01. Modelo simple de población, Ecuaciones Diferenciales
Summary
TLDREste vídeo de 'Mate, fácil' introduce el modelo simple de población, una herramienta para analizar cambios en la población en corto plazo. Se explica cómo representar la población con una variable 'p' que varía con el tiempo. Se consideran factores clave como la tasa de natalidad ('n') y la tasa de mortalidad ('m'), y se asume que son constantes para simplificar. A través de ejemplos, se muestra cómo calcular el crecimiento de la población en intervalos de tiempo específicos. Finalmente, se deriva una ecuación diferencial que modela la evolución de la población, y se resuelve para obtener la fórmula que describe la población en cualquier instante, destacando su aplicación en futuras lecciones.
Takeaways
- 📊 Introducción al modelo simple de población usando ecuaciones diferenciales.
- 📈 La población se representa con la variable 'P', que depende del tiempo.
- 👶 Se consideran la tasa de natalidad 'N' y la tasa de mortalidad 'M' para analizar cambios en la población.
- 📉 Las tasas de natalidad y mortalidad pueden variar, pero se asumen constantes en este modelo básico.
- 📅 Se analiza la población en un intervalo de tiempo específico, sumando nacimientos y restando muertes.
- 📐 La derivada de la población respecto al tiempo se obtiene cuando el intervalo de tiempo tiende a cero, dando lugar a una ecuación diferencial.
- 🔍 La ecuación diferencial obtenida es separable y se resuelve para obtener la población en cualquier instante de tiempo.
- 📊 La población en cualquier tiempo 't' depende de la población inicial y de una constante 'k' que refleja la diferencia entre tasas de natalidad y mortalidad.
- 🧪 Se menciona un ejemplo práctico donde se aplica este modelo a una colonia de bacterias.
- 🎬 Se invita a los espectadores a seguir el próximo video, donde se resolverá un ejercicio usando el modelo explicado.
Q & A
¿Qué es el modelo simple de población que se discute en el vídeo?
-El modelo simple de población es un primer modelo utilizado para analizar ciertas poblaciones en intervalos cortos de tiempo, considerando factores como la tasa de natalidad y la tasa de mortalidad.
¿Cómo se representa la población en el modelo simple de población?
-La población se representa con la variable 'p', que indica cuánta población hay en un momento dado, como por ejemplo, mil personas, animales o bacterias.
¿Qué factores influyen en la población según el modelo simple?
-En el modelo simple, se consideran principalmente dos factores: la tasa de natalidad (n) y la tasa de mortalidad (m), que representan el número de nacimientos y muertes en un tiempo determinado, respectivamente.
¿Por qué se asume que las tasas de natalidad y mortalidad son constantes en el modelo simple?
-Para simplificar el modelo y facilitar su análisis, se asume que las tasas de natalidad y mortalidad son constantes a lo largo del tiempo, lo que permite obtener un modelo sencillo y fácil de resolver.
¿Cómo se calcula la población después de un intervalo de tiempo dado, según el modelo?
-Se calcula sumando los nacimientos y restando las muertes a la población original, considerando las tasas de natalidad y mortalidad y el intervalo de tiempo transcurrido.
¿Qué significa la variable 'delta t' en el contexto del modelo simple de población?
-La variable 'delta t' representa un intervalo de tiempo pequeño, que se utiliza para calcular la población en ese intervalo específico, y tiende a cero para obtener la derivada de la función de población.
¿Qué es una ecuación diferencial en el contexto del modelo simple de población?
-Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una o más derivadas, y en el modelo simple de población, se utiliza para describir cómo cambia la población en cada instante.
¿Cómo se resuelve la ecuación diferencial separable que representa el modelo simple de población?
-Para resolver la ecuación diferencial separable, se separan las variables y se integran, lo que resulta en una expresión que relaciona la población con el tiempo, y se obtiene una fórmula que incluye una constante de integración.
¿Qué es la constante 'k' en la fórmula del modelo simple de población?
-La constante 'k' es la diferencia entre la tasa de natalidad y la tasa de mortalidad, y representa el crecimiento neto de la población.
