Ecuaciones Racionales con denominador polinomio | Ejemplo 7

Summary

En este video se explica cómo resolver ecuaciones racionales con polinomios en el denominador. El instructor guía paso a paso la factorización y eliminación de denominadores para simplificar la ecuación. A través de ejemplos, se muestra cómo obtener el mínimo común múltiplo, simplificar términos y resolver ecuaciones de primer grado. Además, se resaltan recomendaciones útiles, como verificar respuestas y el uso de factores comunes. Al final, se propone un ejercicio para que los espectadores practiquen lo aprendido. Se invita a seguir el curso completo y a interactuar con el contenido del canal.

Takeaways

• 📘 El video trata sobre la solución de una ecuación racional con un polinomio en el denominador.
• 🔢 Para simplificar la ecuación, es necesario eliminar los denominadores mediante la multiplicación por el mínimo común múltiplo (MCM).
• 🧮 El primer paso es factorizar los denominadores, lo cual facilita el siguiente proceso.
• 📝 La factorización de trinomios se realiza buscando dos números que al multiplicarse den el último término y al sumarse den el coeficiente del término medio.
• 🔍 Una vez factorizados los denominadores, se identifica el MCM de los términos y se multiplica toda la ecuación por este MCM.
• 🚫 Se simplifican los términos eliminando factores comunes para despejar la ecuación y eliminar denominadores.
• ⚙️ La ecuación se convierte en una de primer grado, lo que permite resolverla mediante el despeje de la incógnita x.
• ➗ Se simplifican fracciones y se reorganizan los términos para obtener el valor de x, que es 39/8.
• 🔄 Es recomendable verificar la solución sustituyendo el valor de x en los denominadores para asegurarse de que no sean cero.
• 🎯 Al final, se ofrece un ejercicio práctico para que los estudiantes resuelvan, aplicando los mismos conceptos explicados en el video.

Q & A

¿Qué es una ecuación racional?

Una ecuación racional es aquella que tiene fracciones con un polinomio en el denominador.

¿Por qué es útil factorizar una ecuación antes de resolverla?

Factorizar hace que la ecuación sea más fácil de resolver, ya que simplifica los términos, especialmente al trabajar con fracciones.

¿Cómo se identifica el mínimo común múltiplo (MCM) de los denominadores?

Se identifican todos los factores posibles de los denominadores y se toman los mayores exponentes de cada factor para determinar el MCM.

¿Qué pasos se deben seguir para resolver una ecuación racional?

Primero, se deben eliminar los denominadores multiplicando toda la ecuación por el MCM de los denominadores. Luego, se simplifican los términos y se resuelve la ecuación resultante.

¿Qué significa 'simplificar factores' en el contexto de una ecuación racional?

Simplificar factores significa eliminar términos comunes entre el numerador y el denominador para reducir la ecuación a una forma más simple.

¿Cuándo se puede saber si una ecuación es de primer grado?

Una ecuación es de primer grado cuando las variables están elevadas a la potencia de uno, sin términos cuadráticos u otras potencias.

¿Cuál es la importancia de verificar la solución de una ecuación racional?

Es importante verificar la solución para asegurarse de que no se obtenga un denominador igual a cero, lo cual haría la solución inválida.

¿Qué se debe hacer si al resolver la ecuación queda una fracción grande como resultado?

La fracción debe simplificarse dividiendo por los factores comunes, hasta obtener una fracción irreducible.

¿Qué técnica se utiliza para pasar los términos con 'x' de un lado de la ecuación al otro?

Se utiliza la transposición de términos, donde los términos con 'x' se agrupan en un lado de la ecuación y los términos constantes en el otro.

¿Cuál es el objetivo de multiplicar el numerador por todos los factores comunes?

El objetivo es eliminar los denominadores de las fracciones, simplificando la ecuación para poder resolverla más fácilmente.

Outlines

00:00

📚 Introducción al curso y ecuaciones racionales

El presentador introduce el curso de solución de ecuaciones y se centra en resolver una ecuación racional. Explica que las ecuaciones racionales se caracterizan por tener fracciones y polinomios en el denominador. Además, anima a los estudiantes que ya han visto los videos anteriores a practicar el ejercicio propuesto y sugiere ver los videos previos si aún no lo han hecho. El enfoque inicial es eliminar los denominadores para simplificar la ecuación.

