Ecuaciones exponenciales usando cambio de variable | Ejemplo 4

Summary

Este video aborda la resolución de ecuaciones exponenciales mediante el método de cambio de variable. El profesor explica cómo identificar cuándo aplicar este método, usando ejemplos con exponentes comunes, como 2 elevado a x y su cuadrado. A lo largo del video, se desarrolla un ejercicio paso a paso, desde el reconocimiento de la estructura de la ecuación hasta su factorización. Además, se explica cómo determinar las soluciones y se verifica el resultado obtenido. Al final, el instructor invita a los espectadores a practicar con un ejercicio similar y a seguir el curso completo.

Takeaways

• 😀 El vídeo trata sobre cómo resolver ecuaciones exponenciales utilizando el método de cambio de variable.
• 🎓 Se destaca que el cambio de variable es recomendado cuando se identifican exponentes iguales en términos de la base elevada a la potencia.
• 🔍 Se enseña a reconocer patrones en ecuaciones donde se utilizan potencias de la misma base para aplicar el cambio de variable.
• 📝 Se explica que si se tiene una suma o resta de potencias iguales, se debe usar el cambio de variable.
• 📚 Se resuelve un ejemplo paso a paso, cambiando 4 elevado a la 'x' por (2 elevado a la 'x') al cuadrado.
• 🧮 Se aclara que la propiedad de la potenciación indica que los exponentes se multiplican cuando una base es potencia de otra potencia.
• 📐 Se resalta la importancia de resolver la ecuación resultante, que generalmente se convierte en una ecuación cuadrática.
• 🔄 Se hace un cambio de variable donde '2 elevado a la 'x'' se reemplaza por una letra, 'm', para simplificar la ecuación.
• 📉 Se resuelve la ecuación cuadrática resultante mediante factorización, buscando dos números que satisfagan las condiciones de la ecuación.
• 🔍 Se recomienda verificar las soluciones obtenidas para asegurar que son correctas, incluso cuando la ecuación es simple.

Q & A

¿Cuál es el método recomendado para resolver la ecuación en el video?

El método recomendado es el cambio de variable.

¿Qué debes reconocer en una ecuación para saber que se puede resolver con cambio de variable?

Debes identificar que los exponentes de las expresiones son cuadrados de otros números, como por ejemplo 2^x y 4^x, ya que 4 es 2 al cuadrado.

¿Cuál es el primer paso al aplicar el método de cambio de variable en el ejemplo dado?

El primer paso es reemplazar 4^x por (2^2)^x, lo que simplifica la expresión a (2^x)^2 utilizando las propiedades de los exponentes.

¿Qué ocurre cuando aplicas el cambio de variable en esta ecuación?

La ecuación se convierte en una cuadrática, lo que facilita su resolución usando métodos de factorización o la fórmula general.

¿Qué se debe hacer una vez que se obtiene la ecuación cuadrática tras el cambio de variable?

Se deben mover todos los términos de la ecuación a un solo lado para igualar a cero y luego factorizar o aplicar la fórmula general.

¿Cómo se elige la variable de cambio en este método?

Se puede usar cualquier letra como variable de cambio. En este video se usa 'm' para reemplazar 2^x.

¿Cómo se factoriza la ecuación cuadrática resultante?

Se busca la raíz cuadrada de m^2 y se colocan dos paréntesis con los factores correspondientes, prestando atención a los signos y encontrando números que multiplicados den el último término y que sumados o restados den el coeficiente del término intermedio.

¿Cuáles son las soluciones para la variable 'm' en el ejemplo resuelto?

Las soluciones son m = 8 y m = -4, pero solo m = 8 es válida ya que 2^x no puede ser negativo.

¿Cómo se verifica que la solución obtenida para 'x' es correcta?

Se sustituye x = 3 en la ecuación original y se verifica que ambos lados de la ecuación sean iguales. En este caso, la verificación muestra que la solución es correcta.

¿Qué observaciones finales hace el profesor sobre la resolución de ecuaciones cuadráticas?

El profesor recomienda utilizar la factorización cuando el coeficiente de la variable cuadrática es 1, ya que suele ser más sencillo que aplicar la fórmula general.

