Suma y diferencia de ángulos: problemas de trigonometría

Summary

En este video tutorial, el profesor explica cómo calcular la suma y diferencia de ángulos en trigonometría. Se presentan seis fórmulas clave para sumar o restar seno, coseno y tangente de ángulos, y cómo dependen del signo. Se utiliza el ejemplo práctico de calcular el seno, coseno y tangente de 15 grados a partir de los ángulos de 45 y 30 grados. El profesor guía paso a paso a través de las ecuaciones, destacando la importancia de aplicar las fórmulas correctamente y el cuidado con los signos. Además, ofrece recursos adicionales para práctica adicional.

Takeaways

• 📚 Se discuten las fórmulas para la suma y diferencia de ángulos en trigonometría.
• 🔢 Se presentan seis fórmulas para el seno, coseno y tangente de ángulos sumados o restados.
• ➡️ Se explica cómo cambiar el signo en las fórmulas dependiendo de la suma o resta de ángulos.
• 📐 Se utilizan las fórmulas para calcular el seno, coseno y tangente de 15 grados a partir de los ángulos 45 y 30 grados.
• 🧮 Se muestran los cálculos paso a paso para llegar a las soluciones numéricas.
• 📉 Se resalta la importancia de aplicar correctamente las fórmulas y prestar atención a los signos.
• 📝 Se sugiere que el conocimiento de estas fórmulas es fundamental para resolver problemas de trigonometría.
• 📊 Se menciona que los ángulos 45 y 30 grados son comunes en problemas de trigonometría y se utilizan para encontrar otros ángulos.
• 📖 Se ofrecen ejercicios con soluciones para practicar los conceptos aprendidos.
• 💬 Se invita a los espectadores a comentar dudas o aportar comentarios en la página web del video.

Q & A

¿Cuáles son las fórmulas para la suma y diferencia de seno, coseno y tangente de ángulos según el guion?

Las fórmulas para la suma y diferencia de ángulos son: seno(a ± b) = seno(a)coseno(b) ± coseno(a)seno(b), coseno(a ± b) = coseno(a)coseno(b) ∓ seno(a)seno(b), y tangente(a ± b) = (tangente(a) ± tangente(b)) / (1 ∓ tangente(a)tangente(b)).

¿Cómo se determina el signo en las fórmulas de suma y diferencia de ángulos?

El signo en las fórmulas de suma y diferencia de ángulos se determina según el tipo de operación (suma o resta) y el ángulo que se está calculando. Por ejemplo, en la fórmula de seno(a ± b), se utiliza '+' si es una suma y '-' si es una resta.

¿Qué significa el 'verde' mencionado en el guion al explicar las fórmulas de trigonometría?

El 'verde' se refiere a los términos que se deben mantener iguales en las fórmulas de suma y diferencia de ángulos, como seno(a) y seno(b), o coseno(a) y coseno(b), para aplicar correctamente las fórmulas.

¿Cómo se calcula el seno de 15 grados utilizando las fórmulas de suma y diferencia de ángulos?

Para calcular el seno de 15 grados, se utiliza la fórmula de resta de ángulos: seno(45 - 30) = seno(45)coseno(30) - coseno(45)seno(30), lo que da como resultado (√2/2)(√3/2) - (√2/2)(1/2), que simplifica a (√6 - √2)/4.

¿Cuál es el resultado numérico aproximado del seno de 15 grados según el guion?

El resultado numérico aproximado del seno de 15 grados, según el guion, es (√6 - √2)/4, que se puede calcular con una calculadora para obtener un valor decimal.

¿Cómo se calcula el coseno de 15 grados utilizando las fórmulas del guion?

El coseno de 15 grados se calcula con la fórmula de resta de ángulos: coseno(45 - 30) = coseno(45)coseno(30) + seno(45)seno(30), lo que resulta en (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2), que simplifica a (√6 + √2)/4.

¿Cuál es el resultado numérico aproximado del coseno de 15 grados según el guion?

El resultado numérico aproximado del coseno de 15 grados, según el guion, es (√6 + √2)/4, que se puede obtener con una calculadora para obtener un valor decimal.

¿Cómo se calcula la tangente de 15 grados según el guion?

La tangente de 15 grados se calcula con la fórmula de resta de ángulos: tangente(45 - 30) = (tangente(45) - tangente(30)) / (1 + tangente(45)tangente(30)), lo que resulta en (1 - √3/3) / (1 + 1*√3/3), que simplifica a 2 - √3.

¿Cuál es el resultado numérico aproximado de la tangente de 15 grados según el guion?

