Формулы и теоремы, как логические инструменты математики

Summary

The speaker emphasizes the importance of understanding mathematical formulas and theorems as logical tools in the learning process. They argue that students often work with the results of these tools rather than the tools themselves, leading to a lack of insight into their origins. The lecture aims to correct this by highlighting the necessity of knowing how to apply these tools, comparing the process to using a reference sheet versus truly understanding the logic behind mathematical problem-solving. The speaker advocates for a clear distinction between the equation and its solution, and for a focus on the logical application of formulas and theorems in mathematical education.

Takeaways

• 📐 Mathematics is often taught implicitly using logical tools without explicitly teaching the logic behind them.
• 🔍 The speaker emphasizes the necessity of understanding formulas and theorems as logical tools rather than just memorizing them as reference materials.
• 👨‍🏫 Teachers and tutors often use formulas and theorems implicitly when explaining solutions, which can hinder students from learning how to apply them independently.
• 🧩 The process of learning mathematics should involve understanding how to use logical tools rather than just working with the products derived from them.
• 📚 Memorizing formulas is not necessary because understanding when and how to apply them is more important for problem-solving.
• 🔄 The concept of 'equivalence' in mathematics is crucial, ensuring that no extraneous solutions are added or existing ones lost when transforming equations.
• 📝 The speaker advocates for a clear distinction between the process of solving equations and the equations themselves, arguing that students should understand the logic behind each step.
• 📈 When dealing with functions and graphs, the relationship between sets of data (like coordinates on a graph) should be clearly demonstrated as a logical tool of the mathematical model.
• 📑 The speaker criticizes the common practice of presenting solutions to trigonometric equations in a manner that混淆了 equations and their solutions, which can lead to mathematical illiteracy.
• 📘 The importance of logical structure in mathematical education is highlighted, with a call to focus on the logical tools and their applications rather than just formalizing mathematical knowledge.

Q & A

What does the lecturer believe is the role of formulas and theorems in mathematics?

The lecturer believes that formulas and theorems are logical tools of mathematics, which are implicitly used in the learning process. They are not taught as tools but rather as products derived from these tools, leading to a lack of understanding of how these products are generated.

Why does the lecturer consider the lecture on logical tools necessary?

The lecturer finds the lecture necessary because students at schools and universities mainly work with the products of logical tools rather than the tools themselves, leading to a lack of understanding of their origins and applications.

What is the common mistake made by students and teachers when applying formulas and theorems, according to the lecturer?

The common mistake is using formulas and theorems as mere reference materials without understanding their role as logical tools. This leads to memorization rather than application, and students may not know when and how to apply them correctly.

How does the lecturer suggest improving the understanding of mathematical problem-solving?

The lecturer suggests focusing on the logical tools themselves, emphasizing the application of formulas and theorems, and showing students how to use these tools to derive results, rather than just presenting the results.

What is the lecturer's view on the use of formulas and theorems in solving mathematical problems?

The lecturer views formulas and theorems as essential logical tools that should be understood and applied correctly in problem-solving. They should not be treated as mere memorized facts but as instruments that help in deriving solutions.

Why does the lecturer argue against memorizing formulas without understanding their application?

The lecturer argues against memorization because it is unnecessary and ineffective. Understanding when and how to apply a formula is more important than memorizing it. Knowing which formula to use indicates an understanding of the problem-solving process.

What does the lecturer mean by 'logical chain' in the context of solving equations?

The 'logical chain' refers to the sequence of logical steps and applications of formulas that lead from the original equation to its equivalent form, ensuring that no extraneous or missing solutions are introduced during the transformation process.

How does the lecturer criticize the common practice of teaching mathematical equations in schools?

The lecturer criticizes the practice for often neglecting to show the logical process behind solving equations, merely presenting the final results. This approach fails to teach students how to independently apply formulas and understand the underlying logic.

What is the lecturer's stance on the importance of formalizing mathematical solutions?

The lecturer emphasizes the importance of formalizing mathematical solutions to distinguish between the equation and its solution, ensuring clarity and preventing confusion. This formalization should reflect the logical application of formulas and theorems.

Why does the lecturer stress the need to differentiate between an equation and its solution?

The lecturer stresses this differentiation because it helps students understand the process of transforming an equation into its solution, which is a critical part of mathematical problem-solving. It also highlights the role of formulas and theorems as tools in this transformation.

What does the lecturer suggest should be the focus in teaching mathematics?

