PS1 - Le problème des anniversaires

Summary

The video explores the famous 'birthday paradox,' which examines the probability that, in a group of people, at least two share the same birthday. The presenter explains the assumptions used, such as independent birthdays, a non-leap year, and each day being equally likely for birth. Through intuitive reasoning and mathematical calculations, it's revealed that in a group of 23 people, there is over a 50% chance of a shared birthday. The paradox highlights the surprising nature of probability, contrasting it with common intuition and offering real-world examples like the World Cup to validate the theory.

Takeaways

• 🎉 The script discusses a probability puzzle based on the 'birthday paradox,' where the aim is to find the likelihood of two people sharing the same birthday in a group.
• 📊 The main question is to determine the number of people required for the probability of at least two sharing a birthday to be greater than or equal to 50%.
• 🎯 A key assumption is that each day of the year is equally likely as a birthday, and leap years are ignored for simplicity.
• 🤔 For a group of 23 people, the probability of two sharing a birthday is slightly over 50% (around 50.7%).
• 🔍 The script explains that with two people, the probability of a shared birthday is very low (1/365), and this probability increases as more people are added.
• 📈 By the time there are 366 people, the probability of two sharing a birthday is 100% due to the 'pigeonhole principle,' since there are only 365 days in a year.
• 🔄 The discussion highlights how computing the probability becomes more complex as the number of people increases, but calculating the inverse (the probability of no shared birthdays) simplifies the task.
• 💡 The counterintuitive nature of the birthday paradox is emphasized, as people often underestimate how quickly the probability increases with larger groups.
• ⚽ The example of the World Cup is used to illustrate real-world scenarios where groups of 23 players are likely to include two people with the same birthday.
• 📚 The script concludes by pointing out that this probability puzzle is an example of how intuition can sometimes be misleading in probability theory, offering both theoretical and practical insights.

Q & A

What is the main topic of the video?

The video discusses the 'birthday paradox,' which explores the probability that, in a group of people, at least two individuals share the same birthday.

What assumptions are made in the problem?

The assumptions made include: birthdays are independent, every year has 365 days (ignoring leap years), and each day of the year is equally likely for a birthday.

What is the goal of the 'birthday paradox' problem?

The goal is to determine the minimum number of people required in a group for there to be a 50% or higher probability that at least two people share the same birthday.

Why is the 'birthday paradox' considered a paradox?

It's considered a paradox because the result (only 23 people needed for a 50% chance) is counterintuitive to most people's initial intuition, which often expects a much larger number.

What is the principle of the pigeonhole used in the explanation?

The pigeonhole principle states that if you have more items (people) than containers (days in a year), at least one container must hold more than one item. Applied here, with 366 people and 365 possible birthdays, at least two people must share a birthday.

How does the video calculate the probability for small groups, like two or three people?

For two people, the probability that they share the same birthday is calculated as 1/365. For three people, the configurations where at least two share a birthday are considered, taking into account combinations of shared birthdays.

At what number of people does the probability of shared birthdays exceed 50%?

The probability exceeds 50% when there are 23 people in the group.

Why is it easier to calculate the probability that no two people share a birthday?

It's easier to calculate the probability that no two people share a birthday because you can multiply the probabilities of each successive person having a unique birthday, given the birthdays already taken.

How does the probability change as the number of people increases?

The probability that at least two people share a birthday increases rapidly as the number of people in the group grows. For example, with 57 people, the probability is over 99%.

What real-world example does the video use to illustrate the birthday paradox?

The video uses the FIFA World Cup as an example, where each team has 23 players, demonstrating that it's common for teams to have at least two players sharing a birthday.

Outlines

00:00

🎉 Understanding the Birthday Problem

In this opening, the speaker sets the stage with a scenario: you're at a party, and someone proposes a bet about shared birthdays. The challenge is to figure out how many people need to be present for there to be a 50% chance that at least two share the same birthday. Several assumptions are clarified: birthdays are independent, years have 365 days, and each day has an equal probability of being someone's birthday. With these assumptions, the speaker explores when the odds tip in favor of a shared birthday.

05:00

📊 Calculating Probability for Small Groups

This section walks through simple cases with few people. For two people, the probability of sharing a birthday is nearly zero, and for three people, it remains low. The speaker explains how to calculate the number of birthday configurations using probabilities, eventually showing that the odds of a shared birthday are still quite slim with just a few individuals. The explanation uses examples involving Alice, Bob, and Camille to explore possible birthday overlaps.