El resultado numérico aproximado de la tangente de 15 grados, según el guion, es 2 - √3, que se puede calcular con una calculadora para obtener un valor decimal.

¿Cómo se pueden aplicar estas fórmulas para resolver problemas de trigonometría con ángulos diferentes?

Estas fórmulas se pueden aplicar a problemas de trigonometría con ángulos diferentes cambiando los valores de a y b en las fórmulas para encontrar los seno, coseno y tangente de los ángulos resultantes.

¿Dónde pueden encontrarse ejercicios con soluciones para practicar más sobre la suma y diferencia de ángulos según el guion?

Los ejercicios con soluciones para practicar más sobre la suma y diferencia de ángulos se pueden encontrar debajo del vídeo en la página web del profesor puntocom.

Outlines

00:00

📚 Introducción a la Trigonometría de Ángulos Suma y Resta

Este primer párrafo introduce el tema de la suma y diferencia de ángulos en trigonometría. Se explican seis fórmulas clave para el seno, el coseno y la tangente de dos ángulos a y b, dependiendo del signo. Estas fórmulas son: seno(a+b), seno(a-b), coseno(a+b), coseno(a-b), tangente(a+b) y tangente(a-b). Se enfatiza la importancia de aplicar estas fórmulas correctamente y se menciona que el conocimiento de estas permitirá resolver problemas trigonométricos más complejos.

05:01

🔢 Cálculo de Seno, Coseno y Tangente para Ángulos Específicos

En el segundo párrafo, se procede a aplicar las fórmulas mencionadas para calcular el seno, el coseno y la tangente de un ángulo de 15 grados, utilizando los ángulos de 45 y 30 grados como base. Se detallan los pasos para cada cálculo, incluyendo la manipulación de las fórmulas para adaptarse a la suma y resta de ángulos. Se presentan los resultados de los cálculos en forma de expresiones algebraicas, que pueden ser simplificadas o evaluadas numéricamente. Además, se sugiere la posibilidad de realizar cálculos similares para otros ángulos, como el seno de 20 grados utilizando los ángulos de 10 grados.

Keywords

💡Trigonometría

Trigonometría es una rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos, especialmente los triángulos rectángulos. En el video, la trigonometría es el tema central, ya que se utiliza para resolver problemas relacionados con la suma y diferencia de ángulos, utilizando funciones trigonométricas como el seno, el coseno y la tangente.

💡Ángulo

Un ángulo es una porción del espacio definida por dos líneas que se encuentran en un punto, llamado vértice. En el video, los ángulos son fundamentales para entender cómo se aplican las fórmulas de trigonometría, especialmente en el contexto de la suma y diferencia de ángulos.

💡Seno

El seno es una función trigonométrica que representa la relación entre la longitud del lado opuesto al ángulo y la hipotenusa en un triángulo rectángulo. En el guion, el seno es utilizado para calcular el valor del ángulo 15° a partir de los ángulos 45° y 30°, mostrando cómo se relacionan estos valores.

💡Coseno

El coseno es otra función trigonométrica que mide la relación entre el lado adjacente al ángulo y la hipotenusa en un triángulo rectángulo. En el video, el coseno se utiliza para determinar el valor del coseno de 15°, siguiendo el patrón de la suma y diferencia de ángulos.

💡Tangente

La tangente es una función trigonométrica que se define como la razón entre el lado opuesto y el lado adjacente de un ángulo en un triángulo rectángulo. En el guion, la tangente se calcula para el ángulo 15°, siguiendo las fórmulas de suma y diferencia de ángulos.

💡Fórmula de suma y diferencia

Las fórmulas de suma y diferencia son ecuaciones trigonométricas que permiten calcular las funciones trigonométricas de la suma o diferencia de dos ángulos. En el video, estas fórmulas son clave para resolver el problema presentado, ya que se aplican para encontrar los valores de seno, coseno y tangente de 15°.

💡Signo

El signo en matemáticas y en particular en trigonometría, determina si un número es positivo o negativo. En el video, el signo es crucial al aplicar las fórmulas de suma y diferencia, ya que afecta el resultado final, como se muestra en las ecuaciones donde se alternan signos más y menos.

💡Raíz cuadrada

La raíz cuadrada de un número es otro número que, al multiplicarse por sí mismo, da el número original. En el video, la raíz cuadrada se utiliza en los cálculos para simplificar las expresiones trigonométricas, como se ve en los ejemplos donde se calcula el seno y el coseno de 15°.

💡Hipotenusa

La hipotenusa es el lado más largo de un triángulo rectángulo, opuesto al ángulo right. En el contexto del video, la hipotenusa es relevante para entender cómo se calculan las funciones trigonométricas, ya que estas se basan en la relación de los lados del triángulo con respecto a la hipotenusa.

