axiomas de los numeros reales

Summary

El guion del video explica los axiomas de los números reales, que son proposiciones consideradas verdaderas y que sirven de base para demostrar teoremas. Se discuten tres tipos de axiomas: de cuerpo, de orden y el axioma de extremo superior o completitud. Se describen las propiedades algebraicas como la conmutativa, asociativa, distributiva y la existencia de elementos neutros e inversos. Además, se exploran los axiomas de orden, incluyendo la tricotomía, la propiedad del cero y la suma y multiplicación de números positivos. Se demuestran teoremas como la ley de cancelación de la adición y la multiplicación por cero. Finalmente, se introduce el axioma de completitud, que afirma la existencia de un extremo superior para cualquier conjunto no vacío de números reales acotados superiormente.

Takeaways

• 📐 Los axiomas de los números reales son proposiciones consideradas verdaderas que sirven de base para demostrar teoremas.
• 🔢 Existen tres tipos de axiomas en los números reales: axiomas de cuerpo, axiomas de orden y el axioma del extremo superior de continuidad.
• ➕ La propiedad conmutativa afirma que el orden de los sumandos no cambia el resultado de la suma.
• ✖️ La propiedad conmutativa de la multiplicación establece que el orden de los factores no afecta el producto.
• 🔄 La propiedad asociativa permite agrupar sumandos o factores de diferentes maneras sin alterar el resultado.
• 🔄 La propiedad distributiva permite multiplicar un número por la suma de otros dos números, manteniendo el resultado igual al de sumar las multiplicaciones individuales.
• 🕊️ La propiedad del elemento neutro en adición indica que el cero mantiene constante el valor de cualquier número al sumarlo.
• 🎯 La propiedad del elemento neutro en multiplicación establece que el número uno mantiene el valor de cualquier número al multiplicarlo.
• 🔄 La propiedad de existencia de inversos garantiza que todo número tiene un opuesto aditivo (inverso) que sumado al número original da cero.
• 🔄 En el caso de la multiplicación, todo número tiene un inverso multiplicativo que al multiplicarlo con el número original da como resultado uno.
• ➡️ La propiedad tricotómica de los números reales establece que para cualquier par de números, uno es mayor, menor o igual al otro.
• 🔝 El axioma del extremo superior de continuidad asegura que todo conjunto no vacío de números reales acotado superiormente tiene un supremo.

Q & A

¿Qué es un axioma en matemáticas?

Un axioma es una proposición o afirmación que se considera verdadera y que no necesita ser demostrada, sirviendo como referencia para demostrar otras afirmaciones llamadas teoremas.

¿Cuáles son los tres tipos de axiomas en los números reales?

Los tres tipos de axiomas en los números reales son: axiomas de cuerpo, que corresponden a las propiedades algebraicas; axiomas de orden; y el axioma del extremo superior de continuidad o de completitud.

¿Qué propiedad indica que el orden de los sumandos no altera el resultado de la suma?

La propiedad conmutativa indica que el orden de los sumandos no altera el resultado de la suma, es decir, para todo par de números a y b, a + b es igual a b + a.

Explique la propiedad asociativa en la suma de números reales.

La propiedad asociativa en la suma de números reales establece que para todos los números A, B y C, la suma de A con el resultado de sumar B + C es lo mismo que el resultado de sumar A + B con el número C, permitiendo agrupar los sumandos de distintas maneras sin cambiar el resultado.

¿Qué significa la propiedad distributiva en el contexto de los números reales?

La propiedad distributiva en los números reales establece que para todo número A y cualquier par de números B y C, la multiplicación de A por la suma de B + C es igual a la suma de la multiplicación de A por B y la multiplicación de A por C.

Describe la propiedad de existencia de elemento neutro en la adición de números reales.

La propiedad de existencia de elemento neutro en la adición de números reales establece que para todo número a, existe un número cero tal que la suma de a con 0 es igual al número a, indicando que al sumar cero con cualquier número, se obtiene el mismo número.

¿Qué es el inverso aditivo y cómo se relaciona con la propiedad de existencia de inversos?

El inverso aditivo, también llamado opuesto, es un número B que, al sumarse a un número a, da como resultado cero. La propiedad de existencia de inversos afirma que para todo número a, existe un número B (el inverso aditivo) tal que a + B es igual a cero.