Outlines

00:00

📘 Introducción al Método de Cambio de Variable

El vídeo comienza con una introducción al curso de ecuaciones exponenciales, enfocándose en cómo resolver una ecuación utilizando el método de cambio de variable. Se explica que este método es adecuado cuando se identifica un patrón específico en la ecuación, como dos números elevados a la misma potencia 'x'. Se da un ejemplo de cómo reconocer cuándo aplicar este método, mencionando que suele ser indicativo cuando se tienen términos como 2^x y 4^x, que son perfectos cuadrados. El presentador propone realizar un cambio de variable donde 4^x se reemplaza por (2^x)^2, destacando la importancia de recordar las propiedades de las potencias al realizar este tipo de cambios.

05:03

🔍 Procedimiento para Resolver la Ec. Cuadrática

El vídeo continúa explicando el proceso de resolución de una ecuación cuadrática después de aplicar el cambio de variable. Se menciona que, tras el cambio, la ecuación resultante es más manejable y se puede resolver fácilmente. Se sugiere que, con práctica, los estudiantes deberían ser capaces de realizar rápidamente el cambio de variable y proceder a la resolución de la ecuación. Se aborda la elección del método de resolución de ecuaciones cuadráticas, optando por la factorización en lugar de la fórmula general, debido a la simplicidad de la ecuación presentada. Se detalla el proceso de factorización y cómo encontrar los números que satisfacen la ecuación, llegando a dos posibles soluciones para 'm'. Posteriormente, se indica que se deben reemplazar estos valores de 'm' para encontrar los correspondientes valores de 'x', concluyendo con una solución única para 'x' y explicando por qué la otra no es válida en los números reales.

10:04

📝 Verificación y Ejercicio de Práctica

El vídeo concluye con la verificación de la solución obtenida para la ecuación exponencial. Se demuestra que la solución es correcta al sustituir el valor de 'x' de vuelta en la ecuación original y verificar que se cumple la igualdad. Además, se ofrece un ejercicio similar para que los estudiantes practiquen el método de cambio de variable que acaban de aprender. Se alienta a los estudiantes a suscribirse al canal y a dar 'like' al vídeo si les resultó útil, y se les invita a comentar y compartir el contenido. Finalmente, se ofrece un enlace a más contenido del curso para profundizar en el tema y se cierra el vídeo con un despedida cordial.

Keywords

💡ecuaciones

Las ecuaciones son expresiones matemáticas que utilizan un signo de igualdad para conectar dos expresiones. En el vídeo, las ecuaciones son el objeto principal de estudio, ya que se busca resolverlas utilizando diferentes métodos, como el cambio de variable.

💡cambio de variable

El cambio de variable es una técnica matemática que se utiliza para transformar una ecuación compleja en una más sencilla, facilitando su resolución. En el vídeo, este método es el enfoque principal para resolver las ecuaciones exponenciales, como se muestra al reemplazar '4 elevado a la x' por '2 al cuadrado elevado a la x'.

💡exponentes

Los exponentes son números que indican cuántas veces se multiplica una base por sí misma. En el vídeo, la identificación de exponentes como '2 elevado a la x' es crucial para aplicar el cambio de variable y resolver la ecuación.

💡propiedades de la potenciación

Las propiedades de la potenciación son reglas matemáticas que gobiernan cómo se comportan los exponentes en las operaciones. En el vídeo, se mencionan estas propiedades para explicar cómo los exponentes se multiplican cuando una potencia se eleva a otra potencia.

💡ecuación cuadrática

Una ecuación cuadrática es un tipo de ecuación de segundo grado, que generalmente tiene la forma ax² + bx + c = 0. El vídeo explica cómo, tras aplicar el cambio de variable, se obtiene una ecuación cuadrática que se resuelve utilizando factorización.

💡factorización

La factorización es un método para resolver ecuaciones cuadráticas que consiste en expresar el polinomio como el producto de binomios. En el vídeo, se utiliza factorización para encontrar las soluciones de la ecuación tras cambiar la variable.

💡base igual

La igualdad de bases se refiere a la condición en la que dos números elevados a un mismo exponente pueden ser igualados si el exponente es el mismo. En el vídeo, se utiliza esta idea para igualar los exponentes una vez que se han cambiado las bases en la ecuación.