05:01

🧠 Factorización y mínimo común múltiplo

El presentador describe el proceso de factorización de los denominadores, aclarando que aunque no es obligatorio, facilita los siguientes pasos en la resolución de la ecuación. Se explica cómo identificar el mínimo común múltiplo de los términos con la ayuda de la factorización y se dan ejemplos prácticos para encontrar factores comunes entre términos y coeficientes. El énfasis está en la importancia de simplificar la ecuación antes de continuar.

10:03

🔢 Multiplicación de los factores y eliminación de denominadores

Se aborda cómo multiplicar la ecuación por los factores obtenidos tras la factorización para eliminar los denominadores. Se explica paso a paso cómo se eliminan términos repetidos y cómo organizar los factores para hacer las operaciones de forma eficiente. Además, se destaca la importancia de organizar correctamente las multiplicaciones para simplificar la ecuación sin cometer errores.

Keywords

💡Ecuación racional

Una ecuación racional es una ecuación que incluye fracciones, donde al menos una de ellas tiene un polinomio en el denominador. En el video, se menciona que se está resolviendo una ecuación racional debido a que hay términos fraccionarios en la ecuación.

💡Polinomio

Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma de varios términos, cada uno de los cuales incluye una variable elevada a un exponente y un coeficiente. En el video, el polinomio aparece en el denominador de la fracción, lo que caracteriza la ecuación como racional.

💡Factorización

La factorización es el proceso de descomponer un polinomio en el producto de factores más simples. El video recalca que no siempre es obligatorio, pero generalmente hace que los pasos siguientes en la resolución de ecuaciones sean más sencillos, como en el caso de la factorización de trinomios.

💡Trinomio

Un trinomio es un tipo específico de polinomio que tiene tres términos. En el video, se explica cómo factorizar un trinomio de la forma x^2 + bx + c, destacando que la factorización facilita la resolución de la ecuación.

💡Mínimo común múltiplo (MCM)

El mínimo común múltiplo es el número más pequeño que es múltiplo de dos o más números. En el video, se menciona la importancia de encontrar el MCM de los denominadores para eliminar fracciones y simplificar la ecuación racional.

💡Denominador

El denominador es la parte inferior de una fracción, que indica en cuántas partes se divide la unidad. En este video, el denominador incluye un polinomio, y el objetivo es eliminarlo mediante la multiplicación por el mínimo común múltiplo.

💡Simplificación

Simplificar una expresión consiste en reducirla a una forma más sencilla sin cambiar su valor. En el video, se explica cómo simplificar los términos de la ecuación después de la multiplicación por el mínimo común múltiplo, eliminando denominadores y combinando términos semejantes.

💡Términos semejantes

Los términos semejantes son aquellos que tienen las mismas variables elevadas a los mismos exponentes. En el video, se suman y restan términos semejantes al reorganizar la ecuación para simplificarla y resolverla.

💡Ecuación de primer grado

Una ecuación de primer grado es aquella donde la variable está elevada a la potencia uno, lo que significa que su gráfica es una línea recta. En el video, se menciona que la ecuación resultante después de simplificar es de primer grado, lo que permite resolverla fácilmente.

💡Solución de la ecuación

La solución de una ecuación es el valor de la variable que hace que la ecuación sea verdadera. En el video, después de simplificar y reorganizar los términos, se encuentra la solución de la ecuación racional, que en este caso es una fracción simplificada.

Highlights

Introducción al curso de solución de ecuaciones racionales con polinomios en el denominador.

Se explica cómo identificar una ecuación racional: fracciones con una variable en el denominador.

La importancia de eliminar denominadores para simplificar la ecuación.

Recomendación de factorizar denominadores para facilitar la solución de la ecuación.

Ejemplo de cómo factorizar un trinomio de la forma x^2 + bx + c.

La necesidad de encontrar el mínimo común múltiplo para multiplicar los términos y eliminar denominadores.

Multiplicación de toda la ecuación por los factores obtenidos para simplificar.

Se simplifican los factores para obtener términos más sencillos.

Uso de reglas de signos en la multiplicación y división de términos.

Resultado de la ecuación simplificada: 36x - 12 = 6x + 24 + 14x + 42.

Proceso de mover los términos de x a un lado y los números al otro.

Resolución final de la ecuación: x = 39/8.

Se hace hincapié en comprobar la solución al sustituirla en la ecuación original.

Ejercicio propuesto al final del video para practicar.

Recomendación final de ver otros videos del curso para reforzar conceptos.