The lecturer suggests that the focus should be on teaching students to work with logical tools, such as formulas and theorems, and understanding their application in problem-solving, rather than just memorizing products of these tools.

Outlines

00:00

📚 The Importance of Logical Mathematical Tools

The speaker emphasizes the significance of formulas and theorems as logical tools in mathematics education. They argue that these tools are often used implicitly in the learning process, leading to a focus on mathematical products rather than the tools themselves. This results in students lacking an understanding of how these products are derived. The speaker advocates for a shift in focus to the logical tools themselves, as understanding their application is crucial for problem-solving and mathematical modeling. They also criticize the common practice of memorizing formulas without understanding their logical application, suggesting that this approach is ineffective and leads to reliance on rote memorization rather than true comprehension.

05:01

🔄 The Misapplication in Solving Equations

This paragraph discusses the common mistakes made in teaching and solving equations, particularly the violation of the principle of equivalence. The speaker points out that when a teacher demonstrates solving an equation, the formula is often applied without showing the process, which hinders students from learning to apply the formula independently. The speaker also compares the memorization of formulas to the impracticality of an engineer memorizing an entire handbook, arguing that understanding when and how to use the formulas is more important than memorization. They introduce the concept of a 'technological map' for mathematical problem-solving, which outlines the logical sequence of applying formulas and theorems to arrive at a solution.

10:02

📐 Clarifying Trigonometric Equations and Their Solutions

The speaker addresses the improper handling of trigonometric equations in educational responses. They stress that the solution to a trigonometric equation should be a sequence of angles, not just an equation. The main idea is to find a sequence of angles, which is often overlooked, leading to mathematical illiteracy. The speaker advocates for a clear distinction between the equation and its solution, with the solution being either a number or a numerical sequence. They also criticize the lack of formalization in educational materials, which can confuse students and lead to a misunderstanding of the difference between solving an equation and the equation itself.

15:04

📘 The Role of Formalization in Mathematical Education

Here, the speaker argues against creating confusion in students' minds by not clarifying the difference between an equation and its solution. They emphasize the importance of formalization in mathematics, not for its own sake, but to ensure that students understand the logical relationship between variables and equations. The speaker criticizes the focus on formalization over substance, suggesting that understanding the application of formulas and theorems is more important than just their memorization. They also discuss the importance of showing students how to establish relationships between quantities using formulas, which is a critical part of mathematical literacy.

20:05

🔍 The Essence of Mathematics as a Logical Tool

In the final paragraph, the speaker reiterates that mathematics is a logical tool and its primary role is to apply these tools for understanding and modeling various kinds of knowledge. They criticize the lack of emphasis on this aspect in schools and higher education, which can lead to students not understanding the application of formulas and theorems as logical tools. The speaker also discusses the importance of showing the logical application of graphical representations of functions, emphasizing the relationship between two sets of data. They conclude by stating that their lecture aims to highlight the importance of understanding formulas and theorems as logical tools, which is a crucial aspect of mathematical modeling and education.

Keywords

💡Logical Tools

Logical tools refer to the foundational principles and methods used in mathematics to derive conclusions from premises. In the context of the video, the speaker emphasizes that these tools are often used implicitly in the learning process, with students working more with the results of these tools rather than the tools themselves. The speaker argues for a deeper understanding of how these tools generate mathematical products, which is crucial for proper mathematical modeling and problem-solving.

💡Mathematical Products

Mathematical products are the outcomes or results derived from applying logical tools in mathematics, such as numbers, functions, and relations. The video script discusses how students are often taught to work with these products rather than the logical tools that create them, which can lead to a lack of understanding of the foundational processes in mathematics.

💡Modeling

Modeling in mathematics involves using mathematical concepts, formulas, and theories to describe or predict real-world phenomena. The speaker points out that to effectively engage in mathematical modeling, one must understand how to use logical tools, as this knowledge is essential for accurately representing and solving problems.

💡Theorems and Formulas

Theorems and formulas are key components of mathematical logic, representing proven statements and relationships used to derive new information. The video script highlights the importance of not just memorizing these but understanding how and why they are applied, which is central to the speaker's argument for a more conceptual approach to mathematics education.

💡Implicit Use

Implicit use in the video refers to the way mathematical tools are often employed without explicit instruction or understanding. The speaker criticizes this approach, suggesting that it leads to a superficial engagement with mathematics and a lack of deep understanding, especially when it comes to applying these tools in problem-solving.

