¿QUÉ ES UN NÚMERO? ¡No es tan fácil como parece!

Derivando

27 Oct 202110:23

Summary

TLDREl vídeo explora la complejidad y diversidad del concepto de 'número'. Desde los números naturales y enteros, pasando por fracciones y números racionales, hasta la introducción de los irracionales y reales, el guía matemático desentraña cómo los números se han expandido para abarcar conceptos más allá de las proporciones y cantidades. La discusión incluye la demostración de que la raíz cuadrada de 2 es irracional y la introducción de números complejos, destacando el análisis complejo como una rama importante de las matemáticas. El vídeo concluye dejando al espectador con preguntas sobre la existencia de los números y su significado.

Takeaways

🔢 Los números son una abstracción de la cantidad, como se usa para contar objetos.
🌐 Los números naturales son los primeros que se nos vienen a la mente cuando hablamos de números.
📉 Los números negativos representan una cantidad que nos falta y forman parte de los números enteros junto con los naturales y el cero.
🔄 Las fracciones son necesarias para representar proporciones y son el resultado de dividir entre números enteros.
✅ Los números racionales son una clase de equivalencia que incluye fracciones y sus múltiples formas equivalentes.
📏 El teorema de Pitágoras muestra que algunas longitudes, como la raíz cuadrada de 2, no pueden ser expresadas como fracciones y son irracionales.
🚫 La demostración de que la raíz cuadrada de 2 no es racional es un ejemplo de cómo llegar a una contradicción si se asume lo contrario.
📚 La definición rigurosa de los números reales, que incluye tanto racionales como irracionales, se estableció en el siglo XIX.
🔍 Hay diferentes categorías de números reales, como los algebraicos, normales, constructivos y computables, que son objeto de estudio en matemáticas.
🤔 La existencia de los números y su significado es una pregunta filosófica que se debe explorar en futuras discusiones.

Q & A

¿Qué es un número según el video?
-El video explica que un número puede entenderse como una abstracción de una cantidad, como en los números naturales, o como una representación de una proporción, como en los números racionales. Existen diferentes tipos de números que usamos en matemáticas, como naturales, enteros, racionales, irracionales, reales y complejos.
¿Qué son los números naturales?
-Los números naturales son los primeros números que usamos para contar cantidades, como 1, 2 o 3. Son una abstracción de la cantidad y han sido uno de los primeros logros de la humanidad en cuanto a comunicación y matemáticas.
¿Qué representan los números negativos?
-Los números negativos pueden entenderse como una representación de una carencia o deuda. Aunque no son exactamente una abstracción de una cantidad física, tienen sentido en operaciones como restar y forman, junto con los números naturales y el cero, el conjunto de los números enteros.
¿Cuál es el significado del número 0 en matemáticas?
-El número 0 es fundamental en matemáticas, ya que permite realizar operaciones como sumar, restar y multiplicar. Aunque ahora lo vemos como algo natural, su inclusión en el conjunto de números fue un gran logro científico que permitió avanzar enormemente en las matemáticas.
¿Por qué son necesarios los números racionales?
-Los números racionales son necesarios cuando queremos expresar divisiones o proporciones que no pueden representarse con números enteros. Un número racional se define como la fracción entre dos enteros, como 3/2, y permite realizar operaciones más complejas que los enteros no pueden cubrir.
¿Qué caracteriza a los números racionales?
-Los números racionales pueden expresarse de múltiples formas equivalentes, como 3/2, 6/4 o 9/6. Estas fracciones representan la misma proporción y pueden simplificarse a una forma irreducible, que es la fracción más compacta.
¿Qué son los números irracionales?
-Los números irracionales son aquellos que no pueden expresarse como una fracción de dos enteros. Un ejemplo es la raíz cuadrada de 2, que no tiene una representación exacta en términos de números racionales. Estos números se necesitan para medir longitudes que no pueden expresarse con proporciones exactas.
¿Qué son los números reales?
-Los números reales incluyen tanto a los números racionales como a los irracionales. Estos números se utilizan para medir y describir longitudes o cantidades que no siempre pueden representarse de forma exacta con fracciones. La definición rigurosa de los números reales no se desarrolló completamente hasta el siglo XIX.
¿Qué son los números complejos?
-Los números complejos se construyen a partir de los números reales, y se introdujeron para resolver ecuaciones que no tienen solución en el conjunto de los reales, como x² + 1 = 0. Incluyen una parte real y una parte imaginaria, que es la raíz cuadrada de -1, denominada unidad imaginaria y representada como 'i'.
¿Qué dilema plantea el video sobre la existencia de los números?
-El video menciona que una pregunta interesante es si los números realmente existen o qué significa decir que los números existen. Esta cuestión filosófica sobre la naturaleza de los números queda pendiente para otro video, según el narrador.

