LE COURS : La dérivation - Première
Summary
TLDRCette vidéo éducative aborde de manière approfondie le concept de la dérivation des fonctions, un outil crucial pour analyser les variations et les tangentes des fonctions. L'explication débute avec les bases de la dérivation, illustrant comment la pente d'une tangente à une courbe peut révéler les comportements croissants ou décroissants d'une fonction. À travers des exemples concrets, comme la fonction carrée, la vidéo démystifie le calcul des dérivées et leur application pratique pour prédire les variations des fonctions. Enfin, elle couvre des opérations avancées sur les fonctions dérivées et le théorème des variations, fournissant ainsi une préparation solide pour les contrôles ou examens en mathématiques.
Takeaways
- 📚 La dérivation permet d'étudier facilement les variations d'une fonction.
- 🔍 Le nombre dérivé est introduit pour établir la relation entre la pente de la tangente à la courbe d'une fonction et les variations de cette fonction.
- 📉 Une tangente avec une pente négative indique une fonction décroissante, tandis qu'une pente positive révèle une fonction croissante.
- 🧮 La pente d'une tangente en un point est déterminée par la limite quand h tend vers zéro du quotient des différences des ordonnées sur la différence des abscisses.
- 📈 La fonction dérivée, obtenue à partir du concept de nombre dérivé, permet de déduire les variations d'une fonction.
- 🎓 Le calcul de la fonction dérivée d'une fonction carrée (f(x) = x²) montre que cette fonction est décroissante pour x < 0 et croissante pour x > 0.
- ✏️ Les fonctions dérivées sont essentielles pour analyser rapidement les variations de fonctions complexes.
- 📋 Un formulaire de dérivées incluant des fonctions de base simplifie l'étude des variations des fonctions.
- 🔢 L'étude de la dérivée d'un produit de fonctions requiert l'application d'une formule spécifique et non pas simplement la multiplication des dérivées des fonctions.
- 🔑 Le théorème des variations indique que si la dérivée d'une fonction est positive sur un intervalle, la fonction est croissante sur cet intervalle, et inversement si la dérivée est négative.
- 🎢 Un changement de signe de la dérivée d'une fonction en un point suggère la présence d'un extremum (minimum ou maximum) à ce point.
Q & A
Quel est l'objet principal de la vidéo sur la dérivation des fonctions ?
-L'objet principal de la vidéo est de rappeler et d'expliquer les éléments les plus importants sur la dérivation des fonctions, notamment l'usage des dérivées et la tangente à la courbe pour préparer un contrôle ou un examen.
Qu'est-ce que le nombre dérivé et son importance dans la dérivation des fonctions ?
-Le nombre dérivé est un outil introduit pour établir les variations d'une fonction. Il est essentiel pour comprendre la relation entre la pente de la tangente à la courbe d'une fonction et les variations de cette fonction.
Comment la pente de la tangente est-elle liée aux variations de la fonction ?
-La pente de la tangente est directement liée aux variations de la fonction : une pente négative indique une fonction décroissante, tandis qu'une pente positive indique une fonction croissante.
Comment détermine-t-on la pente d'une tangente à la courbe d'une fonction ?
-La pente d'une tangente à la courbe d'une fonction en un point est déterminée par la limite, quand h tend vers zéro, du quotient de la différence des ordonnées sur la différence des abscisses (f(a+h) - f(a))/h.
Quelle est la définition officielle d'une fonction dérivée ?
-Une fonction f est dérivée en un point a si elle admet un nombre réel l tel que la limite, quand h tend vers zéro, de (f(a+h) - f(a))/h soit égale à l. Ce nombre l est appelé le nombre dérivé de f en a.
Quelle est la relation entre les variations d'une fonction et son nombre dérivé ?
-Les variations d'une fonction sont directement liées à son nombre dérivé : si le nombre dérivé est positif, la fonction est croissante, et si le nombre dérivé est négatif, la fonction est décroissante.
Comment calcule-t-on la dérivée de la fonction carré, et que nous dit-elle sur ses variations ?
-La dérivée de la fonction carrée est calculée en utilisant la limite quand h tend vers zéro de (f(a+h) - f(a))/h, qui se simplifie en 2a. Cela démontre que la fonction est décroissante pour des valeurs négatives de a et croissante pour des valeurs positives.
Qu'est-ce qu'un formulaire de dérivation, et quelles informations contient-il ?
-Un formulaire de dérivation contient les fonctions de base et leurs dérivées correspondantes. Il est utilisé pour faciliter l'étude des variations des fonctions complexes sans recalculer chaque dérivée.
Quel théorème permet de déterminer les variations d'une fonction à partir de sa dérivée ?
-Le théorème de variation des fonctions indique que si la dérivée d'une fonction est positive sur un intervalle, alors la fonction est croissante sur cet intervalle, et si la dérivée est négative, la fonction est décroissante.
Comment un changement de signe dans la dérivée d'une fonction indique-t-il un extremum ?
-Si la dérivée d'une fonction s'annule et change de signe en un point, cela indique un extremum (un maximum ou un minimum) en ce point, car cela signifie que la fonction passe de décroissante à croissante ou inversement.
