AREA ENTRE CURVAS EJEM2
Summary
TLDREn este vídeo se explica cómo calcular el área entre dos curvas. Se inicia con la importancia de la gráfica de las funciones y cómo encontrar los puntos de intersección para establecer el intervalo de integración. Luego, se igualan las funciones para resolver la ecuación y determinar qué curva está por encima de la otra. Finalmente, se plantea la integral y se resuelve paso a paso, integrando la función superior menos la inferior. El resultado se verifica con Geogebra, obteniendo un área de 2.66 unidades cuadradas entre las curvas.
Takeaways
- 📉 Es importante saber graficar las funciones, incluso si tienes herramientas como GeoGebra a mano.
- 📊 Las dos funciones dadas son parábolas: una que abre hacia arriba y otra hacia abajo.
- 📍 Los puntos de intersección de las parábolas son x = -1 y x = 1, lo que define el intervalo de integración.
- 📝 Para encontrar los puntos de intersección, se igualan las funciones y se resuelve la ecuación cuadrática resultante.
- 🔢 El siguiente paso es determinar cuál función está por encima de la otra en el intervalo de integración.
- 📐 La integral que se debe resolver es la resta de las funciones, integrando desde -1 hasta 1.
- ➗ Se simplifican las expresiones dentro de la integral antes de proceder a integrarlas.
- ✍️ El proceso de integración se realiza término a término, obteniendo una solución exacta para el área.
- ✅ El área calculada entre las dos curvas es 2.66 unidades cuadradas, comprobada con GeoGebra.
- 📈 El procedimiento para resolver áreas entre curvas es directo si sabes graficar y resolver ecuaciones cuadráticas.
Q & A
¿Cuál es el primer paso recomendado para resolver el área entre dos curvas?
-El primer paso recomendado es graficar las funciones para tener una representación visual clara, aunque muchos profesores prefieren que primero se igualen las funciones.
¿Qué sucede cuando se igualan las funciones f(x) = x^2 + 1 y g(x) = -x^2 + 3?
-Al igualar las funciones se obtiene una ecuación cuadrática 2x^2 - 2 = 0, la cual al resolverla da como soluciones x = -1 y x = 1, que son los puntos de intersección de las gráficas.
¿Cómo se determinan los límites de integración en este ejercicio?
-Los límites de integración son los puntos donde las curvas se intersectan, es decir, x = -1 y x = 1. Estos puntos se obtienen resolviendo la ecuación cuadrática resultante de igualar las funciones.
¿Qué función está por encima de la otra en el intervalo de integración?
-En el intervalo de integración, la función g(x) = -x^2 + 3 está por encima de f(x) = x^2 + 1.
¿Cómo se plantea la integral para encontrar el área entre las curvas?
-La integral se plantea como ∫_{-1}^{1} [(g(x) - f(x))] dx, lo que equivale a ∫_{-1}^{1} [(-x^2 + 3) - (x^2 + 1)] dx.
¿Cuáles son los pasos para simplificar la integral antes de resolverla?
-Primero, se simplifican los términos dentro de la integral, quedando ∫_{-1}^{1} (-2x^2 + 2) dx. Luego, se separan en dos integrales: -2 ∫_{-1}^{1} x^2 dx + 2 ∫_{-1}^{1} dx.
¿Cómo se evalúan las integrales resultantes?
-Se evalúan las integrales utilizando las fórmulas estándar. Para ∫_{-1}^{1} x^2 dx, se obtiene 2/3, y para ∫_{-1}^{1} dx, se obtiene 2. Al multiplicar y sumar los resultados, el área total es 8/3 o aproximadamente 2.67 unidades cuadradas.
¿Cómo se confirma el resultado del área obtenida manualmente?
-El resultado se confirma utilizando un software como GeoGebra, que muestra que el área entre las curvas es 2.67 unidades cuadradas, coincidiendo con el resultado calculado manualmente.
¿Qué aspecto se menciona como el más complicado al calcular áreas entre curvas?
-El aspecto más complicado al calcular áreas entre curvas es resolver la ecuación que determina los puntos de intersección, especialmente si es de segundo o tercer grado.
¿Qué importancia tiene saber graficar las funciones manualmente según el script?
-Saber graficar las funciones manualmente es importante, incluso si se usa software como GeoGebra, ya que permite tener una mejor comprensión visual de la situación y de las funciones involucradas.
