Ejemplo del teorema del valor intermedio | Cálculo | Khan Academy en Español

Summary

El guion trata sobre el Teorema del Valor Intermedio, explicando que si una función es continua en un intervalo cerrado, debe tomar cada valor entre los extremos del intervalo. Se ilustra con un ejemplo específico donde la función es continua en el intervalo [-2, 1], y se conocen los valores en los extremos (f(-2) = 3 y f(1) = 6). Se deduce que existe al menos un punto en el intervalo donde la función toma cualquier valor entre 3 y 6, lo cual es una consecuencia directa del teorema.

Takeaways

• 📌 El Teorema del Valor Intermedio afirma que si una función es continua en un intervalo cerrado, entonces toma cada valor entre los valores de los extremos del intervalo.
• 🔍 La función mencionada en el guion es continua en el intervalo cerrado [-2, 1] y se conoce su valor en los extremos: f(-2) = 3 y f(1) = 6.
• 📈 Para cualquier valor l entre 3 y 6, existe al menos un punto c en el intervalo cerrado [-2, 1] tal que f(c) = l, según el Teorema del Valor Intermedio.
• 📋 La función no necesariamente toma todos los valores entre 3 y 6 en el intervalo cerrado [-2, 1], sino que es garantizado que al menos un punto c en ese intervalo hace que f(c) sea igual a l.
• ✏️ El guion enfatiza la importancia de dibujar la función para visualizar cómo el Teorema del Valor Intermedio se aplica.
• 🚫 Se descarta la opción f(c) = 0 ya que 0 no está entre 3 y 6, y por lo tanto, no puede ser un valor intermedio en el intervalo dado.
• ❌ Se descarta la opción f(c) = 4 si se considera que c no está en el intervalo [-2, 1], ya que el Teorema del Valor Intermedio solo se aplica dentro de ese intervalo.
• 💡 Se entiende que la función debe ser continua y no puede tener discontinuidades para que el Teorema del Valor Intermedio sea aplicable.
• 📊 La explicación incluye la posibilidad de que la función tome muchos valores dentro del intervalo, pero siempre dentro de los límites establecidos por el Teorema del Valor Intermedio.
• 🎯 La opción correcta, según el guion, es f(c) = 4, ya que 4 está entre 3 y 6 y es posible encontrar al menos un punto c en [-2, 1] que satisface esta condición.

Q & A

¿Qué establece el teorema del valor intermedio?

El teorema del valor intermedio establece que si una función es continua en un intervalo cerrado, entonces la función tomará todos los valores entre los extremos de ese intervalo.

¿En qué tipo de funciones se aplica el teorema del valor intermedio?

Se aplica en funciones continuas definidas en un intervalo cerrado.

¿Qué garantiza el teorema del valor intermedio en este ejemplo específico?

Garantiza que para cualquier valor entre 3 y 6, existe al menos un valor de c en el intervalo cerrado [-2, 1] tal que f(c) es igual a ese valor.

¿Cuál es el valor de la función en los extremos del intervalo [-2, 1]?

El valor de la función en f(-2) es 3 y en f(1) es 6.

¿Qué valor de L se está buscando en este caso?

Se está buscando el valor de L = 4, que se encuentra entre 3 y 6.

¿Por qué no puede ser L = 0 en este problema?

Porque L = 0 no está entre los valores 3 y 6, que son los límites del intervalo en los que el teorema del valor intermedio garantiza la existencia de un valor de c.

¿Cómo sabemos que c está entre -2 y 1?

Sabemos que c está entre -2 y 1 porque ese es el intervalo cerrado en el que se define la función y se garantiza la existencia de un c por el teorema del valor intermedio.

¿Qué significa que la función sea continua en este contexto?

Significa que se puede dibujar la función sin levantar el lápiz, es decir, no tiene saltos ni discontinuidades en el intervalo cerrado [-2, 1].

¿Qué sucede si el valor de L está fuera del intervalo [3, 6]?

Si L está fuera del intervalo [3, 6], el teorema del valor intermedio no garantiza la existencia de un valor c tal que f(c) = L en el intervalo [-2, 1].

¿Cuál es la opción correcta en este problema según el teorema del valor intermedio?

La opción correcta es f(c) = 4, ya que 4 está entre 3 y 6, y existe al menos un valor c en el intervalo [-2, 1] tal que f(c) = 4.