Outlines
📚 Introduction à la dérivation des fonctions
Ce paragraphe introduit le concept de dérivation des fonctions, expliquant que cela permet de comprendre comment une fonction change en termes de variations. Il souligne l'importance de la dérivée et de la tangente pour analyser la nature croissante ou décroissante d'une fonction. L'objectif est de se rappeler et d'expliquer les éléments clés du chapitre sur la dérivation, en utilisant des exemples concrets tels que la construction de la tangente à une courbe et la relation entre la pente de la tangente et les variations de la fonction.
📐 La pente de la tangente et les variations de la fonction
Dans ce paragraphe, l'auteur explique comment la pente de la tangente à une courbe à un point donné peut être utilisée pour déterminer si la fonction est croissante ou décroissante à ce point. Il montre comment, en changeant l'emplacement de la tangente le long de la courbe, la pente peut varier entre positive et négative, reflétant ainsi la nature de la fonction à ces points différents. L'auteur utilise un exemple visuel pour illustrer ce concept, soulignant que la pente de la droite entre deux points sur la courbe converge vers la pente de la tangente lorsque la distance entre ces points tend vers zéro.
🔢 Le nombre dérivé et la fonction dérivée
Ce paragraphe présente le nombre dérivé et la fonction dérivée comme outils mathématiques clés pour la dérivation. L'auteur définit le nombre dérivé comme la limite de la pente de la droite secante lorsqu'elle tend vers zéro, et il explique comment cela peut être utilisé pour trouver la pente de la tangente. La fonction dérivée est ensuite introduite comme une généralisation du nombre dérivé, permettant de déterminer les variations d'une fonction à différents points de sa domaine. L'auteur insiste sur l'importance de comprendre ces concepts pour maîtriser la dérivation.
📈 Exemple de dérivation : la fonction carré
L'auteur utilise la fonction carré (f(x) = x²) comme exemple pour montrer comment la dérivation peut être appliquée à une fonction spécifique. Il explique que la fonction carré est croissante pour les nombres positifs et décroissante pour les nombres négatifs, et il démontre cette propriété en calculant la dérivée de la fonction. En appliquant la règle de dérivation pour une fonction au carré, il obtient une dérivée de 2x, ce qui indique que la pente de la tangente est positive pour x > 0 et négative pour x < 0, confirmant ainsi la variation de la fonction carré.
📊 Formules de dérivation pour différentes fonctions
Ce paragraphe présente un tableau de formules de dérivation pour diverses fonctions, y compris les fonctions polynomiales, exponentielles, logarithmiques et trigonométriques. L'auteur explique comment ces formules peuvent être utilisées pour trouver la dérivée d'une fonction composée ou d'une somme de fonctions. Il souligne l'importance de connaître ces formules pour étudier rapidement les variations des fonctions, surtout lorsque l'expression de la fonction est complexe.
🤔 Opérations sur les fonctions dérivées
Dans ce paragraphe, l'auteur aborde les règles pour effectuer des opérations sur les fonctions dérivées, telles que la somme, la différence, le produit et le quotient de deux fonctions dérivées. Il explique que la dérivée d'une somme ou une différence est la somme ou la différence des dérivées respectives, tandis que la dérivée d'un produit nécessite l'application de la règle du produit. Pour le quotient, il utilise la formule du quotient, qui est plus complexe. L'auteur encourage les spectateurs à s'entraider et à pratiquer ces règles pour bien les comprendre.
🔄 Théorème de variation des fonctions et détermination des extrêmes
Ce paragraphe présente le théorème de variation des fonctions, qui relie le signe de la dérivée d'une fonction à sa variation. Si la dérivée est négative, la fonction est décroissante; si elle est positive, la fonction est croissante. Le théorème est également valable pour la stricte monotonie. L'auteur explique comment la dérivée peut être utilisée pour identifier les points d'extremum (maximum ou minimum) d'une fonction, en cherchant les points où la dérivée s'annule ou change de signe. Il illustre cela avec un exemple simple, montrant que la fonction affine est croissante lorsque le coefficient directeur est positif.
Mindmap
Keywords
💡Dérivation
💡Nombre dérivé
💡Tangente
💡Fonction dérivée
💡Variations des fonctions
💡Exercices
💡Monotonie
💡Théorème de variation
💡Extrêmes
💡Formules de dérivation
Highlights
Introduction à la dérivation des fonctions comme outil pour établir les variations d'une fonction.
Explication de la notion du nombre dérivé et son introduction comme concept clé en dérivation.
Relation entre la pente de la tangente à la courbe d'une fonction et les variations de cette fonction.
Démonstration de l'impact de la pente de la tangente (négative ou positive) sur le caractère décroissant ou croissant de la fonction.
Introduction et explication du processus pour déterminer la pente d'une tangente à partir de l'expression de la fonction.
Présentation du concept de limite et son importance pour établir la pente de la tangente et donc, le nombre dérivé.
Définition formelle de la fonction dérivée et du nombre dérivé, fondamentaux en calcul différentiel.
Exemple détaillé de calcul de dérivée pour la fonction carrée, illustrant l'application pratique des concepts théoriques.
Mise en place d'une relation entre le nombre dérivé et les variations de la fonction à travers des exemples concrets.
