Función Lineal: introducción, características, gráfica, todo lo que necesitas saber | Clase 1
Summary
TLDREste video ofrece una introducción a las funciones lineales, explicando su definición y características. Se exploran las distintas formas de representar una función lineal, incluyendo su representación algebraica (fx = mx + b) y gráfica (una línea recta en el plano cartesiano). Identifica los elementos clave como la pendiente (m) y el término independiente (b), y cómo estos afectan la gráfica. Se realizan actividades para modificar la pendiente y el término independiente, y se explica cómo identificar estos elementos es crucial para analizar el comportamiento de las funciones lineales. Finalmente, se aborda la creación de un bosquejo de la gráfica a partir de la pendiente y el término independiente, y se invita a los estudiantes a participar en futuras clases para un estudio más profundo.
Takeaways
- 😀 La función lineal es una función polinómica de grado 1, representada algebraicamente como \( y = mx + b \).
- 📈 La representación gráfica de una función lineal es una línea recta en el plano cartesiano, que puede ser creciente o decreciente.
- 📊 Se puede representar una función lineal mediante tabla de valores, conocida como registro tabular, y también mediante representación dinámica utilizando software como Geogebra.
- 🔢 Los elementos clave de una función lineal son la variable \( y \), la variable independiente \( x \), la pendiente \( m \) y el término independiente \( b \).
- ↗️ La pendiente \( m \) indica la inclinación de la línea recta con respecto al eje de las abscisas; si es positiva, la función es creciente.
- ↘️ Si la pendiente \( m \) es negativa, la función lineal es decreciente, mostrando una disminución a medida que aumenta \( x \).
- 🔴 El término independiente \( b \) representa el punto de intersección de la línea recta con el eje de las ordenadas (eje \( y \)) y se conoce como ordenada al origen.
- 📐 Para graficar una función lineal, se puede realizar un bosquejo aproximado conociendo la pendiente y el término independiente, lo cual ayuda a entender el comportamiento de la función.
- 🔄 La monotonía de una función lineal, que es su comportamiento constante, creciente o decreciente, se analiza de izquierda a derecha en el plano cartesiano.
- 💬 En caso de dudas o consultas sobre las funciones lineales, se recomienda dejar un comentario para obtener asistencia adicional.
Q & A
¿Qué es una función lineal?
-Una función lineal es una función polinómica de grado 1, cuya representación algebraica es de la forma f(x) = mx + b, donde m es la pendiente y b es el término independiente.
¿Cómo se representa gráficamente una función lineal?
-La representación gráfica de una función lineal es una línea recta en el plano cartesiano, que puede ser creciente o decreciente dependiendo de la pendiente.
¿Qué elementos identifica la función lineal y cómo se representan algebraicamente?
-Los elementos de la función lineal son la variable y (o FX), la variable independiente x, la pendiente (m) y el término independiente (b). Algebraicamente, se representa como y = mx + b.
¿Cómo se identifican la pendiente y el término independiente en una función lineal dada?
-La pendiente se identifica como el coeficiente que acompaña a la variable x, mientras que el término independiente es el número que aparece por sí solo en la función, generalmente anteponiendo el signo más o menos.
¿Qué significa el término 'variable independiente' en el contexto de una función lineal?
-La variable independiente es la variable x en una función lineal, que tiene un exponente de 1, indicando que la función es de primer grado.
¿Cuál es la diferencia entre una función lineal creciente y una decreciente?
-Una función lineal creciente tiene una pendiente positiva, lo que significa que la gráfica se inclina hacia arriba. Por otro lado, una función lineal decreciente tiene una pendiente negativa, lo que significa que la gráfica se inclina hacia abajo.
¿Qué representa el término independiente b en la función lineal y cómo se identifica en la gráfica?
-El término independiente b representa el punto de intersección de la función lineal con el eje y. En la gráfica, se identifica como el valor en el eje y donde la línea recta corta este eje.
Si una función lineal no muestra la variable x, ¿qué tipo de función es y cómo se representa gráficamente?
-Si una función lineal no muestra la variable x, se trata de una función constante, que se representa gráficamente como una recta horizontal que corta el eje y en el valor del término independiente b.
¿Cómo se realiza un bosquejo aproximado de la gráfica de una función lineal sin una tabla de valores?
-Para realizar un bosquejo aproximado de la gráfica de una función lineal sin una tabla de valores, se identifican la pendiente y el término independiente, y se analiza la monotonía (creciente, decreciente o constante) y el punto de corte con el eje y.
¿Qué es la monotonía en una función lineal y cómo se determina?
-La monotonía en una función lineal se refiere a si la función es creciente, decreciente o constante, lo que se determina por el signo de la pendiente. Se analiza de izquierda a derecha en la gráfica.