💡Funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas son funciones matemáticas que se relacionan con los ángulos y los lados de un triángulo rectángulo. En el video, las funciones trigonométricas son el núcleo del contenido, ya que se utilizan para resolver problemas específicos de suma y diferencia de ángulos.

Highlights

Explicación de la suma y diferencia de ángulos en trigonometría.

Introducción a las fórmulas de seno, coseno y tangente para la suma y diferencia de ángulos.

Fórmula del seno de la suma de dos ángulos (seno(a + b) = seno(a) * coseno(b) + coseno(a) * seno(b)).

Fórmula del seno de la resta de dos ángulos (seno(a - b) = seno(a) * coseno(b) - coseno(a) * seno(b)).

Fórmula del coseno de la suma de dos ángulos (coseno(a + b) = coseno(a) * coseno(b) - seno(a) * seno(b)).

Fórmula del coseno de la resta de dos ángulos (coseno(a - b) = coseno(a) * coseno(b) + seno(a) * seno(b)).

Fórmula de la tangente de la suma de dos ángulos (tangente(a + b) = (tangente(a) + tangente(b)) / (1 - tangente(a) * tangente(b))).

Fórmula de la tangente de la resta de dos ángulos (tangente(a - b) = (tangente(a) - tangente(b)) / (1 + tangente(a) * tangente(b))).

Importancia de aplicar correctamente los signos en las fórmulas de trigonometría.

Ejemplo práctico: Calcular seno(15°) usando la fórmula de seno de la resta (45° - 30°).

Cálculo del seno(15°) utilizando las fórmulas y valores de seno y coseno de 45° y 30°.

Resultado del cálculo del seno(15°) y su representación numérica.

Ejemplo práctico: Calcular coseno(15°) usando la fórmula de la resta de ángulos.

Cálculo del coseno(15°) y su comparación con el resultado del seno(15°).

Ejemplo práctico: Calcular tangente(15°) utilizando la fórmula de la resta de ángulos.

Cálculo del tangente(15°) y su resultado en formato decimal.

Invitación a los espectadores a practicar más con ejercicios y soluciones disponibles en el sitio web.

Conclusión del vídeo y agradecimiento por la atención.

