones o proporciones que no pueden representarse con números enteros. Un número racional se define como la fracción entre dos enteros, como 3/2, y permite realizar operaciones más complejas que los enteros no pueden cubrir.
¿Qué caracteriza a los números racionales?
-Los números racionales pueden expresarse de múltiples formas equivalentes, como 3/2, 6/4 o 9/6. Estas fracciones representan la misma proporción y pueden simplificarse a una forma irreducible, que es la fracción más compacta.
¿Qué son los números irracionales?
-Los números irracionales son aquellos que no pueden expresarse como una fracción de dos enteros. Un ejemplo es la raíz cuadrada de 2, que no tiene una representación exacta en términos de números racionales. Estos números se necesitan para medir longitudes que no pueden expresarse con proporciones exactas.
¿Qué son los números reales?
-Los números reales incluyen tanto a los números racionales como a los irracionales. Estos números se utilizan para medir y describir longitudes o cantidades que no siempre pueden representarse de forma exacta con fracciones. La definición rigurosa de los números reales no se desarrolló completamente hasta el siglo XIX.
¿Qué son los números complejos?
-Los números complejos se construyen a partir de los números reales, y se introdujeron para resolver ecuaciones que no tienen solución en el conjunto de los reales, como x² + 1 = 0. Incluyen una parte real y una parte imaginaria, que es la raíz cuadrada de -1, denominada unidad imaginaria y representada como 'i'.
¿Qué dilema plantea el video sobre la existencia de los números?
-El video menciona que una pregunta interesante es si los números realmente existen o qué significa decir que los números existen. Esta cuestión filosófica sobre la naturaleza de los números queda pendiente para otro video, según el narrador.
Outlines
🤔 ¿Qué es un número?
Este párrafo introduce la complejidad de definir qué es un número, señalando que los números son más que solo representaciones de cantidades, como el 3 o el 4. Se menciona la dificultad de comprender números como 22 o π, que no parecen encajar en las definiciones básicas de cantidad. Se habla de la evolución de los números desde los naturales hasta los enteros, la importancia del cero, y cómo los números negativos y fracciones también forman parte de nuestro entendimiento matemático.
📏 Fracciones y proporciones: números racionales
Aquí se exploran los números fraccionarios o racionales, que surgen al dividir cantidades. Se explica cómo, al dividir números enteros, a menudo no se obtiene un número entero, lo que lleva a la necesidad de las fracciones. Se menciona cómo números equivalentes como 3/2 y 6/4 representan la misma proporción. Se define formalmente un número racional como una clase de equivalencia y se introducen operaciones que se pueden realizar con ellos, como sumar y multiplicar.
📐 El problema de las medidas: números irracionales
Este párrafo se enfoca en los números irracionales, que no pueden expresarse como fracciones. Utilizando el teorema de Pitágoras, se muestra que la raíz cuadrada de 2 es un número irracional, y se ofrece una demostración clásica por reducción al absurdo para probarlo. Se menciona que los números irracionales ampliaron nuestro entendimiento de los números, formando junto con los racionales el conjunto de números reales, esenciales en la medición y el análisis matemático.
🔢 Los números complejos: más allá de lo real
Se introduce el concepto de los números complejos, que incluyen una unidad imaginaria (i) para resolver ecuaciones que los números reales no pueden, como la raíz cuadrada de -1. Se destaca la importancia de los números complejos en las matemáticas modernas, con aplicaciones en el análisis complejo. Además, se mencionan otras estructuras numéricas avanzadas, como los cuaterniones y octoniones. Se cierra señalando que la pregunta sobre qué es un número no es tan sencilla y que el concepto ha evolucionado mucho.
🤔 ¿Existen realmente los números?
El último párrafo plantea la intrigante cuestión filosófica sobre si los números realmente existen o si son meras abstracciones. Esta pregunta queda abierta y se pospone para otro vídeo, invitando a la reflexión y dejando un tema de discusión para el futuro.