Développement d'un formulaire des dérivées de fonctions usuelles, facilitant l'étude rapide des variations de fonctions complexes.
Explication des opérations sur les dérivées : somme, produit, quotient, et leur impact sur l'analyse des fonctions.
Théorème des fonctions dérivées pour établir la monotonie des fonctions à partir du signe de leur dérivée.
Illustration du théorème de variation avec l'exemple d'une fonction affine, soulignant l'importance de la dérivée pour déterminer le caractère croissant ou décroissant.
Présentation du théorème des extrêmes : comment l'annulation et le changement de signe de la dérivée indiquent un extremum de la fonction.
Conclusion sur l'importance de la dérivation et des fonctions dérivées dans l'étude des variations des fonctions.
Transcripts
[Rires]
[Musique]
bonjour
dans cette vidéo je te propose de revoir
tout le cours sur la dérivation des
fonctions l'objet de cette séquence est
de te rappeler et de t'expliquer les
éléments les plus importants de ce
chapitre plus précisément par l'aura de
nombreux dérivés et de la tangente à la
courbe deux fonctions dérivés et de
variations des fonctions pour préparer
un contrôle ou un examen ceci ne suffira
évidemment pas il te faudra faire encore
de nombreux exercices en tout cas pour
le court c'est parti alors l'idée de ce
chapitre l'idée de la dérivation
c'est au départ de mettre en place un
outil nouveau qui va nous permettre
d'établir assez facilement assez
rapidement enlevé rats les variations
d'une fonction et c'est tout il porte un
nom il s'appelle au départ le nombre
dérivés alors c'est une notion qu'on va
introduire ici qui n'est pas facile à
introduire une va falloir s'accrocher au
début de la vidéo
tu verras c'est pas hyper compliqué mais
quand même il faudrait être bien
concentrés pour comprendre voici une
courbe une combe donc qui représentait
en bleu dans un repère je n'ai pas mis
ici de graduation simplement pour
alléger et ne voir que l'essentiel on va
placer un point sur cette courbe par
exemple ici et on va construire la
tangente à la courbe passant par ce
point l'idée directrice de tout ce
chapitre c'est d'établir une relation
entre eux
la pente de la tangente et les
variations de la fonction alors à ce
niveau là qu'est ce qu'on constate on
constate que notre tangente
elle a une pente négative le coefficient
directeur il est négatif puisque ça
descend et la fonction elle est
décroissante
est ce que on pourrait constater la même
chose en un autre point de notre courbe
je place donc un autre point là où notre
fonction est toujours décroissante même
constat la tangente ici a toujours une
pente négative et on se trouve toujours
à un endroit de la cour où la fonction
est décroissante que ce pas
style là où la fonction est croissante
je place donc un 3e point cette fois ci
un endroit de la courbe où la fonction
est croissante et là qu'est ce qu'on
observe on observe une tangente dont la
pente et maintenant positive alors qu'on
se trouve un endroit où la fonction est
croissante
on peut généraliser ça avec le logiciel
est maintenant établir une relation
entre pente de la tangente et variations
de la fonction quand on se trouve quand
on se trouve du côté où la fonction est
décroissante
eh bien on observe des tangentes
correspondante dont la pente est
négative alors que lorsqu'on se trouve
du côté où la fonction est croissante
eh bien on observe des tangentes dont la
pente est positive et bien du coup si on
arrive à établir
la pente de la tangente eh bien on
obtiendra les variations de notes
fonctions
la question est maintenant comment
déterminer la pente d'une tangente en un
point à l'aide de l'expression de la
fonction et bien c'est l'objet de la
suite de cette séquence
et pour cela et bien on va définir un
outil qui s'appelle le nombre dérivés
ces salles outils dont on va avoir
besoin et qui va nous permettre de
générer ensuite ce qui s'appelle la
fonction dérivés qui nous permettra
d'établir les variations d'une fonction
alors avant ça on va avoir besoin de
faire un petit rappel
et de rappeler comment on établit à
l'aide d'une formule la pente d'une
droite c'est quand alors pas encore une
tangente
mais une séquence j'ai représenté ici
une fonction en bleu par sa courbe donc
en bleu est donc une droite qui essaient
qu'amd en deux points a et b à ma courbe
bleue est laissé quant aux points à
d'absys à et au point b d'apsys b
du coup on peut représenter l'image de
petit à part la fonction dont la courbe
est en bleu f2 à et l'image de petit p
parcelles met même fonction fb est bien
la pente
elle est égale à la différence sur les
ordonner des points a et b c'est-à-dire
f2b - f2 à on retrouve 7
errance ici sur la différence entre les
apps 6 2 a et b c'est-à-dire b - à qu'on
retrouve ici et bien en effectuant la
différence fb - f2 1 / b - 1 on obtient
la pente de la droite
ab est ce si on va en avoir besoin pour
la suite on le garde bien en tête
alors j'ai représenté donc ici la courbe
d'une fonction f on va dire en bleu j'ai