Transcripts

qué tal amigos espero que estén muy bien

bienvenidos al curso de solución de

ecuaciones y ahora resolveremos una

ecuación racional con polinomio en el

denominador

[Música]

2

i

[Música]

y en este vídeo vamos a resolver esta

ecuación que pues obviamente es racional

sí porque en el denominador como se sabe

que una ecuación es racional porque hay

fracciones y en el denominador está la

xc si ustedes ya vieron el curso

completo o los vídeos anteriores ya este

ejercicio lo pueden tomar como una

práctica porque ustedes ya lo saben

hacer y si no han visto los vídeos

anteriores los invito a que los vean

para que les parezca este tema mucho más

fácil bueno primero que todo cómo vamos

a empezar ya saben ustedes lo que

tenemos que hacer es tratar de quitar

estos denominadores pues para que la

ecuación nos quede más fácil entonces

aquí lo primero que siempre tenemos que

observar es cuántos términos tenemos en

este caso aquí hay una división

aquí hay otra división y aquí hay otra

división no estoy contando las

divisiones sino que pues solamente son

divisiones pero entonces aquí hay un

término dos términos y tres términos en

esos tres términos tenemos que encontrar

el mínimo común múltiplo pero algo que

se ve aquí es que por ejemplo aquí este

término tiene la equis al cuadrado o sea

que muy probablemente se va a poder

factorizar además aquí también se ve que

en los números se puede sacar factor

común por ejemplo pero bueno vamos a

empezar entonces lo primero que vamos a

hacer es factorizar recuerden que no es

obligatorio factorizar pero generalmente

cuando uno factorizar le queda más fácil

el siguiente paso por eso es que se

hacen entonces factor izamos los

denominadores aquí dice en el numerador

3 x 1 sobre y el denominador lo factor

izamos entonces este es un trinomio ya

saben que obviamente tienen que evitar

factorizar muy bien do este es un

trinomio de la forma x cuadrado b x c

porque se sabe pues porque la x al

cuadrado está solita y pues porque hay

tres términos no ya está organizado

entonces aquí como si factorizar se hace

2 paréntesis la raíz cuadrada de x al

cuadrado es x esa x la colocamos en los

dos paréntesis este signo lo colocamos

en el primer paréntesis positivo y la

multiplicación de los dos en el segundo

más por más es más y ahora buscamos los

dos números no que tienen que cumplir la

condición de que al multiplicarlos nos

tiene que dar 12 y al como los signos

son iguales al sumarlos nos tiene que

dar 7 cuáles son esos números son el 4 y

el 3 siempre primero se coloca el mayor

que en este caso pues es el 4 y después

se coloca el menor que es el 3

comprobamos bueno aquí voy a cambiar

este paréntesis porque sé como feo es

bueno que operar

pero bueno comprobamos que multiplicados

de en 12 más 4 por más 3 entonces 4 por

3 12 perfecto y sumados deben dar 7 43

eso da 7 o sea que está correcto no aquí

igual arriba dice 1 sobre y en el

denominador se puede factorizar porque

estos dos números son múltiplos de 22

más bien

común múltiplo entre 2 y 6 estos no

acuérdense que esto se sabe porque

cogemos los números solamente los

números el 2 y el 6 y le hallamos todos

los factores que se puedan encontrar a

los 2 no aquí por ejemplo se les puede

sacar mitad mitad del 21 y mitad de 63 y

no se les puede sacar más factores a los

dos tiene que ser a los dos entonces por

eso el factor es el 2 no entonces nos

queda 2 factor de por que las letras no

las mire pues porque ya se ve que no se

repiten no entonces aquí dividimos todo

entre 22 x dividido en 2 es x + 6

dividido en 2 que eso es 3 luego sigue

más 7 sobre y aquí entre las letras pues

no se puede factorizar porque no se

repite pero si miramos los números en el

primer término es el 6 y en el segundo

del 24 sacamos factores primos se les

puede sacar mitad a los 2 mitad de 63 y

mitad de 24 12 y a los dos se les puede

sacar tercera entonces seguimos con

tercera de 31 y tercera de 12 4

ya no se les puede sacar obviamente más

factores entonces cuál es el factor

común dos por tres

que no siempre va a ser este número no

abrimos paréntesis y dividimos todo esto

en 366 x dividido entre 6 es x más 24

dividido en 6 que eso es 4 y cuando

tenemos factor izado como sabemos si

hasta aquí vamos bien miren la mayoría

yo creo que el 99% de los ejercicios

aquí en los factores que están entre