Mindmap
Keywords
💡Números naturales
💡Números enteros
💡Números racionales
💡Fracción irreducible
💡Números irracionales
💡Números reales
💡Raíz cuadrada de 2
💡Números complejos
💡Proporciones
💡Equivalencia
Highlights
La respuesta corta a qué son los números es que hay varios objetos matemáticos que usamos para designar cantidades.
Los números naturales son los que utilizamos para contar, como una manzana, dos personas o tres ornitorrincos.
El número 0 es un logro científico que permitió realizar operaciones como sumar, restar y multiplicar.
Los números enteros incluyen los naturales, sus versiones negativas y el 0.
Las fracciones o números racionales expresan proporciones como tres medios (3/2), que es equivalente a 6/4, 9/6, entre otras.
Un número racional representa una clase infinita de proporciones equivalentes, lo que complica su definición.
Los números racionales permiten sumar, restar, multiplicar y dividir manteniendo un resultado racional.
Los griegos creían que todo podía expresarse mediante proporciones, pero fallaban al no considerar números irracionales.
La raíz cuadrada de 2 es un número irracional que no puede expresarse como una fracción.
Los números irracionales, como pi o la raíz cuadrada de 2, amplían los números racionales.
El conjunto de números racionales e irracionales se denomina números reales.
Los números reales incluyen categorías especiales, como los números algebraicos, constructivos y computables.
Los números complejos incluyen la unidad imaginaria (i) y se utilizan para resolver ecuaciones como x² + 1 = 0.
El análisis complejo es una rama matemática que estudia números de la forma a + bi, donde a y b son reales e i es imaginario.
Los números son una pieza central del concepto matemático moderno, especialmente los números reales.
Transcripts
estamos muy acostumbrados a manejar
números a hacer operaciones con ellos a
usarlos en nuestro día a día pero si
alguien nos pregunta qué es un número
que le diríamos que es algo así como una
abstracción de la cantidad eso puede
servir para el 3 o el 4 pero qué me
dices de 22 textos o de pi que significa
3 / pi que reparto 3 caramelos entre pi
niños vamos a tratar de aclarar no
saquen derivando con qué son los números
empezamos
[Música]
la respuesta corta a la pregunta sobre
qué son los números es que hay varias
cosas distintas varios objetos
matemáticos para los que usamos la
palabra número lo primero y más natural
es usar la palabra número para designar
cantidades o sea una manzana dos
personas tres ornitorrincos de hecho
estos números que usamos para contar se
llaman naturales por eso y son lo
primero que se nos viene a la cabeza
cuando hablamos de números son muy
antiguos y uno de los primeros logros de
la humanidad en cuanto a su capacidad de
comunicación contar y transmitir
cantidades está en el origen mismo de
nuestra comunicación oral y desde luego
de la escrita en este sentido los
números son algo así como una
abstracción de la cantidad lo que tienen
en común dos peras y dos sirenas es que
son dos la cantidad y eso lo expresamos
mediante un número vale pero conocemos
más las versiones negativas de estos
números naturales no al menos tres el
menos siete a eso también lo llamamos
números y no son realmente abstracciones
de la cantidad aunque en algún sentido
podemos pensar en ellos como cantidades
que nos faltan una expresión de la
carencia estos números negativos forman
junto con los naturales el conjunto de
los números enteros con estos números
podemos hacer operaciones sumar restar
multiplicar y para que tengan sentido
completo necesitamos que un objeto muy
especial forme parte de los números el 0
así que los números enteros son en
realidad los naturales sus versiones
negativas y el 0 el hecho de que el 0
sea un número con el que podemos hacer
operaciones como sumar restar y
multiplicar es un auténtico logro
científico de la humanidad que nosotros
lo vemos como muy sencillo y muy natural
pero que produjo avances tremendos ya os
hablé de esta maravilla en otro vídeo os
dejo el enlace en la descripción vale
pues ya tenemos a los números naturales
ya los enteros son cosas diferentes