Outlines
📚 Introducción a la función lineal
El primer párrafo introduce el tema de la función lineal, explicando que es una función polinómica de primer grado. Se menciona la representación algebraica (y = mx + b) y gráfica (una línea recta en el plano cartesiano). Además, se habla de la representación tabular y dinámica. Se enfatiza la importancia de identificar elementos como la pendiente (m) y el término independiente (b) para analizar el comportamiento de la función. Se describen actividades para modificar estos elementos y se ejemplifica con funciones dadas.
🔍 Identificación de elementos en funciones lineales
Este párrafo se enfoca en la identificación de la pendiente y el término independiente en funciones lineales. Se recomienda un orden específico para identificar estos elementos y se explica que la ausencia de la variable x en la función indica una función constante. Se discuten los tres posibles comportamientos de la gráfica en función de la pendiente: creciente, constante o decreciente. Se resume que la pendiente positiva indica una gráfica creciente, la pendiente cero una gráfica constante y la pendiente negativa una gráfica decreciente. Se introduce el término independiente como el punto de intersección con el eje y.
📈 Análisis gráfico de funciones lineales
El tercer párrafo profundiza en el análisis gráfico de las funciones lineales basado en la pendiente y el término independiente. Se describe cómo determinar si la gráfica es creciente o decreciente y cómo ubicar el punto de intersección con el eje y. Se ejemplifican funciones con pendientes positivas, negativas y cero, y se muestra cómo se grafican respectivamente. Se destaca que la ausencia del término independiente implica que la gráfica pasa por el origen, y se concluye con una función constante que corta el eje y en -1, proporcionando un bosquejo preciso de la gráfica.
Mindmap
Keywords
💡Función lineal
💡Pendiente
💡Término independiente
💡Monotonía
💡Gráfica creciente
💡Gráfica decreciente
💡Gráfica constante
💡Eje de las abscisas
💡Eje de las ordenadas
💡Tabla de valores
Highlights
Definición de una función lineal como una función polinómica de grado 1.
Representación algebraica de una función lineal: f(x) = mx + b.
Representación gráfica de una función lineal como una línea recta en el plano cartesiano.
Introducción a la representación de funciones lineales mediante tabla de valores (registro tabular).
Identificación de variables en una función lineal: y (o f(x)) y x como variable independiente.
Importancia de la pendiente (m) en la función lineal como medida de inclinación respecto al eje x.
El término independiente (b) como punto de intersección de la función con el eje y.
Actividad para identificar elementos de la función lineal: pendiente y término independiente.
Ejemplo práctico: Identificación de la pendiente y término independiente en f(x) = 3x + 1.
Ejemplo de función lineal con pendiente negativa: f(x) = -2x.
Función lineal sin término independiente: f(x) = 4 + 7x.
Función constante como una especialización de la función lineal con pendiente cero.
Importancia de la monotonía en la gráfica de funciones lineales: creciente, decreciente o constante.
Análisis del término independiente y su influencia en el punto de corte con el eje y.
Actividad de bosquejo de gráficas de funciones lineales basadas en la pendiente y término independiente.
Representación gráfica de una función lineal creciente con término independiente positivo.
Representación gráfica de una función lineal decreciente con término independiente positivo.
Caso especial: Función lineal que pasa por el origen de coordenadas (término independiente cero).
Función constante y su representación gráfica como una línea horizontal.
Conclusión de la clase y anticipación de futuras clases sobre funciones lineales.