💡Self-Study

Self-study is the process of learning independently, which the speaker believes should involve engaging with logical tools rather than just memorizing mathematical products. The video suggests that through self-study, students can internalize the logic behind mathematical concepts, leading to a more profound understanding.

💡Technological Process

A technological process in the video is likened to the logical sequence of applying mathematical tools to solve problems. The speaker uses this analogy to illustrate the importance of understanding the sequence and logic behind solving mathematical problems, just as one would follow a technological process in manufacturing.

💡Formalization

Formalization in mathematics refers to the process of making something conform to a standard or logical structure. The video discusses the dangers of overemphasizing formalization at the expense of understanding the content and meaning behind mathematical expressions, which can lead to confusion and a lack of true comprehension.

💡Graphical Representation

Graphical representation is the use of graphs or visual models to represent mathematical relationships or data. The speaker argues for the importance of understanding the logical connection between data points in a graph, which represents a relationship between two sets of data, typically on the x and y axes.

💡Mathematical Literacy

Mathematical literacy, as discussed in the video, involves not only the ability to perform calculations but also to understand and apply mathematical concepts appropriately. The speaker is concerned that an overemphasis on formalism can lead to a lack of mathematical literacy, where students can perform operations but do not understand the underlying logic.

💡Logical Instruments

Logical instruments are the fundamental tools of mathematical reasoning, such as axioms, theorems, and deductive reasoning. The video script stresses that these instruments should be clearly understood and applied in the learning process, as they are the basis for all mathematical modeling and problem-solving.

Highlights

The lecture titled 'Formulas and Theorems as Logical Tools of Mathematics' emphasizes the importance of understanding the logic behind mathematical tools.

Mathematical education often implicitly uses logical tools, leading to a focus on products rather than the tools themselves.

Students are taught to work with numbers, functions, and relations rather than the logical tools that produce these concepts.

The process of learning mathematics should include understanding how logical tools give rise to mathematical products.

The speaker argues that understanding logical tools is essential for modeling and problem-solving in mathematics.

Teachers often use formulas and theorems implicitly, treating them as reference materials rather than as tools to be understood and applied.

The reliance on memorizing formulas and theorems is criticized as an outdated and ineffective approach to learning mathematics.

The speaker advocates for a shift in focus from memorization to understanding the application of formulas and theorems in mathematical problem-solving.

Highlighting the importance of understanding when and how to apply specific formulas is crucial for true mathematical proficiency.

The lecture discusses the misuse of logical tools in teaching, where the process of applying formulas is often skipped, hindering students' ability to apply them independently.

The speaker stresses the need for a clear distinction between the process of solving equations and the equations themselves.

The concept of 'equivalence' in solving equations is introduced as a key principle that should be actively used and understood by students.

The importance of understanding the logical sequence behind solving equations and systems is emphasized to avoid introducing extraneous solutions.

The lecture critiques the common practice of showing only the results of applying formulas without showing the formulas themselves.

The speaker calls for a reevaluation of the way mathematical answers are formatted, especially in the context of trigonometric equations.

The correct approach to solving trigonometric equations should involve finding a sequence of angles, not just solving the equation.

The lecture argues for a clear distinction between the equation and its solution, highlighting the importance of proper mathematical literacy.

The speaker emphasizes the need for mathematical education to focus on the logical tools of mathematics rather than just formalization.

The lecture concludes by asserting that formulas and theorems are logical tools that should be understood and applied correctly in mathematical modeling.

