01. Modelo simple de población, Ecuaciones Diferenciales

MateFacil

9 Mar 201814:14

Summary

TLDREste vídeo de 'Mate, fácil' introduce el modelo simple de población, una herramienta para analizar cambios en la población en corto plazo. Se explica cómo representar la población con una variable 'p' que varía con el tiempo. Se consideran factores clave como la tasa de natalidad ('n') y la tasa de mortalidad ('m'), y se asume que son constantes para simplificar. A través de ejemplos, se muestra cómo calcular el crecimiento de la población en intervalos de tiempo específicos. Finalmente, se deriva una ecuación diferencial que modela la evolución de la población, y se resuelve para obtener la fórmula que describe la población en cualquier instante, destacando su aplicación en futuras lecciones.

Takeaways

📊 Introducción al modelo simple de población usando ecuaciones diferenciales.
📈 La población se representa con la variable 'P', que depende del tiempo.
👶 Se consideran la tasa de natalidad 'N' y la tasa de mortalidad 'M' para analizar cambios en la población.
📉 Las tasas de natalidad y mortalidad pueden variar, pero se asumen constantes en este modelo básico.
📅 Se analiza la población en un intervalo de tiempo específico, sumando nacimientos y restando muertes.
📐 La derivada de la población respecto al tiempo se obtiene cuando el intervalo de tiempo tiende a cero, dando lugar a una ecuación diferencial.
🔍 La ecuación diferencial obtenida es separable y se resuelve para obtener la población en cualquier instante de tiempo.
📊 La población en cualquier tiempo 't' depende de la población inicial y de una constante 'k' que refleja la diferencia entre tasas de natalidad y mortalidad.
🧪 Se menciona un ejemplo práctico donde se aplica este modelo a una colonia de bacterias.
🎬 Se invita a los espectadores a seguir el próximo video, donde se resolverá un ejercicio usando el modelo explicado.

Q & A

¿Qué es el modelo simple de población que se discute en el vídeo?
-El modelo simple de población es un primer modelo utilizado para analizar ciertas poblaciones en intervalos cortos de tiempo, considerando factores como la tasa de natalidad y la tasa de mortalidad.
¿Cómo se representa la población en el modelo simple de población?
-La población se representa con la variable 'p', que indica cuánta población hay en un momento dado, como por ejemplo, mil personas, animales o bacterias.
¿Qué factores influyen en la población según el modelo simple?
-En el modelo simple, se consideran principalmente dos factores: la tasa de natalidad (n) y la tasa de mortalidad (m), que representan el número de nacimientos y muertes en un tiempo determinado, respectivamente.
¿Por qué se asume que las tasas de natalidad y mortalidad son constantes en el modelo simple?
-Para simplificar el modelo y facilitar su análisis, se asume que las tasas de natalidad y mortalidad son constantes a lo largo del tiempo, lo que permite obtener un modelo sencillo y fácil de resolver.
¿Cómo se calcula la población después de un intervalo de tiempo dado, según el modelo?
-Se calcula sumando los nacimientos y restando las muertes a la población original, considerando las tasas de natalidad y mortalidad y el intervalo de tiempo transcurrido.
¿Qué significa la variable 'delta t' en el contexto del modelo simple de población?
-La variable 'delta t' representa un intervalo de tiempo pequeño, que se utiliza para calcular la población en ese intervalo específico, y tiende a cero para obtener la derivada de la función de población.
¿Qué es una ecuación diferencial en el contexto del modelo simple de población?
-Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una o más derivadas, y en el modelo simple de población, se utiliza para describir cómo cambia la población en cada instante.
¿Cómo se resuelve la ecuación diferencial separable que representa el modelo simple de población?
-Para resolver la ecuación diferencial separable, se separan las variables y se integran, lo que resulta en una expresión que relaciona la población con el tiempo, y se obtiene una fórmula que incluye una constante de integración.
¿Qué es la constante 'k' en la fórmula del modelo simple de población?
-La constante 'k' es la diferencia entre la tasa de natalidad y la tasa de mortalidad, y representa el crecimiento neto de la población.
¿Cómo se determina la población inicial en el modelo simple de población?
-La población inicial se determina al establecer el valor de 'p' cuando 't' es igual a cero, lo que se representa como 'p0' y corresponde a la población con la que se inicia el estudio.

Outlines

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🌟 Introducción al Modelo Simple de Población

Este primer párrafo introduce el concepto de modelo simple de población, una herramienta utilizada para analizar cambios en la población en intervalos cortos de tiempo. Se explica que la variable 'p' se emplea para representar la población, la cual varía con el tiempo. Se destacan dos factores clave que influyen en la población: la tasa de natalidad (n) y la tasa de mortalidad (m). Estas tasas pueden no ser constantes y pueden variar dependiendo de la situación, como la disponibilidad de recursos. Sin embargo, para simplificar, se asume que son constantes en este modelo básico. Además, se menciona la importancia de considerar intervalos de tiempo específicos (denominados 'delta t') para proyectar la población futura basada en nacimientos y muertes.

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📊 Cálculo de Natalidad y Mortalidad en el Modelo

El segundo párrafo se enfoca en el cálculo de nacimientos y muertes a partir de las tasas de natalidad y mortalidad. Se utiliza un ejemplo específico de una población de 1000 individuos con tasas del 10% y 5% respectivamente. Se explica cómo calcular el número de nacimientos y muertes que ocurrirán en un intervalo de tiempo dado, como dos años. Se destaca la importancia de ajustar la población base para los cálculos en intervalos sucesivos, ya que la población varía con cada período. Además, se introduce el concepto de aproximación y cómo esta mejora con intervalos más cortos de tiempo, como medio año en lugar de dos años.