10:01

🔢 Probability for Larger Groups

The focus here shifts to larger groups. As the group size approaches 365, the probability of two people sharing a birthday rises sharply, reaching 100% with 366 people due to the pigeonhole principle. The speaker provides a formula to calculate the probability of no shared birthdays in a group, highlighting that as more people are added, the chances of shared birthdays increase rapidly. They explain that at 23 people, the probability of a shared birthday surpasses 50%, a surprising result for many.

📉 Graphing the Birthday Paradox

In this part, the speaker presents a graph showing how the probability of a shared birthday increases with group size. The probability jumps quickly, crossing 50% with 23 people and reaching over 99% with 57 people. This visual demonstrates how counterintuitive the birthday paradox is, as people often underestimate the likelihood of shared birthdays in small groups.

🧮 Breaking Down the Formula

The speaker revisits the formula used to calculate birthday probabilities, emphasizing its complexity. They discuss how the formula is easier to understand when focusing on the probability of no shared birthdays, which leads to quicker and more manageable calculations. This section also touches on how different interpretations of the problem can lead to various outcomes.

⚽ Real-World Example: FIFA World Cup

To provide a real-world application, the speaker mentions the FIFA World Cup, where 32 teams, each with 23 players, replicate the birthday problem. Historical data from past World Cups shows that in around half the teams, at least two players share a birthday, further validating the theoretical results. This example highlights how probability plays out in real life, offering an engaging connection between theory and reality.

👋 Wrapping Up and Final Thoughts

The video concludes with a thank you to viewers, encouraging them to share and subscribe. The speaker hints that probability and statistics will be recurring themes in future videos, and leaves the audience with a teaser for upcoming content. The tone is engaging and invites further discussion on the surprising and often counterintuitive results of the birthday paradox.

Keywords

💡Probability

Probability refers to the likelihood of an event occurring. In the video, it is central to determining the chance that at least two people in a group share the same birthday. The script discusses how probability increases with the number of people and explains how to calculate it in different scenarios, such as with two or three people.

💡Birthday Paradox

The Birthday Paradox is the surprising probability result that in a group of 23 people, there is a greater than 50% chance that at least two people share the same birthday. The video addresses this paradox and explains why the result seems counterintuitive, despite being mathematically sound.

💡Independent Events

Independent events are those where the outcome of one event does not affect the outcome of another. In the video, birthdays are assumed to be independent, meaning knowing one person's birthday doesn't influence another person's birthday. This is a key assumption in calculating probabilities.

💡365 Days Assumption

The assumption of 365 days simplifies the calculations by excluding leap years (which have 366 days). This assumption is important because it avoids the complexity of dealing with February 29th, making it easier to calculate probabilities for the number of shared birthdays.

💡Factorial

Factorial is a mathematical function that multiplies a series of descending positive integers. In the video, factorial is used to calculate the total number of possible birthday configurations, especially when determining the probability that no two people share a birthday in a group of 365 people.

💡Configurations

Configurations refer to the different possible ways that people’s birthdays can be distributed across 365 days. The video calculates the number of configurations where no two people share a birthday and compares it to the total number of configurations to find the desired probability.

💡Pigeonhole Principle

The Pigeonhole Principle is a concept stating that if more items are placed into fewer containers, at least one container must hold more than one item. In the video, this principle is applied when explaining why, with 366 people, at least two must share a birthday, as there are only 365 possible days.

💡Intuition vs. Reality

Intuition vs. reality highlights the difference between what people expect and what the math shows. The video calls attention to how most people intuitively think the probability of shared birthdays should be lower than it is, and how the actual result contradicts this belief, making it a paradox.

💡Exponential Growth

Exponential growth refers to the rapid increase in the probability of shared birthdays as more people are added to the group. The video shows that the probability jumps quickly after a certain number of people, demonstrating the power of exponential functions in probability calculations.

💡Real-World Applications

Real-world applications refer to how the birthday paradox can be observed outside of theoretical math, such as in a football World Cup. The video cites examples from the 2010 and 2014 tournaments, where many teams had players who shared the same birthday, verifying the paradox in practice.

Highlights

The speaker presents a scenario where a person proposes a bet about shared birthdays in a group of people at a party.

The problem is to determine from what number of people the probability of at least two people sharing the same birthday exceeds 50%.

Hypotheses: Birthdays are independent of each other, there are 365 days in a year, and all days are equally probable for a person's birth.