¿Cómo se determina la población inicial en el modelo simple de población?
-La población inicial se determina al establecer el valor de 'p' cuando 't' es igual a cero, lo que se representa como 'p0' y corresponde a la población con la que se inicia el estudio.
Outlines
🌟 Introducción al Modelo Simple de Población
Este primer párrafo introduce el concepto de modelo simple de población, una herramienta utilizada para analizar cambios en la población en intervalos cortos de tiempo. Se explica que la variable 'p' se emplea para representar la población, la cual varía con el tiempo. Se destacan dos factores clave que influyen en la población: la tasa de natalidad (n) y la tasa de mortalidad (m). Estas tasas pueden no ser constantes y pueden variar dependiendo de la situación, como la disponibilidad de recursos. Sin embargo, para simplificar, se asume que son constantes en este modelo básico. Además, se menciona la importancia de considerar intervalos de tiempo específicos (denominados 'delta t') para proyectar la población futura basada en nacimientos y muertes.
📊 Cálculo de Natalidad y Mortalidad en el Modelo
El segundo párrafo se enfoca en el cálculo de nacimientos y muertes a partir de las tasas de natalidad y mortalidad. Se utiliza un ejemplo específico de una población de 1000 individuos con tasas del 10% y 5% respectivamente. Se explica cómo calcular el número de nacimientos y muertes que ocurrirán en un intervalo de tiempo dado, como dos años. Se destaca la importancia de ajustar la población base para los cálculos en intervalos sucesivos, ya que la población varía con cada período. Además, se introduce el concepto de aproximación y cómo esta mejora con intervalos más cortos de tiempo, como medio año en lugar de dos años.
🔍 Derivación y Resolución del Modelo Simple de Población
El tercer párrafo describe el proceso de derivación del modelo simple de población, que resulta en una ecuación diferencial. Se muestra cómo se factoriza la expresión para aislar la variable 'p', que representa la población, y se resuelve la ecuación diferencial obtenida. La solución da como resultado una función que relaciona la población con el tiempo, donde se identifican dos constantes: 'c', que representa la población inicial, y 'k', que es la diferencia entre la tasa de natalidad y la tasa de mortalidad. Se enfatiza la utilidad de esta fórmula para predecir la población en cualquier instante dado, y se menciona que se aplicará este modelo en un ejemplo en el siguiente vídeo, donde se resolverá un caso específico de bacterias que se duplican en una hora.
Mindmap
Keywords
💡Ecuaciones diferenciales
💡Modelo simple de población
💡Tasa de natalidad
💡Tasa de mortalidad
💡Población dependiente del tiempo
💡Intervalo de tiempo
💡Aproximación
💡Derivada
💡Ecuación diferencial separable
💡Constantes (c y k)
Highlights
Introducción al modelo simple de población en ecuaciones diferenciales.
Representación de la población con la variable p, que varía con el tiempo.
Importancia de las tasas de natalidad (n) y mortalidad (m) en el modelo.
Aumento del 10% anual como ejemplo de tasa de natalidad.
Disminución del 5% anual como ejemplo de tasa de mortalidad.
Cálculo de nacimientos y muertes basado en porcentajes y tiempo transcurrido.
Consideración de que las tasas de natalidad y mortalidad pueden variar con la población.
Suposición de que las tasas n y m son constantes para simplificar el modelo.
Definición del intervalo de tiempo delta t para medir cambios en la población.
Cálculo de la población después de un intervalo de tiempo delta t.
Aproximación de la cantidad de nacimientos y muertes a partir de las tasas.
Factorización y simplificación de la expresión para el modelo de población.
Transformación de la expresión en una ecuación diferencial.
Resolución de la ecuación diferencial separable para obtener la fórmula de la población.
Interpretación de la constante c como la población inicial.
Significado de la constante k como la diferencia entre tasas de natalidad y mortalidad.
Aplicación del modelo simple de población a un ejemplo práctico.
Cálculo de la constante k y predicción de la población futura para una colonia bacteriana.
