ESPACIOS DINÁMICOS - FUNCIÓN LOGARITMICA
Summary
TLDREl guión ofrece una introducción a las funciones logarítmicas, destacando su importancia en campos como la química, la astronomía y la sismología. Expone la escala sismológica de Richter, basada en una escala logarítmica decimal, y cómo un aumento en una unidad de intensidad implica un aumento de 100 veces en la amplitud del terremoto. Se describe cómo se define una función logarítmica y sus propiedades, incluyendo cómo encontrar su inversa y cómo graficarla. Se ilustra con ejemplos prácticos y se motiva a los espectadores a practicar y aplicar estos conceptos en diferentes situaciones, como en la economía, con una ecuación de oferta de un fabricante de sellos.
Takeaways
- 📊 Las funciones logarítmicas son utilizadas para modelar fenómenos en áreas como la química y la astronomía, y para calcular la intensidad de eventos como terremotos y sismos.
- 🔍 La escala sismológica de Richter se basa en una escala logarítmica decimal, lo que significa que un terremoto de intensidad 4 es 100 veces más fuerte que uno de intensidad 2.
- 📘 Una función logarítmica generalmente tiene la forma \( f(x) = a \log_a(x) \), donde \( x \) es la variable independiente, \( a \) es la base del logaritmo y debe ser un número real mayor que 0 y diferente de uno.
- ❌ Si la base \( a \) es menor que 0 o igual a 1, la función logarítmica no está definida en los números reales.
- 🔄 Las funciones logarítmicas son sobreyectivas, lo que significa que cada punto en el dominio se asigna a un único punto en el rango.
- 🔄 Para encontrar la función inversa de una función logarítmica, se intercambian las variables y se aplica la función exponencial correspondiente.
- 📈 Al graficar funciones logarítmicas, es importante tener en cuenta las asíntotas y el dominio de la función, que generalmente es el intervalo abierto (0, +∞).
- 📌 Los interceptos con los ejes en las gráficas de funciones logarítmicas se pueden encontrar tanto analíticamente como gráficamente.
- 💼 Las funciones logarítmicas tienen aplicaciones prácticas en la economía, como en la ecuación de oferta donde el precio se relaciona con el número de unidades ofrecidas mediante un logaritmo.
- 🌟 El conocimiento de las funciones logarítmicas es esencial no solo en matemáticas, sino también en campos profesionales como la sismología y la economía.
Q & A
¿Qué fenómenos pueden modelar las funciones logarítmicas?
-Las funciones logarítmicas pueden modelar fenómenos en áreas como la química, la astronomía y son útiles para calcular la intensidad de eventos como terremotos o sismos.
¿Qué significa que la escala sismológica de Richter esté basada en una escala logarítmica decimal?
-Una escala logarítmica decimal significa que cada incremento de una unidad en la escala de Richter representa una amplitud de la onda del terremoto 10 veces superior a la unidad anterior.
¿Cuál es la forma general de una función logarítmica?
-Una función logarítmica tiene la forma f(x) = a * log base a de x, donde 'a' es la base del logaritmo y 'x' es la variable independiente.
¿Qué sucede si la base 'a' de un logaritmo es menor que 0 o igual a 1?
-Si la base 'a' es igual a 1, la función no sería una función ya que no satisface la condición de ser un número real mayor que 0 y diferente de uno. Si la base es menor que 0, no se define en los números reales, ya que no se puede encontrar un número que cumpla con la definición de logaritmo.
¿Cómo se define la sobreyectividad de una función logarítmica?
-Una función logarítmica es sobreyectiva si para cada valor en el rango, hay al menos un valor en el dominio que le corresponde.
¿Cómo se encuentra la función inversa de una función logarítmica dada por f(x) = log base 5 de (x + 3)?
-Para encontrar la función inversa, se intercambian las variables y se aplica la función exponencial correspondiente a la base del logaritmo, resultando en x = 5^(y - 3).
¿Cuál es el dominio de la función f(x) = log base 2 de x?
-El dominio de la función es el intervalo no acotado abierto (0, +∞), ya que el logaritmo solo está definido para valores mayores que 0.
¿Cómo se encuentran los interceptos de una función logarítmica con los ejes en un gráfico?
-Se pueden encontrar analíticamente o gráficamente. Gráficamente, se observa en qué punto la función se cruza con los ejes. Analíticamente, se establece y = 0 para encontrar el intercepto con el eje x y x = 0 para encontrar el intercepto con el eje y.
¿Cómo se grafica la función f(x) = log base 3 de (x + 1) y cómo se encuentran sus interceptes?
-Se grafica determinando el dominio, que es (-1, +∞), y tomando valores de x dentro de este rango. Los interceptes se encuentran analíticamente estableciendo y = 0 para el eje x y x = 0 para el eje y, resultando en los puntos (0,0) para ambos casos.
¿Cómo se relaciona la función logarítmica con la economía en el ejemplo del fabricante de sellos?
-La ecuación de oferta del fabricante p = a * log base 5 de (10 + q) / 3, relaciona el precio (p) con el número de unidades ofrecidas (q) a través de una función logarítmica, lo que puede reflejar cómo el precio puede variar con la cantidad producida.
Outlines
📈 Funciones Logarítmicas y su Aplicación
El primer párrafo introduce el uso de las funciones logarítmicas en diversas áreas como la química, la astronomía y para medir eventos naturales como terremotos y sismos. Se menciona la escala sismológica de Richter, que se basa en una escala logarítmica decimal, lo que significa que un incremento de una unidad en la escala equivale a una amplitud 10 veces mayor. El video también explica la definición de una función logarítmica y las condiciones para la base del logaritmo, así como problemas que surgen si la base es menor que 0 o igual a 1. Seguidamente, se explora cómo encontrar la función inversa de una logarítmica, utilizando un ejemplo práctico y se desafía al espectador a relacionar las funciones con sus inversas en un ejercicio propuesto.