placé un point 1 sur la courbe et j'ai
tracé en rouge ici la tangente à la
courbe au point a au point un don
l'abscisse et petits tas alors on le
rappelle
l'idée est d'établir la pente de cette
tangente et pour cela ça peut paraître
étrange mais tu vas comprendre ensuite
pourquoi on va construire en plus une
c'est quand une c'est quand à la courbe
passant par a donc si a laissé quant à
la courbe elle va être c'est quand en un
deuxième point pas trop éloigné de à
on va placer un point m ici et on va
tracer donc là c'est quand à la courbe
en eau et en m
voilà j'ai donc placé un point m sur la
coupe et j'ai représenté masse et quant
à m anvers alors ce point m
il est éloigné du point a pas trop quand
même
on va dire qu'il est éloigné d'une
longueur h ce qui veut dire que si ici
je suis un as du coup là je suis en a
plus h
on va maintenant établir et ça on sait
faire puisqu'on vient de le voir
la pente de la c quant à m on a vu tout
à l'heure
comment faire il suffisait de faire la
différence sur les ordonner divisé enfin
un quotient de la différence sur les
abscisse alors pour cela à bien il
faudrait déjà avoir ordonné et abscisse
alors habsi sont assez a et a+ h ordonné
mia ça sera f2 à puisqu'on est sur la
courbe et f2 à puce h pour le point m
voilà donc l'image de acf 2a et l'image
de à puce hcf de a+ h
du coup en effectuant la différence sur
les ordonner avec la différence sur les
apps
is on va pouvoir établir la pente de la
droite à m
alors la différence sur les ordonner cf
de a + hb - f2 à la différence sur les
apps 6 c à + hb - a
mais du coup à + hb - ah les uns s'en
vont il reste simplement h toute façon
ça tombe bien puisqu'on rappelle qu'on
voulait un éloignement d'une longueur h
donc on retrouve via ce qu'on avait
envisagé
voilà ça nous donne ça donc f2 à + hb -
f2 à sur un + hb - a donc on a vu que ça
faisait h tout con donc finalement la
pente de la droite à m
c'est ce quotient et maintenant qu'est
ce qu'on va faire
et bien maintenant on va faire diminuer
h
on imagine que h devient de plus en plus
petit devient de plus en plus petit pour
se rapprocher de plus en plus 2 0
que va-t-il arriver à m si je fais si je
rends h de plus en plus petit elle va
suivre et donc va se rapprocher de plus
en plus de 1
on imagine ce qui se passe et là on le
voit avec l'animation et bien là c'est
quand se rapproche de plus en plus de la
tangente et ça c'est terriblement
important il faut bien comprendre je le
répète là c'est quand se rapproche de
plus en plus de la tangente
quand je fais tendre h vers 02 coup
quand je fais tendre h vers zéro la
pente de la c'est quand se rapproche de
plus en plus de la pente de la tangente
là aussi je le répète la fonte de là
c'est quand se rapproche de plus en plus
de la pente de la tangente forcément
puisque la séquence se rapproche de la
tangente donc sa pente se rapproche
également de la tangente
et si on a compris ça on a compris que
la pente de la tangente
et bien c'est quoi c'est ce nombre là
lorsque h sera proche de zéro et on sait
le noter cela se nomme de la façon
suivante c'est la limite on appelle ça
limite qu'en achetant vers 02 hebdo a
plu
sache - f2 à sur hcca la pente de la
tangente c'est le cas limites
on imagine qu'on rend h de plus en plus
petit la tangente là c'est quand tu
deviens tangente
dans quels cas dans le cas où h sera
proche de zéro et on a là la définition
officielle
2 la fonction dérivés et donc du nombre
dérivés qui vient avec
eh bien on va dire qu'une fonction f et
dérives à bhl en un point à ici donc là
où j'ai construit ma tangente à
condition qu'il existe un nombre réel
elles telles que la limite qu'en
achetant vers zéro de f2 à puce h - f2
assure h soit égale à elle c'est à dire
que ça doit marcher on doit trouver une
réponse
on doit trouver lorsque je vais faire
tendre h vers zéro je dois trouver
quelque chose du type de 4,8 c'est
normal parce que je dois trouver la
pente de ma tangente et la pente de
cette tangente
elle doit exister parce qu'attention
dans certains cas elles n'existent pas
70 et donc la pente qui vient avec
n'existe pas non plus qu'est ce que
c'est elle
eh bien elle c'est ce fameux nombreux
dérivés dont je parle depuis le début de
cette séquence
elle c'est le nombre dérivé de la
fonction f en ah parce que finalement
cette tangente j'ai choisi de la mettre
ici mais j'aurais pu la mettre ailleurs
j'ai choisi de la mettre ici donc ça
veut dire que je les ai placé en a donc
on dit que la limite de ce machin là
quand h sera proche de zéro
et bien c'est le nombre de dérives et de
la fonction en et du coup on peut le
nommer on le peut le noter pardon on va
le noter f prime de a donc f avec une
petite apostrophe de a derrière
puisqu'il dépend d'eux a c'est à dire
que en fonction de là où je vais placer
le point à je vais ici une absence qui
sera pas au même endroit
donc j'aurai forcément une pente
différente on l'a vu tout à l'heure en
particulier avec l'animation
lorsqu'on déplace et un point sur la
courbe et bien maintenant on peut donner
une définition pour notre tangente et en