Explique la propiedad tricotomía en los números reales.

La propiedad tricotomía establece que para todo par de números reales a y b, se cumple una y solo una de las siguientes relaciones: a es mayor que b, a es menor que b, o a es igual a b.

¿Qué implica el axioma que establece que el cero no pertenece a los reales positivos?

El axioma que establece que el cero no pertenece a los reales positivos indica que cero es un elemento neutro en la adición, ni es positivo ni negativo, sirviendo como límite entre los números positivos y negativos.

Describe el axioma del extremo superior de continuidad o completitud en los números reales.

El axioma del extremo superior de continuidad o completitud, también llamado axioma de completez, establece que todo conjunto no vacío de números reales acotados superiormente posee un extremo superior, es decir, existe un número real que es el menor de todos los números mayores o iguales a los elementos del conjunto.

Outlines

00:00

📐 Axiomas de los números reales

Este párrafo introduce los axiomas de los números reales, que son proposiciones consideradas verdaderas y que no requieren demostración. Se mencionan tres tipos de axiomas: de cuerpo, de orden y el axioma del extremo superior de continuidad o completitud. Dentro de los axiomas de cuerpo, se discuten propiedades algebraicas como la conmutatividad, asociatividad, distributividad, existencia de elementos neutros y la existencia de inversos. Cada propiedad se explica con ejemplos específicos para la suma y la multiplicación, proporcionando una base para demostrar teoremas a partir de estas afirmaciones.

05:01

🔢 Demostraciones a partir de axiomas algebraicos

En este párrafo se presentan demostraciones de teoremas utilizando las propiedades algebraicas de los números reales. Se demuestra la ley de cancelación de la adición, que establece que si a + b = a + c, entonces b = c, partiendo del axioma de existencia de inverso aditivo. También se demuestra que a * 0 = 0 para cualquier número real a, utilizando la propiedad modulativa y la conmutatividad. Estos ejemplos ilustran cómo se aplican los axiomas para llegar a conclusiones lógicas.

10:03

📉 Axiomas de orden y propiedades

Este párrafo explora los axiomas de orden en los números reales, que definen cómo se relacionan dos números reales entre sí. Se explica la propiedad de tricotomía, que establece que para cualquier par de números reales, uno es mayor, menor o igual al otro. También se discuten las propiedades del cero como elemento neutro en la adición y la multiplicación, y se muestra cómo la suma y la multiplicación de números positivos producen resultados positivos. Se introducen ejemplos que aplican estos axiomas para demostrar la propiedad transitiva de las desigualdades.

15:06

🔑 Axioma de completitud y su aplicación

El último párrafo se centra en el axioma de completitud, también conocido como axioma del extremo superior de continuidad. Se define una cuota superior y se explica que todo conjunto no vacío de números reales acotado superiormente tiene un extremo superior. Se proporciona un ejemplo con un conjunto de números reales entre 0 y 15, demostrando que 15 es la mínima cuota superior y, por lo tanto, el extremo superior del conjunto. Este axioma es fundamental para entender la estructura de los números reales y asegurar que cualquier conjunto bien definido tenga una propiedad de completitud.

Keywords

💡Axiomas de los números reales

Los axiomas de los números reales son proposiciones consideradas verdaderas y no necesitan ser demostrada, sirven como base para demostrar otros enunciados llamados teoremas. En el video, se mencionan tres tipos de axiomas: de cuerpo, de orden y el axioma del extremo superior de continuidad o completitud. Estos axiomas son fundamentales para entender las propiedades y comportamientos de los números reales en el análisis matemático.

💡Propiedades algebraicas

Las propiedades algebraicas son reglas que rigen las operaciones aritméticas en los números reales. En el video, se describen propiedades como la conmutativa, asociativa, distributiva, y la existencia de elementos neutros y inversos. Estas propiedades son esenciales para realizar cálculos y deducciones matemáticas, y se aplican en la demostración de teoremas como la ley de cancelación de la adición.

💡Propiedad conmutativa

La propiedad conmutativa establece que el orden de los operandos en una operación no cambia el resultado. En el video, se da el ejemplo de la suma y la multiplicación, donde a + b = b + a y a * b = b * a. Esta propiedad es crucial para la simplificación de expresiones y la comprensión de la estructura de los números reales.