Transcripts

bienvenidos a un profesor puntocom hoy

vamos a explicar la suma y diferencia de

ángulos haciendo un problema de

trigonometría entonces tenemos estas

tres fórmulas que en verdad son como

seis porque puede ser seno de a más de

lo de menos b coseno de a más o menos y

tangente de a más o menos y dependiente

del signo vale nos va a variar en la

ecuación vale en esta igualdad entonces

en cuáles son estas fórmulas pues mirad

la primera te están diciendo que el seno

de un ángulo más otro ángulo es lo mismo

que el seno vea por el cose no debe más

al coseno dea por el seno de b

si te están diciendo pues el seno de a

menos b vale pues nos fijamos en lo

verde vale entonces tendremos seno de

acosta no debe menos coste no de a

porsche no debe vale y son fórmulas que

buena falta cosas aprendáis os dejará

obtener un formulario vale pero lo que

hay que saber es aplicarlas entonces

aquí hay coseno de a más b vale

empezamos por aquí es igual a coste no

vea por coseno debe menos sino de a

porsche no debe vale aquí tenemos un más

que un menos antes teníamos un margen

más harán más y un menos vale pues tengo

que fijar el azul con el azul vale seno

de asse no debe y si tenemos un menos

con seno de a menos b es lo mismo que

decir coseno de a coseno debe más seno

de ac no debe vale entonces tener

cuidado con los signos vale aquí el más

va a poner menos

y en la tangente tenemos que tangente de

a b será lo mismo que está la gente vea

más trámite debe dividido entre uno

menos tangente de aportan gente debe y

si tenemos el signo negativo vamos a

decir que tangente de a menos b es lo

mismo que tangente vea menos tangente

debe 1 más transitada tangente de b vale

entonces qué tipo de problema nos pueden

poner pues por ejemplo nos dan estas

dadas esta información en el 45 tratado

que te están preguntando cuánto vale el

seno de 15 kos en el 15 y la tangente de

15 entonces tuvo aquí tienes información

del ángulo 45 y del ángulo 30 y así te

preguntan por el ángulo 15 vale entonces

qué relación veis

pues yo vale y su por vosotros también

45 menos

30 es igual a 15 por lo tanto podemos

utilizar estas ecuaciones

diciendo que a

será 45 y que ve será 30 y entonces así

sabremos cuánto vale el seno el 15 el

coseno de 15 o la tangente de 15 vale

porque 45 menos 30 es 15 entonces pues

bueno vamos a empezar

primero de todos los piden el seno para

calcular el seno entonces vamos a poner

seno de 45 menos

30 vale por lo tanto cómo vamos a

utilizar el menos porque aquí queremos

un 15 porque es lo que te preguntan

cuánto vale el seno de 15 vamos a

utilizar el verde pues con el verde vale

esta fórmula entonces esto será igual a

seno

y que está pues 45 vale esto es a y esto

es ve de acuerdo todo de seno de 45 x

coseno de 30 menos

coseno de 45 x seno de 30 esto punto va

a dar bueno seno de 45 es raíz de dos

partido 2 x coseno de 30

a raíz de tres partidos menos coste no

de 45 que es lo mismo raíz de dos

partidos dos por seno de treinta el seno

de tendrá es un medio

vale entonces esto cuánto dará por raíz

de dos por raíz de tres raíz de seis

dividido entre dos por 24 menos dos por

uno raíz de dos entre dos por dos cuatro

y esto es lo mismo que decir ahí de seis

menos raíz de dos entre cuatro vale esto

no lo podemos simplificar más vale no

pasa nada lo dejamos así y si queréis

con la calculadora pues tendréis el

valor numérico exacto con decimales

marjah pero básicamente es instinto

dejar aquí vamos a poner hay de 6 menos

raíz de 2 dividido entre 4

le vamos a quitar mi interrogante porque

ya lo sabemos cuánto le

muy bien vamos a ver ahora cuánto vale

el coseno de 15 de acuerdo

pues para saber controlar el coste no de

15 vamos a hacer lo mismo

coseno de 45 menos 30 vale esto será los

15 vale esto será a esto será p

ahora fijaos con el signo porque donde

aquí teníamos un menos aquí teníamos

antes un menos ahora que tenemos un max

vale por lo tanto con celo de 45 por

coseno de 30 más seno de 45 por seno de

30 de acuerdo y esto cuánto es bueno con

el 45 pues hay de dos entre dos por

coste no de 30 país de 3 entre 2

más de 945 calles de dos partidos dos

seno de treinta o medio vale entonces

esto cuánto da bueno pues nos vamos a

calcularlo hay de 2-3 no hay de 6 entre

2 por 24 más raíz de 2 por 1 y c 2 entre

4 vale pues esto es lo mismo que a raíz

de seis más raíz de dos entre cuatro

vale si os fijáis es un

resultaba un parecido al otro pero no

tiene nada que ver

vale esto era porque el señor 15 si

fuera 20 de 24 pues no tienen que uno

ser un menos de uno más vale no

asociados cosas que no son

bueno pues esto será igual a raíz de

seis más raíz de dos entre cuatro y

ahora sólo nos queda la tangente de 15

vamos a ver cuánto vale borramos esto

para que quepa

y la tangente de 15 pues será tangente

de 45 menos 30 es decir esto será 15

grados de éstos y esto es vale entonces

tenemos un menos tenemos que fijarnos en

el signo verde este de aquí este de aquí

y este dato mal tangente de a tangente

de 45 vale menos la gente debe de 30

dividido entre 1 más vale no pongáis son

menos tener cuidado si queréis podéis

escribirlos la fórmula dos veces con el

mastico en el menos yo lo escrito así

para escribir sólo tres fórmulas en vez

de seis porque así yo creo se entiende

bastante bien vale pero tener cuidado

con esto

tangente de a 45 x tangente de 30 x ver

cuánto va a dar esto es bueno tangente

45

tenemos que es 11 menos tangente de 30

que es través de 3 entre 3 dividido

entre uno más uno por tangente de 30 que

raíz de tres entre tres es decir uno

menos raíz de tres en de 31 más 15 63

esto sí lo simplifica jce vale da 2 -

raíz de tres vale

y nos dará un valor decimal que bueno

sea importante el valor por lo tanto

aquí en tangente de 15 vamos a decir que

esto es igual a 2 - raíz de 3 de acuerdo

y así hemos acabado con este problema

vale o nosotros pueden poner otro

parecido que en vez de seno de 15

estiran el seno con si no la gente de 20

y en vez de 45 y 30 pues éste en 10 y 10

entonces nosotros aquí lo que necesitan

poner el seno de 10 más seno de 10 es

decir seno de 20 y si sabéis esto pues

ya está ya lo sabéis pues bueno muchas

gracias por ver este vídeo si tienes

cualquier duda o comentario debajo en

esta página web podéis comentar y si

queréis practicar más pues tenéis

ejercicios con soluciones para imprimir

debajo del vídeo dentro de un profesor

puntocom