paréntesis

siempre van a quedar factores repetidos

bueno vamos a encontrar el mínimo común

múltiplo que es por lo que vamos a

multiplicarlo para poder eliminar los

denominadores entonces multiplicamos por

todos los factores primer factor x más 4

por aquí lo voy a colocar x + 4 segundo

factor x más 3 como no está repetido

pues lo colocamos x + 3 para que pues

para poderlos eliminar siguiente factor

el número 2

como no está loco loco cuidado que

supongamos que aquí no dijera el 2 sino

el 4 a pesar de que aquí está el 4 se

debe colocar porque aquí está el 4 pero

no como factor no está es dentro de un

paréntesis bueno se coloca como factor

afuera bueno luego sigue x más 3 ya está

entonces no lo colocamos sigue el 6

entonces bueno aquí sería por 2 luego

por el 6 no está entonces colocamos el 6

y luego sí que x 4 como ya está entonces

no lo colocamos entonces esta es la

expresión por la que vamos a multiplicar

toda la ecuación para que para poder

eliminar los denominadores esto yo lo

coloco por acá como para acordarme

porque es que voy a multiplicar si o más

bien lo voy a colocar bueno bueno voy a

dejarlo acá sí

y que no afecte a la ecuación entonces

voy a multiplicar por x 4 x x 3 que

multiplica a 2 y a 6 sí y aquí podríamos

multiplicar 12 por 6 12 pero pues

generalmente es más fácil dejarlo así

para ver cómo es que se va a eliminar

con el denominador entonces empezamos a

multiplicar todo empezamos pues

obviamente con el primer término que es

la primera división toda exactamente

igual y la multiplicamos pues por lo que

ya habíamos dicho no para que pues para

poder eliminar el denominador en este

caso aquí dice x + 4 se elimina con x +

4 luego dice x 3 que se elimina con el x

+ 3 y que nos quedó nos quedó solamente

el paréntesis 3x menos 1

por porque aquí es multiplicación no por

2 por 6 aquí podría colocar 2 por 6 pero

pues de una vez voy a colocar pues

porque 2 por 6 6 12 no entonces más bien

de una vez colocó eso igual

y seguimos con el siguiente término que

es en este caso esta división entonces

copiamos la división y la multiplicamos

pues por lo que ya habíamos dicho y

eliminamos no simplificamos en este caso

miren que aquí está el 2 lo

simplificamos con el 2

miren que se simplifica es con los

factores no por ejemplo este 2 no se

puede simplificar con este 4 pues porque

aquí todo esto es un factor completicos

y esto es un solo término del factor

entonces no se puede si no tiene que ser

con los factores que ya habíamos

escogido no que pues por eso porque los

escogimos y el x + 3 se simplifica con

el x 3 y que nos quedó dice 1 por x + 4

pues eso es x + 4

que eso está x

más y bueno el último ya lo voy a hacer

aquí mentalmente o simplemente voy a

tachar en mi mente entonces aquí

eliminaríamos el 6 con el 6 eliminaremos

el x 4 con el x + 4 y que nos quedaría

nos quedaría este 7 el x + 4 lo

eliminamos el x + 3 no

y nos quedaría el 2 si pero pues miren

aquí no voy a colocar por 2 porque miren

que aquí dice 2 y aquí dice 7 estos dos

factores sí como son factores

acordémonos que en la multiplicación por

ejemplo cuando tenemos dos bueno voy a

colocar más bien esto nos va a quedar 7

x x 3 x 2 si simplemente pues aquí voy a

organizar de otra forma entonces voy a

escribir el 2 primero por ejemplo 2 por

7 por x + 3 entonces de una vez esa

multiplicación 2 por cien te la voy a

hacer para saltarme pasos de horas 2 por

7 14 bueno algo importante que les

quiero aclarar aquí es que aquí por

ejemplo hubiera podido sacar solamente

el factor 6 sí porque el 6 se podría

simplificar con este 2 y con este 6 pero

para no complicarnos tanto es mejor

sacarlos todos y ya después la respuesta

igual va a quedar correcta no aquí que

sigue hacer las multiplicaciones que es

lo mismo de siempre en este caso este 12

se multiplica con los dos términos que

están dentro del paréntesis lo mismo

aquí el 6 y lo mismo aquí

entonces rápidamente 12 por 3 eso es 36

x menos 1 por 12 que es 12 igual a 6 por

x 6 x + 6 por 4 24 + 14 por x que es 14

x y más por más es más 14 por 13 sus 30

42 aquí siempre paramos después de hacer

la multiplicación siempre paramos porque

aquí debemos mirar si esta ecuación nos

quedó porque hay dos opciones no que sea

esta una ecuación de primer grado o sea

con las x todas elevadas a la 1 como en

este caso o que sea una ecuación de

