Dominio y Contradominio | Ejemplo

Matemáticas con Carito

14 Sept 202018:13

Summary

TLDREn este video tutorial, el presentador explica cómo determinar el dominio y el contra-dominio de la función f(x) = 1/(x-2) utilizando dos métodos: analítico y gráfico. El método analítico se basa en identificar las restricciones matemáticas, como el denominador no puede ser cero, para establecer el dominio (todos los valores de x excepto 2). El método gráfico implica graficar la función y observar su comportamiento para confirmar el dominio y el contra-dominio (todos los valores de y excepto 0). El video también menciona el patrón de gráfica 'boomerang' común en funciones con denominadores variables.

Takeaways

📘 El dominio de una función son todos los valores permitidos para la variable independiente x.
🔍 El contradominio o rango son todos los valores resultantes en y o en f(x).
📐 El método analítico implica analizar la función para identificar restricciones matemáticas, como en el caso de la división donde el denominador no puede ser cero.
✅ Se establece que la función 1/(x-2) tiene una restricción matemática: el denominador (x-2) no puede ser cero.
📌 La condición matemática para el dominio es x ≠ 2, lo que significa que x puede ser cualquier número real excepto 2.
📊 El dominio se puede expresar como un intervalo de números reales excepto en el punto 2, utilizando corchetes para indicar la exclusión.
📉 El contradominio de la función 1/(x-2) incluye todos los números reales excepto el 0, ya que la función nunca resulta en 0.
📈 El método gráfico se utiliza para verificar el dominio y contradominio a través de la tabulación y graficación de puntos correspondientes a la función.
📋 Se realizó una tabulación ampliada para acercarse al valor prohibido x = 2, proporcionando una visión más detallada de la gráfica.
🖋️ La gráfica resultante de la función se describe como un boomerang, con dos segmentos de curva que se apartan de la línea y = 0 y una asintota vertical en x = 2.

Q & A

¿Qué métodos se utilizan para encontrar el dominio y el contradominio de una función en el guion?
-Se utilizan dos métodos: el método analítico y el método gráfico.
¿Cuál es la principal restricción en el dominio de la función 1/(x-2) según el método analítico?
-La principal restricción es que el denominador, x-2, no puede ser cero, lo que significa que x no puede ser igual a 2.
¿Cómo se establece el dominio de la función 1/(x-2) mediante el método analítico?
-Se establece el dominio estableciendo la condición de que el denominador no puede ser cero, lo que se traduce en la desigualdad x-2 ≠ 0, y despejando x se obtiene que x ≠ 2.
¿Cómo se representa el dominio de la función 1/(x-2) en forma de intervalo?
-El dominio se representa como (-∞, 2) U (2, ∞), lo que significa que incluye todos los números reales excepto el 2.
¿Qué es el contradominio de la función 1/(x-2) y cómo se determina?
-El contradominio son todos los valores que la función puede tomar, y en el caso de 1/(x-2), cualquier número real excepto 0, ya que el numerador es siempre 1 y no puede ser cero.
¿Cómo se representa el contradominio de la función 1/(x-2) en forma de intervalo?
-El contradominio se representa como (-∞, 0) U (0, ∞), lo que significa que incluye todos los números reales excepto el 0.
¿Qué se observa en la gráfica cuando se usa el método gráfico para encontrar el contradominio de 1/(x-2)?
-Se observa que la gráfica no puede tocar el eje y en ningún punto, lo que indica que el valor de y nunca puede ser 0.
¿Cuál es la forma de la gráfica de la función 1/(x-2) según el método gráfico?
-La gráfica tiene una forma de 'boomerang', con dos segmentos de curva que se alejan del eje y y se acercan al eje x pero nunca tocan el eje y en el punto 0.
¿Qué son las 'sintomas' vertical y horizontal que se mencionan en el guion y cómo se relacionan con la función 1/(x-2)?
-Las 'sintomas' verticales son líneas verticales en la gráfica que indican valores de x que no son permitidos (x=2 en este caso). Las 'sintomas' horizontales son líneas horizontales que indican valores de y que la función no puede alcanzar (y=0 en este caso).
¿Cómo se verifican los resultados del método analítico usando el método gráfico en el guion?
-Se verifican al observar que la gráfica no toca el eje y en el punto 0 y que hay una 'sintoma' vertical en x=2, lo que coincide con las restricciones encontradas mediante el método analítico.

Outlines

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📘 Introducción al Análisis del Dominio y Contradominio

El primer párrafo introduce el tema de la clase, que es el análisis del dominio y contradominio de la función \( f(x) = \frac{1}{x-2} \). Se explica que el dominio de una función son los valores permitidos para la variable independiente, mientras que el contradominio son los valores resultantes en la variable dependiente. El método analítico se presenta como una forma de determinar el dominio al examinar las restricciones matemáticas de la función, como en este caso, la división por cero, que es la principal restricción para la función dada.