particulier pour la pente de notre
tangente
on l'a établi cette pente alors ça peut
paraître un peu compliqué parce que
quand on voit la formule avec limite
qu'en achetant vers zéro etc
c'est assez lourd mais c'est comme ça
c'est la définition
au départ on verra que tout ça va
évoluer déjà dans cette séquence et
qu'on va régler avec des choses qui sont
beaucoup plus calculatoire des beaucoup
plus formel je te rassure
en tout cas on peut dire que la tangente
à la courbe
ces deux f donc la tangente heures à la
courbe fonction f au point à d'abc ce
petit 1 et la droite passant par a
forcément c'est la droite passant par à
deux pentes le nombre des lives et noté
f prime de 1
et cerise sur le gâteau on a même une
équation complète de notre tangente qui
est toujours en a au point à d'abc ce
petit à y égale f prime de à facteur 2 x
- un plus f2 alors je vais pas démontré
ici
d'où vient cette équation parce que ça
fait l'objet d'une autre vidéo où je
démontre en détail cette équation donc
je t'invite à aller regarder alors
peut-être pas tout de suite tout de
suite si tu es encore au niveau
apprentissage au niveau des dérivés on
va y aller doucement tu regarderas ça un
peu plus tard en tout cas voilà là on a
maintenant déjà établi un outil qui est
le nombre dérivés et on a dit tout à
l'heure que si on a le nombre dérivés eh
bien on va pouvoir établir les
variations de notre fonction qui
viennent derrière alors regardons
comment maintenant on va construire
cette relation entre nombreux dérivés et
variations de la fonction alors pour
bien comprendre le principe et la
relation qu'il va y avoir entre nombreux
dérivés et variations de la fonction il
faut traiter un exemple alors on va
partir d'un exemple très connu c'est la
fonction carré elle est représentée ici
de toute façon je pense que tu l'as en
tête la fongs les variations la fonction
car et on les connaît bien
elle est croissante pour tous les
nombres positif et décroissante pour
tous les nombres négatifs
eh bien on va le démontrer ce si on va
le démontrer
gr
un autre nombre dérivés et donc grâce à
la pente de la tangente qui est caché
derrière on va donc commencer par
calculer cette pente
cette pente donc pour pour une séquence
données donc on va commencer par calcul
et le quotient f2 à puce h - f2 a / h
et quand on l'aura bien réduit bien
simplifié
on verra ce qui se passe lorsque
achetant vers zéro lorsque h sera proche
de zéro puisque lorsque h sera proche de
zéro
on aura cette fois ci la pente de la
tangente alors calculs ont déjà rives de
la puce h - f2 assure h
alors on rappelle que f 2 x est égal à
ixxo carré donc si je mets à puce h à la
place de x ça va me faire à plus h au
carré - f2 a donc moins à au carré le
tout sur h
on va maintenant essayer de simplifier
au maximum ce caution va voir qu'on peut
aller assez loin
donc je commence par développer ici en
utilisant une identité remarquable soit
à au carré +2 à h + h au carré - à au
carré le tout sur h
on voit là qu'on a ici à au carré est la
moins au carré on peut donc simplifié et
qu'est ce qui nous reste
il nous reste deux à h + h au carré le
tout sur h
on va séparer l'addition ce qui nous
donne 2 h / h
plus de l'autre côté h au carré sur h
et là on voit qu'on peut ici simplifiée
par achille nous reste donc 2 à sous le
terme de gauche et là on peut enlever le
carré avec le hash qui est en dessous il
nous reste simplement plus h
donc finalement le quotient f2 à puce h
- f2 assure h
ses cris de a + hb et nous ce qu'on
voudrait on le rappelle c'est la limite
quand h sera proche de zéro
2 ce quotient écrivons le mais ce
quotient on a simplifié du coup ceux ci
est égale à la limite qu'en achetant
vers 02 cette somme et ça c'est assez
facile à calculer
qu'arrive-t-il à 2 à + hb lorsque h sera
proche de zéro
et bien ce nombre là devient de plus en
plus proche de zéro ce qui veut dire que
le tout devient de plus en plus proche
de 2 à + 0 et 2 à +0 et bien ça s'écrit
tout simplement de à
on vient là d'établir la limite de notre
quotient lorsque achetant vers zéro il
est égal à 2 à
or ceux ci c'est quoi on le rappelle
c'est la pente de la tangente
on a donc une tangente qui a pour pente
deux fois a alors un tout petit peu
empiéter sur la suite du court mais
c'est un peu obligée là pour que tu
comprennes bien finalement à quoi ça
sert ce qu'on est en train de faire
parce que là maintenant c'est un moment
un peu charnière on va justifier
pourquoi on a fait tout ça et bien tout
simplement parce que grâce à ce petit 2
à je peux conclure sur les variations de
ma fonction carré
quel est le signe de 2 à 11 ans rappelle
qu'on voudrait l'objectif au départ de
cette séquence c'est d'établir le signe
de la pente
parce que si la pente est positive on a
dit qu'on a une fonction croissante et
si la pente est négative on a une
fonction décroissante
donc quel est le signe de ce machin là
c'est très facile 6 ha est positif et
bien deux fois à est positif du coup la
pente est positive
du coup la fonction est croissante donc