With zero or one person, the probability of shared birthdays is zero because there are not enough people to compare.

For two people, the probability of them sharing the same birthday is 1/365, approximately zero.

For three people, the probability slightly increases, but remains close to zero due to the small number of people.

If there are 366 people, it's certain that at least two share the same birthday due to the 'pigeonhole principle.'

With 365 people, the probability of two people sharing the same birthday is very close to one.

The speaker calculates the probability of no shared birthdays and subtracts that from one to find the probability of at least two shared birthdays.

The result is that with 23 people, the probability of shared birthdays exceeds 50%, reaching about 50.7%.

The speaker refers to this problem as the 'birthday paradox,' where the result is counterintuitive.

As the number of people increases to 57, the probability of shared birthdays exceeds 99%.

The speaker explains how intuition can be misleading in this problem due to the complexity of the number of possible comparisons between people.

A comparison is made with another problem where only one specific person's birthday is compared to others, requiring 254 people for a 50% probability.

The speaker gives the example of the FIFA World Cup, where each team has 23 players, and in 2010 and 2014, roughly half of the teams had players with shared birthdays.

Transcripts

bonjour à tous imaginez que vous êtes en

soirée vous discutez avec quelqu'un et

cette personne vous propose un Paris

elle parie qu'il n'y a pas de personnes

dans l'assemblée qui ont leur

anniversaire le même jour si vous

acceptez vous gagnerez si au contraire

il y a au moins deux personnes qui ont

leur anniversaire le même jour alors

vous regardez autour de vous et vous

comptez 29 personnes la question est ce

Paris est-il à votre avantage donc en

fait le problème ici est déterminer à

partir de quel nombre de personnes la

probabilité qu'au moins deux d'entre

elles et leur anniversaire le même jour

est supérieur ou égal à 50 %. alors vous

pouvez bien sûr dès à présent mettre la

vidéo en pause pour réfléchir par

vous-même mais avant ça moi je vais

donner quelques hypothèses qui

permettent de bien spécifier le problème

une première hypothèse c'est que les

anniversaires sont indépendants

c'està-dire que savoir qu'une certaine

personne est née un certain jour

n'influent en rien sur les probabilités

qu'une autre personne soit née tel ou

tel jour une deuxième hypothèse c'est

que toutes les années ont 365 jours donc

on néglige la présence des années bexyle

et des personnes qui seraient né en 29

février ça ne ferait que rendre les

calculs plus compliqué ça changerait pas

grand-chose la troisième hypothèse c'est

que pour chaque personne on considère

que chaque jour est également probable

comme jour de naissance donc pour chaque

personne et pour chaque jour la

probabilité que la personne soit né ce

jour là est égal à 1/ 365 toutes les

configurations sont également probables

alors voilà ces hypothèses étant dites

maintenant on peut répondre à la

question à partir de combien de

personnes la probabilité qu'il y ait au

moins deux anniversaires en commun est

supérieur au ég à 50 %. je vais donner

la réponse exacte mais ce qui est

intéressant dans ce problème c'est

d'essayer d'estimer intuitivement le

résultat alors bien sûr à la louche he

mettons à ne serait-ce que 25 ou 50

personnes près vous vous diriez combien

avant de commencer à traiter le cas d'un

nombre général de personnes commençons

d'abord par regarder ce qui se passe

dans les cas extremmos c'estd quand il y

a très peu de personnes ou au contraire

quand il y a beaucoup de personnes

