Intervalos introducción | tipos de intervalos @MatematicasprofeAlex

Summary

Este vídeo ofrece una introducción al concepto de intervalos en matemáticas, enfocándose en la representación de subconjuntos de números reales. Se explican los diferentes tipos de intervalos, como los cerrados y abiertos, utilizando corchetes y paréntesis para indicar si los extremos están incluidos o no. Se destacan ejemplos prácticos para aclarar la diferencia entre intervalos de números enteros y reales, resaltando la infinitud de números reales entre cualquier par de números, y se invita a los espectadores a participar activamente en el aprendizaje.

Takeaways

• 📚 Un intervalo es una representación de un subconjunto de números reales.
• 🔢 Se utilizan corchetes [ ] y paréntesis ( ) para indicar si los extremos del intervalo están incluidos o no.
• 👉 Los números enteros son una parte de los números reales, que incluyen desde el cero hasta infinito, tanto en positivos como negativos.
• 📉 Los intervalos pueden ser especificados de manera inclusiva (cerrados) o exclusiva (abiertos), y se pueden tener intervalos semiabiertos.
• 🌐 Al hablar de números reales, se incluyen no solo los enteros, sino también los decimales, fracciones y el número pi, entre otros.
• 🔎 Hay infinitos números reales entre cualquier dos números dados, incluso entre 1 y 2.
• 📌 Los intervalos cerrados incluyen los extremos, mientras que los abiertos no incluyen ninguno de los extremos.
• 📐 Los intervalos se pueden simbolizar y graficar en una recta numérica para facilitar su comprensión.
• 💡 El entendimiento de los intervalos es fundamental para el estudio de matemáticas y su aplicación en problemas reales.
• 🎓 Se recomienda repasar y practicar el concepto de intervalos para una comprensión más profunda y su correcta aplicación.

Q & A

¿Qué es un intervalo en matemáticas?

Un intervalo es la representación de un subconjunto de números reales, es decir, un grupo o parte de los números reales.

¿Cuáles son las convenciones para representar los extremos de un intervalo?

Los corchetes '[]' indican que los extremos están incluidos en el intervalo, mientras que los paréntesis '()' indican que no están incluidos.

¿Qué números se consideran números enteros?

Los números enteros incluyen el cero, los positivos (naturalezas) y los negativos (desde -infinito hasta el cero).

¿Cómo se representa un intervalo que incluye los números desde 2 hasta 5?

Un intervalo que incluye los números desde 2 hasta 5 se representa como [2, 5], indicando que se incluyen tanto el 2 como el 5.

Si un intervalo está representado como (2, 5), ¿qué números están incluidos?

Un intervalo representado como (2, 5) incluye todos los números desde justo después de 2 hasta justo antes de 5, excluyendo el 2 y el 5.

¿Cuál es la diferencia entre los números enteros y los números reales?

Los números reales incluyen no solo los enteros sino también fracciones, decimales exactos, decimales periódicos y no periódicos, e incluso números como pi.

¿Por qué es importante entender la diferencia entre intervalos cerrados y abiertos al estudiar números reales?

Es importante porque los intervalos cerrados incluyen los extremos y los abiertos no. Esto afecta la cantidad y el tipo de números que se consideran dentro del intervalo, especialmente cuando se trabaja con números reales donde hay infinitos números entre cualquier dos puntos.

¿Cómo se representa un intervalo que está abierto a la derecha?

Un intervalo abierto a la derecha se representa con un corchete hacia el lado del extremo abierto, como en (2, 5), indicando que el 5 no está incluido.

¿Qué se entiende por 'semiabierto' en el contexto de los intervalos?

Un intervalo semiabierto puede estar abierto a la izquierda (cerrado a la derecha) o abierto a la derecha (cerrado a la izquierda). Por ejemplo, [2, 5) es semiabierto a la derecha.

¿Cómo se representa el infinito en los intervalos?

El infinito se representa con un paréntesis, ya que no se puede incluir un extremo finito. Por ejemplo, (-∞, 5) o (3, ∞).