Outlines
📐 Introducción al cálculo de áreas entre curvas
El vídeo comienza explicando cómo calcular el área entre dos curvas. Se insta a los alumnos a que sean capaces de graficar funciones incluso si tienen herramientas como Geogebra a disposición. Se presentan dos parábolas, una que abre hacia arriba y otra hacia abajo, y se señala que tienen dos puntos de intersección. Se enfatiza la importancia de resolver ecuaciones para encontrar los intervalos de integración, que en este caso son -1 y 1. Además, se sugiere una alternativa a la forma tradicional de enseñar, que consiste en comparar gráficamente las funciones para determinar cuál está por encima de la otra en un intervalo dado.
📘 Desarrollo del cálculo integral
Se procede a explicar el segundo paso del cálculo de áreas entre curvas, que es plantear la integral correcta. Se describe cómo se debe restar una función de la otra dentro de la integral, y se detalla el proceso de separar la integral en dos partes más simples. Se resaltan las operaciones que se pueden realizar dentro de la integral para simplificar el cálculo. Se calculan los límites superior e inferior de la integral, sustituyendo los valores en los que se evalúa la función, y se resalta la importancia de recordar que los límites de integración son parte de la operación.
🔢 Conclusión y verificación del cálculo
El vídeo concluye con el cálculo final del área entre las curvas, obteniendo un resultado de 2.66 unidades cuadradas. Se sugiere que los alumnos verifiquen sus resultados utilizando herramientas como Geogebra para asegurarse de que sus cálculos sean correctos. Se compara el resultado obtenido manualmente con el resultado de Geogebra, que indica un área de 2.67, lo cual es coherente con el cálculo anterior. Se enfatiza que el punto más complicado del proceso es resolver las ecuaciones resultantes de igualar las funciones, ya que pueden ser de segundo o tercer grado. Se subraya que las integrales propiamente dichas son relativamente sencillas en comparación.
Mindmap
Keywords
💡Área entre curvas
💡Gráfica
💡Parábolas
💡Puntos de intersección
💡Ecuación de segundo grado
💡Integración
💡Funciones
💡Límites de integración
💡Diferencial
💡Geogebra
💡Unidades cuadradas
Highlights
El profesor sugiere siempre graficar las funciones antes de resolver el problema de área entre curvas, aunque se utilice software como GeoGebra.
Se destaca que las dos funciones dadas, f(x) = x^2 + 1 y g(x) = -x^2 + 3, son parábolas con puntos de intersección claros en x = -1 y x = 1.
El intervalo de integración va desde x = -1 hasta x = 1, dado por los puntos de intersección de las dos funciones.
El profesor enfatiza que resolver ecuaciones de segundo grado es esencial para identificar los puntos de intersección.
Una alternativa a la resolución de ecuaciones es visualizar las gráficas, lo que facilita la identificación de cuál función está por encima de la otra.
En este caso, gráficamente es claro que g(x) = -x^2 + 3 está por encima de f(x) = x^2 + 1 en el intervalo de integración.
La fórmula del área entre curvas es la integral de la función superior menos la función inferior en el intervalo dado.
El profesor plantea la integral de g(x) - f(x) desde -1 hasta 1, destacando la importancia de simplificar las expresiones dentro de la integral.
Se explica paso a paso cómo resolver la integral: primero integrando términos individuales como -2x^2 y constantes.
El cálculo de los límites superior e inferior de la integral lleva a un área de 8/3 o aproximadamente 2.66 unidades cuadradas.
El profesor verifica el resultado con GeoGebra, que confirma el área calculada con una ligera diferencia de redondeo (2.67 unidades cuadradas).
Se menciona que, aunque las integrales en este problema son sencillas, a veces las ecuaciones resultantes pueden ser complicadas.
El profesor insiste en la importancia de saber resolver ecuaciones de segundo y tercer grado para problemas de área entre curvas.
Se enfatiza que el proceso de igualar funciones y encontrar los puntos de intersección es fundamental para definir los límites de integración.
Finalmente, se recuerda que el uso de herramientas como GeoGebra es útil para confirmar resultados, pero es necesario comprender los pasos algebraicos.
