ANÁLISIS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS - Ejercicio 2

Summary

En este análisis de una función cuadrática, se identifican los coeficientes a, b y c, determinando que a es positivo y por lo tanto la parábola tiene concavidad hacia arriba. Se encuentra el vértice de la parábola utilizando la fórmula -b/2a, obteniendo como coordenadas (-4, -1). Se estudian los puntos de intersección con los ejes x e y, y se traza la parábola en el plano cartesiano. Finalmente, se define el dominio y el rango de la función, así como su comportamiento creciente o decreciente en diferentes intervalos.

Takeaways

• 📐 La función cuadrática se presenta en dos formas: f(x) = ax^2 + bx + c y y = a(x - h)^2 + k.
• 🔢 Los valores de a, b y c son identificados como a = 1, b = 8 y c = 15.
• ⏫ Dado que a es positivo, la parábola tiene concavidad hacia arriba.
• 📍 El vértice de la parábola, que es el punto de mínimo, se encuentra en la coordenada (-4, -1).
• 🔍 Para encontrar la coordenada x del vértice, se utiliza la fórmula -b/(2a).
• 📘 Se evalúa la función original en x = -4 para encontrar la ordenada del vértice.
• 🔄 Se utiliza la fórmula para encontrar la ordenada del vértice: (4ac - b^2) / (4a).
• 🎯 Los puntos de intersección con el eje x se encuentran al resolver la ecuación x^2 + 8x + 15 = 0, dando x = -5 y x = -3.
• 📊 El punto de intersección con el eje y se determina por el término independiente c, que es 15.
• 🖊️ Se traza la parábola en el plano cartesiano utilizando la información del vértice y los puntos de corte.
• 📉 El dominio de la función es todos los reales (ℝ), y el rango es [ -1, +∞ ).

Q & A

¿Qué es una función cuadrática y cómo se identifica?

Una función cuadrática es una función de segundo grado que generalmente tiene la forma f(x) = ax^2 + bx + c, donde a, b y c son constantes y 'a' no es cero. Se identifica por tener un término x al cuadrado.

¿Cuál es la concavidad de una parábola cuya función es dada por f(x) = x^2 + 8x + 15 y cómo se determina?

La concavidad de la parábola es hacia arriba, ya que el coeficiente 'a' de x al cuadrado es positivo (a = 1). La concavidad se determina por el signo del coeficiente del término x^2.

¿Cómo se encuentra el vértice de una función cuadrática y cuál es el vértice de la función f(x) = x^2 + 8x + 15?

El vértice de una función cuadrática se encuentra usando la fórmula h = -b / 2a. Para la función f(x) = x^2 + 8x + 15, el vértice es (-4, -1).

¿Qué métodos se pueden usar para encontrar los puntos de intersección de una función cuadrática con el eje x?

Los métodos para encontrar los puntos de intersección son la factorización y la fórmula general de la ecuación cuadrática. En este caso, la ecuación x^2 + 8x + 15 = 0 se factoriza fácilmente como (x + 5)(x + 3) = 0.

¿Cuáles son los puntos de intersección de la función f(x) = x^2 + 8x + 15 con el eje x?

Los puntos de intersección con el eje x son x = -5 y x = -3, obtenidos al factorizar la ecuación x^2 + 8x + 15 = 0.

¿Dónde corta la parábola con el eje y y cómo se determina?

La parábola corta con el eje y en el punto determinado por el término independiente 'c' de la función. Para f(x) = x^2 + 8x + 15, el corte es en y = 15.

¿Cómo se determina el eje de simetría de una parábola y cuál es el eje de simetría para la función f(x) = x^2 + 8x + 15?

El eje de simetría de una parábola se determina por la fórmula x = -b / 2a y pasa por el vértice. Para la función dada, el eje de simetría es x = -4.

¿Cómo se traza la parábola en el plano cartesiano teniendo en cuenta los puntos clave encontrados?

Se trazan los puntos clave, como el vértice, los puntos de intersección con los ejes, y se utiliza el eje de simetría para completar la parábola. Luego se conecta los puntos con una curva que refleje la concavidad y los puntos de intersección.

¿Cuál es el dominio y el rango de la función f(x) = x^2 + 8x + 15?

El dominio es todos los números reales (R) ya que la función está definida para cualquier valor de x. El rango es [−1, +∞), ya que el mínimo valor de la función es -1 en el vértice.

¿Cómo se determina si la función crece o decrece y en qué intervalos ocurre esto para la función f(x) = x^2 + 8x + 15?

La función decrece para x < -4 y crece para x > -4, ya que el vértice es el punto de mínimo y la parábola se abre hacia arriba.