Outlines

00:00

📚 Introducción a los Intervalos de Números Reales

Este primer párrafo introduce el concepto de intervalo como una representación de un subconjunto de números reales. Se explica que los intervalos pueden incluir o excluir sus extremos, utilizando corchetes para incluir y paréntesis para excluir. Se da un ejemplo de cómo se interpreta un intervalo de números enteros desde el 2 hasta el 5, y se menciona la importancia de entender los números reales, incluyendo números enteros, naturales, fracciones y decimales, para abordar correctamente los intervalos.

05:02

🔍 Explorando Intervalos y sus Representaciones

En este segundo párrafo, se profundiza en la diferencia entre los intervalos cerrados y abiertos, y cómo se representan en la recta numérica. Se desafía al espectador a identificar qué números pertenecen a un intervalo dado, y se explica que en los números reales, hay infinitos números incluso entre dos puntos que aparentemente no parecen contener ninguno. Se ilustra con ejemplos cómo se visualizan estos intervalos en la recta numérica y se resalta la infinitud de números reales entre cualquier par de números.

10:03

📉 Comprensión de Intervalos en la Recta Numérica

El tercer párrafo continúa explorando la naturaleza de los intervalos en la recta numérica, destacando que incluso en un intervalo que parece vacío, como el entre 1 y 2, existen infinitos números reales. Se utiliza el zoom en la recta numérica para ilustrar cómo se pueden encontrar más números reales incluso en intervalos que parecen pequeños. Se introduce la noción de que no se puede determinar cuál es el siguiente número real después de cualquier punto en la recta, lo que lleva a la utilización de convenciones para describir intervalos cerrados y abiertos.

Keywords

💡Intervalo

Un intervalo es una representación de un subconjunto de números reales, es decir, una parte de los números reales. En el vídeo, se explica que los intervalos pueden incluir o excluir sus extremos, utilizando corchetes '[]' para incluir y paréntesis '()' para excluir. Por ejemplo, el intervalo [2, 5] incluye los números 2 y 5, mientras que (2, 5) solo incluye números entre 2 y 5, excluyendo ambos extremos.

💡Números reales

Los números reales son todos los números que pueden representarse en la recta numérica, incluyendo números naturales, enteros, fracciones y decimales. En el vídeo, se enfatiza que incluso entre dos números reales cualesquiera, como entre 1 y 2, hay una infinitud de números reales, lo que ilustra la densidad de los números reales en la recta numérica.

💡Corchetes y paréntesis

En el contexto de los intervalos, los corchetes '[]' y los paréntesis '()' son convenciones utilizadas para indicar si los extremos de un intervalo están incluidos o no. Los corchetes indican que ambos extremos están incluidos, como en [2, 5], mientras que los paréntesis indican que los extremos no están incluidos, como en (2, 5).

💡Enteros

Los números enteros son un subconjunto de los números reales, que incluyen los números naturales (positivos), el cero y los negativos. En el vídeo, se menciona que los números enteros son aquellos que se pueden representar como 0, 1, -1, 2, -2, etc., y se utilizan para entender mejor la noción de intervalos en el contexto más amplio de los números reales.

💡Cerrado y abierto

Un intervalo cerrado incluye ambos extremos, mientras que un intervalo abierto no incluye ninguno de los extremos. En el vídeo, se describe cómo los intervalos cerrados se representan con corchetes, como [2, 5], y los intervalos abiertos se representan con paréntesis, como (2, 5). También se introducen los intervalos semiabiertos, que pueden estar abiertos a la izquierda o a la derecha.

💡Infinito

El infinito representa un concepto matemático que se refiere a un número que es extremadamente grande, más allá de cualquier número finito. En el vídeo, se menciona que los intervalos que incluyen infinito, como (-∞, ∞), son abiertos porque no hay un 'último' número real.

💡Recta numérica

La recta numérica es una representación visual de los números reales en una línea que se extiende infinitamente en ambos lados. En el vídeo, se utiliza la recta numérica para ilustrar cómo se representan los intervalos y para demostrar la existencia de una infinitud de números reales entre cualquier par de números reales.

💡Fracciones y decimales

Las fracciones y decimales son tipos de números reales que representan cantidades que no son enteras. Las fracciones son números que se expresan como la relación entre dos enteros, mientras que los decimales son números que se representan con un punto decimal. En el vídeo, se incluyen fracciones y decimales en la definición de números reales y se utilizan para demostrar la densidad de los números reales en la recta numérica.