finalement cia est positif la fonction
est croissante
carrick et le sia est négatif bien cia
est négatif du coût deux fois assez
négatif la pente est négative la
fonction est décroissante
eh bien on retrouve bien là astier
représenté sur la courbe on a dit que la
fonction carré est décroissante pour les
négatif négatif et la fonction carré et
croissant pour les positifs positif
alors ici c'est très facile évidemment
mais c'est volontairement que j'ai
choisi un exemple fascine mais on voit
là maintenant tout l'intérêt car on peut
enfin démontrer que notre fonction carré
est d'abord décroissante sur les
négatifs ensuite croissante sur les
positifs mais en fait on va voir que on
n'est pas obligé de faire
systématiquement tout se calcule parce
qu'on vient de prouver que quel que soit
à et bien la pente
c'est à dire le nombre des vives et est
égal à 2 à on rappelle que le nombre des
rives et ça se note f prime de à et je
viens de prouver que pour la fonction f
2 x égal à ixxo 15 et bien f prime de 1
est toujours égale à deux fois a du coup
quelque part on pourrait s'en souvenir
ça est ce le notait quelque part eh bien
c'est ce qu'on va faire
évidemment car en réalité vu que c'est
vrai pour toutes à et bien on pourrait
définir une fonction une fonction qui va
s'appeler la fonction dérivés et une
fonction habituellement la variable on
la note pas à mais on la note
x ce qui fait qu'au lieu d'écrire vu que
c'est vrai pour toutes à au lieu
d'écrire ici à eh bien on va mettre x et
on se souviendra maintenant et bien que
lorsqu'on rencontre la fonction car et
f2 x et gallix au carré eh bien ça
dérive et ceci ça s'appelle la fonction
dérivés et f primes de x égale à 2 x et
ça va rentrer dans un formulaire ceci
parce que comme je les dis avant on va
pas s'amuser à chaque fois à re
démontrer ce qu'on a déjà démontré alors
ça on l'a démontré pour la fonction
carré mais en réalité on peut le
démontrer pour d'autres fonctions
les fonctions affine la fonction cube et
caetera et pour toutes les fonctions
on peut à chaque fois démontré en
passant par le calcul de limites c'est
assez lourd on l'a vu on peut de cette
façon là démontrer quelle est la
fonction dérivé de la fonction dont on
parle est bien toutes ses fonctions
elles vont être livrées
va pas tout les démontrer dans un
formulaire et on va donc avoir et bien
un premier formulaire ici avec les
fonctions et les fonctions dérivés qui
leur correspondent
et le voilà ce formulaire j'essaie de me
mettre bien à gauche de l'écran pour
qu'il y ait suffisamment de place pour
mon tableau est bien toutes ces formules
elles sont livrées comme je les dis mais
il va voir les apprendre il va falloir
les connaître tout simplement parce que
eh bien on n'a pas le temps de leur
démontrer et surtout l' avantage d'avoir
les fonctions dérivés c'est de pouvoir
étudier le plus rapidement possible les
variations d'une fonction surtout
lorsque l'expression d'une fonction est
complexe c'est à dire que le travail va
plutôt consisté à arriver à déterminer
une fonction dérivés d'une fonction qui
n'est pas forcément dans ce tableau là
mais qui est la composent et la somme la
différence le quotient de ces fonctions
là alors on va pas les regarder tout en
détails on peut s'arrêter quand même sur
quelques-unes
déjà on retrouve la dérive et de notre
fonction car et f2 x et gallix au carré
à pour dériver f primes de x égal 2 x on
à la dérive et de la fonction à x qui
est à tout court on à la dérive et de à
qui est zéro mais de façon générale on a
une dérive et qui est assez intéressante
et qui résume toutes les autres c'est la
dérive et de la fonction puissance x
puissance n
parce que là du coup en fonction de
haine j'ai toutes celles qui sont au
dessus j'ai x au carré avec une égale à
2 gx tout court avec n égale à 1 et j'ai
même le à un nombre avec ici n égale à
zéro alors on va voir juste le cette
histoire de à comment on le gère en tout
cas la dérive et 2x puissance n ya un
petit truc pour s'en rappeler je prends
l'exposant le n qui est devant je le
balance devant je me mets devant et du
coup je perds un degré à l'exposant et
je passe à and noise donc en gtam je
passe à et noise a donc si par exemple
je veux la dérive et
de la fonction g2x égal à x puissance 5
eh bien ce sera j'ai pris 2 x égal à je
balance l'exposant devant cinq hits
puissance je perds un degré en quatre du
coup on retrouve notre histoire de carré
si j'applique cette règle là je balance
le 2 qui est devant on le retrouve
devant le x et je perds un degré en
étant à puissance de jeu pas sa
puissance 1 c'est à dire je l'écris pas
c'est pour ça ça nous donne du 2 x x
puissance 1 ou 2 x tout court alors
j'avais dit que je parlais de cette
histoire de à ceux à qui est un facteur
qu'est-ce qu'on en fait alors je vais en
mettre un à ici donc je vais choisir par
exemple 6 c'est donc un nombre
c'est une constante à n'importe laquelle
un nombre qui est un facteur donc ils se
multiplient
la technique consiste à faire la chose
suivante la dérive et 2f est égale 1