aunque muy relacionadas entre sí el
primer salto gordo viene con las
fracciones con las proporciones cuando
queremos repartir cosas o saber cuántas
veces está contenida una cantidad en
otra tenemos que dividir y el resultado
de esa división entre dos números
enteros pues muchas veces no es un
número entero no en ningún número entero
que sea capaz de expresar la división
entre 3 y 2 no hay ningún número entero
que me diga cuántas ánforas de 5 litros
de agua necesito para llenar uno de 16
litros no lo hay así que necesitamos más
números necesitamos las fracciones las
proporciones lo que llamamos números
racionales y aquí se complica todo mucho
la verdad la cosa se complica sobre todo
porque ahora el número tres entre dos
tres medios es el mismo que el número 6
entre 46 cuartos son lo mismo la
relación la proporción entre 3 y 2 es
exactamente la misma que entre 6 y 4 y
la misma que entre 9 y 6 12 8 15 y 10
etcétera hay infinitas formas de
expresar esa proporción y todas son
equivalentes es verdad que hay una
especial es tres medios que es la más
compacta de todas en el cole la
llamábamos fracción irreducible así que
ahora el número que expresa esa
proporción es en realidad algo así como
el representante o la abstracción de esa
proporción que podemos expresar de
infinitas formas usando acciones y esto
lo podemos definir matemáticamente bien
pues sí claro que si les llamamos
números racionales y definimos los
números racionales del siguiente modo
cada número racional es en realidad de
lo que llamamos una clase de
equivalencia o sea un conjunto infinito
de formas equivalentes de expresar una
determinada proporción un número
racional es una expresión del tipo a
partir de entre b donde b es distinto de
0 expresión es equivalente a cualquier
número c / d que cumpla que a por d es
igual a b por c por ejemplo el número
racional tres medios representa a todas
las expresiones c entre de tales que
tres por de sea igual a dos por c por
ejemplo al 15 decimos porque 3 por 10 es
igual a 30 que es 2 por 15 así que ya
veis la palabra número puede significar
una abstracción de una cantidad como los
naturales o toda una clase infinita de
proporciones equivalentes como en los
racionales suena raro pero tiene todo el
sentido con esta definición que hemos
dado ya podemos sumar números racionales
restar los multiplicarlos e incluso
dividirlos y el resultado seguirá siendo
un número racional esto desde luego es
una ventaja sobre los enteros y además
los enteros los podemos incluir en los
racionales por ejemplo el 3 se puede ver
como el racional 3 entre 1 y así todos
los racionales molan mucho muchísimo son
muy poderosos tanto que los griegos
afirmaban que todo es proporción mira si
estaban contentos con el invento que les
parecía que cualquier cosa se podía
expresar mediante una relación y estaban
happy del todo con estos números
racionales que la verdad es que son una
maravilla pero se equivocaban hay cosas
que no podemos expresar mediante la
proporción por ejemplo cuando tomamos
medidas hay medidas que no son exactas
cuando sólo usamos números enteros o
incluso racionales para medir y el
primer ejemplo lo dieron los mismos
griegos si tenemos un cuadrado cuyos
lados miden un metro cuánto mide la
diagonal con nuestras matemáticas
modernas y usando el teorema de
pitágoras está bastante claro que esa
diagonal mide raíz cuadrada de 2 y eso
por más que les pesar a los pitagóricos
y a los antiguos griegos no puede
expresarse como una fracción como una
proporción la demostración es bastante
sencilla y es todo un clásico vamos a
demostrar que la raíz cuadrada de 2 no
es racional no hay ninguna fracción que
sea igual a la raíz cuadrada de 2 y lo
vamos a hacer por reducción al absurdo
entonces suponemos que raíz cuadrada de
2 es igual a dividido entre b que
tenemos una fracción que es exactamente
igual a raíz cuadrada de 2 y vamos a
llegar a una contradicción vamos a
suponer que ahí ve no tienen factores
comunes que es una fracción irreducible
entonces si esto es así elevamos a ambos
lados de la ecuación al cuadrado y
tenemos que 2 es igual al cuadrado
dividido entre el ecuador
