GUÍA BUAP 2024 | Razonamiento Matemático | Ejercicio 1.26

Summary

En este video se aborda el concepto de permutaciones y combinaciones, explicado a través de ejemplos prácticos. Se resuelve un problema específico sobre la cantidad de formas distintas de premiar a dos chefs de un grupo de ocho, y se muestra cómo calcular permutaciones y combinaciones utilizando fórmulas matemáticas. También se explica la diferencia clave entre ambos conceptos: en las permutaciones el orden importa, mientras que en las combinaciones no. Además, se resuelve un segundo problema en el que se eligen jugadores para un equipo, y se invita a los espectadores a resolver otros ejercicios similares para practicar.

Takeaways

• 📊 El problema 1.26 trata sobre permutaciones y combinaciones en un concurso de cocina con 8 chefs, donde se premiará a los 2 mejores.
• 🔄 Las permutaciones son arreglos donde el orden importa, por lo que 'AB' es diferente a 'BA'.
• 📚 En el caso de permutaciones de tamaño 2 de un conjunto de 4 elementos, se obtienen 12 permutaciones.
• 💡 Las combinaciones, a diferencia de las permutaciones, no consideran el orden. Por lo tanto, 'AB' y 'BA' son lo mismo en combinaciones.
• 📝 Se aplica la fórmula de permutaciones: nPr = n! / (n - r)!, para calcular cuántas permutaciones de 2 chefs se pueden formar de un grupo de 8.
• 🔢 Para permutar 2 chefs de 8, se obtiene que hay 56 permutaciones posibles aplicando la fórmula.
• 💻 Las combinaciones se calculan con la fórmula: nCr = n! / (r!(n - r)!), donde el orden no importa.
• ⚖️ En el problema de combinaciones con un equipo de 18 jugadores seleccionando 3, se usa la fórmula para obtener el número de combinaciones posibles.
• 🧮 El cálculo de combinaciones de 18 jugadores tomando 3 da como resultado 816 combinaciones aplicando la fórmula.
• 📘 Se enfatiza la importancia de comprender la diferencia entre permutaciones y combinaciones, y memorizar las fórmulas para resolver estos problemas eficientemente.

Q & A

¿Qué es una permutación?

Una permutación es una manera de ordenar elementos de un conjunto donde el orden importa. Por ejemplo, para un conjunto de tamaño 4, como {a, b, c, d}, las permutaciones de tamaño 2 serían: ab, ac, ad, ba, bc, bd, etc. Aquí el orden es crucial, por lo que ab es distinto de ba.

¿Cuál es la fórmula para calcular permutaciones?

La fórmula para calcular permutaciones es n! / (n - r)!, donde 'n' es el número total de elementos en el conjunto y 'r' es el número de elementos que tomamos del conjunto. El símbolo '!' representa el factorial de un número.

¿Cómo se denota una combinación?

Las combinaciones se denotan generalmente como nCr o utilizando paréntesis grandes, por ejemplo, (n sobre r), donde 'n' es el número total de elementos y 'r' es el número de elementos que se seleccionan. A diferencia de las permutaciones, en las combinaciones el orden no importa.

¿Cuál es la diferencia clave entre una permutación y una combinación?

La diferencia clave es que en las permutaciones el orden de los elementos es importante, mientras que en las combinaciones no lo es. Por ejemplo, en permutaciones ab es distinto de ba, pero en combinaciones ab y ba son lo mismo.

¿Qué fórmula se usa para calcular combinaciones?

La fórmula para calcular combinaciones es n! / (r!(n - r)!), donde 'n' es el número total de elementos y 'r' es el número de elementos seleccionados. Esta fórmula permite calcular cuántas maneras diferentes hay de seleccionar elementos sin importar el orden.

¿Cómo se aplica la fórmula de permutaciones al problema de los chefs?

En el problema de los chefs, hay 8 participantes y se busca premiar a los dos mejores, lo que significa que el orden importa (primer lugar y segundo lugar). Para calcular las permutaciones se usa la fórmula 8! / (8 - 2)!, lo que da como resultado 8 * 7 = 56 permutaciones posibles.

¿Cómo se resuelve un problema de combinaciones con 18 jugadores y 3 seleccionados?

Para seleccionar 3 jugadores de un equipo de 18, donde el orden no importa, se utiliza la fórmula de combinaciones: 18! / (3!(18 - 3)!). Esto se simplifica a 18 * 17 * 16 / (3 * 2 * 1), lo que da un total de 816 combinaciones posibles.

¿Por qué se usa el coeficiente binomial en las combinaciones?

El coeficiente binomial se utiliza en las combinaciones porque es una herramienta matemática que permite calcular cuántas maneras distintas se pueden elegir 'r' elementos de un conjunto de 'n' elementos sin importar el orden. Este coeficiente aparece en el Triángulo de Pascal, utilizado para desarrollar expresiones como binomios elevados al cuadrado.

¿Cuál es la función del factorial en las permutaciones y combinaciones?

El factorial (n!) se utiliza en las fórmulas de permutaciones y combinaciones para representar el producto de todos los números enteros positivos hasta 'n'. En las permutaciones, el factorial se usa para contar todas las formas posibles de ordenar elementos. En las combinaciones, se usa tanto para contar los elementos seleccionados como para eliminar duplicados donde el orden no importa.

¿Qué importancia tiene entender la diferencia entre permutaciones y combinaciones en un examen de admisión?

Es importante entender la diferencia entre permutaciones y combinaciones en un examen de admisión porque muchos problemas matemáticos requieren saber cuándo el orden de los elementos es relevante y cuándo no. Tener claro este concepto facilita resolver problemas de probabilidad, conteo y otras áreas relacionadas.