💡solución de ecuaciones

La resolución de ecuaciones es el proceso de encontrar los valores que satisfacen la ecuación. En el vídeo, se detalla el proceso paso a paso, desde el cambio de variable hasta la factorización y la verificación de las soluciones.

💡verificación

La verificación es el acto de comprobar si una solución es correcta al sustituir el valor encontrado en la ecuación original. En el vídeo, se recomienda verificar las soluciones para asegurar que sean correctas, aunque no es obligatorio.

💡ejercicio

Un ejercicio es una tarea práctica que se realiza para practicar y aplicar conceptos aprendidos. Al final del vídeo, se ofrece un ejercicio para que los espectadores prueben los conceptos aprendidos sobre cambio de variable y resolución de ecuaciones.

Highlights

El vídeo comienza con una introducción al curso de ecuaciones exponenciales.

Se enfoca en resolver una ecuación utilizando el método de cambio de variable.

Destaca la importancia de reconocer cuándo aplicar el cambio de variable en una ecuación.

Explica cómo identificar una ecuación que requiere cambio de variable por la presencia de exponentes específicos.

Proporciona ejemplos de exponentes que sugieren el uso del cambio de variable.

Detalla el proceso de reconocer la relación entre los exponentes para aplicar el cambio de variable.

Muestra cómo simplificar la ecuación cambiando 4 elevado a la x por (2 elevado a la x) al cuadrado.

Aclara la propiedad de potenciación y cómo se aplican los exponentes.

Recomienda acostumbrarse a realizar el cambio de variable para simplificar ecuaciones.

Propone la resolución de ecuaciones cuadráticas resultantes del cambio de variable.

Describe el proceso de hacer el cambio de variable y reemplazar 2 elevado a la x por una letra.

Detalla cómo resolver la ecuación cuadrática resultante por factorización.

Ofrece tips para decidir entre factorización y fórmula general en ecuaciones cuadráticas.

Explica el proceso de encontrar las soluciones de la ecuación cuadrática y cómo reemplazar la variable.

Destaca la importancia de verificar las soluciones en el contexto original de la ecuación.

Proporciona un ejercicio para practicar el método de cambio de variable.

Recomienda suscribirse y dar like al vídeo si fue útil.

Finaliza con un desafío para que el espectador practique el método enseñado.

Transcripts

qué tal amigos espero que estén muy bien

bienvenidos al curso de ecuaciones

exponenciales y en este vídeo vamos a

resolver una ecuación utilizando el

método de cambio de variable

[Música]

a

[Música]