Transcripts

свою лекцию Я назвал формулы и теоремы

как логический инструмент математики

Почему я считаю эту лекцию необходимой

дело заключается в том что в процессе

обучения

математики логические инструменты

используются неявно то есть работа

происходит не с логическими

инструментами А с продуктами которые

получаются из этих логических

инструментов поэтому процессе обучения

математики учат работать не с мерой А с

числом не с отношением А с функцией и

так далее и в результате получается

такая ситуация что Работая в основном с

продуктами вот этих логических

инструментов учащиеся как школы так и

ВУЗа не имеют представления о том Каким

образом порождаются сами эти продукты а

самом

занима моделированием надо знать как

работают логические инструменты

Интересно что подобная ситуация

переносится также на решение задачи

когда преподаватель математики или

репетитор объясняет какое-то решение

задачи то он неявно использует формулу

или теорему для того чтобы представить

результат использу фор или теоремы

не считая Вот

это именно формулы и теоремы логическими

инструментами с ними поступают как со

справочным материалом то есть либо как

это в Дне нашей молодости заставляли

заучивать формулы наизусть и в

результате очень многие школьники и

студенты писали так называемые шпоры или

шпаргалки потому что невозможно Помнить

все фо это

либо Значит все справочные материалы эти

формулы выписывали на отдельный листок

на справочный лист и пользоваться ими

можно было на экзамене ошибочность

такого представления заключается в том

что ну во-первых запомнить все формулы

просто не нужно потому что в данном

случае если скажем форму тригонометрии

доста много

отдельно формулы на листочке то

ошибочность этого представления состоит

в том что тот кто умеет решать задачи

тот знает На каком этапе и какую формулу

необходимо применить поэтому этот листок

ему не нужен тот кто не умеет решать

задачи и ему предстоит выбрать формулу

необходимую для

решения он может зна Каю Выра потому что

огромное количество формул иди знай

какую надо формулу выбрать если он знает

какую надо формулу выбрать значит он уже

знает решение как надо организовать

решение задачи Вот почему когда я

рассматриваю свои управляющие алгоритмы

то я подчеркиваю именно формулу то есть

Я указываю Что необходимо применить

какую формулу как правило это если

скажем решатся уравнения это формулы

тождества различные тождества

тригонометрические тождества

алгебраические тождества и так

далее или если это решается

геометрическая задача то это теорема где

я говорю о том что теорему я выделяю

красным цветом

формулируют между какими-то объектами

потому что теорема определяет вид

отношений или отношение равенства

треугольников или правильно говорить

конгруэнтности или это отношение подобия

или это отношение равно велико или это

допустим это отношение

пропорциональности то есть самое

различные отношение Это непосредственно

в геометрии когда же речь идёт об

алгебре и о тригонометрии то я показываю

формулу выделяю её красным цветом

показываю где е надо

применить показываю и и не показываю вот

здесь я антивата применения этот

учащийся Вт на следующем шагу пото

показать это с

прифо

показывает ЕС я наука применять фо

значит я ежен показать Реут он должен

Уде он льно применил её или нет На

следующем шае

Кроме того когда рассматривается решение

уравнений связанные с заменой переменной

то очень часто нарушается сам принцип

решения то есть имеется некое уравнение

в котором надо произвести замену что это

означает это означает что уравнение

равносильно системе где замена

становится уравнением то есть с помощью

такого-то уравнения преобразовать данное

уравнение в систему уравнений работать

ВС время с системой и потом снова от

системы перейти к

уравнению должна существовать какая-то

логическая цепочка Почему Потому что

каждый раз когда мы решаем уравнение и

применяем необходимую формулу мы

переходим от данного уравнения к

равносильно то есть уравнение имеющее

такое же множество

решений вот э идея она пото уза

Рим равносильности то это значит что не

приобретаются ни посторонние

решения не теряются решени если идея

равносильности используется активно но

беда заключается в том что когда

преподаватель математики показывает

решение уравнения то саму формулу он

использует говоря нено показывает

уже результаты применения самой формулы

При таком подходе учащийся никогда не

сможет применить эту формулу

самостоятельно потому что он её не видит

и если допустим Учитель хочет чтобы

ученики все эти формулы

запомнили то само понимание запомнить

формулу Ну возьмите допустим того же

инженера чтобы он запомнил весь

справочник инженера

может такое быть Нет конечно инженер

должен пользоваться справочными

материалами когда это ему необходимо Но

это вовсе не означает что скажем

инженер-механик или инженер гидравлик

или ещё какой-то инженер помнит наизусть

все формулы которые необходимы для этого

это же глупость или скажем какие-то

справочные математические материалы

скажем все функции тоже

глупость что сам процесс обучения я

подчеркиваю процесс обучения он как раз

и учит работать с

продуктами а вот процесс

самопознания должен другому чему-то

обучить чему именно работать с

логическими инструментами вот этому учит

Уже процесс

самопознания и поскольку логическими

