91. Ecuación diferencial de coeficientes constantes, con raíces complejas EJERCICIO RESUELTO

Summary

En este video educativo, se explica cómo resolver ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes, específicamente la ecuación y'' - 6y' + 13y = 0. Se describe el proceso de encontrar la solución general a través de la ecuación característica y cómo lidiar con soluciones complejas involucrando números complejos. Se utiliza la identidad de Euler para transformar las soluciones complejas en una forma más manejable, usando senos y cosenos. El vídeo concluye con un ejercicio práctico y un llamado a la acción para que el público likee, se suscriba y comparta el contenido.

Takeaways

• 🧮 La ecuación diferencial que se resuelve es y'' - 6y' + 13y = 0, una ecuación de coeficientes constantes.
• 📝 La solución de una ecuación de coeficientes constantes sigue la forma y = e^(r*x), y se parte de la ecuación característica.
• 🔢 La ecuación característica asociada es r² - 6r + 13 = 0, que se resuelve usando la fórmula general para ecuaciones cuadráticas.
• ➗ En este caso, se obtienen raíces complejas: r1 = 3 + 2i y r2 = 3 - 2i, las cuales llevan a una solución diferente a las raíces reales.
• 📐 Para las raíces complejas, la solución general toma la forma y = e^(a*x) [c1*cos(b*x) + c2*sin(b*x)], donde a es la parte real (3) y b es el coeficiente imaginario (2).
• 🔍 Se explica detalladamente cómo calcular las raíces complejas utilizando números complejos y aplicando la fórmula cuadrática.
• 🔄 La exponencial de un número complejo se descompone usando la identidad de Euler: e^(ix) = cos(x) + i*sin(x), lo que conecta la exponencial con las funciones trigonométricas.
• 💡 La solución general para este tipo de ecuación diferencial es y = e^(3x) [c1*cos(2x) + c2*sin(2x)].
• 📊 El proceso de deducir esta solución a partir de la ecuación diferencial se muestra paso a paso, enfatizando la importancia de las funciones trigonométricas.
• 📚 Al final, se deja un ejercicio similar para resolver: y'' + 2y' + 2y = 0, y se menciona que las soluciones serán también complejas, aplicando la misma fórmula.

Q & A

¿Qué tipo de ecuación diferencial se resuelve en el video?

Se resuelve una ecuación diferencial de coeficientes constantes de la forma y'' - 6y' + 13y = 0.

¿Cómo se inicia el proceso de resolución de la ecuación diferencial?

Se inicia diciendo que la solución de la ecuación será de la forma y = e^(rx).

¿Cuál es la ecuación característica asociada a la ecuación diferencial mostrada?

La ecuación característica asociada es r^2 - 6r + 13 = 0.

¿Cómo se resuelve la ecuación de segundo grado obtenida?

Se resuelve mediante la fórmula general para ecuaciones de segundo grado: r = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a).

¿Cuál es el resultado de aplicar la fórmula general a la ecuación característica?

El resultado es r = (6 ± √((-6)^2 - 4*1*13)) / (2*1), lo que da r = 3 ± 4i.

¿Qué significa que la solución a la ecuación característica sea un número complejo?

Significa que las soluciones generales de la ecuación diferencial incluirán funciones senos y cosenos en lugar de solo exponenciales.

¿Cómo se adapta la solución general de la ecuación diferencial cuando las raíces son complejas?

Se utiliza la fórmula y = e^(ax) * (c1 * cos(bx) + c2 * sin(bx)), donde a es la parte real de la raíz compleja y b es la parte imaginaria.

¿Por qué se prefiere expresar la solución general sin números complejos?

Se prefiere para facilitar la interpretación y el manejo de la solución, ya que los senos y cosenos son funciones reales.

¿Qué es la identidad de Euler mencionada en el video y cómo se relaciona con la ecuación diferencial?

La identidad de Euler es e^(ix) = cos(x) + i * sin(x), y se relaciona con la ecuación diferencial al permitir expresar las soluciones complejas en términos de funciones senos y cosenos.

¿Cómo se demuestra que la solución general con raíces complejas se puede reducir a la fórmula mencionada?

Se demuestra aplicando propiedades de las exponenciales y de las funciones trigonométricas, y mostrando que la combinación lineal de las soluciones correspondientes a las raíces complejas se puede factorizar y simplificar para obtener la fórmula general.

¿Cuál es la ecuación diferencial que se propone como ejercicio al final del video?

La ecuación diferencial propuesta como ejercicio es y'' + 2y' + 2y = 0.