y en este vídeo vamos a resolver esta

ecuación que obviamente el método

recomendado es utilizar el cambio de

variable primero que todo la idea es que

ustedes reconozcan que cuando ustedes

vean una ecuación de una vez sepan jacek

y ésta toca resolverla por cambio de

variables entonces les voy a explicar

qué es lo que tiene que ver y observar

uno en una ecuación para saber que hay

que utilizar este método no vamos a ver

en este curso varios vídeos de cambio de

variable con varios métodos diferentes o

varias situaciones diferentes no en este

caso como reconozco yo que esta ecuación

se resuelve por cambio de variable pues

muy sencillo porque miren que hay

solamente dos números que tienen el

exponente x c

puede tener equis o x1 x2 como reconozco

yo que este es por cambio de variable

porque miren que este exponente es el

cuadrado de este sí entonces muchas

veces vamos a encontrar estos 2 elevado

la equis y el cuadrado de 2 que es 4

elevado de la equis o por ejemplo

podemos encontrar 3 elevado a la equis y

por otra parte 9 elevado a la equis sí

que es el cuadrado o 4 elevado a la

equis y 16 elevado a la equis o así

sucesivamente lo último ejemplo 5

elevado a la equis y 25 elevado a la

equis si ustedes encuentran una suma o

resta entre expresiones que tengan estas

dos ya mejor dicho ya es casi infalible

que ya se sabe que toca utilizar el

cambio de variable bueno ya habiendo

aclarado esto que era una de las cosas

más importantes del vídeo ahora sí vamos

a resolverla no entonces miren que estas

dos expresiones ya se sabe que 4 es 2 al

cuadrado entonces lo primero que hay que

hacer es ese cambio christos entonces

aquí voy a hacer ese cambio aparte por

explicarles todos detenidamente sí pero

uno ya después se acostumbrará a saltar

esto que voy a hacer aquí no voy a

copiar aquí 4 elevado a la x simplemente

para explicarles que hay que hacer ya

sabemos que 4 es igual a 2 elevado al

cuadrado entonces voy a hacer este

cambio en lugar de 4 voy a escribir 2 al

cuadrado pero ese 4 estaba elevado a la

equis o sea este 2 al cuadrado va a

quedar elevado también a la equis si

acordémonos de las propiedades de la

potenciación acordémonos que cuando un

exponente tiene el perdón cuando una

base tiene dos exponentes pues esos

exponentes se multiplica sí o sea va a

quedar 2 por equis pero también les

quiero aclarar algo como estos dos

exponentes se van a multiplicar pues es

lo mismo si está así o si está con los

exponentes cambiados o sea primero el

exponente equis y luego el exponente 2

estas dos expresiones son exactamente la

misma así por qué pues porque

simplemente aquí si resolvemos voy a

hacerlo con azul si resolvemos esto pues

aquí nos quedaría 2 elevado y se

multiplican los exponentes 2 por equis

eso es 2x o si lo tenemos así pues

tendríamos el 2 y se multiplican los

exponentes x por 2 pues generalmente no

se escribe x por 2 si no se escribe 2x

también se puede escribir x por 2 pero

pues es lo mismo entonces miren que esto

es exactamente lo mismo que esto y esto

es lo que vamos a copiar porque porque

lo que nos interesa es que diga 2

elevado a la equis así como lo dice acá

entonces eso es lo primero que voy a

hacer lo 4 elevado a la equis ya ustedes

vuelvo a decirles ya con la práctica

tienen que acostumbrarse que pues esto

se puede escribir como 2 elevado a la

equis al cuadrado porque pues por todo

esto que dice aquí no sí quieren pues

ustedes al comienzo pues hacen todos los

pasos pero aquí les recomiendo que

solamente escriban ya al final no

entonces 4 elevado a la equis eso es 2

elevado a la equis y eso elevado al

cuadrado si esto lo dejo exactamente

igual otra cosita siempre que suceda

esto ya se sabe que al final nos va a

quedar una ecuación cuadrática y

acordémonos que para resolver una

ecuación cuadrática pues toca dejar todo

a un lado de la igualdad y al otro lado

igualado hacer

entonces puede hacer esos dos pasos de

una vez espero no confundirlos aquí nos

quedaría menos todo lo demás igual 4 por

2 elevado a la equis y este 32 lo

pasamos para el otro lado estaba sumando

o positivo pasa a restar menos 32 y eso

queda igualado a cero ahora sí vamos a

hacer el cambio de variable porque pues

porque tenemos lo que vimos en el vídeo

anterior si que es 2 elevado a la equis

y 12 elevado a la xxi solamente tenemos

la equis como exponente del 2 entonces

hacemos ese cambio que ya ustedes saben

no tenemos que al final volver a revisar

