Maclaurin series of sine function
MateFacil
25 Apr 201912:51
Summary
TLDR本视频讲解了如何计算正弦函数的麦克劳林级数(即泰勒级数)展开。首先,通过求导得到正弦函数的各阶导数,并在 x = 0 处计算这些导数的值。接着,利用泰勒级数的公式将这些值代入,得出正弦函数的级数展开式。通过分析,我们得到了一个简洁的表达式,并确定了级数的收敛区间为整个实数范围。视频深入浅出地介绍了这一数学过程,帮助学习者理解如何推导和使用麦克劳林级数。
Takeaways
- 😀 该视频介绍了如何计算正弦函数的麦克劳林级数,也就是泰勒级数,围绕 x0 = 0 进行展开。
- 😀 要计算麦克劳林级数,首先需要计算多个函数的导数,视频从正弦函数开始。
- 😀 第一导数是余弦函数,第二导数是负的正弦函数,第三导数是负的余弦函数,第四导数是正的正弦函数,依此类推。
- 😀 在 x = 0 代入各个导数的值,得到 f(0) = 0,第一导数为 1,第二导数为 0,第三导数为 -1,第四导数为 0。
- 😀 通过泰勒级数公式,将各个导数值代入,得出正弦函数的泰勒级数展开式。
- 😀 在级数展开中,只有指数为奇数的项才会保留下来,例如 x、x³、x⁵、x⁷ 等。
- 😀 指数为偶数的项(如 x²、x⁴、x⁶ 等)会被省略。
- 😀 每一项的符号是交替的,依次为正、负、正、负。
- 😀 使用 sigma(求和)符号,得出正弦函数的泰勒级数的通项公式,表示为无穷级数。
- 😀 通过计算极限,得出正弦函数的泰勒级数在整个实数范围内收敛,即其收敛区间是 (-∞, ∞)。
Outlines

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