segundo grado que es cuando nos quedan x

elevadas al cuadrado y no se pueden

eliminar no que eso ya lo hemos visto en

este caso no tenemos x al cuadrado en

ningún lado

entonces ya se sabe que esta es una

ecuación de primer grado que como se

resuelve ahí sí ya lo vamos a resolver

pasando las x para un lado y los números

para el otro generalmente se pasan las x

para la izquierda entonces yo las voy a

pasar para el esquí

pero no es obligatorio entonces está x

que ya está a la izquierda queda bien

este 12 lo voy a pasar para la derecha

la x la pasó para la izquierda y la otra

x la pasó para la izquierda como nos

queda entonces aquí dice 36 x el 12 no

esté 6x que está positivo o se ha

sumando pasa a restar 6x este 14 x que

está sumando pasa a restar menos 14 x

igual el 24

+ 42

y este 12 que estaba restando pasa al

otro lado a sumar más 12 y para que

hicimos este paso pues porque ahora

podemos sumar términos semejantes aquí

están todas las equis entonces las

sumamos nos resistamos en este caso 36

menos 6 es 30 y 30 menos 14 es 20 16 16

veces likes aquí igual aquí sería 20 40

60 70 78

siempre pues aquí hay que despejar la x

el 16 que está multiplicando pasa a

dividir entonces nos queda que la x es

igual a 78 dividido en 16 aquí se

simplifica voy a hacerla por acá 78

sobre 16 porque pues creo que no

alcanzan a ver ustedes aquí abajo en

este caso podemos sacar mitad mitad 80

39 y mitad de 16 8 no se puede sacar más

mitad ni tercera ni bueno no se pueden

seguir simplificando osea que la

respuesta es 39 octavos si yo siempre

les he dicho que es mejor verificar pero

miren que en este caso la respuesta me

quede una fracción muy grande entonces

una recomendación sería pues que que

simplemente miráramos que los

denominadores no pueden ser ceros no

entonces reemplazamos la equis aquí en

el denominador aquí en el denominador y

aquí en el denominador y no puede ser

cero no sin embargo pues yo ya sé que

esto está correcto entonces hasta aquí

termina mi explicación como siempre por

último les voy a dejar un ejercicio para

que ustedes practiquen ya saben que

pueden pausar el vídeo ustedes van a

resolver esta ecuación también

y la respuesta va a aparecer en 3 2 1 lo

primero que siempre se hace pues es

factorizar entonces aquí esta expresión

no se puede factorizar esta tampoco y

este si es un trinomio de la forma x al

cuadrado más bx más c que pues la

factorización es ésta si ustedes quieren

recordar cómo se factorizar este tipo de

trinomios los invito a que vayan al

curso de factorización allí y expliquen

varios vídeos tratando de que les quede

muy claro no aquí escogemos los factores

primer factor x 2 segundo factor 2 x 1

que como es diferente se escribe tercer

factor x más 2 que ya está entonces no

se escribe y cuarto factor 2x menos uno

ya está entonces no se escribe al

multiplicar aquí se eliminaría el x más

2 con el x más 2 y solamente nos

quedaría 2x más 1 everton menos 1 x 2

aquí sería que se eliminaría el 2 x 1 y

nos quedaría solamente el x 2 por 1 aquí

se eliminarían los 2 paréntesis o se

simplificarían y nos quedaría solamente

el 5 acá que hacemos multiplicamos el

mono mío por el binomio no entonces 2 x

2 4x y 2 x menos uno menos dos no se les

olvide que es por los dos no y aquí pues

el 1

podríamos haberlo quitado pero bueno uno

por xx y uno por dos es 2 la cx para

bueno aquí paramos

tenemos que mirar si es una ecuación

cuadrática o lineal en este o de primer

grado en este caso es una ecuación del

primer grado también porque la x esta

elevada solamente a la 1 entonces

pasamos las x para un lado que ya

estaban ahí y los números para el otro

para en este caso este menos dos más dos

lo hubiera podido eliminar de una vez

pero bueno el menos 2 pasa a sumar y el

2 pasa a restar 4 más una porque aquí es

una x 4 más una son 5 x y esto nos da 5

el 5 pasado dividir y nos queda que la x

vale 1 ya saben que es mejor al final

comprobar reemplazando la x con 1 sí y

verán que si está correcto

bueno amigos espero que les haya gustado

la clase si les gusto los invito a que

vean el curso completo para que

profundicen un poco más sobre este tema

o algunos vídeos recomendados y si están

aquí por alguna tarea o evaluación

espero que les vaya muy bien los invito

a que se suscriban comenten compartan y

le den laical vídeo y no siendo más bye

bye