💡Simbolización de intervalos

La simbolización de intervalos es la forma de representarlos de manera matemática, utilizando notación como corchetes y paréntesis para indicar si los extremos están incluidos o no. En el vídeo, se discute cómo se simbolizan los intervalos y se proporcionan ejemplos para ilustrar la diferencia entre intervalos cerrados, abiertos y semiabiertos.

💡Ejercicios de práctica

Los ejercicios de práctica son actividades diseñadas para ayudar a los estudiantes a aplicar y reforzar su comprensión de los conceptos aprendidos. En el vídeo, se invita a los espectadores a realizar ejercicios de práctica para identificar el tipo de intervalos que se les presenta, lo que demuestra la intención de que los espectadores apliquen su conocimiento sobre intervalos.

Highlights

Inicio del curso de intervalos e inecuaciones.

Definición de un intervalo como subconjunto de números reales.

Uso de corchetes y paréntesis para indicar si los extremos están incluidos.

Ejemplo de intervalo de números desde el 5 hasta el 10.

Diferenciación entre números enteros y números reales.

Explicación de los números enteros, naturales y negativos.

Convenciones para escribir intervalos de números enteros.

Ejemplo de intervalo abierto con paréntesis.

Importancia de comprender los números reales para entender los intervalos.

Descripción de los números reales incluyendo fracciones y decimales.

Ejemplo de intervalo de números reales desde 1 hasta 2 sin incluir extremos.

Demostración de la infinitud de números reales entre dos puntos.

Diferenciación entre intervalos cerrados y abiertos.

Explicación de intervalos semiabiertos a la izquierda y a la derecha.

Ejercicio práctico para identificar tipos de intervalos.

Otras formas de escribir intervalos y su simbología.

Invitación a explorar más videos del curso para profundizar en el tema.

