Integral de x elevado a la n | Potencia de x | Ejemplo 1
Summary
TLDREn este video, se explica cómo resolver integrales de potencias de una variable. El presentador detalla el proceso de sumar uno al exponente y dividir por el nuevo exponente, siempre añadiendo la constante de integración. Se aborda qué hacer cuando el exponente es negativo y cuándo no se aplica la regla estándar, como en el caso del exponente -1. También se incluyen varios ejemplos prácticos para que los espectadores puedan practicar. Finalmente, se motiva a los usuarios a verificar sus resultados mediante la derivación, ya que es la operación inversa de la integración.
Takeaways
- 📘 La integral de una variable elevada a un exponente se resuelve siguiendo una fórmula específica: \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \), donde \( C \) es la constante de integración.
- 🔍 Es fundamental identificar la variable y el exponente antes de aplicar la fórmula de integración.
- ❗ No se debe olvidar agregar la constante de integración al final de la integración.
- 🚫 La fórmula no se aplica cuando el exponente es -1.
- 📚 Se recomienda verificar la integración derivando la función resultante para asegurar que la integración se haya realizado correctamente.
- 🔢 Al derivar, el exponente se reduce en uno, lo cual es la razón por la cual en la integración se aumenta el exponente en uno.
- 📉 Cuando el exponente es negativo, se suele transformar la expresión para que el exponente sea positivo, utilizando propiedades de la potenciación.
- ✏️ En casos donde la variable no aparece directamente, se considera una constante y se extrae de la integral.
- 📐 La integración de \( dx \) o \( d \) de una variable es directa y da como resultado la variable misma más la constante de integración.
- 💡 El video ofrece ejercicios prácticos para aplicar y consolidar los conceptos aprendidos sobre integración de funciones con exponentes.
Q & A
¿Cómo se encuentra la integral de una variable elevada a un exponente?
-Para encontrar la integral de una variable x elevada a un exponente n, se utiliza la fórmula x^(n+1)/(n+1) + C, donde C es la constante de integración.
¿Qué debemos hacer antes de integrar una función?
-Antes de integrar, debemos identificar la variable y asegurarnos de que esté elevada a un exponente, ya que esta técnica solo se aplica a funciones de la forma x^n.
¿Cuál es el efecto de sumar uno al exponente en la integral?
-Al sumar uno al exponente en la integral, se prepara el camino para que, al derivar la función resultante, el exponente se cancele con el que ya teníamos, devolvérnos a la función original.
¿Por qué es importante no olvidarse de la constante de integración?
-La constante de integración es crucial porque representa la falta de información sobre el valor inicial de la función, y es necesaria para completar la integral.
¿Qué pasa si el exponente es -1 en la integral de una variable?
-Si el exponente es -1, la fórmula x^(n+1)/(n+1) no se aplica. En este caso, la integral de 1/x es log(x) + C.
¿Cómo se verifica si la integral se ha hecho correctamente?
-Para verificar si la integral se ha hecho correctamente, se puede derivar la función resultante y verificar si se obtiene la función original.
¿Qué significa el término 'dx' en una integral?
-El término 'dx' en una integral representa el diferencial de la variable x, y es un recordatorio de que se está integrando respecto a x.
¿Cómo se integran funciones con variables diferentes a x?
-Si la función a integrar tiene una variable diferente a x, como u, se sigue el mismo proceso pero con la variable correspondiente, resultando en u^(n+1)/(n+1) + C.
¿Qué sucede con la constante que está multiplicando la variable en la integral?
-Si hay una constante multiplicando la variable en la integral, se toma fuera de la integral y se multiplica al resultado final, ya que las constantes se mantienen al integrar.
¿Cómo se integran funciones con exponentes negativos?
-Para funciones con exponentes negativos, se sigue la fórmula x^(n+1)/(n+1), pero al final se ajusta el signo y se escribe la fracción de manera que el exponente sea positivo, utilizando propiedades de potenciación.
Outlines
📘 Introducción a la Integral de una Variable al Cuadrado
Este primer párrafo introduce el concepto de integrar una variable elevada a un exponente, como x^n. Se explica que la integral de una variable x elevada a un exponente se resuelve sumando uno al exponente y poniendo ese mismo exponente en el denominador. Además, se aclara la importancia de añadir la constante de integración. Se menciona que esta fórmula no se aplica si el exponente es -1. Se invita al espectador a resolver ejercicios para practicar y se enfatiza la verificación de la integral a través de la derivación.
