108新課綱｜高二數學｜【延伸】垂直向量的判定及應用

臺北酷課雲

14 Nov 202211:14

Summary

TLDR本视频脚本介绍了人脸识别技术中向量的应用原理。通过捕捉面部特征点并将其转换为向量，手机能够在理想状态下识别出用户本人。然而，角度和表情变化可能导致向量出现差异，引入夹角概念。通过向量的内积和绝对值，可以计算出向量间的夹角。视频还讨论了向量垂直时内积为零的特性，以及如何利用这一性质证明半圆的圆周角为直角，为有兴趣的观众提供了一个有趣的数学证明。

Takeaways

😀 人脸辨识技术中使用向量的原理，通过面部特征点的坐标来构建向量。
🔍 首次设置人脸识别时，手机记录了特定向量，如鼻心到嘴角的向量a。
🆚 理想状态下，再次识别时形成的向量a'应与原始向量a相等，以确认身份。
🤔 由于拍摄角度或表情变化，向量a和a'可能会有微小差异，导致夹角非零。
📏 利用向量求夹角是视频的重点，通过向量的内积和模长来计算。
📘 向量的内积可以通过向量a和b的坐标点乘得到，也可以用a和b的模长乘以夹角的余弦值来计算。
📐 向量a和b的夹角θ可以通过公式 cos θ = (向量a⋅向量b) / (|向量a| * |向量b|) 来求解。
📊 当两个向量垂直时，它们的内积为0，即cos 90° = 0。
📚 垂直向量的判定可以通过内积是否为0来判断，这是向量分析中的一个重要概念。
📉 当两个向量的夹角是锐角时，内积为正；当夹角是钝角时，内积为负。
📝 利用向量垂直内积为0的性质，可以证明半圆的圆周角为直角。

Q & A

人脸辨识技术中，向量是如何帮助识别一个人的脸部特征的？
-人脸辨识技术通过记录脸部特征点（如鼻心、嘴角、眼角）的坐标来创建向量。例如，鼻心到嘴角的向量可以帮助手机记录并识别用户的脸。
如果向量a在首次设置人脸辨识时被记录，那么向量a'在什么情况下会与向量a相等？
-在理想状态下，如果用户在进行人脸辨识时脸部特征点的位置没有变化，那么向量a'（即再次扫描时的向量）会与向量a完全相等。
为什么实际使用中，即使向量a和向量a'有微小差异，手机仍然可以识别出用户本人？
-因为手机会设定一个可接受的误差范围，即使向量a和向量a'的夹角小于这个值，手机仍然认为它们是匹配的，从而识别出用户本人。
如何使用向量来计算两个向量之间的夹角？
-可以使用向量的内积公式来计算夹角。如果已知两个向量a和b，它们的内积除以它们各自模长的乘积，得到的商就是cosθ，其中θ是向量a和b之间的夹角。
向量a和向量b的内积如何计算？
-向量a和向量b的内积可以通过公式 a_x * b_x + a_y * b_y 来计算，其中a_x和a_y是向量a的x和y坐标，b_x和b_y是向量b的x和y坐标。
当两个向量的夹角θ为90度时，它们之间的关系是什么？
-当两个向量的夹角θ为90度时，它们是垂直的。在这种情况下，它们的内积为0，即向量a垂直于向量b。
如何判断两个非零向量是否垂直？
-如果两个非零向量的内积为0，那么它们就是垂直的。这是因为内积公式中的cosθ为0，而θ为90度。
向量a和向量b的内积为正数或负数，可以告诉我们什么信息？
-如果内积为正数，说明向量a和向量b的夹角是锐角；如果内积为负数，说明夹角是钝角。
如何利用向量垂直和内积的关系来证明半圆的圆周角是直角？
-通过构造以直径为OP的半圆，取圆周上不同于A、B的点P，可以证明向量PA和向量PB的内积为0，从而得出角APB是直角。
在证明半圆的圆周角是直角的例子中，向量OA和向量OB为什么是反向量？
-因为OA和OB都是从圆心O出发，但方向相反，一个指向A点，另一个指向B点，所以它们是反向量。