Transcripts

qué tal Amigas y amigos Espero que estén

muy bien con este vídeo le damos inicio

al curso de intervalos e inecuaciones Y

pues lo primero que tenemos que

comprender es que es un intervalo de

números para eso Pues aquí está la

definición y te voy a dar unos ejemplos

para que lo comprendamos bien y así nos

va a aparecer más fácil todo listos

empezamos de una vez y aquí dice que un

intervalo es la representación de un

subconjunto de números reales cuidado

que en todo este tema vamos a hablar es

de números reales listos y pues es un

subconjunto de números reales o sea es

un grupito una parte de los números

reales Sí y Para ello se utilizan

convenciones como los corchetes que pues

son estos o los paréntesis que son estos

que indican si los extremos del

intervalo están o no contenidos en él

Supongo que hasta el momento de pronto

no has comprendido nada pero pues para

eso esta clase no

los tipos de intervalos son estos pero

ya vamos a volver porque pues primero

tenemos que comprender Qué es eso de lo

que nos están hablando no un intervalo

es un subconjunto de números o sea si yo

te dijera escojamos los números desde el

5 hasta el 10 eso es un intervalo los

números que están desde el 5 hasta el 10

pero mucho cuidado porque vamos a hablar

de números reales para que lo comprendas

un poquito mejor primero vamos a hablar

de los números enteros que es los que

hasta el momento yo sé que ya los

conoces bien los números enteros

Recuerda que son

el 0 los positivos a Bueno aquí se me

borraron estos números de aquí el dos y

el 5 pero bueno los enteros entonces son

el cero los positivos o sea los

naturales el uno el dos el tres cuatro

cinco seis siete ocho nueve 10 11 12 13

y los Opuestos a los naturales que son

los negativos menos uno menos dos menos

tres menos cuatro ta ta ta ta hasta

menos infinito sí O más bien desde menos

infinito hasta pasando por el cero hasta

infinito Esos son los números enteros no

para que lo comprendas simplemente

hablemos de esos números enteros por

ahora para comprender bien con los

números reales primero si tú llegas a

ver esto qué es lo que quiere decir esto

quiere decir los números entre 2 y 5

pero mucho cuidado que si nosotros

observamos aquí por ejemplo entre 2 y 5

hay que especificar sí porque muy

probablemente Si yo te digo los números

entre 2 y 5 muchas personas van a decir

es el 3 y el 4 otras personas van a

decir es el 2 el 3 el 4 y el 5

Entonces cómo hacemos para ponernos de

acuerdo pues con las convenciones Sí

este corchete que quiere decir quiere

decir incluya esos números o sea este

intervalo de números enteros Cuáles

números serían serían

el número 2 porque esto quiere decir

incluya el número 2 esto quiere decir

incluya el número 5 Entonces los números

desde dos hasta cinco como estamos

diciendo desde 2 hasta 5 pues entonces

incluimos todos desde el 2 pues hasta el

cinco no O sea estos números de acá

y cerramos nuestra llave Esto es lo que

quiere decir ese intervalo de números

enteros Pero espero que no te vayas del

vídeo porque en este vídeo vamos a

hablar es de números reales que pues ya

lo vamos a ver no Esto es para que lo

comprendas un poquito mejor Entonces

esta convención o este los corchetes

quiere decir el número que está aquí

está incluido y el número que está aquí

está incluido Pues en este caso todos

los ejemplos son con intervalos desde

dos hasta cinco Pero puede ser intervalo

intervalo de lo que sea no desde menos

20 hasta 50 desde menos un millón hasta

dos millones sí lo que sea

Qué pasa si nos dicen el intervalo 2

desde 2 hasta 5 pero con

paréntesis

con paréntesis Qué quiere decir el

paréntesis pues espero que ya lo sepas

el paréntesis querría decir no incluya

el 2 Y en este caso también diría no

incluye al 5 Entonces yo sé que tú ya

podrías decir cuáles son los números que

van aquí estoy seguro y espero que así

sea los números entre 2 y 5 sin incluir

el 2 y sin incluir el 5 ya serían estos

nada más el 3 y el 4 y espero que tú ya

te estés preguntando y te estés diciendo

bueno profesor Pero si son los números

desde dos altas

desde el dos Hasta el cinco sin incluir

el dos y sin incluir el 5 por qué no más

bien escribimos el intervalo desde 3

hasta 4 Sí en los números enteros este

intervalo desde 2 hasta 5 sería 3 y 4 y

este intervalo 3 y 4 sería Exactamente

lo mismo pero en números enteros cuidado

porque en los números reales Esto no se

puede hacer sí en este caso si son

iguales porque aquí dice desde dos hasta

cinco sin incluir el 2 y sin incluir el

5 o sea serían solamente los números 3 y

4 y aquí diría los números desde el 3

hasta el 4 incluyendo el 13 incluyendo

el 4 o sea estaremos hablando de lo

mismo pero cuidado que por eso te digo

que mires todo el video porque en Los

Reales eso no se puede hacer listos

entonces Pero bueno hasta el momento

