Sinus und Kosinus am Einheitskreis (einfach erklärt) | Herr Locher

Summary

Dieses Video erklärt die trigonometrischen Funktionen Sinus, Cosinus und Tangens am Beispiel eines rechtwinkligen Dreiecks. Es wird ein Einheitskreis eingeführt, um die Funktionen für Winkel größer als 90 Grad zu erklären. Der Sinus wird als Gegenkathete geteilt durch die Hypotenusen, der Cosinus als Ankathete geteilt durch die Hypotenusen und der Tangens als Gegenkathete geteilt durch die Ankathete definiert. Der Prozess wird durch die Bewegung eines Punktes auf dem Einheitskreis visualisiert, um die Veränderung der trigonometrischen Werte mit dem Winkel zu veranschaulichen.

Takeaways

• 📐 In einem rechtwinkligen Dreieck wird die Seite gegenüber dem rechten Winkel als Hypothenuse bezeichnet, die anderen beiden Seiten sind die Katheten.
• 🔢 Wenn ein weiterer Winkel alpha eingezeichnet wird, spricht man von der Gegenkathete von alpha und der Ankathete von alpha.
• 🐔 Eine Erinnerungshilfe für die Schreibweise von Trigonometrie-Begriffen: 'Sinus', 'Cosinus' und 'Tangens' – 'Sinus' hat ein 's' wie 'Sinus', 'Cosinus' hat ein 'c' wie 'Kathete', 'Tangens' hat ein 't' wie 'Tangente'.
• 📉 Die Definition von Sinus, Cosinus und Tangens ist für Winkel bis zu 90 Grad gültig, da bei einem rechten Winkel das Dreieck nicht existiert.
• 🌐 Der Einheitskreis ist ein Hilfsmittel zur Erweiterung der Trigonometrie-Definitionen für größere Winkel, indem man ein Koordinatensystem mit einem Radius von 1 zeichnet.
• 📍 Jeder Punkt auf dem Einheitskreis hat x- und y-Koordinaten, die als Gegenkathete und Ankathete für den Winkel alpha verwendet werden können.
• 📏 Sinus von alpha ist die y-Koordinate (Gegenkathete) des Punktes dividiert durch den Radius (1), was die Länge der Gegenkathete darstellt.
• 📏 Cosinus von alpha ist die x-Koordinate (Ankathete) des Punktes dividiert durch den Radius (1), was die Länge der Ankathete darstellt.
• 🔄 Der Sinus und Cosinus ändern sich mit der Bewegung des Punktes auf dem Einheitskreis, wobei Sinus bei 90 Grad den Wert 1 erreicht und Cosinus bei 0 Grad den Wert 1 hat.
• 🔁 Der Sinus und Cosinus sind periodische Funktionen, die sich im Bereich von 0 bis 360 Grad wiederholen, wechselnd zwischen positiven und negativen Werten.

Q & A

Was ist die Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck?

Die Hypotenuse ist die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt.

Wie nennt man die beiden Seiten, die nicht die Hypotenuse sind?

Diese Seiten nennt man Katheten.

Was ist der Sinus eines Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck?

Der Sinus eines Winkels ist das Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse.

Wie kann man sich merken, ob man Sinus, Cosinus oder Tangens verwenden soll?

Man kann sich die Eselsbrücke 'Gaga-Hühnerhof-AG' merken: Sinus ist Gegenkathete durch Hypotenuse, Cosinus ist Ankathete durch Hypotenuse und Tangens ist Gegenkathete durch Ankathete.

Warum funktioniert die Definition von Sinus, Cosinus und Tangens nur für Winkel kleiner als 90 Grad?

Weil bei einem Winkel von 90 Grad kein Dreieck mehr existiert, sondern die Katheten aufeinander liegen.

Was ist der Einheitskreis und wozu wird er verwendet?

Der Einheitskreis ist ein Kreis mit Radius 1 im Koordinatensystem. Er wird verwendet, um Sinus, Cosinus und Tangens für Winkel größer als 90 Grad zu definieren.

Wie wird der Sinus eines Winkels im Einheitskreis dargestellt?

Der Sinus eines Winkels ist die Länge der y-Koordinate eines Punktes auf dem Einheitskreis.

Wie wird der Cosinus eines Winkels im Einheitskreis dargestellt?

Der Cosinus eines Winkels ist die Länge der x-Koordinate eines Punktes auf dem Einheitskreis.

Was passiert mit dem Sinus, wenn der Winkel im Einheitskreis wächst?

Der Sinus wächst, bis er bei 90 Grad den Wert 1 erreicht. Danach sinkt er wieder und wird bei 270 Grad -1.

Was passiert mit dem Cosinus, wenn der Winkel im Einheitskreis wächst?

Der Cosinus sinkt von 1 bei 0 Grad auf 0 bei 90 Grad, dann weiter auf -1 bei 180 Grad und steigt wieder auf 0 bei 270 Grad und auf 1 bei 360 Grad.