Transcripts
Qué tal amigazos cómo están Espero que
se encuentren súper bien hoy vamos a
estudiar la función lineal y primero
veremos una pequeña introducción donde
hablaremos de la definición y
características luego conoceremos las
distintas formas de representar una
función lineal continuaremos
identificando los elementos como son las
variables la pendiente y el término
independiente y en cada uno de estos
apartados realizaremos actividades de
tal manera que los conceptos queden
claros Así que la clase va a estar muy
interesante comenzamos bien una función
lineal es una función polinómica de
grado 1 cuya representación algebraica
es la siguiente FX es igual a MX + B
Aunque en lugar de FX también podemos
Ubicar la variable Y entonces nos queda
y igual a MX más B ahora la
representación gráfica de una función
lineal es una línea recta que se grafica
en el plano cartes de hecho todas las
funciones se grafican en el famoso plano
cartesiano que está compuesto por dos
ejes el eje de las abscisas o x y el eje
de las ordenadas o Y entonces como ya se
mencionó la Gráfica de esta función es
una línea recta que puede ser creciente
o decreciente en este momento estamos
ubicando una gráfica creciente así que
hasta el momento hemos visto la
definición la representación algebraica
y la representación gráfica Sin embargo
a una función lineal también la podemos
representar mediante tabla de valores y
a esto lo conocemos como el registro
tabular Y si nosotros utilizamos algún
software o programa como geogebra para
graficar las funciones estamos
utilizando las representación dinámica y
Qué les parece si en este momento
conocemos como identificar los elementos
de la función lineal Entonces por un
lado tenemos las variables empezando con
FX o y que ya quedamos que es lo mismo
que corresponde a la variable de en
cambio x es la variable independiente y
aquí hay que mencionar algo importante
esta función es de grado 1 lo que
significa que la variable X La variable
independiente tiene exponente 1
recordemos que el exponente 1 no se
escribe pero por esta razón la función
es de grado 1 o primer grado continuando
con los elementos tenemos la famosa
pendiente que es del grado de
inclinación respecto al eje de las
abscisas y finalizamos con b el término
independiente que es el punto de
intersección con el eje de las ordenadas
es decir con el eje Y entonces conocer
estos elementos y sobre todo saberlos
identificar es demasiado importante
porque nos servirá para analizar el
comportamiento de la función lineal y
bueno Más adelante veremos a detalle que
representa cada uno de los elementos
porque en este momento vamos a realizar
la primera actividad que les parece esta
actividad consiste en Modificar el valor
de la pendiente y el término
independiente y partimos recordando la
representación o registro algebraico de
la función lineal fdx igual a MX + B
vamos con el primer ejercicio FX es
igual a 3x + 1 miren acá la pendiente es
del número que Acompaña a la variable X
en cambio el término independiente Por
así decirlo es el número que se
encuentra solo si nosotros observamos
esta función nos damos cuenta que la
constante o número que acompaña la
variable x es 3 lo que significa que en
este caso la pendiente equivale a 3
escribimos muy bien y bueno el término
independiente es 1 B es igual a 1 muy
sencillo no Simplemente recordemos que
la pendiente acompaña x y el término
independiente el número que está solo
sigamos con la siguiente función y es
igual a 4x menos 5 la pendiente es 4
porque acompaña la variable copiamos 4 m
igual a 4 y el término independiente en
esta ocasión es -5 el número que se
encuentra solito por acá tenemos la
función y de X que al final viene a ser
lo mismo que y de X es igual a -2x está
claro que la pendiente en este caso es
-2 porque -2 multiplica a x escribimos
menos 2 Pero qué sucede no aparece el
término independiente cuando eso pasa
significa que acá Este término está
sumando a 0 porque el 0 no nos suma ni
nos resta entonces concluimos que B es
igual a cero el término independiente en
esta función es cero por favor nunca lo
olviden cuando no se visualiza el valor
de B significa que equivale a 0 veamos
Qué sucede con esta función y es igual a
4 + 7x cuidado con pensar que la
pendiente el 4 y el término
independiente es 7 No eso es incorrecto
escuchen muchachos cuando estamos
iniciando con este tema de
identificación de los elementos de la
función lineal se recomienda ordenar los
elementos y lo haremos por acá para que
ustedes puedan comprender entonces
copiamos la variable y igual y primero
debe escribirse la pendiente acompañado
de la variable x es decir 7x luego viene
el término independiente que para este
caso es 4 positivo Y acá es mucho más
sencillo identificar el valor de la
pendiente Cuánto es pues 7 y el término
independiente equivale a 4 Claro está
que cuando ustedes ya tengan práctica
tal cual está escrita la función y ya
pueden identificar los elementos de una
manera sencilla pero por el momento
vamos paso a paso y qué sucede con esta
función ustedes dirán pero profe no
aparece la variable x Bueno a se le
conoce como una función constante y de
seguro ustedes van a tener la
interrogante entonces A cuánto equivale
la pendiente miren vamos a reescribir
esta función por acá y es igual debido a
que no aparece la pendiente significa
que es 0 0 x Porque si multiplicamos 0
por x nos queda 0 Y al final el cero no
hace falta escribirlo luego debemos
copiar menos 6 Así que acá ya podemos
distinguir el valor de la pendiente y el
valor del término independiente M es
igual a cero y b es igual a menos 6 y
con esto prácticamente hemos terminado