💡Propiedad asociativa

La propiedad asociativa indica que el resultado de una operación no cambia si se reorganiza la agrupación de los operandos. En el video, se explica que (a + b) + c = a + (b + c) para la suma y (a * b) * c = a * (b * c) para la multiplicación. Esta propiedad es fundamental en la manipulación de expresiones algebraicas y en la construcción de demostraciones matemáticas.

💡Propiedad distributiva

La propiedad distributiva describe cómo se distribuye un producto sobre una suma. En el video, se menciona que a * (b + c) = a * b + a * c. Esta propiedad es clave en la descomposición de productos complejos y en la simplificación de expresiones algebraicas.

💡Elemento neutro

Un elemento neutro es un valor que, al combinarse con otro mediante una operación, deja inalterado el valor original. En el video, se identifican a cero como el elemento neutro para la suma (a + 0 = a) y a uno como el elemento neutro para la multiplicación (a * 1 = a). Estos elementos son fundamentales en la comprensión de la identidad en operaciones aritméticas.

💡Inversos

Los inversos son números que, cuando se combinan con otro número mediante una operación, producen el elemento neutro correspondiente. En el video, se habla de los inversos aditivos (opuestos) y multiplicativos (recíprocos). Por ejemplo, el inverso aditivo de a es -a, tal que a + (-a) = 0, y el inverso multiplicativo de a es 1/a, tal que a * (1/a) = 1. Estos conceptos son esenciales para entender la simetría y la compensación en las operaciones aritméticas.

💡Axiomas de orden

Los axiomas de orden definen las relaciones entre los números reales en términos de mayor, menor o igual. En el video, se mencionan propiedades como la tricotomía (entre cualquier par de números reales, uno es mayor, menor o igual al otro), la no pertenencia del cero a los reales positivos, y la preservación de la desigualdad bajo suma y multiplicación. Estos axiomas son fundamentales para la comparación y el ordenamiento de números reales.

💡Axioma del extremo superior de continuidad o completitud

Este axioma establece que cualquier conjunto no vacío de números reales acotado superiormente tiene un extremo superior. En el video, se explica que este extremo superior es el menor número real que es mayor o igual que todos los elementos del conjunto. Este concepto es crucial para garantizar que no haya 'agujeros' en el rango de los números reales y es fundamental en el análisis matemático y la teoría de conjuntos.

💡Cota superior

Una cuota superior es un número real que es mayor o igual que todos los elementos de un conjunto dado. En el video, se menciona que un conjunto acotado superiormente tiene al menos una cuota superior. El concepto de cuota superior es importante en el análisis de conjuntos y en la comprensión del axioma de completitud, ya que garantiza la existencia de un límite superior para cualquier conjunto acotado.

Highlights

Los axiomas de los números reales son proposiciones consideradas verdaderas que sirven como base para demostrar teoremas.

Existen tres tipos de axiomas en los números reales: axiomas de cuerpo, axiomas de orden y el axioma del extremo superior de continuidad.

Axiomas de cuerpo incluyen propiedades algebraicas como la conmutatividad, asociatividad, distributividad y la existencia de elementos neutros y inversos.

La propiedad conmutativa establece que el orden de los operandos no altera el resultado en la suma y multiplicación.

La propiedad asociativa permite agrupar sumandos y factores de diferentes maneras sin cambiar el resultado.

La propiedad distributiva permite multiplicar un número por la suma de otros dos números sin alterar el resultado.

Existe un elemento neutro para la suma (cero) y otro para la multiplicación (uno) en los números reales.

Cada número real tiene un inverso aditivo (opuesto) que, sumado al número, da cero.

La ley de cancelación de la adición se demuestra a partir de las propiedades algebraicas.

La multiplicación de un número real por cero da cero, lo que se demuestra con las propiedades algebraicas.

Los axiomas de orden definen la relación tricotómica entre dos números reales, estableciendo que uno es mayor, menor o igual al otro.

El cero no es un número real positivo y actúa como un elemento neutro en la adición.

La suma y multiplicación de dos números positivos son positivas, según el tercer axioma de orden.

La propiedad transitiva de la desigualdad se demuestra con los axiomas de orden.

Un conjunto no vacío de números reales acotado superiormente tiene una cuota superior.