eh bien sans réfléchir je prends le 6
ici et je leur porte et je le laisse en
facteurs donc je laisse un symbole de
multiplication et qu'est ce que je fais
pour le reste bien pour le reste je vais
tout simplement appliqué mais formule de
dérivation ce qui va me donner
donc je balance le 3 devant 3 x x
puissance je perds un degré gta iii
j'arrive à 2 et bien la dérive et de 6,6
au cube c'est 6 x 3 x au carré alors
bien sûr on va pas laisser comme ça on
va simplifier ci soit 3,18 xo 4
mais dès qu'on a un nombre un nombre
attention faux paquets du x1 juste un
vrai nombre qui est un facteur je le
prends je leur copie et pour le reste
j'applique mes formule connue ok alors
les trois suivantes je vais aller un peu
plus vite tout simplement parce que
balla on arrive un moment où il va
falloir faire des exercices et
s'entraider
je pense que tu as tout doucement
compris le principe donc bah si je
prends par exemple la toute dernière la
dérive et de racines de xc un sur deux
racines 2x donc bon voilà il faut la
prendre
si j'avais un petit 3 ans facteur tu
l'as compris et bien je descendrai
montroy qui viendrait avec
passons maintenant aux opérations sur
les fonctions dérivés la question est
comment dérivés cette fonction qui est
fabriqué finalement par une somme de
deux fonctions c'est une fonction du
second degré sa gelée pas dans mon
tableau
et oui pour ça il faut introduire un
nouveau tableau qui nous dit sur la
première ligne que lorsqu'on a la somme
de deux fonctions et qu'on souhaite
dérivés cette somme il suffit de faire
la somme des dérivés de chaque fonction
donc ça veut dire que je vais dérivés
dans mon coin x haut careï dans mon coin
3x et je ferai la somme des 2 et j'aurai
la fonction dérivés c'est très
sympathique ça parce que la dérive et 2x
au carré on commence à la connaître
maintenant c'est de x la dérive est de 3
x
on a dit que au niveau du bic son père
un degré donc si on est à 1 on arrive à
zéro il disparaît il reste juste 3 on a
d'ailleurs la dérive et de ax qui nous
donne à et bien voilà là j'ai appliqué
une première formule sur les opérations
de fonctions dérivés la dérive et 2x au
carré + 3 x c'est 2x plus trois alors
celle-ci elle est facile par contre les
trois suivantes sont à un petit peu
moins sympa on nous dit que lorsqu'on a
un produit
et bien c'est pas le produit dérivé on
aurait envie baffert lepreau la dérive
et lui la dérive est l'hôte et puis
rajouter fois eh bien non c'est pas ça
si je veux faire la dérivée du x v ça me
donne une prime vais plus une déprime
alors je vais l'a traitée assez
rapidement quand même sur un exemple
mais je t'invite à rejoindre la playlist
ou nous tu trouveras plein d'autres
exemples à traiter fdx égale x au pub
fois racines de x on voit donc là qu'on
a bien un produit de deux fonctions et
moi je voudrais la dérive et de ce
produit là on remarque dans la formule
on aura à utiliser une prime vais plus
eu des primes
déjà il faut repérer qu'est ce que c'est
hulk est ce que cv alors on va dire que
q c'est celle de gauche évident
et que le v c'est celle de droite donc
un peu comme dans la forme et on va
écrire à part usv ainsi que du prime
evs est pris alors une cx au cube c'est
noté ici
vv de it's ses racines de x on nous
demande du prime c'est à dire on nous
demande la dérive et 2x au cube alors ça
on sait faire maintenant je balance le 3
devant x puissance 2 j'ai perdu un degré
et on lui demande la dérive et devait
c'est-à-dire v primes basses assez
directement la formule la dérive et de
racines de xc 1 sur 2 racing 2 x et bien
ensuite on a plus que la formule pour f
primes de x est égal à je prends ma
formule e prime vais plus une déprime
supprime une prime est ici c'est à dire
3 x 15 x v v est ici fois racines de x
plus une x occupe x v prime un sur deux
racines de x je précise en dessous
chaque facteur on a bien eu prime vais
plus une déprime et bien voilà la
fonction des vives et de la fonction f
alors je vais m'arrêter là on pourrait
un tout petit peu la simple simplifiée
éventuellement médecin ou même
dénominateur mais bon c'est pas l'objet
ici de temps en temps les fonctions
dérivés sont pas forcément sympathique
d'autant qu'on se souvient à quoi elles
servent elles servent à établir les
variations de la fonction et pour cela
il faudra connaître leurs signes c'est
tout de suite ce qu'on va voir dans la
suite de secours voilà je vais pas lire
en détail la suite je te laisse regarder
et surtout le travailler avec entre
autres la très fameuse formule du
quotient eu sur v prime qui est égale à
une prime v - uv prime le tout sur v
carré alors ça ça donne souvent des
calculs assez complexe est assez lourd
mais bon c'est comme ça c'est le passage
obligé
on poursuit maintenant et on va finir
avec le fameux théorème de variation des
fonctions voilà et bien se tait
m en fait c'est le point final j'ai
envie de dire de tout ce qu'on a
construit dans ce cours il nous dit que
si on a une fonction f donc qui est des
rives à bhl sur un intervalle y est bien
si la dérive et esprit de x est négative