Proceso para determinar el momento en que la población alcanzará un número específico.
Invitación al siguiente vídeo para ver un ejemplo aplicado paso a paso.
Transcripts
hola y bienvenidos a otro vídeo de mate
fácil en este vídeo vamos a empezar a
ver una aplicación de las ecuaciones
diferenciales vamos a ver algo que se
llama modelo simple de población que es
un primer modelo que nos permitirá
analizar ciertas poblaciones al menos en
intervalos cortos de tiempo para
analizar una población primero
necesitamos representar la población con
alguna variable vamos a representarla
con la variable p p entonces nos va a
decir cuánta población tenemos por
ejemplo mil personas o pueden ser
también animales o pueden ser bacterias
etcétera y por otro lado hay que tomar
en cuenta que la población depende del
tiempo si estamos analizando por ejemplo
una población de personas pues cuando ha
transcurrido un año la población ya no
necesariamente va a seguir siendo de
1000 personas puede que ya sean más
personas o que sean menos personas
entonces como la población depende del
tiempo vamos a dejar eso bien claro
indicando aquí que p depende de ti así
que p es una función que dependerá del
tiempo bueno en una población pueden
influir bastantes factores al momento de
pues calcular cuántos individuos
tendremos por ejemplo cuando ha
transcurrido un año vamos a considerar
dos cantidades que nos van a ayudar a
estudiar una población la primera de
ellas es la tasa de natalidad que vamos
a representarla con la letra n mayúscula
la tasa de natalidad pues nos dice
aproximadamente cuántos nacimientos hay
después de algún determinado tiempo por
ejemplo podríamos tener un aumento del
10% anual y vamos a considerar otra tasa
que es la tasa de mortalidad que vamos a
representar como m mayúscula y que nos
va a decir cuántas muertes hay después
de algún determinado tiempo por ejemplo
5% anual
esto significa que si por ejemplo
transcurre un año con estos ejemplos
bueno pues al transcurrir un año
ha habido una cantidad de nacimientos
igual al 10 por ciento de 1000 ya que
como aumenta 10% anual y ha transcurrido
un año pues simplemente calculamos 10%
de 1000 que es lo mismo que multiplicar
0.1 por 1000 y entonces tendríamos 100
nacimientos de la misma forma si
calculamos el 5% de 1000 pues entonces
tendríamos 50 muertes eso es lo que
significan estos porcentajes bueno ahora
las tasas de natalidad y de mortalidad
no tienen por qué ser constantes podrían
variar puede ser que por ejemplo cuando
tengamos una población de 5.000 personas
la tasa de mortalidad aumente tal vez
hay menos alimentos por ejemplo entonces
más personas se mueren podría ser un
ejemplo o puede ser que la tasa de
natalidad aumente bastante ya no sea del
10% anual sino por ejemplo del 15 o 20%
anual pero para simplificar las cosas
vamos a empezar suponiendo que
n iv m son constantes osea que estas
tasas se mantienen iguales a través del
tiempo esto nos va a dar un primer
modelo que va a ser muy sencillo y por
eso le llamamos modelos simples de
población ya más adelante veremos
modelos más complicados y que serán más
precisos al momento de analizar alguna
población
bueno vamos entonces a estudiar de qué
manera va cambiando nuestra población y
para eso vamos a considerar algún
intervalo de tiempo que vamos a llamar
del tate y que por ejemplo puede ser dos
años o puede ser medio año o un mes
etcétera bueno y a partir de aquí
nosotros lo que queremos calcular es la
población cuando ha transcurrido t más
del tate es decir nosotros conocemos una
población en un determinado tiempo t que
pueden ser las 1000 personas y
quisiéramos calcular cuál es la
población una vez que ha transcurrido
algún pequeño intervalo de tiempo bueno
para calcular tdt más del tate pues
simplemente tenemos que hacer un pequeño
razonamiento para empezar la población
después de que ha transcurrido un
intervalo de tiempo por ejemplo dos años
pues va a ser igual a la población que
teníamos originalmente sumándole los
nacimientos y restándole las muertes
