Trigonometrie anschaulich erklärt I musstewissen Mathe

Summary

In diesem Video wird die Trigonometrie anschaulich erklärt, wobei der Fokus auf der geometrischen Interpretation der Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens im Einheitskreis liegt. Es wird gezeigt, wie die Funktionen als konkrete Längen im Kreis dargestellt werden und wie sie für alle Winkel, auch negative und über 360° hinaus, definiert werden können. Dabei wird der Zusammenhang zwischen den Funktionen sowie die besonderen Eigenschaften des Tangens bei bestimmten Winkeln (wie 90° und 270°) behandelt. Das Video bietet eine verständliche Einführung in die trigonometrischen Grundlagen, mit praktischen Visualisierungen und Anwendungen.

Takeaways

• 😀 Der Sinus ist das Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck.
• 😀 Der Einheitskreis hat einen Radius von 1, wodurch Sinus und Kosinus als konkrete Strecken sichtbar werden.
• 😀 Die Definition von Sinus und Kosinus wird am Einheitskreis erklärt, wobei der Radius immer 1 ist.
• 😀 Der Tangens wird über die Ankathete und nicht die Hypotenuse definiert, was zu einer spezifischen Konstruktion führt.
• 😀 Durch das Verschieben der Gegenkathete können wir den Tangens so umdefinieren, dass die Ankathete die Länge 1 hat.
• 😀 Der Tangens hat seinen Namen von der Tangente des Einheitskreises und stellt die Strecke t dar.
• 😀 Im Einheitskreis können die Werte von Sinus, Kosinus und Tangens als konkrete Längen abgelesen werden.
• 😀 Wenn der Punkt P auf dem vierten Kreiswandert, ändern sich die trigonometrischen Werte sichtbar.
• 😀 Der Winkel α kann beliebige Werte zwischen 0° und 360° durchlaufen, auch negative Werte sind möglich.
• 😀 Der Tangens ist für Winkel wie 90° und 270° nicht definiert, da der Punkt P dann auf der y-Achse liegt und die Tangente keine Schnittpunkte hat.

Q & A

Was ist der Einheitskreis?

Der Einheitskreis ist ein Kreis mit einem Radius von 1. Der Radius ist eine Längeneinheit, die für alle Berechnungen im Einheitskreis verwendet wird.

Wie werden Sinus, Kosinus und Tangens im Einheitskreis visualisiert?

Im Einheitskreis werden Sinus und Kosinus als die Koordinaten des Punktes P auf dem Kreis dargestellt. Der Sinus ist die y-Koordinate, und der Kosinus ist die x-Koordinate. Der Tangens ist die y-Koordinate des Punktes R, der auf einer Tangente zum Einheitskreis liegt.

Warum ist der Radius im Einheitskreis immer 1?

Der Radius im Einheitskreis ist immer 1, weil der Einheitskreis per Definition einen Radius von 1 hat, was die Berechnungen vereinfacht und standardisiert.

Wie wird der Tangens im Einheitskreis definiert?

Der Tangens wird als Verhältnis der Gegenkathete zur Ankathete eines rechtwinkligen Dreiecks im Einheitskreis definiert. Auf der Tangente des Kreises entspricht der Tangens der y-Koordinate des Punktes R.

Warum funktioniert der Trick mit Sinus und Kosinus im Einheitskreis, aber nicht mit dem Tangens?

Der Trick funktioniert bei Sinus und Kosinus, weil der Nenner (der Radius) immer 1 ist, was das Teilen durch 1 unnötig macht. Beim Tangens ist jedoch die Ankathete im Nenner, und diese hat nicht immer den Wert 1, weshalb der Trick hier nicht direkt funktioniert.

Wie kann man das Problem beim Tangens beheben?

Das Problem beim Tangens wird behoben, indem das Dreieck vergrößert wird, sodass die Ankathete die Länge 1 hat. Dies ermöglicht es, den Tangens korrekt zu berechnen.

Was bedeutet die Verschiebung der Gegenkathete nach rechts?

Die Verschiebung der Gegenkathete nach rechts stellt sicher, dass das Dreieck eine Ankathete von Länge 1 hat, wodurch der Tangens im Einheitskreis korrekt berechnet werden kann.

Warum sollte der Punkt P nicht nur auf dem viertel Kreis wandern?

Der Punkt P kann auf dem gesamten Kreis wandern, was bedeutet, dass auch Winkel über 360° und negative Winkel berücksichtigt werden können. Dadurch kann der Sinus und Kosinus für beliebige Winkel definiert werden.

Was passiert, wenn der Tangens für Winkel wie 90° oder 270° berechnet werden soll?

Für Winkel wie 90° oder 270° gibt es kein definiertes Ergebnis für den Tangens, da der Punkt P auf der y-Achse liegt, und die Tangente des Einheitskreises die Linie nicht schneidet. Daher wird der Tangens für diese Winkel nicht definiert.

Wie ändern sich die Werte der trigonometrischen Funktionen bei verschiedenen Winkeln?

Die Werte der trigonometrischen Funktionen ändern sich, wenn der Punkt P auf dem Einheitskreis wandert. Die Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens können für jeden Winkel zwischen 0° und 360° abgelesen und visualisiert werden, wobei die Funktionen wachsen oder sinken, je nachdem, in welchem Bereich der Punkt P sich befindet.