la fonction est décroissante si la
dérive et est positive la fonction est
croissante
on a la même chose avec la stricte
monotonie c'est à dire si eve primes de
x est strictement inférieure à 0 la
fonction est strictement décroissante et
pareil donc pour strictement croissante
on va donc traiter un exemple qui va
maintenant nous permettre de mettre en
application tout ce qu'on a vu alors un
exemple très simple
un exemple qui va illustrer le fait que
une fonction affine est croissante
lorsque le à 2 à x pist b est positif et
calais décroissante lorsque le a2a xb et
négatifs alors on va même l'illustré sur
un exemple et on va prendre la fonction
f 2 x est égal à 2 x + 3 alors c'est un
exemple très simple évidemment mais là
on est dans le court mais c'est juste et
simplement pour illustrer rapidement ce
théorème on a dit que ce théorème nous
permet d'établir les variations à
condition de connaître le signe de la
dérive et donc si on veut le signe de la
dérive et il faut déjà calculé s'est
terminé alors calculons la dérive et 2f
c'est-à-dire expriment de weeds bien
j'ai donc ici une somme de deux
fonctions je peux dérivés de façon
indépendante et faire la somme du
résultat
je vais donc commencer par dériver 2 x 2
x
c'est donc de la forme ax ça nous donne
à tous courent c'est à dire ça nous
donne de tout court plus plus la dérive
et d'un nombre c'est vrai qu'on en a pas
parlé pour l'instant enfin un tout petit
peu c'est à dire c'est la dérive et de à
et la dérive et d'un nombre tout seul
comme ça dans son coin ça fait toujours
zéro donc ça fait 2 + 0 dont finalement
la dérive et est égal à 2 et bien ça
c'est très sympathique parce que si la
dérive est égal à 2 pour étudier son
signe ça sera vite fait de est positif
donc
f primes de x est strictement positif
pour n'importe quelle valeur de x et si
la dérive est est possible
yves est bien la fonction est croissante
sur air donc voilà on avait l'année
dernière une propriété qui nous disait
si le a ici le coefficient directeur est
positif et bien la fonction est
croissante
bon bah tu vois bien que si tu mets un
n'importe quel nom positif ici il
restera à la fin dans la dérive et un
nombre positif et donc forcément on aura
une fonction croissante et on va finir
pas un dernier les petites et om qui va
nous permettre de d'établir des extrêmes
sommes extrêment homme d'une fonction et
qui nous dit la chose suivante si la
dérive et d'une fonction f s'annulent
échange de signes en un réel c est bien
cela veut dire que f admet un extrait
mom un maximum ou un minimum en sait en
x et gallas et alors c'est assez simple
à comprendre en fait
pensons à la fonction iq socar et qu'on
a vu tout à l'heure la fonction x aux
cayes a pour dériver f primes de x égal
2 x on a vu que f primes de x est
positif pour x positifs et négatifs pour
x négatif on a donc bien une fonction
qui change de signe où ça en zéro et on
a bien f prime 2 0 deux fois 0 qui est
égal à zéro
donc on a une dérive et qui s'allume en
0 et qui change de signe en zéro il ya
concrètement ça veut dire quoi
ça veut dire que ici pour les négatifs
la dérive est négatif donc j'ai une
fonction qui est décroissante
elle est décroissante puis ensuite elle
ça nulle en 0 la dérive et et ensuite la
dérive est positive la fonction est
croissante décroissante croissante
dérivés négative dérivés positive
dérivés s'annulent
tout est dit et le minimum là ici tout
en bas donc en réalité ceci le fait que
la dérive et change de signe et qu'elle
s'annulent ça va forcément entraîner un
changement de variation
si un changement de variations et bien
il ya de fortes chances quand même
d'avoir un minimum ou un changement de
variations dans l'autre sens un maximum
c'est juste ça que du ce théorème
concrètement qu'est ce qu'on fait et
bien quand on aura une fonction par
exemple fdx égale x au carré +6 puis on
l'a dérivera je passe sur les détails
je te laisse vérifier et ensuite on va
chercher si cette dérive et s'annule
pour avoir des chances de trouver un
extrême hommes on va donc résoudre
l'équation f primes de x égal à zéro ici
ça nous donnerait 2x plus un égale à 0
soit x égale -1 2 me on trouve là que la
dérive et s'annule en moins un demi
attention ce n'est pas suffisant il faut
ensuite s'assurer que cette dérive et
change de signe
mélanie rivet c'est quoi ici c'est une
fonction affine 2x plus un égale à zéro
on a trouvé qu'elle s'annuler en moins
un demi avec ici un coefficient
directeur positive donc allée croissante
ce qui veut dire qu'elle va être
négative avant - 1/2 puis positive après
-1 2 me donc on a bien ici une dérive et
qui change de signe en moins un demi on
est donc assurée ici d'avoir un extrême
homme en moins un demi alors maintenant
minimum ou maximum
ici c'est un minimum je passe là aussi
sot les détails je t'invite à voir des
exercices plus étoffé sur ce thème
on avait déjà pas mal de choses dans
cette vidéo je le pense
du coup et bien cette séquence est
terminée
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