bueno esto es algo muy sencillo
simplemente estamos considerando cuántas
personas nacieron y cuántas murieron y
se las estamos sumando a la población
que teníamos en un principio y de esa
forma estamos ya pues calculando la
población que tendremos cuando ha
transcurrido el intervalo de tiempo
ahora lo que necesitamos es calcular el
número de nacimientos y el
de muertes a partir de las tasas de
natalidad y mortalidad para entender
bien esto vamos a considerar de nuevo
nuestro ejemplo de mil personas con un
tasas una tasa de natalidad del 10 por
ciento y supongamos que han transcurrido
dos años y queremos calcular cuántos
nacimientos ha habido
entonces los nacimientos los podemos
calcular para empezar pues como el 10%
de 1000
si nosotros calculamos 10 por ciento de
1000 eso nos va a decir cuántas personas
nacieron pero en un año
entonces si multiplicamos 0.1 que sería
el 10% por 1000 obtendríamos la cantidad
de personas que nacieron en un año pero
estamos considerando un tiempo de 2 años
así que también tendremos que
multiplicar por 2 y de esa forma ya
tendríamos la cantidad de nacimientos
de la misma forma podríamos calcular la
cantidad de muertes simplemente
multiplicando en este caso 0.05 por 1000
y por 2 ahora aquí quiero que vean una
cosa y lo que pasa es que cuando han
transcurrido dos años en realidad ya la
población no es de 1000
cuando nos cuando transcurrió un primer
año
al transcurrir un primer año hubo 100
nacimientos y 50 muertes eso significa
que al final de ese año la población era
de 1050
después de ese año al calcular la
población del año siguiente la población
que tendríamos que considerar para
obtener el 10 por ciento de esa
población ya no es la de 1000 sino la de
1050 que es con la que empezamos el año
y de la misma forma si por ejemplo en
lugar de estar calculando la población
cada año la calcularemos cada mes pues
la población va a ir variando un poco
cada mes y entonces al momento de
calcular el porcentaje de la población
al principio si sería la de 1000 pero
para el siguiente mes tendríamos que
calcular la nueva población que
obtuvimos el mes anterior y así
sucesivamente entonces realmente lo que
estamos aquí calculando es una
aproximación a la cantidad de
nacimientos que hubo en dos años
ahora nuestra aproximación va a ser
mucho mejor conforme el tiempo sea más
corto si por ejemplo en lugar de
considerar un intervalo de dos años
consideramos un intervalo de medio año
en este caso aquí tendríamos que poner
0.5 y el error que estaríamos cometiendo
es menor si después de ahí queremos
calcular pues cómo aumenta la población
en el otro medio año bueno todo eso lo
tomaremos en cuenta en un momento esto
de aquí lo pongo como ejemplo para ver
cómo calcular los nacimientos a partir
de las tasas de natalidad y mortalidad
entonces como vemos aquí los nacimientos
se calculan multiplicando la tasa de
natalidad que es el porcentaje por la
población que es p y por el intervalo de
tiempo que estamos considerando en este
caso lo ponemos como del tate mientras
que la cantidad de muertes la calculamos
como la tasa de mortalidad multiplicada
por la población y por del tate entonces
sustituimos eso aquí
y nos queda toda esta expresión de aquí
bueno ahora vamos a centrarnos en esta
expresión que es la que nos va a dar el
modelo de población
ahora lo que vamos a hacer con esta
expresión es factorizar para empezar
aquí pd t del tate que aparece en estos
dos términos y entonces que era n
m que multiplica apt por delta t ahora
este pdte que está aquí vamos a pasarlo
restando al lado izquierdo y ahora el
del tate que tenemos aquí lo vamos a
pasar dividiendo al lado izquierdo y
también fíjense que n iv m como dijimos
son constantes porque estamos suponiendo
que las tasas de natalidad y mortalidad
se mantienen constantes así que al hacer
la resta n m
lo que obtenemos es siempre una
constante a esa constante vamos a
llamarla k entonces la dejamos así
expresada como acá y el delta t ya lo
pasamos al otro lado dividiendo ahora
fíjense que esta expresión de aquí es