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📐 Método Analítico para Determinar el Dominio

En el segundo párrafo se describe el método analítico para determinar el dominio de la función. Se establece que el denominador de la función, que es \( x-2 \), no puede ser cero, lo que impone la restricción de que \( x \neq 2 \). Se procede a despejar esta condición para encontrar el dominio, que se expresa como todos los números reales excepto 2, y se visualiza este dominio en un segmento de recta numérica, mostrando que x puede tomar cualquier valor excepto 2.

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📊 Visualización del Dominio y Contradominio con Intervalos

El tercer párrafo se centra en la visualización del dominio y contradominio de la función utilizando intervalos. Se describe cómo el dominio se puede representar como un intervalo que va desde menos infinito hasta 2, excluyendo 2, y luego de 2 hasta infinito, utilizando corchetes y paréntesis para indicar la exclusión del número 2. También se discute el contradominio, que en este caso es todo el conjunto de números reales excepto 0, ya que la función nunca dará como resultado 0.

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📈 Comprobación del Dominio y Contradominio con el Método Gráfico

El cuarto párrafo detalla cómo se puede verificar el dominio y contradominio de la función mediante el método gráfico. Se menciona la creación de una tabla de valores y la sustitución de estos valores en la función para obtener los resultados correspondientes. A continuación, se grafican estos puntos en el plano cartesiano para visualizar la gráfica de la función. Se observa que la gráfica muestra una asíntota vertical cuando \( x = 2 \) y una asíntota horizontal cuando \( y = 0 \), confirmando los resultados obtenidos con el método analítico.

Mindmap

Keywords

💡Dominio

El dominio de una función se refiere a todos los valores posibles que puede tomar la variable independiente, en este caso 'x', sin restricciones matemáticas. En el guion, el dominio se determina analíticamente y se verifica gráficamente, encontrando que el único valor que no puede ser parte del dominio es 2, ya que esto causaría una división por cero en la función dada.

💡Contra-dominio

El contra-dominio, también conocido como rango, son todos los valores que puede tomar la variable dependiente 'y' o 'f(x)'. En el video, se establece que el contra-dominio incluye todos los números reales excepto el cero, ya que la función 1/(x-2) nunca dará como resultado 0, debido a que el numerador es constante y siempre igual a 1.

💡Método analítico

Este método implica analizar la función para identificar restricciones matemáticas, como la no división por cero. Se utiliza para establecer el dominio de la función, identificando que el denominador 'x-2' no puede ser cero, lo que resulta en la condición 'x ≠ 2'.

💡Método gráfico

El método gráfico se utiliza para representar visualmente el dominio y el contra-dominio de una función. En el guion, se tabula la función con diferentes valores de 'x', excepto 2, y se grafican los puntos resultantes para visualizar la forma de la gráfica y confirmar los hallazgos analíticos.

💡Restricciones matemáticas

Las restricciones matemáticas son condiciones que limitan los valores que puede tomar una variable en una función. En el video, la principal restricción es que el denominador 'x-2' no puede ser cero, lo que impide que 2 sea parte del dominio.

💡Desigualdad

Una desigualdad es una relación matemática que establece una diferencia entre dos expresiones numéricas. En el guion, se utiliza la desigualdad 'x-2 ≠ 0' para expresar matemáticamente la condición de que el denominador no puede ser cero.

💡División por cero

La división por cero es un concepto matemático no definido, es decir, no tiene solución. En el video, se evita esta situación al establecer que el dominio de la función no incluirá el valor de 'x' que haga que el denominador sea cero.

💡Numerador y denominador

En una fracción, el numerador es el número superior y el denominador es el inferior. En el guion, el numerador es constante (1) y el denominador es 'x-2'. La función se analiza para asegurarse de que el denominador no sea cero.

💡Intervalo

Un intervalo es un conjunto de números que incluye un rango continuo. En el video, el dominio se expresa como un intervalo que va desde menos infinito hasta 2, excluyendo el 2, y luego de 2 hasta infinito, utilizando corchetes y paréntesis para indicar los valores excluidos.

💡Gráfica del boomerang

Este término se refiere a una forma particular de gráfica que se da cuando la variable está en el denominador de una fracción. En el guion, la gráfica resultante de la función 1/(x-2) se describe como un boomerang debido a su forma en el plano, con dos segmentos de curva separados por una asienta vertical.

Highlights

Explicación de cómo obtener el dominio y el contradominio de una función.

Método analítico para determinar el dominio de una función.

Restricciones matemáticas en funciones, como el denominador no puede ser cero.

Condición matemática para el denominador de la función 1/(x-2).

Despeje algebraico para encontrar el dominio de la función.

Representación del dominio como un conjunto de números reales excepto 2.

Expresión del dominio y contradominio en forma de intervalos.

Método gráfico para verificar el dominio y contradominio de la función.

Tabulación de valores para graficar la función 1/(x-2).

Selección de valores cercanos a 2 para una mejor visualización gráfica.

Graficación de la función y observación de su comportamiento cerca de 2.

Identificación de las asintotas verticales y horizontales en la gráfica.

Confirmación del dominio y contradominio a través del método gráfico.

Caracterización de la gráfica del boomerang en funciones con denominadores variables.

Resumen de la lección y conceptos aprendidos sobre dominio y contradominio.