Transcripts
qué tal chicos ya regresamos siguiente
ejemplo de área entre curvas y el
siguiente ejercicio dice pues determina
el área entre y nos das no nos dan dos
funciones la primera función se llama
efe x x cuadrada + 1 ig x - x cuadrada +
3 entonces si tú fueras mi alumno si yo
estuviera dando la clase lo primero que
yo te mandaría a hacer es la gráfica
debes de saber graficar aunque tengas el
geogebra a la mano tú debes decir saber
graficar y entonces las gráficas te
quedarían así vamos a ponerlas por acá
listo pues ahí están las gráficas y pues
es muy claro estas son dos parábolas una
que abre hacia arriba una que abre hacia
abajo tienen dos puntos de intersección
el punto a al punto b es súper claro es
súper claro que el intervalo de
integración va a ir desde el -1
hasta el 1 de acuerdo pero chicos pero
no todos los profesores te piden que
hagas la gráfica primero normalmente te
dicen pues mira primer paso primer paso
vamos a igualar las funciones entonces
digamos que es la forma clásica en cómo
se enseña no está mal y es que debes de
practicar debes de saber cómo resolver
ecuaciones osea está bien lo que están
haciendo los profesores no estoy
criticando que lo hagan de diferente
manera lo que te estoy diciendo es que
hay una alternativa y la alternativa es
que tengas las gráficas de aquí sin
embargo debes de saber por supuesto que
debes de saber cómo resolver ecuaciones
entonces tenemos que vamos a igualar x
cuadrada más uno es igual a menos x
cuadrada más 3
así que pues esta es una ecuación de
segundo grado vamos a colocar todos los
términos de un solo lado de la igualdad
así es que esto va para allá esto va
para allá y vamos a ver qué sucede va a
quedar
x cuadrada este - x cuadrado va a pasar
como más x cuadrada este más uno se
queda igual porque se no se mueve y este
más 3 va a pasar como menos 3 y esto va
a ser igual con 0 así es que va a ser 2x
cuadrada
menos dos porque más 1 - 3 - 2 es igual
con 0
esta ecuación pues la pueden resolver
con fórmula general pero pues teniendo
un poquito de práctica nos podemos dar
cuenta de que podemos despejar y esto va
a quedar algo así este menos 2 va a
pasar para allá sumando y va a quedar
que x cuadrada es igual a este los pasa
sumando queda 2 y este 2 pasa dividiendo
sobre 2x cuadrada es igual con 1 por lo
tanto
va a haber dos valores x es igual
más menos la raíz de uno o sea x va a
ser más menos uno tú lo puede resolver
con fórmula general esto se me hizo más
sencillo a mí y esto quiere decir que en
el eje de las x las gráficas se
intersectan en dos puntos
una cuando x vale uno positivo y otra
cuando x vale 1 negativo simplemente por
acomodar los de menor a mayor vamos a
escribirlos así
x le voy a llamar x 1 - 1 y x2 es igual
a 1 gráficamente pues esto es muy obvio
ya habíamos dicho que los puntos de
intersección en el eje de las x las
coordenadas en x serían menos 1 y 1 y
estos son los intervalos de integración
esto es el límite inferior y esto es el
límite superior o bien esto es el límite
inferior y este es el límite superior
siguiente paso ya hicimos el primer paso
que es igualar y resolver la ecuación
para ver cuál es el intervalo de
integración el siguiente paso es ver
cuál está encima de cual insisto
gráficamente es súper sencillo darte
cuenta cuál está por encima de cualquier
muy claro que en este intervalo o sea en
todo esto de aquí en este es el
intervalo de integración en todo esto
está más arriba al azul que el a verde
de acuerdo así que la azul
la azul vamos a ponerlo aquí es la gx
y la verde es la fx
entonces
esta integral va a quedar algo así
perdón segundo paso vamos a plantear la
integral
segundo paso vamos a plantear la
integral
así que recuerda la fórmula dice el área
es igual a la integral desde hasta de d
fx menos gdx diferencial de x pero en mi
caso en este caso en particular mi
integral va a quedar algo así la
integral desde menos 1 hasta 1 porque
estos son los intervalos de integración
de ya quedamos que la que está más
arriba es la gx y primero va la que está
más arriba y la gtx es esta que está
aquí - x cuadrada más 3 entonces que voy
a colocar menos x cuadrada más 3 menos y
entre paréntesis voy a colocar la otra
función que es x cuadrada más 1
cuadrada + 1
y
voy a cerrar aquí
diferencial de x entonces pues este es
la integral que tengo que resolver pero
primero pues hay algunas posibles que
puedo hacer adentro algunas operaciones
que puedo hacer adentro de esa integral
voy a poner para acá la integral
de menos 1 hasta 1 de voy a poner menos
x cuadrada lo estoy haciendo paso por
paso más 3 menos por x cuadrada pues
menos x cuadrada menos por 1 pues menos
1
cierro corchetes y pongo diferencial de
x dentro de la integral va a quedar
la integral desde menos 1 hasta 1 d