y ahora multiplicamos ambos lados por b
cuadrado y tenemos que 2 por ver al
cuadrado es igual a al cuadrado de aquí
tenemos que estar
porque si su cuadrado
es un número par 3 2 b al cuadrado
entonces significa que el número es par
vale pues entonces le sabemos que a
spark si a spark significa que a es de
la forma a es igual a 2 por algo voy a
poner por la prima
entonces si es 2 por la prima lo
sustituye aquí tengo que dos por b al
cuadrado es igual a 2 por la prima al
cuadrado y 2 para el primer cuadrados 4
por la prima entonces 2 por b al
cuadrado es igual a 4
x
al cuadrado y ahora
canceló dividió por 2 a ambos lados y me
queda que ve al cuadrado es igual a 2 x
al cuadrado y por tanto
por la prima al cuadrado y por tanto b
es par también si a es par y vespa
significa que tienen al menos un factor
en común el 2 y hemos dicho al principio
que ahí ve no tenían factores en común
por tanto hemos llegado a una
contradicción que parte de suponer que
raíz cuadrada de 2 es racional por tanto
raíz cuadrada de 2 no es racional en fin
que parece que tenemos que ampliar los
números racionales con otros que nos
sirvan para medir estas longitudes que
no podemos medir de forma exacta con
proporciones esos nuevos números se
llaman irracionales porque están más
allá de los racionales y no son nada
fáciles de definir al conjunto de los
números racionales e irracionales los
llamamos números reales y su definición
rigurosa no llego de forma satisfactoria
hasta el siglo 19 o sea que ya veis que
es una cuestión complicada si queréis
ver una forma rigurosa de definir los
números reales mirad el vídeo que hice
en este mismo canal sobre qué son los
números reales les dejo el enlace en la
descripción así que bueno ya veis que
los reales le dan todavía un significado
más a la palabra en número entre los
números reales tenemos algunos
irracionales famosos como pi la razón
áurea además de por supuesto todos los
racionales y los enteros los números
reales son fascinantes y tenemos algunas
categorías de números reales que han
sido y siguen siendo objeto de
investigación por cientos de matemáticos
están los números algebraicos los
números normales los constructivos los
computables todos estos son los números
reales y en general he de decir que
sabemos muy muy poco sobre la inmensa
mayoría de los números reales
y bueno pues más o menos estos los
números los distintos significados que
damos a la palabra número aunque un
momento es posible que alguien se esté
preguntando y qué pasa con la raíz
cuadrada de menos 1 eso es un número
complejo no es real y para el que usamos
también la palabra número pues es verdad
vamos a ver qué son los números
complejos los complejos se construyen a
partir de los reales porque existen
ecuaciones sencillas como x al cuadrado
más 1 igual a 0 que no tienen solución
en los reales es decir no hay ningún
número real que elevado al cuadrado sea
igual a menos 1 entonces se introdujo
esa unidad imaginaria que es la raíz
cuadrada de menos 1 y que hoy leer euler
llamo y y que soluciona esta situación a
partir de ahí se desarrolló una rama de
las más importantes de las matemáticas
que se llama análisis complejo y que
trata sobre las matemáticas que se
pueden hacer cuando en lugar de
considerar sólo los reales consideramos
números de la forma más b por y donde
hay b son reales y donde es la unidad
imaginaria más allá de los números
complejos se han desarrollado otras
estructuras como los 4 millones y los 8
millones ya veis que al final la
pregunta sobre qué es un número no era
tan inocente como parecía al menos ahora
ya sabéis en qué sentido llamamos número
a cosas tan diferentes como 34
o diecisiete tercios y espero que estéis
conmigo en que la pieza central del
concepto matemático moderno de números
son los números reales en mi opinión uno
de los logros matemáticos más potentes
de la historia por cierto que se queda
una cosita en el tintero y es la
pregunta de si los números existen o no
o qué significa que los números existen
pero eso amigos amigas tendrá que
quedarse para otro vídeo hasta la
próxima
[Música]
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