🔢 Ejercicios de Integrales con Exponentes
El segundo párrafo se centra en la aplicación práctica de la fórmula de integración de variables con exponentes. Se presentan ejercicios donde se integran funciones como x^3, u^2 y x^(-3). Se destaca la necesidad de ser cuidadoso al sumar uno al exponente y al escribir el exponente en el denominador. También se discuten las convenciones de escritura en matemáticas, como el manejo de exponentes negativos y la simplificación de fracciones. Se sugiere que el espectador practique estos ejercicios para comprender mejor el proceso de integración.
📚 Conclusión y Desafío de Práctica
En el tercer párrafo, el presentador concluye la explicación de cómo integrar funciones con variables y exponentes, y desafía al espectador a practicar con ejercicios adicionales. Se presentan tres ejercicios más para que el espectador pruebe sus habilidades recién adquiridas. Se ofrecen recursos adicionales y se anima al espectador a suscribirse al canal y a interactuar con el contenido. Finalmente, se cierra el video con un agradecimiento y un despedida.
Mindmap
Keywords
💡Integral
💡Variable
💡Exponente
💡Constante de integración
💡Derivación
💡Propiedades de la potenciación
💡Numerador y denominador
💡Diferencial
💡Operaciones inversas
💡Principio de integración por partes
Highlights
Introducción al cálculo de integrales de funciones de la forma x^n.
Explicación de la fórmula general para integrar funciones polinomiales.
Identificación de la variable de integración y su exponente.
Proceso de sumar uno al exponente y colocarlo en el denominador.
Importancia de no olvidar la constante de integración.
Caso especial de la integral cuando el exponente es -1.
Ejercicio práctico para aplicar la fórmula de integrales de funciones potenciadas.
Revisión de la integración de x^3 y su resultado.
Verificación de la integral a través de la derivación.
Importancia de la constante en la derivación y su papel en la integración.
Ejercicio con variable u y su exponente, demostrando la flexibilidad de la fórmula.
Integración de funciones con exponentes negativos y su manejo.
Explicación de por qué se sube el negativo al numerador en la integración.
Cambio de signo del exponente negativo y su representación en la respuesta.
Integración de una función sin variable en el exponente, tratando como constante.
Integración de dx y su resultado como x más la constante de integración.
Ejercicios finales para práctica y revisión de conceptos aprendidos.
Invitación a suscribirse al canal y a seguir el curso para profundizar en el tema.
Transcripts
qué tal Amigas y amigos Espero que estén
muy bien en este video vamos a ver cómo
encontrar la integral de x a la N O sea
Cuando tenemos una variable la x
Generalmente es la x Pero puede ser
cualquier letra dependiendo de la
variable de la integral cuando está la
variable elevada a un exponente que
generalmente es por ejemplo x cuadrado o
x cubo o x a la 4 X a la 10 x a la -5 x
a la 3 cu4 bueno todo esos listos
primero que todo pues aquí tenemos la
formulita que vamos a aplicar que pues
esta deberías tenerla en tu formulario
si tú quieres ir escribiendo las
fórmulas en algún lado puedes ir pasando
esta y en cada video te voy a ir
diciendo las fórmulas listos qué es lo
que tenemos que hacer mira que lo
primero que debemos hacer es identificar
la variable no en este caso mira que
aquí dice dx o sea la variable es la x y
efectivamente mira que aquí dice X a la
N O sea cumple la condición tenemos una
x una variable con un exponente Cómo se
resuelve esta integral se resuelve así
lo que vamos a tener que hacer nosotros
es esto Cómo se resuelve mira que si
aquí dice X a la n seguimos dejando ese
x a la n puede ser x a la 2 a la 3 a la
4 a la 5 seguimos dejándolo pero al
exponente le sumamos uno no es más lo
que tenemos que hacer al exponente le
sumamos uno y escribimos ese mismo
exponente en el denominador y no se nos
puede olvidar sumarle la constante de
integración mucho cuidado con eso no
algo importante es que esto no funciona
si el exponente es el número -1 y ya te
voy a decir por qué listos Entonces si
el exponente es -1 no se aplica lo que
vamos a hacer aquí en este video vamos a
hacer cuatro ejercicios porque con cada
ejercicio quiero enseñarte algo
diferente y Te reto a que sí ya después
de ver el primer ejemplo te invito a que
resuelvas los otros a ver si te quedan
bien listos de una vez empezamos con el
primero y pues mira que aquí dice
estamos con la variable x y aquí dice X
a la 3 sí Solamente tenemos la variable
x con un exponente Cómo se resuelve
dejamos ese x con el exponente que est t
que en este caso es el número tres y qué