инструментами являются формулы и

теоремы то надо обязательно каким-то

образом зафиксировать это и тогда решая

различные задачи Где встречаются эти

формулы и теоремы

постоянно учащиеся фиксирует их в своей

памяти фиксирует Не потому что он их

должен запомнить а потому что они

запоминаются

сами потому что в процессе решения задач

где указывается формула а при переходе

от задачи к задаче набор формул

повторяется то есть повторяется

технология Что такое технология решения

математической задачи это список

логических инструментов применяемых для

решения этой задачи точно такая же

ситуация как в технологическом процессе

вот тот кто скажем занимался проблемами

технологических процессов на

производстве прекрасно понимает что для

того чтобы обработать деталь обработать

заготовку и превратить в деталь нужно

использовать ряд технологических про

воз обработка металлов резанием с

различными параметрами резания или

обработка металлов давлением и так далее

но так или иначе существует

технологическая карта по которой человек

в смысле рабочий первый раз работая с

заготовкой должен смотреть за тех

процессом там же кстати указываются

различные допуски которые можно толь

делать потому что не всякие допуски

возможно делать

ре это та же самая технологическая карта

которая показывает учащемуся что

необходимо делать и приводит его к

ответу ответы обязательно оставлю потому

что нужна определённая ясность чтобы

было понятно как ОДО оформлять кстати

сказать когда я смотрю Каким образом

оформляются ответы к решению уравнений в

особенности тригонометрических

выглядят просто математически неграмотно

ведь что такое решение

тригонометрического уравнения это

последовательность последовательность

углов раз это последовательность углов

значит это множество раз это множество

Значит надо заключать в рамки множества

где за рамками множества надо ставить

именно Ту самую переменную или

переменную последовательности которая

является целым числом вместо этого

пишется само уравнение вот чаще всего

видно в ответах xn раня пи де 2 п там

2np это не ответ Это уравнение а главная

идея поиска решения тригонометрического

уравнения - это поиск последовательности

последовательности

углов Вот это главная идея И поэтому

когда авторы те же самые тот же сканави

там другие авторы пишут в ответах сами

уравнения

простейшие xn равняется то это

математически неграмотно потому что это

уравнение уравнение тривиальное

уравнение простое а ответ Должен

заключать

последовательность если таких

последовательностей несколько Значит

надо применять знак соединения множеств

вот это как раз то что я делаю

непосредственно в своих Задача В своих

пособиях где я рассматриваю

тригонометрию

тоже самое решается тригонометрическое

неравенство что это означает это

означает что мы находим определённые

интервал или определённое множество

которое необходимо для решения данного

неравенства если таких

интервалов много значит мы их

Соединяем то есть Нужно обязательно

чётко различать разницу между решением

уравнения и самим

уравнением два разных объекта уравнение

- это объект над которым мы работаем и в

конечном счёте приводим его к тривиально

виду то же самое линейное или нелинейное

это неважно Какое или тригонометрическое

или логарифмическое а ответ - это либо

число либо числовая последовательность

так как это в

тригонометрии И если мы на сегодняшний

день показываем учащемуся

неправильный ответ

то есть неправильную запись ответа то мы

дезориентировать Да дело в том что сама

формализация отличает уравнение от его

решения ведь решая какое-то

дифференциальное уравнение Вы же не

будете писать какое-то тривиальное

дифференциальное уравнение вы будете

находить функцию функцию которая

является решением этого уравнения Так

почему же к этой вот безалаберность надо

приучать школьников

Непонятно И вот поэтому я говорю что

формулы и теоремы должны стать логически

и когда непосредственно ученик понимает

смысл геометрической теоремы то он

понимает её в применении К

геометрическим объектам который

устанавливает отношения между

геометрическими объектами это и теорема

Пифагора который устанавливает отношения

между геометрическими объектами это

теорема синусов теорема косинусов все э

Тео устанавливать отношения а вот эти

отношения уже должен устанавливать сам

обучаемый а что же получается а

получается то что в результате просто

пишется какое-то решение без

фиксации без фиксации необходимого

инструмента с помощью которого

получается данное отношение вот это как

раз то что характерно безалаберно

процессу решения математической задачи

Мы очень часто говорим об оформлении

оформление - это

формула это тоже формула это Форма с

помощью которой пишется грамотное

решение грамотное решение грамотность

математики ничуть не меньше должна

существовать чем грамотность в языке и

то что я действительно Сейчас вижу в

различных задачника с канави Шана и так

далее я вижу математическую

неграмотность я ви

между уравнением и решением

уравнения и э Путаница которая вроде с

одной стороны Ну что тут такое Зачем

заниматься

формализации я ещё раз повторяю не надо

создавать путаницу в голове у ученика в

голове у студента Надо чётко

подчёркивать разницу И когда я в данном

случае гово именно офор как основном лом

хочу сказать что когда мы берм

