Resolución del problema de las 4 reinas mediante heurísticas constructivas | 6/14 | UPV

Summary

En este objeto de aprendizaje se aborda la resolución del clásico problema de las cuatro reinas mediante un enfoque heurístico constructivo y optimización. El objetivo es colocar cuatro reinas en un tablero 4x4 sin que se amenacen entre sí, utilizando un algoritmo de backtracking. Se exploran diversas formas de representación del problema, con énfasis en la eficiencia algorítmica mediante el uso de permutaciones en lugar de matrices. El procedimiento permite encontrar soluciones óptimas y heurísticas, aplicables también a otros problemas de optimización combinatoria. Este enfoque ofrece una herramienta valiosa para resolver problemas complejos en investigación operativa.

Takeaways

• 😀 El problema de las cuatro reinas es un clásico en investigación operativa y tiene aplicaciones en localización de instalaciones, fábricas y centros de distribución.
• 😀 El objetivo del problema es colocar cuatro reinas en un tablero de ajedrez 4x4 de forma que no se amenacen entre sí, respetando las reglas de movimiento de una reina en ajedrez.
• 😀 La representación gráfica del tablero es intuitiva pero ineficiente desde el punto de vista algorítmico, ya que ocupa mucha memoria y es difícil de manipular.
• 😀 Una mejor representación es mediante un vector de coordenadas donde cada valor indica la posición de la reina en cada fila del tablero.
• 😀 La representación óptima del problema se puede hacer utilizando una permutación de números, lo que evita duplicados en filas y columnas, pero no elimina las amenazas diagonales.
• 😀 Las amenazas diagonales se evalúan mediante una expresión matemática que compara las diferencias de filas y columnas entre pares de reinas.
• 😀 El algoritmo de backtracking se utiliza para explorar las diferentes configuraciones de las reinas, retrocediendo cuando se encuentra una solución inviable.
• 😀 En el proceso de backtracking, se colocan reinas fila por fila, y si una configuración es inviable, se retrocede y se prueba con una posición diferente.
• 😀 El backtracking permite encontrar soluciones óptimas si se exploran todas las posibles configuraciones, o soluciones heurísticas si se limitan las iteraciones.
• 😀 Este enfoque de backtracking no solo resuelve el problema de las cuatro reinas, sino que también se puede aplicar a problemas de optimización combinatoria en otros contextos, como la localización de fábricas o almacenes.

Q & A

¿Qué es el problema de las cuatro reinas?

El problema de las cuatro reinas es un desafío clásico en el que se debe colocar cuatro reinas en un tablero de ajedrez 4x4 de manera que ninguna reina amenace a otra. Es decir, ninguna reina debe estar en la misma fila, columna o diagonal que otra.

¿Cómo se puede representar el problema de las cuatro reinas?

Existen varias formas de representar el problema. Una representación simple es mediante una matriz, pero también se puede usar un vector o una permutación de números. En esta última, cada posición en el vector corresponde a una fila y su valor indica la columna en la que se encuentra la reina.

¿Por qué la representación mediante matriz no es eficiente?

La representación mediante matriz no es eficiente porque, aunque es intuitiva, consume mucha memoria debido a que la matriz está llena de ceros, lo que genera una estructura dispersa. Además, para realizar procedimientos de mejora, es necesario manipular muchas posiciones de memoria, lo que aumenta la carga computacional.

¿Qué ventajas ofrece la representación mediante permutación?

La representación mediante permutación es más eficiente porque usa un vector de números que evita duplicados de reinas en la misma fila o columna. Al ser más compacta, reduce la cantidad de memoria utilizada y simplifica la manipulación de las posiciones, aunque no elimina las amenazas en las diagonales.

¿Cómo se evalúan las amenazas en las diagonales?

Las amenazas en las diagonales se evalúan mediante una fórmula matemática que compara las diferencias entre las coordenadas de las reinas. Si la diferencia de las filas y columnas entre dos reinas es igual, entonces están en la misma diagonal y se amenazan.

¿Qué es el backtracking y cómo se aplica al problema de las cuatro reinas?

El backtracking es una técnica de búsqueda que consiste en probar soluciones incrementales y retroceder cuando se detecta que una solución parcial no puede llevar a una solución válida. En el caso del problema de las cuatro reinas, se coloca una reina en una fila, luego se intenta colocar la siguiente en la fila siguiente y, si se encuentra una amenaza, se retrocede para intentar otra posición.

¿Qué ocurre si el algoritmo de backtracking no encuentra una solución en las primeras iteraciones?

Si el algoritmo de backtracking no encuentra una solución en las primeras iteraciones, puede continuar explorando otras combinaciones de posiciones. Si se limitan las iteraciones, el algoritmo se convierte en heurístico, lo que implica que no necesariamente encontrará la solución óptima, pero sí una solución válida en un tiempo más reducido.

¿Qué significa que una solución sea 'óptima' en el contexto del problema de las cuatro reinas?

Una solución óptima en el contexto del problema de las cuatro reinas es aquella en la que no existen amenazas entre las reinas, es decir, ninguna reina está en la misma fila, columna o diagonal que otra. Las soluciones óptimas son aquellas que resuelven el problema sin ningún tipo de conflicto.

¿Qué relación existe entre el problema de las cuatro reinas y otros problemas de optimización combinatoria?

El problema de las cuatro reinas es un ejemplo de optimización combinatoria, y su solución mediante backtracking puede aplicarse a otros problemas similares, como la localización de fábricas, almacenes o centros de distribución. La misma metodología de búsqueda y evaluación puede adaptarse a diferentes contextos de optimización.

¿Cuáles son las dos soluciones óptimas que se encuentran para el problema de las cuatro reinas?

Las dos soluciones óptimas del problema de las cuatro reinas son soluciones en las que las reinas no se amenazan entre sí. Estas soluciones son imágenes especulares entre sí, es decir, son simétricas respecto a un eje, como si hubiera un espejo entre ellas.