es lo que hacemos le sumamos uno al
exponente bueno en este ejercicio lo
hago explicándolo así pero pues ya uno
se salta Este paso no en lugar de 3 + 1
pues obviamente uno escribe 4 y ese
exponente que estaba aquí lo escribimos
dividiendo la expresión o sea ese 3 + 1
lo escribimos también en el denominador
y que no se te olvide la constante de
integración aquí nos falta un paso y es
pues el de hacer la suma no porque
Generalmente pues hay que hacerla
Entonces cómo nos quedaría nos quedaría
x elevado a la 3 + 1 eso es 4 sobre 3 +
1 que eso es 4 más la constante de
integración algo para revisar para que
siempre veas si te quedó bien o mal pues
es que el exponente debe ser igual al
denominador algo importante Por qué es
que tenemos que sumarle uno y escribirlo
en el denominador y algo también
importante Recuerda que todas las
integrales podemos saber si nos quedaron
bien cómo derivando porque acuérdate que
son operaciones inversas entonces si
nosotros derivamos esto que nos quedó en
el resultado nos debe dar esto que decía
aquí x al cub obviamente sin el
diferencial Entonces verifiquemos si sí
nos quedó bien esta integral no es
obligatorio hacerlo pero es muy fácil
hacerlo entonces con eso sabemos si nos
quedó bien no Recuerda que vamos es a
derivar No aquí derivamos recuerda que
para derivar x a la 4 se baja el
exponente y se le resta uno la resta 4 -
1 es 3 cu como es una constante pues
seguía quedando Recuerda que la
constante no importa si está
multiplicando o dividiendo simplemente
sigue quedando mira que en este caso
Bueno sigo derivando más la constante la
derivada de una constante es cer0
Entonces no la escribimos aquí mira que
nos quedó el cuatro y el cuat Entonces
se simplifican Y qué nos quedó nos quedó
x cb o sea que sí quedó bien la integral
algo importante mira que cuando nosotros
hacemos la derivada primero bajamos el
exponente Enton entonces por eso es que
en la integral se pone ese exponente
abajo para que al derivar se cancele con
el que ya teníamos Sí por eso es que el
exponente se pone abajo y en la derivada
qué hacemos restamos uno por eso es que
en la integral sumamos uno Sí bueno es
una una explicación ahí rapidita listos
vamos a pasar de una vez a resolver el
segundo ejemplo ya más rápidamente aquí
simplemente cambié la variable en este
caso la variable es la u pero aquí dice
u a la do o sea ahí tenemos la variable
con un exponente Cómo se hace ya te
invito a que pauses el video y resuelvas
los ejercicios Entonces ya me voy a
saltar un paso no aquí escribo igual
debería escribirlo aquí al frente pero
no hay problema u u a la do podríamos
escribir ese u a la 2 y sumarle uno pero
pues bueno ya 2 + 1 eso es 3 y el
exponente lo ponemos también igualito en
el denominador y ya terminamos solamente
nos falta sumar la constante de
integración que nunca se te olvide no
más adelante voy a grabar un video en el
que te explico por qué es que se debe
sumar esa constante Ya terminamos Ya
integramos no hay operaciones por hacer
ya podemos pasar al siguiente ejercicio
que te invito a que lo hagas como una
práctica este lo pongo porque yo he
visto que muchos estudiantes se
equivocan porque como es tan fácil uno
Ay pues lo hago rápido y nos queda mal
mucho cuidado con lo siguiente
simplemente volvemos a revisar que la
variable es la x y aquí dice X con un
exponente Entonces se realiza esto que
vamos a hacer o esto que estamos viendo
en el video no x al exponente se le suma
uno mucho cuidado voy a hacer esa suma
Cuál era el exponente -3 qué tenemos que
hacer sumarle uno no lo hagas con afán
Porque por eso podría quedarte mal -3 +
1 es -2 O sea que el exponente nuevo de
nuestra variable es el -2 y en el
denominador ponemos ese mismo exponente
-2 siempre le
sumamos la constante de integración
mucho cuidado que aquí pues ya
terminamos Ya integramos pero pues en
matemáticas Generalmente hay cositas que
se cambian cuando es el resultado porque
generalmente se acostumbra a no dejar
por ejemplo Generalmente en el resultado
uno un negativo no lo deja en el
denominador simplemente lo deja en el
numerador o sea este negativo lo subimos
Sí por qué Pues porque esta fracción es
negativa y si el negativo está arriba
sigue siendo negativo otra justificación
más por menos da menos Y si el negativo
está arriba menos por más da menos Sigue
siendo lo mismo entonces Generalmente
cuando está abajo se sube esa es una de
las cositas que vamos a hacer y segundo
Generalmente un exponente negativo en
una respuesta no se deja simplemente lo
lo cambiamos para escribirlo positivo
recuerda que aquí vamos a aplicar
propiedades de la potenciación Bueno voy
escribiendo la respuesta Entonces cómo
