Introduction to linear independence | Vectors and spaces | Linear Algebra | Khan Academy

Summary

本视频讲解了线性组合和向量空间的基本概念，重点阐述了向量的跨度（span）与线性相关性（线性依赖和线性独立）。通过示例，展示了两个向量的跨度如何简化为一个方向，以及当向量之间存在线性依赖时，如何无法增加新的维度。通过图示与实际演示，解释了二维与三维空间中向量的线性关系，进一步探讨了向量的线性依赖与独立，揭示了冗余向量在构成基底时的影响。

Takeaways

• 😀 向量的跨度是由所有能由这些向量的线性组合表示的向量组成的。
• 😀 在二维空间中，两个共线的向量的跨度是它们所在的直线，而不是整个平面。
• 😀 线性依赖集意味着其中一个向量可以通过其他向量的线性组合表示。
• 😀 如果一个向量可以通过其他向量的线性组合表示，则它不会为空间添加新的维度。
• 😀 在三维空间中，若三向量彼此线性无关，则它们的跨度会覆盖整个三维空间R3。
• 😀 线性无关的向量集意味着没有向量可以通过其他向量的线性组合来表示。
• 😀 线性组合可以用常数c1、c2等来表示不同的可能性，其中c1和c2是任意实数。
• 😀 通过将向量简化为标量倍数，可以减少对多个向量的依赖，从而降低维度。
• 😀 线性依赖和线性无关的概念可以通过图形化的方式进行理解。
• 😀 在二维空间R2中，任何由两个非共线向量生成的跨度可以表示R2中的所有向量。
• 😀 当第三个向量位于由前两个向量定义的平面上时，它们仍然是线性依赖的，并且不会改变跨度。

Q & A

什么是向量的跨度？

向量的跨度是指通过线性组合这些向量得到的所有可能向量的集合。例如，给定两个向量，跨度就是所有可以通过它们的线性组合表示的向量集合。

什么是线性组合？

线性组合是指通过对一组向量应用常数系数并将它们加起来得到的新向量。例如，c1 * 向量1 + c2 * 向量2 就是向量1和向量2的线性组合，其中c1和c2是常数。

什么是线性依赖？

线性依赖指的是一组向量中，至少有一个向量可以通过其它向量的线性组合表示出来。换句话说，某个向量不提供新的方向或维度，无法增加空间的维度。

如何判断向量是否线性依赖？

判断向量是否线性依赖的方法是查看其中一个向量是否可以由其它向量的线性组合表示出来。如果可以，说明这些向量是线性依赖的；如果不行，则是线性独立的。

在二维空间R2中，向量(2, 3)和(4, 6)的跨度是什么？

由于向量(4, 6)是向量(2, 3)的2倍，这两个向量是共线的。因此，它们的跨度只是沿着这条直线的所有向量，并不覆盖整个二维空间R2。

为什么向量(2, 3)和(4, 6)是线性依赖的？

因为向量(4, 6)是向量(2, 3)的2倍，它们在方向上完全相同，只是大小不同。因此，它们是线性依赖的，无法提供新的方向。

在三维空间R3中，如何判断向量(2, 0, 0)、(0, 1, 0)和(0, 0, 7)是否线性独立？

这三个向量是线性独立的，因为没有任何一个向量可以通过其他两个向量的线性组合表示。它们各自提供新的方向，无法互相表示。

什么是线性独立？

线性独立是指一组向量中，没有任何一个向量可以通过其它向量的线性组合表示出来。每个向量提供了新的方向或维度。

在二维空间R2中，向量(7, 0)和(0, -1)的跨度是什么？

这两个向量是线性独立的，因此它们的跨度覆盖了整个二维空间R2。任何R2中的向量都可以通过这两个向量的线性组合表示。

当添加一个冗余向量到一组线性独立的向量时，跨度会发生什么变化？

添加一个冗余向量（即可以通过其他向量的线性组合表示的向量）不会增加空间的维度，跨度保持不变。在二维空间R2中，添加多余的向量不会改变R2的跨度。