premièrement quand il y a zéro ou une

personne c'est facile la probabilité

cherché rigoureusement égale à zé en

effet il y a même pas deux personnes

donc il est pas possible que deux

personnes et leur anniversaire commun

regardons ce qui se passe maintenant

dans le cas où il y a deux personnes

d'après les hypothèses qu'on a faites

toutes les configurations où la première

personne n un premier jour et la

deuxième personne est née un 2uxième

jour toutes ces configurations ont la

même probabilité qui est égale à 1/ 365

x 365 c'est-à-dire 1 sur 365 au carré

maintenant ce qu'il faut c'est compter

les configurations où il y a un

anniversaire en commun c'est-à-dire où

les deux personnes sont nées le même

jour et là encore c'est pas trop

difficile il y a 365 possibilités soit

elles sont toutes donné le premer jour

de l'année soit sont toutes les données

le 2è jour de l'année ou le 3è et cetera

jusqu'au dernier jour donc au total la

probabilité qu'il y ait au moins deux

anniversaires en commun est égal à

365/ 365 au carré c'est-à-dire 1/ 365 et

ça c'est à peu près égal à zéro

regardons ce qui se passe maintenant

quand il y a trois personnes mettons

Alice Bob et Camille pour Alice il y a

365 jours possibles pour son

anniversaire pour Bob de même et pour

Camille de même donc au total on a un

nombre de configuration qui est égal à

365 x 365 x 365 c'est-à-dire 365 au cube

et toutes ces configurations ont la même

probabilité maintenant ce qu'il faut

c'est dénombrer les configurations qui

nous intéressent c'est-à-dire celle où

il y a au moins deux anniversaires un

même jour alors il faut d'abord compter

les configurations où alice et Bob ont

leur anniversaire un même jour et qui

mis un autre jour dans ce cas-là il y a

365 possibilités pour le jour de

naissance commun ice et Bob et il reste

364 possibilités pour Camille maintenant

il faut aussi compter les configurations

Alice et Camille ont leur anniversaire

le même jour et Bob à are jour et enfin

les configurations Bob et Camille ont

leur anniversaire le même jour et Alice

a son anniversaire à autre jour donc là

on vient de compter 3 fois 365 x 364 à

ça il faut rajouter les 365

configuration où Alice Bob et Camille

sont nés le même jour donc au total la

probabilité qui nous a intéresse la

probabilité que deux personnes au moins

soi le même jour est donné par la

formule qui est à l'écran et le résultat

est là encore à peu près

zéro alors avant de passer au cas avec

quatre personnes qui est un peu plus

compliqué allons tout de suite à l'autre

extrémité le cas où il y a beaucoup de

personnes le cas qui est facile c'est

s'il y a 366 personnes ou plus en effet

dès qu'il y a au moins 366 personnes vu

qu'il n'y a que 365 jours dans l'année

il y a forcément un jour où deux

personnes sont nées ça c'est le principe

p des tiroirs maintenant qu'est-ce qui

se passe dans le cas où il y a

exactement 365 personnes et bien ici ce

qui va être beaucoup plus facile c'est

de calculer la probabilité qu'il n'y ait

pas deux anniversaires en commun c'est

la probabilité que chaque personne soit

la seule à être né le jour où elle est

née donc pour la première personne il y

a 365 jours possibles pour son

anniversaire pour la 2uxe personne il

reste 364 jours possibles pour la 3è

personne 363 joursibles et ainsi de

suite jusqu'à la dernière personne pour

qui il ne reste plus qu'un jour possible

donc le nombre de configurations qui

nous intéresse est égal à 365 x 364 x

363 et cetera x 3 x 2 x 1 maintenant il

y a un nombre de configuration totale

qui est égale à 365 x 365 x 365 et ainsi

de suite x 365 en fin de compte la

probabilité qu'il y ait deux

anniversaires au moins un même jour est