El axioma del extremo superior de continuidad establece que todo conjunto no vacío y acotado superiormente tiene un extremo superior.

El ejemplo del conjunto de números reales entre 0 y 15 ilustra la existencia de una cuota superior y un extremo superior.

Transcripts

axiomas de los números reales un axioma

Es una proposición enunciado o

afirmación que se considera verdadero

que no necesita ser demostrado y sirve

como referencia para demostrar otras

afirmaciones llamadas

teoremas en los números reales hay tres

tipos de axiomas axiomas de cuerpo que

corresponden a las propiedades

algebraicas axiomas de orden y el axioma

del extremo superior de continuidad o de

completitud también llamado axioma de

completez dentro de los axiomas de

cuerpo o propiedades algebraicas tenemos

las propiedades de las operaciones la

primera propiedad es la propiedad

conmutativa que nos dice para el caso de

la suma que para todo par de números a y

b que pertenecen a los Reales la suma de

a + b es igual a b + a es decir el orden

de los sumandos no altera el resultado

de la suma para el caso de la

multiplicación para todo a que pertenece

a Los Reales a * b es = a b * a en este

caso se dice que el orden de los

factores no altera el producto que es el

nombre que recibe el resultado de la

multiplicación la propiedad asociativa

para la suma Establece que para todos

números A B y C que pertenecen a los

Reales la suma de a con el resultado de

sumar b + c es lo mismo que el resultado

de sumar a + b con la el número c es

decir que en este caso podemos agrupar

de distintas maneras los sumandos y el

resultado de la suma no va a variar para

el caso de la multiplicación tendríamos

que para todo número A B y C que

pertenece a Los Reales el producto de a

por el resultado de multiplicar b * c es

lo mismo que el resultado de multiplicar

a * B por el número

c también en este caso nos está

indicando que podemos agrupar de

diferentes maneras los factores y el

resultado de la multiplicación no va a

cambiar la propiedad

distributiva Establece que para todo

número A B y C que pertenece a Los

Reales si vamos a multiplicar a por la

suma de b + c podemos multiplicar a * b

y sumarlo con el resultado de la

multiplicación de a por

c la propiedad de existencia de elemento

neutro módulo o propiedad modulativa

para el caso de la adición o de la suma

Establece que para todo número a que

pertenece a Los Reales existe el cero

que también pertenece a Los Reales tal

que al sumar el valor de a con 0 nos da

lo mismo que al sumar el valor de 0 con

a que es igual al número a es decir que

al sumar cer0 con cualquier númer número

nos da el mismo

número en el caso de la multiplicación

tendríamos que para todo a que pertenece

a Los Reales existe uno que pertenece

también a Los Reales tal que al

multiplicar a por 1 obtenemos lo mismo

que al multiplicar 1 por a que sería el

número a en este caso uno es el módulo

de la multiplicación así como en el

anterior cer0 es el módulo de la

suma la propiedad de la existencia de

inversos en el caso del inverso aditivo

también llamado opuesto se dice que para

todo número que pertenece a Los Reales

si ese es el número a existe otro número

B que también pertenece a Los Reales tal

que al sumar a + b nos da lo mismo que

al sumar B + a que nos da 0 es decir es

la suma de un número y su opuesto o su

inverso aditivo que nos da como

resultado el módulo de la suma que es el

en este caso se tiene que B es igual a -

a - a es el opuesto o inverso aditivo de

a si sumamos a con - a nos da 0 para el

caso de la multiplicación tendríamos que

para todo número a que pertenece a Los

Reales existe un B que también pertenece

a Los Reales tal que al multiplicar a

por B sin importar el orden en que

hagamos la multiplicación obtenemos como

resultado uno que es el módulo de la

operación multip

en este caso se tiene que B es igual a 1

sobre a que sería llamado El recíproco o

el inverso multiplicativo de

a vamos a ver ahora unos ejemplos en los

cuales vamos a demostrar algunas

afirmaciones que se podrían llamar

teoremas a partir de las afirmaciones

que hemos llamado axiomas o propiedades

de los números reales vamos a utilizar

inicialmente las propiedades algebraicas