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🔍 Derivación y Resolución del Modelo Simple de Población

El tercer párrafo describe el proceso de derivación del modelo simple de población, que resulta en una ecuación diferencial. Se muestra cómo se factoriza la expresión para aislar la variable 'p', que representa la población, y se resuelve la ecuación diferencial obtenida. La solución da como resultado una función que relaciona la población con el tiempo, donde se identifican dos constantes: 'c', que representa la población inicial, y 'k', que es la diferencia entre la tasa de natalidad y la tasa de mortalidad. Se enfatiza la utilidad de esta fórmula para predecir la población en cualquier instante dado, y se menciona que se aplicará este modelo en un ejemplo en el siguiente vídeo, donde se resolverá un caso específico de bacterias que se duplican en una hora.

Mindmap

Keywords

💡Ecuaciones diferenciales

Las ecuaciones diferenciales son herramientas matemáticas utilizadas para describir cómo una cantidad o una variable cambia con el tiempo o con otras variables. En el vídeo, se utilizan para modelar y analizar el crecimiento de una población, considerando factores como la tasa de natalidad y la tasa de mortalidad. Este concepto es fundamental para entender cómo se desarrolla el modelo de población presentado.

💡Modelo simple de población

El modelo simple de población es una representación matemática básica que se usa para predecir el crecimiento de una población en intervalos de tiempo cortos. En el vídeo, se explica cómo se representa la población con una variable (p) y cómo se toma en cuenta la dependencia del tiempo y factores como natalidad y mortalidad para analizar la población.

💡Tasa de natalidad

La tasa de natalidad se refiere a la proporción de nacimientos en una población durante un cierto período de tiempo. En el vídeo, se usa la letra 'n' mayúscula para representarla y se utiliza para calcular el número de nacimientos esperados en la población, lo cual es crucial para el modelo de crecimiento poblacional.

💡Tasa de mortalidad

La tasa de mortalidad indica la proporción de muertes en una población en un período de tiempo dado. Representada con 'm' mayúscula en el vídeo, es otro factor clave en el modelo de población, ya que influye directamente en la disminución de la población.

💡Población dependiente del tiempo

La población dependiente del tiempo implica que la cantidad de individuos en una población varía con el tiempo. En el vídeo, se establece que 'p' es una función del tiempo (t), lo que significa que la población puede aumentar o disminuir a lo largo de los años, meses o incluso días.

💡Intervalo de tiempo

El intervalo de tiempo, o 'delta t', es un término utilizado para describir el período que se está considerando en el análisis de la población. En el vídeo, se menciona que este intervalo puede ser de diferentes longitudes, como años, meses o incluso medio año, y es crucial para calcular el número de nacimientos y muertes durante ese tiempo.

💡Aproximación

La aproximación en el contexto del vídeo se refiere a la técnica de calcular la población en intervalos de tiempo más cortos para obtener una estimación más precisa del crecimiento poblacional. Se menciona que cuanto menor sea el intervalo de tiempo considerado, más precisa será la aproximación.

💡Derivada

La derivada es una concepto fundamental del cálculo que representa la tasa a la que una cantidad cambia con respecto a otra cantidad. En el vídeo, se usa la derivada para pasar del modelo de crecimiento poblacional basado en intervalos de tiempo fijos a un modelo que describe el cambio instantáneo de la población.

💡Ecuación diferencial separable

Una ecuación diferencial separable es un tipo de ecuación diferencial que se puede resolver al separar las variables y luego integrar cada una por separado. En el vídeo, se resuelve una ecuación diferencial separable para encontrar la fórmula que describe el crecimiento de la población en función del tiempo.

💡Constantes (c y k)

Las constantes 'c' y 'k' son valores que surgen al resolver la ecuación diferencial del modelo de población. 'c' representa una constante arbitraria que depende de las condiciones iniciales, y 'k' es una constante que depende de la tasa de crecimiento neto de la población (diferencia entre tasas de natalidad y mortalidad). Estas constantes son esenciales para determinar la población en cualquier momento dado.

Highlights

Introducción al modelo simple de población en ecuaciones diferenciales.

Representación de la población con la variable p, que varía con el tiempo.

Importancia de las tasas de natalidad (n) y mortalidad (m) en el modelo.

Aumento del 10% anual como ejemplo de tasa de natalidad.

Disminución del 5% anual como ejemplo de tasa de mortalidad.

Cálculo de nacimientos y muertes basado en porcentajes y tiempo transcurrido.

Consideración de que las tasas de natalidad y mortalidad pueden variar con la población.

Suposición de que las tasas n y m son constantes para simplificar el modelo.

Definición del intervalo de tiempo delta t para medir cambios en la población.

Cálculo de la población después de un intervalo de tiempo delta t.

Aproximación de la cantidad de nacimientos y muertes a partir de las tasas.

Factorización y simplificación de la expresión para el modelo de población.

Transformación de la expresión en una ecuación diferencial.

Resolución de la ecuación diferencial separable para obtener la fórmula de la población.

Interpretación de la constante c como la población inicial.

Significado de la constante k como la diferencia entre tasas de natalidad y mortalidad.

Aplicación del modelo simple de población a un ejemplo práctico.

Cálculo de la constante k y predicción de la población futura para una colonia bacteriana.

Proceso para determinar el momento en que la población alcanzará un número específico.

Invitación al siguiente vídeo para ver un ejemplo aplicado paso a paso.