el cambio que hicimos voy a copiar aquí

ese cambio simplemente voy a cambiar 2

elevado a la equis lo voy a cambiar por

una letra la que quiera yo voy a

utilizar la m por ejemplo ya saben que

puede ser cualquier letra y realizamos

ese cambio entonces aquí dice 12 elevado

a la equis eso es

pero ese 12 elevado a la x está elevado

al cuadrado menos 4 x

2 elevado a la equis pero 2 elevado a la

equis es

- 32 igual a 0

miren que aquí ya solamente tengo la

letra m aquí ya no puede quedar la letra

x y si no fue porque hicimos mal el

cambio de variable para que se hizo todo

esto pues para encontrar esta ecuación

cuadrática que bueno ya espero que

ustedes la sepan resolver no en el vídeo

anterior la resolvimos por factorización

a mí me parece muy fácil ese método si

ustedes quieren la resuelven por la

fórmula general no esa que es menos b

más o menos raíz cuadrada debe al

cuadrado menos 4 ac y todo dividido

entre 2 a esto no me gusta utilizarlo a

mí en estas ecuaciones porque son muy

sencillas otra cosita pues en mis viejos

me gusta es simplemente darles

recomendaciones porque pues obviamente

ustedes no van a tener esta ecuación

sino van a tener otra similar entonces

como saben ustedes o sea como saben

ustedes que es mejor factorizar porque

la letra que está al cuadrado está

solita miren que no tienen ningún número

en este caso pues es más fácil la

factorización cuando la letra que tenga

al cuadrado esté acompañada de algún

número pues es más fácil

la fórmula general entonces en este caso

yo lo voy a resolver factor izando

también se puede por la fórmula general

pero yo lo voy a resolver factorizar

entonces factor hizo rápidamente pues

por eso utilizo la factorización porque

en este caso es muy sencillo dos

paréntesis aquí de una vez escribe igual

a 20 la raíz cuadrada de mí al cuadrado

es m eso en los dos paréntesis este

signo va en el primer paréntesis y la

multiplicación de los dos signos en el

segundo menos x menos eso es más y que

buscamos dos números que multiplicados

en este número de aquí y como los signos

son diferentes que resta 2 en el número

de acá cuáles son esos dos números en

este caso sería el 8 y el 4 8 por 4 32 5

8 y 4 siempre en el primer paréntesis 6

coloca el número mayor y en el segundo

el menor si colocamos el 8 y el 4 el 8

en el primero el 4 en el segundo

revisamos miramos a ver si sí menos 8

por 4 menos por mazda menos y 8 por 4 32

y menos 84 eso es menos 4 entonces esto

está correcto ahora tenemos las dos

soluciones 1

sería el primer paréntesis y otra que

sería el segundo paréntesis entonces voy

a colocar aquí solución número uno

entonces primer paréntesis

y lo copiamos exactamente igual m 8 y

eso lo tenemos que igualar a 0 aquí

despejamos entonces nos queda que la m

es igual el 8 que está restando pasa a

sumar 0 más 8 que eso es 8 esta es la

primera respuesta segunda respuesta el

segundo paréntesis m 4 eso también queda

igualado a 0 el 4 que está sumando pasa

al otro lado a restar 0 menos cuatro que

eso es menos 4 entonces aquí tenemos

nuestras dos respuestas pero cuidado no

acordémonos que al final aquí dice es la

m es igual acordémonos que para resolver

esta ecuación

hay que encontrar es el valor de la x

entonces qué es lo que tenemos que hacer

volver al reemplazo que hicimos no esto

tenemos un acordes que aquí es donde

termina el ejercicio entonces voy a

escribir el resumen entonces voy a hacer

el reemplazo para encontrar el valor de

la equis en donde se hace pues acá no

aquí es donde tenemos que terminar lo

reemplazamos que los dos valores de line

entonces primer respuesta

reemplazando la m con el primer valor

con el número 8 entonces copio todo

igual 2 elevado a la equis es igual a la

m que vale 8 ya de aquí para abajo ya

espero que lo sepan resolver rápidamente

aquí 2 elevado a la equis es igual a 2

elevado al cubo si ya como tenemos bases

iguales entonces podemos igualar los

exponentes el primer exponente que es la

equis es igual al segundo exponente que

es el 3 y aquí ya tenemos ahora si

nuestra primera solución ya sabemos el

valor de la equis que era lo que

teníamos que encontrar segunda respuesta

pues con la segunda m

entonces copio todo igual no aquí

nuevamente 2 elevado a la equis es igual

a la m que vale menos 4 y en este caso

simplemente aquí podemos escribir que no

hay solución

entonces no hay solución en los números

reales porque pues porque simplemente