que hemos son las que acabamos de ver

vamos a demostrar la ley de cancelación

de la adición esta ley Establece que si

a + b es = a a + c entonces B es = a

C para ello partimos del axioma de

existencia de inverso aditivo es decir

que para a sabemos que existe un número

y que pertenece también a Los Reales tal

que al sumar a + y sin importar el orden

en que esta suma se haga nos da como

resultado cero que es el módulo de la

suma entonces podemos sumar a los dos

lados de la expresión que nos dan

inicialmente que es a + b = a + c el

valor de y quedando la expresión y + a +

b = y + a +

c aplicamos la propiedad asociativa de

la adición que ya sabemos que se cumple

por los axiomas o las propiedades

algebraicas de los números reales

tenemos entonces que podemos agrupar al

lado izquierdo y + a y el resultado

sumarlo con b y nos da lo mismo que si

agrupamos al lado derecho y + a y el

resultado lo sumamos con c por lo que

hemos definido en el punto 1 y es el

inverso aditivo o el opuesto de a eso

quiere decir que y + a es = a 0 por lo

tanto la expresión del punto 3 se puede

escribir como 0 + B = 0 +

C A partir de la propiedad modulativa o

el axioma correspondiente a esta

propiedad podemos decir que B es igual a

c puesto que a sumar c a cualquier

número real nos da como resultado el

mismo número real hemos entonces

demostrado que si a + b es ig a a + c

entonces B es igual a

c veamos ahora otro ejemplo vamos a

demostrar que para todo número real a se

cumple que a por cer0 es igual a

0 para ello vamos a partir de la

aplicación de la propiedad modulativa

para el cero sabemos por esta propiedad

que cualquier número sumado con 0 nos da

el mismo número por lo tanto podemos

decir que 0 + 0 es = 0 ahora vamos a

multiplicar a los dos lados de la

igualdad que acabamos de escribir por a

tendríamos entonces que 0 + 0 * a es = 0

* a aquí hay que tener cuidado de

escribir entre paréntesis la suma de 0 +

0 para tener en cuenta jerarquía de

operaciones y para indicar que es el

resultado de la suma que está al lado

izquierdo El que se multiplica por

a si aplicamos la propiedad distributiva

tendríamos que el primer sumando del

paréntesis que es 0 lo multiplicamos por

a y le sumamos el resultado de

multiplicar el segundo sumando que

también es 0 multiplicado por a Entonces

nos queda la expresión 0 * a + 0 * a = 0

* a

por propiedad modulativa nuevamente

sabemos que al sumar cer0 a cualquier

expresión nos da como resultado la misma

expresión por lo tanto al lado derecho

de la igualdad podemos sumar 0 quedando

la expresión 0 * a + 0 * a = a 0 * a +

0 ahora bien por el ejemplo que acabamos

de demostrar en el caso anterior es

decir la ley de cancelación de la

adición tenemos que podemos Cancelar a

los dos lados C por a y nos quedaría 0 *

a es = a 0 como la multiplicación es

conmutativa por los axiomas o las

propiedades algebraicas que vimos

tendríamos que 0 * a es lo mismo que a *

0 Y en este caso nos da 0 por lo tanto

hemos demostrado la afirmación que

aparece en el

ejemplo veamos ahora los axiomas de

orden los números reales el primer

axioma tiene que ver con la relación que

se puede establecer entre dos números si

yo tengo por ejemplo los números 5 y TR

yo puedo decir que 5 es Mayor que 3 pero

no puedo decir ni que 5 es menor que 3

ni que 5 es igual a 3 esta propiedad se

conoce con el nombre de propiedad de

tricotomía y Establece que para todo par

de números reales a y b se cumple una y

solo una de las siguientes relaciones o

a Es mayor que b o a es menor que b o a

es igual a b

el segundo axioma Establece que el cero

no pertenece a Los Reales positivos cer0

es un elemento neutro ni es positivo ni

es

negativo el tercer axioma dice que si x

Es mayor que 0 y y es mayor que 0

entonces x * y es mayor que 0 y x + y es

mayor que 0 En otras palabras este

axioma Establece que si yo sumo dos

números positivos me da un número

positivo y si multiplico dos números

positivos también el resultado va a ser

un número positivo

el cuarto axioma Establece que si x es

menor que Y entonces para cada Z que

pertenece a Los Reales se tiene que x +

Z es menor que B + Z es decir que a los

dos lados de una desigualdad yo puedo

sumar la misma expresión o el mismo