espero que te des cuenta la diferencia

entre esto y ya estoy seguro que ya

sabes la mitad de lo que son los

intervalos ahora el intervalo de dos

bueno en esto ya te dejo el ejercicio

escribe tú o piensa Cuáles son los

números de este intervalo desde dos

hasta cinco y desde este intervalo desde

dos hasta cinco vuelvo a decirte que

puede ser con cualquier número pero pues

aquí yo hice de dos hasta cinco por

pereza Entonces te invito a que pienses

y la respuesta te la muestro en tres dos

uno bueno Espero que te haya quedado

bien y si te quedó mal no hay problema

porque así aprendes más listos aquí

quiere decir incluya Bueno ya sé espero

que ya veas que en todos estos

intervalos pues obviamente como estamos

hablando que desde dos hasta cinco el 3

está incluido y el 4 también lo que

estamos mirando aquí es si se incluye el

2 Y si se incluye el 5 no en este caso

esto quiere decir que sí incluyamos el 2

y el paréntesis quiere decir que no

incluyamos el 5 Entonces sería dos tres

y cuatro Aquí está lo contrario está

diciendo el 2 no lo incluyamos y esto

quiere decir el 5 si lo incluyamos

Entonces serían el tres cuatro y cinco

Sí el 2 no se incluye listos esto sería

vuelvo a decirte si estuviéramos

hablando de números enteros pero en este

tema vamos a hablar es de números reales

para eso lo primero que tenemos que es

que recordar Cuáles son los números

reales te lo voy a decir en pocas

palabras Recuerda que los números reales

son todos los números que hemos visto

hasta ahora sí o sea son los números

naturales que son desde aquí para allá

el cero están los enteros que son estos

que estamos viendo aquí positivos y

negativos Pero además están las

fracciones están los decimales exactos

los decimales periódicos Sí todos los

decimales y los decimales no periódicos

también el número pi Mejor dicho hasta

el momento todos los números que

conocemos sí Obviamente si de pronto tú

ya viste los números imaginarios esos

sino no entonces son los números reales

todos los números Incluyendo los

decimales por ejemplo número

3,25,7 sí eso son los números reales

Entonces qué pasa si estamos hablando de

números reales en un intervalo para eso

pues aquí te tengo un súper ejemplo

preparado para ti

si estuviéramos hablando por ejemplo el

intervalo de números desde 1 hasta 2

pero sin incluir el 1 y sin incluir el 2

te Solicito que pienses Te reto a que

pienses Cuáles números están aquí desde

uno hasta dos así con paréntesis

Recuerda que esto quiere decir no

incluyamos el uno y no incluyamos el 2

sí espero que estés pensando Espero que

le hayas atinado muy probablemente

muchos dirían voy a agrandar Esto sí

porque para verlo un poquito mejor pues

obviamente mira que por eso puse Aquí el

uno y el dos sí es como si le hubiéramos

hecho el zoom a la recta numérica y le

voy a hacer otro poquito de zoom Sí

porque para que lo veamos mejor sí

Solamente centrémonos en los números

entre uno y dos muy probablemente muchos

de ustedes de pronto tú dijiste ah

profesor yo me la sé es el número uno

coma uno uno coma dos uno coma tres

Bueno yo aquí le puse punto como para

para no no agrandar tanto esto pero en

mi país El decimal se escribe con coma y

en algunos países se escribe con punto

muy probablemente muchos dijeron Ajá y

yo me la sé los números entre 1 y

hasta uno coma nueve y La respuesta es

que no mucho cuidado porque cuando

hablamos de números reales no solamente

estamos hablando de esto Sí porque así

como yo le hice zoom a la recta numérica

y aquí está el uno y aquí está el dos me

voy a centrar solamente en esta

partecita y le voy a volver a hacer zoom

Sí mira que voy a correrlo un poquito

para acá y si le sigo haciendo zoom para

ver más números Sí mira que aquí está el

uno y aquí está el uno coma uno porque

estoy agrandando Y mira que ahora se ven

más números aquí entre estos dos que

parecía que se veía tan chiquitico al

comienzo entre estos dos números entre

el uno y el uno coma uno también hay más

números por ejemplo el 1,01 el 1,02 1,03

ta ta ta ta ta ta hasta el uno coma cero

nueve y si yo volviera a hacerle zoom a

esta partecita volveríamos a ver que en

esa partecita ahora se va a ver grande y

veríamos Entonces por ejemplo números

como el número uno coma

001

1,002

1,003 y así sucesivamente entonces lo

que quiero que comprendas es que cuando

estamos hablando de los números reales

hay infinita cantidad de números entre

cualquier número que te den entre el 1 y

el 2 que estoy diciendo parecería que no

había números Pero hay infinita cantidad

de números Sí por ejemplo el número

1,00002 o el número uno coma tres dos

cinco siete cuatro

Entonces cuando estamos hablando de

números reales hay muchos vamos a

devolver aquí el zoom para que pues

veamos ya un poquito más normal sí mira

que en este pedacito que parecía que no