Outlines

00:00

🤔 ¿Qué es un número?

Este párrafo introduce la complejidad de definir qué es un número, señalando que los números son más que solo representaciones de cantidades, como el 3 o el 4. Se menciona la dificultad de comprender números como 22 o π, que no parecen encajar en las definiciones básicas de cantidad. Se habla de la evolución de los números desde los naturales hasta los enteros, la importancia del cero, y cómo los números negativos y fracciones también forman parte de nuestro entendimiento matemático.

05:02

📏 Fracciones y proporciones: números racionales

Aquí se exploran los números fraccionarios o racionales, que surgen al dividir cantidades. Se explica cómo, al dividir números enteros, a menudo no se obtiene un número entero, lo que lleva a la necesidad de las fracciones. Se menciona cómo números equivalentes como 3/2 y 6/4 representan la misma proporción. Se define formalmente un número racional como una clase de equivalencia y se introducen operaciones que se pueden realizar con ellos, como sumar y multiplicar.

10:02

📐 El problema de las medidas: números irracionales

Este párrafo se enfoca en los números irracionales, que no pueden expresarse como fracciones. Utilizando el teorema de Pitágoras, se muestra que la raíz cuadrada de 2 es un número irracional, y se ofrece una demostración clásica por reducción al absurdo para probarlo. Se menciona que los números irracionales ampliaron nuestro entendimiento de los números, formando junto con los racionales el conjunto de números reales, esenciales en la medición y el análisis matemático.

🔢 Los números complejos: más allá de lo real

Se introduce el concepto de los números complejos, que incluyen una unidad imaginaria (i) para resolver ecuaciones que los números reales no pueden, como la raíz cuadrada de -1. Se destaca la importancia de los números complejos en las matemáticas modernas, con aplicaciones en el análisis complejo. Además, se mencionan otras estructuras numéricas avanzadas, como los cuaterniones y octoniones. Se cierra señalando que la pregunta sobre qué es un número no es tan sencilla y que el concepto ha evolucionado mucho.

🤔 ¿Existen realmente los números?

El último párrafo plantea la intrigante cuestión filosófica sobre si los números realmente existen o si son meras abstracciones. Esta pregunta queda abierta y se pospone para otro vídeo, invitando a la reflexión y dejando un tema de discusión para el futuro.

Mindmap

Keywords

💡Números naturales

Los números naturales son aquellos que usamos para contar objetos, como 1, 2 o 3. Son la forma más antigua de números que los humanos desarrollaron y son una abstracción de la cantidad. En el video, se mencionan como el primer tipo de número que las personas entienden intuitivamente al representar cantidades físicas.

💡Números enteros

Los números enteros incluyen los números naturales, sus versiones negativas (como -1, -2) y el número 0. Son fundamentales para operaciones matemáticas básicas como sumar, restar y multiplicar. El video menciona que estos números van más allá de las cantidades físicas, permitiendo representar también la carencia o deuda.

💡Números racionales

Los números racionales son aquellos que se pueden expresar como una fracción de dos números enteros, como 1/2 o 3/4. En el video, se explican como la forma de representar proporciones o divisiones entre cantidades que no pueden ser expresadas por enteros. Se destaca que cualquier fracción tiene infinitas formas equivalentes, lo que los hace poderosos para describir proporciones.