nos quedaría tenemos la fracción abajo
estaba el negativo y simplemente lo voy
a escribir arriba el dos que está abajo
pues sigue quedando abajo ahora si
nosotros queremos cambiar el signo del
exponente y la expresión estaba arriba
en el numerador simplemente lo que
hacemos es escribir la abajo y al
escribirla abajo ya cambia el signo eso
es aplicando propiedades que no lo voy a
explicar más listos entonces simplemente
ese x a la-2 lo escribimos abajo pero
por haberlo por haberlo escrito abajo ya
cambia el signo del exponente Bueno te
voy a explicar la propiedad Recuerda que
hay una propiedad que nos dice que si
tenemos x a la - n eso es igual a 1
sobre x a la n Sí o sea podríamos poner
aquí 1 sobre x a la dos sí Entonces
cuando queremos quitar un exponente
negativo escribimos un uno arriba y
abajo escribimos la expresión pero con
exponente positivo y aquí aquí me sirve
pues para poner ese uno ahí arriba para
que quede algo arriba no y siempre más
la constante de integración Aquí sí ya
no hay operaciones ya integramos
entonces podríamos comprobar esto
derivando para que veas que sí nos da y
ahora con el último ejemplo que te
invito a que practiques en este caso
mucho cuidado porque pues bueno
Generalmente uno no explica esto pero
pues te lo quiero explicar mira que en
este caso la variable es la x y aquí no
hay ninguna x eso ya lo V a ver más
adelante pero de una vez vamos
adelantándonos esto como no tiene la
variable entonces todo esto en
integrales se toma como una constante o
sea esto es como si fuera un numerito Sí
una constante qué es lo que se hacía con
las constantes que ya lo vimos en el
video anterior las constantes se sacan
de la integral Entonces no vamos a
integrar simplemente vamos a aplicar esa
propiedad sacamos la constante o sea u a
la 4 lo sacamos y nos queda solamente la
integral de dx o desea del diferencial
de x o de 1 como queramos decirlo ahora
si integramos aquí qué nos queda nos
queda u a la 4 cuidado que eso está
afuera sigue quedando afuera y lo que se
integra es esto de aquí la integral del
diferencial de x o más bien la integral
de 1 es x Por qué x Pues porque es esta
misma variable y no se nos olvide
sumarle la constante de integración y
así quedaría este ejercicio como te
decía Generalmente uno no ve esos
ejercicios porque pues estamos viendo
integrales de una variable pero pues
bueno Ahí te enseño como para que vayas
viendo lo que de pronto vas a ver más
adelante Pero bueno ahora sí con esto
termino mi explicación y como siempre
por último te voy a dejar estos tres
ejercicios para que ahora tú practiques
te invito a que te tomes el tiempo los
resuelvas con calma y comparas con la
respuesta que te voy a mostrar en tres
dos uno Espero que te haya parecido
sencillo y pues siempre es tan fácil que
lo mejor es primero revisar que sí
cumple las condiciones no empezamos con
el primero la variable es la x y aquí
dice X a la 7 o sea sí aplicamos esta
propiedad x a la 7 + 1 o sea x a la 8
sobre 8 + c y listos pilas con esto no
se te olvide la constante de integración
ahora segundo ejercicio la variable es
la t y aquí dice t a la 6 o sea si se
aplica integral t a la 6 + 1 o sea t a
la 7 sobre 7 no se te olvide la
constante de integración Y por último el
que esta con exponente negativo algo
importante es que aquí hay una constante
lo primero que se hace es esa constante
la sacamos Sí porque la variable es la x
y aquí dice X cu con una constante la
constante la sacamos y ahora sí podemos
integrar entonces la integral sería 3
por aquí le sumamos un mucho cuidado -2
+ 1 es -1 y ese -1 lo ponemos también en
el denominador como siempre por último
Pues aquí este negativo lo subimos mira
que lo escribí arriba o sea este
negativo lo escribimos aquí -3 mira que
como aquí de pronto debía haber hecho
todo el tiempo para No complicarnos aquí
abajo quedó un uno sí pero pues
Generalmente ya cuando está el uno abajo
no se escribe por eso es que no lo
escribí Y por último este x a la -1 lo
bajamos para que quede con exponente
positivo Entonces nos queda -3 y abajo x
a la 1 Pues el exponente ya no hay
necesidad de ponerlo y no se te olvide
la constante de integración y bueno
Espero que te haya gustado mi forma de
explicar y si es así te invito a que
veas los demás videos del curso para que
profundices mucho más acerca de este
tema Aquí también te dejo Algunos videos
que estoy seguro que te van a servir No
olvides comentar lo que desees comparte
este video con tus compañeros y
compañeras y seguro te lo van a
agradecer te invito a que te suscribas
al Canal a que le des un buen like a
este video y no siendo más bye bye
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