непосредственно самые различные

математические задачи задачи связанные с

прогресси задачи связаные с решением

уравнений задачи связаны с составлением

уравнений составление

уравнения допустим решается задача на

движение какую формулу она использует

закон движения с помощью закона движения

что устанавливается связь кто должен

установить эту связь сам ученик и вот

когда он Берт и мы говорим что с помощью

такого с помощью формулы закона там

движения установить связь между

такими-то величинами в форме уравнения

тогда он понимает что такое уравнение

уравнение - это логическая форма

отражения связи Вот тогда он понимает

связь между связью величин и

уравнением надо постоянно подчеркивать в

таких вещах как в особенно

содержательный смысл содержательный

Смысл мы слишком много уделяем вниманию

формализации и значительно меньше

уделяем внимание

содержательности Это принципиально

неправильная позиция в математическом

образовании Каждый раз когда мы начинаем

решать задачи на составление уравнения у

нас начинается прежде всего то что мы

Никаким образом не просим составлять эти

уравнения как фор выражения связи А

когда мы это не делаем то мы не

показываем Именно какую именно формулу

связи надо при этом использовать и вот

это как раз и есть математическая

неграмотность Вот почему я посчитал

необходимым посвятить свою лекцию именно

этом этому вопросу что формулы и теоремы

являются логическими инструментами

математики это очень важно понять потому

что без такого понимания применение как

формул так и теорем представляет собой

Просто набор логических формализм без

содержательного понимания самих

инструментов ведь чаще

всего когда учащиеся или школы или ВУЗы

начинают говорить о какой-то

теореме Они не имеют представления о том

что Это логический инструмент что он

предназначен для чего-то а они просто

говорят какую-то теорему и всё А когда

эту теорему надо применить они её

применить не могут Почему Потому что они

не могут понять что теорема - Это

логический инструмент который необходим

для применения Это то же самое что

показать скажем медику шприц не говоря о

том Каким образом надо применять его

просто показать демонстрацию того же

самого шприца вот он так действует вот

можно нажимать на porche выдавливается

допустим какая-то жидкость и ВС а

показать Для чего он применяется не

показывать Это та же самая ситуация что

делается в математическом образовании

когда не показывается смысл действия

самого инструмента а показывается только

продукт который мы

получаем я могу себе представить Медика

который он увидел какую-то допустим вз

может понять почему Произошло это

вздутие тоже

самое потому что он неправильно сделал

укол и это между просим такие вещи у

медиков встречаются очень часто именно

из-за того что они неправильно применяют

тот же самый шприц вот я заострил

внимание на применение логических

инструментов потому что как правило об

этом никто и никогда не пишет почему-то

не видят в математике логические

инструменты на самом же деле это целый

ящик с логическими инструментами и смысл

математического моделирования

заключается в том чтобы правильно

применять эти логические

инструменты нет уделяют больше внимания

технологиям с которой совершенно

спокойно может работать компьютер а вот

проектированию счёт который заключается

в структурировании количества для того

чтобы показать Каким образом работает

мера это не

делается а показать что в данном случае

график функции числовой функции является

логическим выражением связи между двумя

отрезками один отрезок находится на оси

X другой отрезок на оси Y И связь между

этими отрезками выражается как раз

именно графическими вот этим графиком

функции это не делается а на самом деле

это главная идея Каким образом мы

получаем график не просто потому что

берм и считаем значение числовой функции

А мы отражаем связь между двумя

множествами которые как раз и

заключается в определении функции как

отношение между двумя множествами Так

надо же это сразу и показывать а не

просто говорить область определения

множества значений надо фиксировать

отношение между двумя множествами одно

множество находится на оси X второе на

оси Y и нужно показывать как одно

множество переходит в другое с помощью

чего с помощью графика и опять-таки

график становится тем

инструментом именно координация

становится отношение между вот этими

координатами это становится тем

логическим инструментом смою которых

строится фик опять логический

инструмент К сожалению то о чём я говорю

преподавателям математики не знакомо

я проработал много лет преподавателем

математики и сталкивался это

неоднократно с тем что процесс

формализации математического знания

затенять главную мысль А главная мысль

состоит что математика Это логический

инструмент и в этом заключается её

главная роль логический инструмент

который применяется для математици

знания для мамаи

для математици биологического знания и

так далее если мы не подчеркиваем идею

математики как логического инструмента в

школе то о чём мы говорим Когда речь

пойдёт о моделировании скажем в ВУЗе

Понятное дело что Студенты не имеют

представления об

этом значит я считаю что моя лекция

которая именно

показывает что формула и теоремы - Это

логический инструмент математики должна

заинтересовать моих слушателей Спасибо

за внимание