- x cuadrada - x cuadradas son menos 2 x
cuadrada más tres menos uno es más 2 se
cierra corchetes
diferencial de x y entonces si te fijas
nos quedan dos términos
este es el primer término este es el
segundo término por lo tanto nos quedan
dos integrales que voy a colocar con
colores diferentes
la primera integral va a ser el límite
de integración se conserva para ambas
desde menos 1 hasta 1 de menos 2 x
cuadrada diferencial de x +
la integral y la otra es el 2 de menos 1
hasta 1 diferencial de x recuerda que lo
constante sale de la integral este menos
2 sale de la integral y lo pongo por acá
menos 2
este 2 sale de la integral y lo colocó
fuera por acá
y entonces son integrales super
sencillas para ti este menos 2 va a
quedar igual y va a quedar
recuerda que es n 1 entre l más 1 x
cúbica sobre 3
integral de x pues es sólo la x2 y pues
colocó solo la equis y esto lo tengo que
evaluar en los límites inferior que es
menos 1 y superior que es 1 así que voy
a poner por acá
arriba con color azul límite
superior
es decir cuando la equis vale 1 tengo
que hacer todas estas operaciones cuando
la x valga 1 así es que fíjate lo que
voy a hacer pues voy a sustituir nada
más voy a poner menos dos tercios
recuerda que este 3 se puede poner aquí
abajo para más practicidad y en lugar de
esta x voy a poner el número al que voy
a sustituir que es el 1 al cubo más 2 y
aquí voy a poner al 1 otra vez porque
sustituimos la x por el número que vale
así que lo hacemos pues 1 al cubo es 1 x
menos dos tercios x se queda el menos
dos tercios dos por uno pues es 2
este dos enteros se tiene que restar con
este menos dos tercios y va a quedar dos
por tres me da seis menos 26 es cuatro
tercios entonces el límite superior me
da cuatro tercios voy con el límite
inferior
límite
inferior el límite inferior recuerda que
es cuando la equis vale menos 1 entonces
toda esta expresión que me queda de
resolver la integral la voy a hablar
cuando x vale menos 1 así que voy a
colocar menos dos tercios menos uno al
cubo más 2 x menos uno menos uno al cubo
es menos uno siempre que le vas a una
potencia y par se queda el signo que
tenga el número menos uno al cubo es
menos uno por menos dos tercios son dos
tercios
luego más por menos es menos dos por una
pues es 2 y va a quedar
dos tercios menos dos enteros serían
menos cuatro tercios eso te lo encargo
tú lo tienes que ver esto no es una
clase de fracciones
ya por último tengo que hacer
límite superior menos límite inferior
entonces
el límite superior cuánto me da vamos a
poner por aquí una línea
el límite superior me da cuatro tercios
menos límite inferior y el límite
inferior me queda menos cuatro tercios
no vayan a creer que esto se elimina
porque se deben de multiplicar menos por
menos es más entonces va a quedar cuatro
tercios más cuatro tercios queda pues
ocho tercios
ocho tercios
como 2.66 credo 3 x 2006 2.66 entonces
como sé si estoy bien como sé si lo hice
bien vamos aquí todavía no presentado la
la respuesta así que puedo decir que el
área entre esas dos curvas el área es de
2 puntos 66 unidades cuadradas no se les
olvide el unidades cuadradas porque eso
representa el área así que voy al
geogebra ya tengo aquí graficada mi
función y solamente voy a colocar el
comando
que se llama área no perdona integral y
aquí donde donde escribo integral sale
luego luego las las opciones y voy a
escoger esta que dice integral / función
función el extremo inferior extremo
superior entonces integral enter función
voy a colocar su nombre que es en este
caso es la g
la segunda es la f extremo inferior es
menos 1 extremo superior es uno le
hayamos dicho menos 11 y le doy en 3
y si se fijan
esta es el área que señala en quiebra
que es la que realmente nos interesaba
es el área entre esas dos curvas y dice
que es 2.67 lo que pasa es que yo g bra
redondeo a dos decimales ok entonces
estamos en lo correcto y ya comprobamos
con geogebra que estamos bien el primer
paso igualar y de ahí sacar los
intervalos de integración segundo paso
hay que ver hay que identificar cuál
funciona está más arriba de la otra y
pues integrar e integrar realmente
chicos es muy sencillo nada que ver con
las integrales por fracciones parciales
o por éste no sé sustitución
trigonométricas no sé realmente son
sencillas yo insisto yo diría que el
punto más complicado del área entre
curvas es precisamente el primer paso
porque a veces las ecuaciones que
resultan aquí son algo complicadas de
acuerdo pero por lo menos tú debes de
saber resolver ecuaciones de segundo
grado incluso de tercer grado factor
izando o alguna de alguna otra manera ok
entonces aquí terminamos con el ejemplo
número
2 de área entre curvas
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