égale à 1- la probabilité qu'il n'y ait

pas de anniversaires en commun et ça

c'est égal à 1-in une fraction dont le

numérateur est 365 x 364 x 363 et cetera

x 3 x 2 x 1 et Don le dénominateur est

365 x 365 et cetera x 365 il y a en haut

et en bas 365 facteurs dans les produits

voilà et donc ça numériquement c'est

très très proche de 1 comme on pouvait

s'en douter donc pour résumer quand il y

a 0 ou une personne la probabilité qu'on

cherche est égale à é0 quand il y a deux

ou trois personnes cette probabilité est

toujours très faible au contraire quand

il y a 366 personnes ou plus cette

probabilité est exactement égal à 1

tandis que quand il y a 365 personnes C

probabilité est très proche de 1 alors

de 0 à 366 cette probabilité va

augmenter avec le nombre de personnes et

la question c'est à partir de combien de

personnes elle dépasse le seuil des 50 %

est-ce que vous diriez à peu près 365 /

2 soit grosso modo 180 ou plutôt de

l'ordre de 100 ou de 250 là encore he à

la louche et au

pipomètre alors voilà je suis maintenant

sur le point de donner la réponse dans

le cas général donc si vous voulez faire

pause et réfléchir par vous-même que ce

soit pour le calcul ou pour essayer de

trouver intuitivement la solution ça

commence à être plus ou moins le dernier

moment sur ce en fait avant de donner la

réponse je vais expliquer comment on y

arrive bon je voudrais pas non plus

créer le suspense inutilement he la

réponse c'est 23 voilà ceci étant dit

maintenant voyz comment on y arrive

alors voilà maintenant dans le cas

général où il y a un nombre grandain de

personnes le nombre total de

configuration est égal à 365 x 365 x 365

et cetera x 365 c'est-à-dire 365

exposant n alors si on veut déterminer

la probabilité qu'il y ait au moins deux

anniversaires en commun il faut

dénombrer toutes les configurations qui

nous sont favorables et ça ça devient

très vite très compliqué pour s'en

convaincre il suffit de regarder le cas

avec quatre personnes il va falloir

compter toutes les configur

configuration où deux personnes ont leur

anniversaire un même jour et la 3ème et

la 4è personnes ont leur anniversaire

deux autres jours différents puis toutes

les configurations ou deux personnes ont

leur anniversaire le même jour et les

deux autres personnes ont leur

anniversaire le même jour mais un autre

jour ensuite toutes les configurations

ou trois personnes ont leur anniversaire

le même jour et la 4ème à son

anniversaire un autre jour et enfin

toutes les configurations ou les quatre

personnes ont leur anniversaire le même

jour et ça ce n'est que le cas N = 4

donc ce qui va être beaucoup plus simple

ici c'est de compter plutôt les

configurations qui ne sont pas

favorables c'estàdire les configurations

où toutes les personnes sont nées un

jour différent en fait c'est exactement

ce qu'on a vient de faire dans le cas

avec N = 365 personnes et ici on va

trouver que le nombre de configurations

où toutes les personnes ont un

anniversaire différent est égal à 365 x

364 x 363 et ainsi de suite jusqu'à 365-

grand n + 1 donc maintenant la

probabilité qui nous intéresse est égale

à 1 moins la probabilité qui n'y ait pas

des anniversaires le même jour et ça

c'est donné par la formule qui est

affichée à l'écran donc voilà maintenant

qu'on a la formule il suffit d'évaluer

le membre de droite pour toutes les

valeurs de grand N allant de 0 à 366 je

vous les tracer en rouge sur le

graphique qui s'affiche à l'écran en

ordonnée c'est-à-dire l'axe vertical

vous avez la probabilité qu'on cherche

et en abscisse c'est-à-dire l'axe

horizontal vous avez le nombre de

personnes comme on le voit ici il va

falloir moins de 30 personnes pour

passer au-dessus de la barre des 50 %.