una expresión que ya conocemos de
cálculo se parece a la definición de la
derivada de una función y de hecho lo
que vamos a hacer ahora es hacer que el
intervalo del tate tienda a cero o sea
vamos a tomar el límite cuando delta te
tiende a cero
ser así mucho más precisos para
encontrar la forma en la que cambia la
población en cada instante ya no en cada
año ya no en cada mes sino en cada
instante de esa forma estaremos
obteniendo pues un modelo mucho mejor
entonces si nosotros tomamos límite
cuando delta te tiende a cero de esta
expresión de aquí eso es simplemente la
derivada de la función p
la derivada de p respecto de esta
ecuación que ya es una ecuación
diferencial porque ya aparece aquí una
derivada la podemos escribir también así
dp sobre de t igual acá por p esta
ecuación diferencial es una ecuación muy
fácil de resolver es una ecuación
diferencial separable vamos a resolverla
para resolverla lo que hacemos es
primero separar las variables esta p que
está multiplicando la pasamos dividiendo
el delta t que tenemos aquí dividiendo
pasa multiplicando al otro lado
ahora integramos a ambos lados de la
ecuación la integral de de psoe pp es el
logaritmo natural de p la integral de
cada x de t es simplemente que aporte
más una constante arbitraria c1 vamos a
despejar p que es lo que nos interesa la
población y para eso quitamos el
logaritmo pasándolo al otro lado como
exponencial así que nos queda que p es
igual a la exponencial de cate más la
constante 1 y aquí tenemos una
exponencial de una suma entonces podemos
separarlo como un producto de
exponenciales eso es una ley de
exponentes podemos ponerlo como elevado
a cate por el elevado hace uno como c
uno es una constante arbitraria al
elevar y hace uno esto sigue siendo una
constante así que vamos a escribirla
simplemente como una c mayúscula
entonces esto de aquí ya nos da la
expresión para la población en cada
instante te vamos a escribirlo con la
anotación de función para que quede bien
claro que p es la población que depende
del tiempo y ahora vean que aquí en esta
expresión tenemos dos constantes la c y
la k la constante c tiene un papel
importante en esta expresión si nosotros
tomamos de igual a cero en esta ecuación
pues lo que obtenemos es lo siguiente
pepe en cero es igual a c por el elevado
acá por cero multiplicamos acá por cero
eso es cero elevado a cero es 1 y c por
1 s o sea que directamente obtenemos que
p en 0 es igual hace bueno p en 0 lo que
significa es la población inicial o sea
cuando empezamos a medir el tiempo
siempre que te sea igual a 0 esa va a
ser la población con la que empezamos el
estudio a esa población inicial en lugar
de escribirla como p en cero vamos a
ponerla así simplemente ponemos p
le ponemos un cero como subíndice por
comodidad y entonces tenemos que ser es
igual a cero y al sustituir aquí en la
expresión para la población pues
escribimos de esta forma pdte es igual a
cero por el elevado acá por t está acá
que es la otra constante dependerá del
tipo de población que se esté estudiando
ya que no todas las poblaciones se
comportan igual como ya vimos la
constante k como lo vimos hace un
momento en realidad lo que significa es
la resta de los bueno de la tasa de
natalidad y la de mortalidad entonces ya
con esto tenemos aquí todo explicado y
en el siguiente vídeo vamos a ver un
ejemplo en el cual vamos a aplicar
nuestro modelo simple de población vamos
a resolver este ejercicio nos dice que
la población de una determinada colonia
de bacterias es de 1000 y si el número
de bacterias se duplica después de una
hora nos pide calcular la constante k
la población que habrá cuando ha
transcurrido una hora y media desde el
inicio del estudio de la población y
finalmente responder en qué momento la
población será de cuatro mil bacterias
todo esto ya lo podemos hacer con la
fórmula que acabamos de obtener en este
vídeo
todo eso lo haré en el siguiente vídeo
paso a paso así que los invito a que lo
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