con la primera actividad Espero que les
haya parecido interesante bueno en este
punto vamos a hablar un poquito más a
detalle sobre la pendiente como ya
sabemos su símbolo es la letra m
minúscula y es el grado de inclinación
de la recta respecto al eje de las
abscisas o eje x y se pueden dar tres
casos
que la Gráfica sea creciente constante o
decreciente esto depende del valor de la
pendiente si la pendiente es un número
positivo es decir la pendiente es mayor
a cero la Gráfica es creciente y la
podemos representar de la siguiente
manera por acá tenemos un ejemplo una
recta creciente Ahora si la pendiente M
es igual a cero significa que la recta
es constante por acá tenemos un ejemplo
de cómo se vería la representación
gráfica prácticamente se trata de una
recta horizontal y el tercer caso se da
cuando la pendiente tiene un valor
negativo es decir la pendiente es menor
a cero Lo que sucede es que la recta
será decreciente
muy bien y antes de continuar veamos un
pequeño resumen si la pendiente es mayor
a cero la recta es creciente si la
pendiente es igual a cero la recta es
constante y si la pendiente es menor a
cero la recta es decreciente ahora
Hablemos del término independiente cuyo
símbolo es la letra b minúscula es el
punto de intersección de la recta con el
eje de las ordenadas es decir con el eje
y analicemos las siguientes gráficas nos
ubicamos en el eje y en el eje vertical
y vemos por qué punto pasa la recta y
bueno en esta primera gráfica observamos
que la recta corta por un valor positivo
al eje y este valor a mi gastos que
puede ser uno dos tres corresponde al
valor de B Es decir si ves igual a 5
significa que la recta pasa por y igual
a 5 por acá tenemos el término
independiente para una función constante
y en esta tercera gráfica también vemos
Que B Es un valor positivo en y ahora
pasemos a la siguiente actividad para
comprender mucho mejor estos conceptos
bueno en esta actividad muy interesante
lo que vamos a hacer es un bosquejo de
la Gráfica de cada una de estas
funciones atención que la Gráfica con
esa actitud aún no la podemos encontrar
porque para ello debemos elaborar una
tabla de valores o algunos de los
métodos que más adelante les voy a
mostrar pero al conocer y al identificar
la pendiente y el término independiente
si podemos realizar un bosquejo muy
aproximado de la Gráfica real entonces
empecemos primero como ya vimos en la
sección anterior la pendiente nos indica
si la Gráfica es creciente decreciente o
constante dependiendo del signo de la
pendiente entonces en esta función
observamos que la pendiente tiene signo
positivo se trata de una recta creciente
lo que significa que su comportamiento
es de la la siguiente manera miren una
gráfica creciente algo esencial que
deben conocer Es que esto de constante
creciente o decreciente recibe el nombre
de monotonía y se analiza de izquierda a
derecha y bueno ya analizamos la
pendiente ahora analicemos el término
independiente como les mencioné este
valor nos indica el punto de corte de la
recta con el eje Y en este caso nos está
indicando que la recta pasa por -1 en Y
entonces la vamos a bajar hasta
encontrarnos con -1 observen muy bien y
así tenemos el bosquejo de la primera
función como acotación al término
independiente también se le conoce como
ordenada al origen y listo hemos
terminado con el primer ejercicio
pasemos a la siguiente función primero
analizamos la pendiente en este caso el
valor es menos 2 un número negativo lo
que significa que la recta es
decreciente la Gráfica tendrá el
siguiente comportamiento
como les mencioné la monotonía se
analiza de izquierda a derecha y vemos
que la Gráfica de izquierda a derecha es
decreciente ahora nos vamos con el
término independiente es 4 positivo
significa que la Gráfica corta en el eje
y por el valor de cuatro positivo en
este caso debemos subir nuestra gráfica
hasta el valor de 4 excelente y así es
como queda el bosquejo de la segunda
función Qué sucede acá y es igual a -3x
está claro que la pendiente es -3 un
número negativo y ya sabemos que la
monotonía de esta gráfica es decreciente
entonces ubicamos nuestra recta pero
como ya vimos en actividad número uno
cuando acá no tenemos ningún valor
significa que el término independiente
equivale a 0 En conclusión la Gráfica
debe pasar por el origen de coordenadas
Ya que en este caso en el origen de
coordenadas y es igual a cero Así que
bajamos nuestra querida función muy bien
y vean esta maravilla así se comporta
nuestra función por favor nunca se
olviden que al no tener el término
independiente significa que la Gráfica
pasa por el origen de coordenadas
finalmente tenemos y igual a menos 1 y
como ya estudiamos se trata de una
función constante la pendiente es igual
a cero porque no se visualiza la
variable x y cuando la pendiente es
igual a cero se trata de una recta
horizontal pero atención el término
independiente es -1 lo que significa que
nuestra recta debe pasar o cortar por
menos uno en y por lo tanto debemos
bajar la Gráfica hasta llegar a menos 1
excelente y es así como se representa
gráficamente la función constante y
igual a menos 1 pero miren muchachos
aquí ya no se trata de un bosquejo sino
de la Gráfica real porque para graficar
una función constante no hace falta
tabla de valores y por hoy hemos
terminado con la primera clase sobre
función lineal por favor estar atentos a
las siguientes clases porque van a estar
muy pero muy interesantes sin más
continuaremos practicando repasando
estudiando en el caso de que tengan
alguna duda déjenlo en los comentarios
cuídense mucho y amor y paz
[Música]
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