en fait si si on zoome entre 20 et 26 on

va voir que dès qu'on a n = 23 personnes

on a franchi ce seuil et en fait plus

précisément pour n = 23 personnes est à

peu près à 50,7 % de chance que deux

personnes au moins aent leur

anniversaire le même jour dzomons

maintenant un peu pour regarder ce qu'il

se passe quand n varie de 0 à 366

personnes comme vous le voyez sur ce

graphique la probabilité augmente très

vite vers 1 en fait dès qu'il y a 57

personnes dans l'assemblée il y a déjà

plus de 99 % de chance que deux

personnes au moins et leur anniversaire

le même jour alors ce résultat est un

peu surprenant je sais pas si vous vous

l'aviez trouvé mettons même à 25 ou à 50

personnes près mais la première fois

qu'on l'entend le faible nombre requis

23 est assez déroutant d'ailleurs le

problème des anniversaires est aussi

connu sous le nom de paradoxe des

anniversaires plus précisément c'est un

paradoxe de type véridique c'est-à-dire

que le problème a met une réponse qu'il

est possible d'établir rigoureusement

mais cette réponse vient se heurter à

l'intuition et ici en l'occurrence c'est

l'intuition qui perd bon alors il faut

bien reconnaître que c'est un problème

qui n'est pas du tout facile comme on

l'a vu quand on veut calculer la

probabilité que deux personnes au moins

aent leur anniversaire le même jour il

faut dénombrer les cas favorables et ça

c'est pas du tout facile ce qui était un

peu plus facile en revanche c'était de

dénombrer les cas favorables et ça ça

nous produit une belle formule mais bon

voilà pour quelqu'un qui n'a pas l'œil

aguéri il n'est pas du tout évident de

lire sur cette formule le fait que la

probabilité augmente très vite vers

1 de plus une chose qui peut nous

induire en erreur en tout cas au niveau

intuitif c'est la confusion avec un

autre problème celui où on cherche la

probabilité que deux personnes aent leur

anniversaire le même jour l'une de ces

deux personnes étant fixée à l'avance ça

peut être vous ou votre interlocuteur ou

n'importe quelle autre personne fixée

mettons Alice si on s'intéresse à ce

problème le résultat est très différent

comme vous pouvez voir sur ce graphique

où j'ai tracé la probabilité en bleu ici

il faut 254 personnes pour que la

probabilité franchisse le seuil des 50

%. et à ce stade-là il est déjà

quasiment certain qu'il y a deux

personnes dans l'assemblée qui ont leur

anniversaire le même jour ça n'inclu pas

forcément

Alice la différence c'est que dans le

deuxième problème on compare uniquement

les anniversaires d'Alice et disons de

Bob de Camille Daniel Elena et ainsi de

suite mais dans le premier problème il

faut aussi comparer les anniversaires de

Bob et de Camille de Bob et d'Elena mais

aussi les anniversaires triple par

exemple Bob Camille et Elena et ainsi de

suite bref il y a très vite beaucoup

plus de

possibilités de fait le nombre total de

configurations et le nombre de

configurations qui n' sont favorables

deviennent très tellement grand que si

on ne fait pas attention à ce qu'on

demande de calculer un ordinateur est

très vite dépassé et oui il y a toujours

une limite au nombre qu'un ordinateur

peut manipuler en effet pour pouvoir les

manipuler il faut que ces nombres

puissent être stockés en mémoire de la

même façon que nous quand on veut

manipuler des nombres par exemple pour

faire une addition à la main il faut

d'abord qu'on puisse les écrire sur une

feuille de papier alors imaginons que

vous vouliez faire une addition sur une

feuille qui comporte mettons 20 carreaux

par ligne et mettons encore qu'on se

garde une dizaine de carreaux à droite

et à gauche pour faire de la mar pour

écrire le signe d'addition et cetera

puis peut-être aussi pour mettre des

espaces entre les groupes de trois

chiffres bon ben dans ce cas-là il nous

reste 10 carreaux et si on se dit qu'on

utilise maximum un chiffre par carreau

pour que ce soit encore lisible on peut

écrire des nombres qui au maximum a 10

chiffre donc là le plus grand nombre

qu'on va pouvoir écrire sur une telle

feuille de papier ça va être

9ard999li999999 et bien sur un

ordinateur c'est la même chose qui se

passe alors pour la petite anecdote

parce que ça serait dommage de pe avoir

une anecdote il existe un moyen

absolument fantastique pour tester

expérimentalement ce résultat ce moyen

c'est la Coupe du monde de football et

oui dans une coupe du monde de football

on regroupe 32 équipes et chaque équipe

possède exactement 23 joueurs donc à

chaque coupe du monde on réalise 32 fois

l'expérience qui consiste à prendre 23

personnes et à déterminer si oui ou non

parmi elles il y en a deux qui ont

anniversaire en commun alors 32 c'est

pas forcément un grand nombre mais si on

estime que la loi des grands nombres

peut commencer à s'appliquer on s'attend

à en trouver à peu près 16 disons entre

14 et 18 équipes dans lequel c'est le

cas et bien en 2010 il y avait 15 des 32

équipes dans lesquelles deux joueurs

avaient leur anniversaire en commun et

en 2014 il y avait précisément 16 des 32

équipes dans lesquelles c'était le cas

pour être un peu plus précis il y avait

même cinq équipes dans lesquelles il y

avait deux paires de joueurs ayant leur

anniversaire le même jour tandis qu'en

2010 il y avait même une équipe dans

laquelle trois joueurs avaient leur

anniversaire le même jour donc voilà une

coupe du monde de football c'est

probablement organisée principalement

pour d'autres raisons et ça permet aussi

de tester expérimentalement ce résultat

théorique cette vidéo est maintenant

terminée merci de l'avoir regardé si

vous l'avez aimé n'hésitez surtout pas à

la partager ce sera le meilleur moyen de

faire connaître la chaîne bien sûr vous

pouvez aussi vous abonner pour être

informé quand la prochaine vidéo sortira

enfin si vous le souhaitez vous pouvez

laisser des commentaires notamment

techniques sous la vidéo je suis preneur

le thème des probabilités statistiques

est un thème qui reviendra régulièrement

sur la chaîne notamment un peu la

prochaine fois mais la prochain e vidéo

sera principalement dédiée à une autre

rubrique en attendant je vous dis bonne

soirée ou bonne journée et à la fois

prochaine