cuando elevemos 2 elevado a cualquier

número nunca me va a dar negativo si

siempre que aquiles que de este número

negativo ya saben ustedes que en este

caso aquí no hay solución que quiere

decir esto que esta ecuación no tiene

dos respuestas sino solamente una

entonces la respuesta es que la equis

vale 3 y ahora ya como sabemos que la

equis vale 3 pues entonces vamos a

comprobar sí sí está correcta esta

solución ya de aquí para adelante no es

obligatorio hacerlo sí pero pues es

mejor no es una recomendación que

hagamos la verificación para ver si nos

quedó bien ya sabemos que la única

respuesta era que la equis valía 3

entonces la cambiamos y esto se hace

rápidamente no aquí sería 4 al cubo

menos 4 por 2 al cubo eso nos tiene que

dar igual a 32 resolvemos este 4 al cubo

siempre primero se resuelven las

potencias no 4 al cubo 4 por 4 16 y por

4 64 menos 4

primero la potencia 2 al cubo 2 por 2 4

por 2 8 y eso es igual a 32 luego

seguimos haciendo las multiplicaciones

entonces primero la multiplicación 64 es

menos 8 por 4 32 tiene que ser igual a

32 64 menos 32 efectivamente es 32 igual

a 32 con esto ya queda verificado que la

solución si es que la equis debe valer 3

ya con esto termino mi explicación como

siempre por último les voy a dejar un

ejercicio para que ustedes practiquen ya

saben que pueden pausar el vídeo ustedes

van a resolver esta ecuación que como

les dije al comienzo del vídeo miren que

ya se sabe viéndola nada más ya se sabe

que se resuelve por cambio de variable

por lo que les dije al comienzo del

vídeo pero bueno ustedes van a resolver

esta ecuación y la respuesta va a

aparecer en 32 espera un momento si

llegaste hasta esta parte del vídeo

supongo que fue porque te gustó te

sirvió porque aprendiste algo nuevo

porque el profesor explica muy bien

bueno por alguna de estas razón

y si es así te invito a que apoyes mi

canal suscribiéndote y dándole like al

vídeo

hallaba agua like

bueno ahora sí te dejo para que observes

la respuesta aquí ya lo resolví un poco

más organizado como para que vean cómo

deben resolver ustedes no por este lado

la solución de la ecuación

entonces ya saben ustedes no 9 estrés al

cuadrado entonces aquí nos quedaría 3 al

cuadrado eso elevado a la equis pero

pues simplemente intercambiamos estos

dos dedos menos queda 3 elevado a la

equis al cuadrado menos y esto queda

igual el cambio cuál fue pues cambiar

ese 13 elevado a la de x que está en los

23 elevado a la de x lo cambie en este

caso por la letra o ya saben ustedes que

pues la letra no importa no lo

importante es que la cambiamos pues por

una letra entonces queda el cambio y al

cuadrado menos 10 y más 9 igual a 0

factor izamos como la 1 tiene

coeficientes pues es mejor factor izando

entonces aquí quedaría la raíz cuadrada

de eeuu que es igual al cuadrado que es

u este signo en el primer paréntesis y

la multiplicación de los dos signos en

el segundo menos por más es

qué buscamos dos números que

multiplicados de 9 y como los signos son

iguales entonces que sumados den 10 en

este caso es el 9 y el 1 porque menos 9

por menos 1 eso es 9 positivo menos por

menos da más y 9 por 19 y menos 9 menos

1 eso es menos 10 las dos respuestas

primer paréntesis menos 9 igual a 0 el 9

pasa a sumar y nos queda igual a 9

segunda respuesta el segundo paréntesis

menos 1 igual a 0 el 1 que está restando

pasada sumar y ya que tenemos los dos

valores de la uv entonces ahora si

volvemos aquí al comienzo y al reemplazo

porque tenemos que encontrar el valor de

la equis no no de la uv cuidado con eso

el primer valor de la u9 reemplazamos

primer valor 3 elevado a la equis es

igual a 99 estrés al cuadrado y como ya

tenemos bases iguales entonces los

exponentes son iguales x igualados

primera respuesta segunda respuesta con

el número 13 elevado a la equis es igual

a 1 el 1 que es clave ya les dije en uno

de los vídeos anteriores el 1 se puede

escribir como cualquier número elevado

3 a la x es igual a 3 a la 0 como las

bases son iguales entonces los

exponentes son iguales y ya tenemos

nuestra segunda respuesta

bueno amigos espero que les haya gustado

la clase si les gusto los invito a que

vean el curso completo para que

profundicen un poco más sobre este tema

o algunos vídeos recomendados y si están

aquí por alguna tarea o evaluación

espero que les vaya muy bien los invito

a que se suscriban comenten compartan y

le den laical vídeo y no siendo más bye

bye