12. Integrales Triples ejercicios

Profe Marco Ayala

4 Dec 201913:13

Summary

TLDREl video ofrece una guía detallada sobre cómo resolver una integral triple, que representa una densidad en un contexto físico. Comienza resolviendo la integral más interna con respecto a 'x', asumiendo otras variables como constantes. El proceso implica integrar funciones y evaluar límites, lo que resulta en una expresión que luego se integra con respecto a 'y' y finalmente a 'z'. La resolución se lleva a cabo paso a paso, evaluando y simplificando las expresiones obtenidas en cada integración. El video destaca la importancia de la precisión en cada paso y la necesidad de manejar adecuadamente las variables y límites de integración. El resultado final, expresado en términos de 'tercios', es un ejemplo de cómo la integral triple puede proporcionar información valiosa en el análisis de fenómenos densitativos.

Takeaways

📚 Primero, se resuelve la integral triple de manera analítica, comenzando por la integral más interna con respecto a x.
🔍 Se asume que las variables no involucradas en la integración son constantes, lo que simplifica el proceso.
🧮 Se evalúa la integral más interna en sus límites, tomando en cuenta que las variables restantes son constantes.
✅ Se realiza la integración de x al cuadrado, resultando en x al cubo sobre 3, y luego se evalúa en los límites.
📈 Se continua con la integración del resultado con respecto a i, teniendo en cuenta las variables restantes como constantes.
📉 Al integrar con respecto a i, se obtiene una expresión que luego se integra con respecto a zeta.
🧷 Se evalúa la integral con respecto a zeta en sus límites, lo que proporciona un resultado intermedio.
🔢 Se lleva a cabo la integración final con respecto a z, lo que concluye en la resolución de la integral triple.
📝 Se destaca la importancia de evaluar cada paso en sus límites correspondientes para obtener el resultado correcto.
🔁 La resolución de la integral triple implica un proceso iterativo de integración y evaluación en secuencia.
🧘‍♂️ Se aclara que el proceso puede ser complejo, pero seguir los pasos ordenados y hacer las evaluaciones adecuadas conduce al resultado correcto.

Q & A

¿Qué tipo de integral se resuelve en el vídeo?
-Se resuelve una integral triple en el vídeo.
¿Cómo se empieza a resolver una integral triple?
-Se empieza resolviendo la integral más interna, en este caso, la que está con respecto a x.
¿Cómo se evalúa la primera integral con respecto a x?
-Se evalúa desde -1 hasta 1, y se asumen las demás variables como constantes al integrar.
¿Cuál es el resultado de la primera integral evaluada en los límites de x?
-El resultado es una expresión en función de i y zeta, evaluada en los límites superior e inferior de x.
¿Cómo se resuelve la siguiente integral en el proceso?
-Se resuelve integrando con respecto a y, y se evalúa en los límites de integración correspondientes.
¿Cuál es el resultado final de la integral triple una vez resuelta?
-El resultado final es -16 + 115/32 + 47/47 tercios.
¿Qué estrategia se utiliza para manejar variables adicionales durante la integración?
-Se manejan las variables adicionales asumiéndolas como constantes durante la integración.
¿Por qué es importante el orden en el que se resuelven las integrales en una integral triple?
-Es importante porque cada integral interna es una función de la siguiente variable de integración, y el resultado se utiliza para la integral externa.
¿Cómo se evalúa el límite superior e inferior en la integral con respecto a z?
-Se evalúa la expresión resultante en el límite superior (2) y se resta la evaluación en el límetro inferior (-1).
¿Qué sucede con los términos que contienen zeta al cuadrado en la integral con respecto a z?
-Los términos con zeta al cuadrado son tratados como constantes durante la integración con respecto a z.
¿Cómo se simplifica el resultado final de la integral triple?
-Se simplifica el resultado final al cancelar términos y factores comunes, lo que lleva a una expresión más compacta y manejable.
¿Por qué es útil visualizar el proceso de integración como se describe en el script?
-Visualizar el proceso ayuda a comprender mejor los pasos y la lógica detrás de la resolución de una integral triple, lo que mejora la comprensión conceptual y la capacidad para resolver otros problemas similares.