valor y la desigualdad no va a

cambiar veamos un ejemplo en el cual

aplicamos los axiomas de orden vamos a

demostrar la propiedad transitiva esta

propiedad Establece que si a es menor

que b y b es menor que c entonces a es

menor que c partimos de la hipótesis qu

es lo que está antes de la palabra

Entonces si a menor que b y b es menor

que c y buscamos aplicando los axiomas

llegar a la tesis que sería a men que

c partimos de que a es menor que b y b

menor que C A la primera desigualdad

vamos a sumarle a los dos lados - a

aplicando el último axioma que vimos los

números reales ahorita en la parte de

acciom má de orden es decir restamos a -

a men que b - a y en el caso de la

desigualdad B men que c a los dos lados

vamos a restar el valor de B Es decir

queda b - b menor que c -

b al resolver operaciones por la

propiedad del opuesto o del inverso

aditivo sabemos que a + - a es = 0 y que

b - b es también igual a 0 por por lo

tanto la primera desigualdad nos queda 0

menor que B men a y la segunda

desigualdad nos queda 0 menor que c men

B aplicando el axioma 3 de orden que

vimos anteriormente podemos sumar las

dos desigualdades tendríamos entonces

que al sumar los lados izquierdos 0 + 0

nos da 0 y al sumar los lados derechos

nos queda B - a + c - b por lo tanto

podemos decir que 0 es menor que b - a +

c - b

ahora vamos a aplicar las propiedades

asociativa y conmutativa démonos cuenta

que no estamos cambiando el signo a los

términos solamente estamos cambiando el

orden y la manera como se agrupan

podemos agrupar B - B y C - A nos queda

entonces que 0 es menor que b - b + c -

a por propiedad del inverso aditivo o

del opuesto sabemos que b - b es ig a

por lo tanto la desigualdad quedaría 0

menor que C - A B - B es lo mismo que B

+ men

B si sumamos a los dos lados de la

expresión a nos quedaría que 0 + a es ig

a c - a + a esto lo podemos hacer

gracias al axioma 4 de orden que vimos

anteriormente nuevamente agrupamos y por

propiedades modulativa y de existencia

de inverso tendríamos que al lado

izquierdo al aplicar propiedad

modulativa 0 + a es a y al lado derecho

al agrupar el a y el menos a y aplicar

la propiedad del inverso aditivo a + - a

me da 0 por lo tanto c - a + a Me

quedaría c Hemos llegado la expresión a

- c que corresponde a la tesis de la

afirmación que aparece en la propiedad

es decir a lo que deberíamos

llegar para poder entender el el axioma

de completez es importante definir

primero Qué es una cuota superior si

tenemos un conjunto no vacío de números

reales y existe un número B tal que

todos los elementos del conjunto

llamados x son menores que B se tiene

que B es una Cota superior de s y que s

está acotado superiormente todo número

real mayor que B también se puede

considerar una Cota superior del

conjunto

s si la Cota Superior es un elemento del

conjunto se tiene que B es el máximo

elemento del conjunto y se simboliza

como B = a Max Max entre paréntesis el

nombre del conjunto

s qué es lo que establece la axioma del

extremo superior de continuidad o de

completitud también llamado axioma de

completez Establece que todo conjunto no

vacío de número reales acotados

superiormente posee un extremo superior

es decir que existe un número real a tal

que a es igual al sub que simboliza

Superior y entre paréntesis el nombre

del conjunto en este caso

s veamos ahora un ejemplo para

representar y entender un poco más el

axioma de

completez si tenemos el conjunto s que

es un subconjunto de Los Reales definido

de la siguiente manera s es el conjunto

de las x tales que x pertenece a Los

reales y x está entre 0 y 15 eso lo

representamos con la desigualdad 0 men

que X Men que 15 este conjunto está

acotado superiormente ya que podemos

encontrar un número real que sea mayor

que todo elemento del conjunto

s por ejemplo 17 es una Cota superior de

s cualquier número entre 0 y 15 es menor

que 17 además podemos decir que

cualquier número mayor que 15 es una

Cota superior del conjunto dado la

mínima Cota superior de del conjunto Ese

es 15 ya que todos los números de Ese

Conjunto son menores que 15 puesto que

el conjunto no incluye al 15 al estar

acotado superiormente el axioma de

completez nos indica que tiene un

extremo

Superior m