💡Fracción irreducible

Una fracción irreducible es aquella en su forma más simple, donde el numerador y el denominador no pueden dividirse por ningún número común aparte de 1. El video menciona el ejemplo de 3/2 como una fracción irreducible y la manera más compacta de expresar una proporción, en comparación con fracciones equivalentes como 6/4 o 9/6.

💡Números irracionales

Los números irracionales son aquellos que no pueden ser expresados como una fracción de dos enteros, como la raíz cuadrada de 2 o el número π. El video aborda cómo estos números surgieron al tratar de medir longitudes como la diagonal de un cuadrado, que no pueden representarse mediante números racionales. Estos números ampliaron el concepto de número más allá de las proporciones.

💡Números reales

El conjunto de los números reales incluye tanto a los números racionales como a los irracionales. Estos números son fundamentales para medir y describir cantidades continuas, como longitudes o áreas. En el video, se describe cómo los reales representan la 'pieza central' del concepto moderno de número, permitiendo operaciones matemáticas más avanzadas.

💡Raíz cuadrada de 2

La raíz cuadrada de 2 es un ejemplo clásico de un número irracional que no puede ser expresado como una fracción. En el video, se demuestra que la raíz cuadrada de 2 no es racional utilizando una prueba por reducción al absurdo. Este número simboliza una de las primeras crisis en las matemáticas griegas, al descubrir que no todas las longitudes pueden ser medidas mediante proporciones racionales.

💡Números complejos

Los números complejos son una extensión de los números reales que incluyen la unidad imaginaria, denotada como 'i', donde i² = -1. El video explica cómo se introdujeron para resolver ecuaciones que no tienen soluciones en los números reales, como x² + 1 = 0. Los complejos combinan un número real con un múltiplo de 'i' y son fundamentales en el análisis complejo.

💡Proporciones

Una proporción es una relación entre dos cantidades que indica cuántas veces una está contenida en la otra. En el video, se menciona cómo las proporciones son fundamentales para definir los números racionales. Se da el ejemplo de 3/2, que es equivalente a 6/4 o 9/6, y cómo las proporciones permiten dividir y comparar cantidades de manera efectiva.

💡Equivalencia

La equivalencia en matemáticas refiere a diferentes expresiones que representan el mismo valor o relación. En el contexto de los números racionales, el video explica que fracciones como 3/2 y 6/4 son equivalentes porque representan la misma proporción. Esta idea de equivalencia permite que los números racionales sean expresados de múltiples formas sin perder su significado.

Highlights

La respuesta corta a qué son los números es que hay varios objetos matemáticos que usamos para designar cantidades.

Los números naturales son los que utilizamos para contar, como una manzana, dos personas o tres ornitorrincos.

El número 0 es un logro científico que permitió realizar operaciones como sumar, restar y multiplicar.

Los números enteros incluyen los naturales, sus versiones negativas y el 0.

Las fracciones o números racionales expresan proporciones como tres medios (3/2), que es equivalente a 6/4, 9/6, entre otras.

Un número racional representa una clase infinita de proporciones equivalentes, lo que complica su definición.

Los números racionales permiten sumar, restar, multiplicar y dividir manteniendo un resultado racional.

Los griegos creían que todo podía expresarse mediante proporciones, pero fallaban al no considerar números irracionales.

La raíz cuadrada de 2 es un número irracional que no puede expresarse como una fracción.

Los números irracionales, como pi o la raíz cuadrada de 2, amplían los números racionales.

El conjunto de números racionales e irracionales se denomina números reales.

Los números reales incluyen categorías especiales, como los números algebraicos, constructivos y computables.

Los números complejos incluyen la unidad imaginaria (i) y se utilizan para resolver ecuaciones como x² + 1 = 0.

El análisis complejo es una rama matemática que estudia números de la forma a + bi, donde a y b son reales e i es imaginario.

Los números son una pieza central del concepto matemático moderno, especialmente los números reales.