había números ya te mostré que hay

muchos números listos entonces

centrémonos en que en los números reales

hay infinita cantidad de números incluso

entre el uno y el dos hay infinita

cantidad de números y algo importante

mira que aquí como te ponía El ejemplo

anterior en este caso dice los números

desde uno hasta dos o sea Ahí estamos

incluyendo por ejemplo el uno coma uno o

el uno coma cero uno o el número 5

Perdón disque 5 o el número uno coma

cinco cuatro treinta y dos por ejemplo

Sí pero en este caso sí se utiliza esta

anotación Por qué Porque yo no podría

decir cuál es el número que sigue

después del 1 sí te invito a que pienses

Cuál será el número que sigue después

del uno en Los Reales no se sabe Sí muy

probablemente alguien dirá Ah no al

comienzo de pronto que es el 1,1 y

después te diste te diste cuenta que no

que era el uno coma cero uno y después

tú de pronto dirás Ah no pues es el uno

coma

0000 y 100 ceros y el uno pero después

dice ah no pero siento un cero si el uno

Sí entonces hay muchos números no se

sabe cuál está después del uno

obviamente se sabe que sería 1,00

infinito cero y el uno sí pero si le

ponemos otro cero Entonces ya hay más

números Entonces no se sabe cuál es el

número que va después del uno sí no se

sabe el número que está aquí antes del 2

entonces por eso es que se utiliza estas

convenciones listos espero que ya te

haya quedado claro cuál Ah bueno me

devuelvo Por qué Porque lo importante

también estaba aquí sí este tipo de

intervalo se llama cerrado o sea en el

que vamos a incluir el número que está

al comienzo e incluir el número que está

al final sí como los ejemplos que te

hice sí supongamos que aquí dice

2,5 sí y en todos dice dos coma cinco

aquí si incluye el 2 Y si incluye el 5

se llama un intervalo cerrado Por qué

Porque se sabe que inicia en el 2 y se

sabe que termina en el 5 Este es un

intervalo abierto porque si escribimos

2,5

no se sabría En cuál número empieza solo

se sabe que empieza en el que está

después del 2 pero no se sabe cuál es y

no se incluye el 5 o más bien digámoslo

cerrado cuando se incluyen los extremos

que estos dos numeritos se llaman

extremos abierto cuando no se incluyen

los extremos y se me ha abierto a la

derecha o se me ha abierto a la

izquierda Pues cuando se incluya el que

dice ahí se me ha abierto a la derecha

Pues cuando se incluye perdón cuando

está abierto a la derecha o sea cuando

no se incluye el de la derecha se me ha

abierto a la izquierda Pues cuando está

abierto a la izquierda nada más O sea

que no se incluye el de la izquierda y

listo en el siguiente vídeo vamos a ver

cómo es que se

simbolizan los intervalos Cómo se

grafican y todo esto Pero obviamente

como siempre por último te voy a dar a

dejar un ejercicio de práctica listos

aquí en este ejercicio espérate porque

esto está muy grande

así ya está más bonito sí en este

ejercicio pues La idea es esta que

repasemos Qué tipo de intervalos son

estos abiertos cerrados semi abierto a

la izquierda a la derecha sí un

ejercicio sencillo ya en los siguientes

vídeos vamos a hacer más ejemplos listos

Entonces te invito a que escribas Qué

tipo de intervalos son y la respuesta te

la muestro en tres dos uno como siempre

Espero que te haya quedado bien pero si

te quedó algo mal no hay problema porque

así vas a aprender mucho más no este

como solamente está abierto a la derecha

pues se llama semi abierto a la derecha

Sí porque está cerrado a la izquierda y

abierto a la derecha cerrado este y si

te queda esta esta parte del vídeo te

voy a dar un premio Sí hay otra forma de

escribir estos intervalos algunas veces

algunos profesores para escribir este

intervalo por ejemplo el 3,5 lo escriben

así el

3,5 pero este lo hacen hacia allá Sí

como indicando que está abierto en ese

lado Sí a mí me gusta más esta

simbología entonces en todo el curso

vamos a utilizarla puedes encontrar

estos corchetes hacia el otro lado

indicando que ahí estaría abierto y que

este como está hacia adentro está

cerrado Sí este sería un intervalo

cerrado porque incluye los dos este

abierto porque no incluye ninguno de los

dos y bueno además siempre en el número

infinito va a ser abierto Por qué Pues

porque no se sabe cuál es el último

número el infinito y aquí se me ha

abierto a la izquierda Sí porque está

Solamente abierto a la izquierda y

cerrado a la derecha y listo Espero que

te haya gustado mi forma de explicar y

si es así te invito a que veas los demás

vídeos del curso para que profundices

mucho más acerca de este tema Aquí

también te dejo algunos vídeos que estoy

seguro que te van a servir No olvides

comentar lo que desees comparte este

vídeo con tus compañeros y compañeras y

seguro te lo van a agradecer te invito a

que te suscribas al Canal a que le des

un buen like a este vídeo y no haciendo

más

Bye bye

[Música]