📊 Graficación de Funciones Logarítmicas
El segundo párrafo se enfoca en la graficación de funciones logarítmicas, utilizando el ejemplo de una función con base 2. Se describe el proceso de encontrar el dominio de la función, que es el intervalo abierto desde 0 hasta el infinito, y cómo se determina la asintota en x=0. Seguidamente, se construye una tabla de valores para diferentes entradas de x y se grafican los puntos correspondientes, identificando el intercepto con el eje de las abscisas y cómo se puede hallar analítica o gráficamente. El video invita al espectador a practicar la graficación y a encontrar los interceptos con los ejes en su cuaderno.
📉 Aplicaciones y Ejemplos de Funciones Logarítmicas
El tercer párrafo presenta una aplicación de las funciones logarítmicas en economía, utilizando un ejemplo de oferta de un fabricante de sellos. Se da una ecuación de oferta que involucra un logaritmo con base 5 y se pide al espectador que determine los valores dentro del rango de la función y descarte gráficas incorrectas. Además, se pide identificar variables y reemplazarlas para responder a preguntas específicas. El video concluye enfatizando la importancia del conocimiento de las funciones logarítmicas en diversas profesiones y desafía al espectador a aplicar su conocimiento en problemas prácticos.
Mindmap
Keywords
💡Funciones logarítmicas
💡Escala Richter
💡Sobreyectividad
💡Función inversa
💡Asíntota
💡Dominio de una función
💡Interceptos con los ejes
💡Graficación de funciones
💡Economía
💡Aplicaciones prácticas
Highlights
Las funciones logarítmicas son utilizadas para modelar fenómenos en áreas como la química y la astronomía.
La escala sismológica de Richter se basa en una escala logarítmica decimal, lo que significa que un terremoto de intensidad 4 es 100 veces más fuerte que uno de intensidad 2.
Una función logarítmica generalmente se presenta en la forma f(x) = a * loga(x), donde 'a' es la base del logaritmo y 'x' es la variable independiente.
La base del logaritmo 'a' debe ser un número real mayor que 0 y diferente de uno para que la función sea válida.
Si la base 'a' es menor que 0, no se define en los números reales, como en el caso del logaritmo con base 0 de 2.
La función logarítmica es sobreyectiva y se puede hallar su función inversa, como se muestra en la actividad del libro.
Para encontrar la función inversa, se intercambian las variables y se aplica la función exponencial correspondiente.
El dominio de una función logarítmica es un intervalo que no incluye el valor que hace que el logaritmo sea indefinido.
La gráfica de una función logarítmica tiene una asíntota vertical en x = 0, que es donde la función no está definida.
El intercepto con el eje de las abscisas se encuentra analíticamente o gráficamente, y no existe un intercepto con el eje de las ordenadas para funciones logarítmicas.
Se puede graficar una función logarítmica tomando valores de 'x' mayores que el límite del dominio y observando cómo varía 'y'.
La función logarítmica posee una forma única y su gráfica es fácil de identificar con su asíntota y su crecimiento lento.
El intercepto con el eje de las abscisas se determina a partir de la condición de que el logaritmo de un número dado es cero.
La función inversa de una función logarítmica se calcula intercambiando las variables y aplicando la función exponencial.
Se pueden graficar y encontrar las asíntotas y los interceptos de funciones logarítmicas con argumentos como 'x + 1', lo cual cambia el punto de partida de la función.
Las funciones logarítmicas tienen aplicaciones prácticas en la economía, como en la ecuación de oferta de un fabricante, donde se relaciona el precio con el número de unidades ofrecidas.
Es importante entender las propiedades y aplicaciones de las funciones logarítmicas para diversos campos profesionales, como la sismología o la economía.
Transcripts
[Música]
sabías que las funciones logarítmicas
sirven como herramienta para modelar
fenómenos en el área de la química la
astronomía y además sirven para calcular
la intensidad de eventos como un sismo o
un terremoto por ejemplo la escala
sismológica de richer está basada en una
escala logarítmica decimal lo que
significa de base 10 así un terremoto de
intensidad 4 no es el doble que uno de
intensidad do sino 100 veces Superior y
así de forma sucesiva esto quiere decir
que por cada incremento de unidad en la
escala de richer la amplitud de la onda
del terremoto recogida en El sismógrafo
Se incrementa 10 veces Hola soy dinamico
hoy hablaremos sobre la función
logarítmica una función logarítmica es
de la forma FX = a logaritmo con base a
de X Recuerda que usualmente llamamos x
a la variable independiente pero la
variable independiente puede ser
nombrada de cualquier
forma a que es la base del logaritmo y
es cualquier número real mayor que 0 y
diferente de uno te debes estar
preguntando qué pasa si la base a es
menor que 0 o ig a 1 si la base es igual
a 1 FX no sería función Ahora si la base
a es menor que 0 tendremos problemas
porque nos darían expresiones que no
están definidas en los números reales
por ejemplo logaritmo con base 0 de 2 no
es está definida en los números reales
pues no podemos encontrar un número B
tal que 0 elevado a la B sea igual a 2
Recuerda que el logaritmo con base a de
X es ig a y si y solo si a elevado la y
es = x imagina que quieres ser sismólogo
o estás estudiando para esto y debes
conocer todo acerca de la función
logarítmica Como por ejemplo que toda
función logarítmica es sobreyectiva o
hallar la función inversa a una función
logarítmica como en la actividad uno de
tu libro Relaciona las funciones con su
inversa te ayudo con la función del
literal a FX = logaritmo con base 5 de x
+ 3 entonces recuerda que en este caso
FX es = a y por lo tanto y es igual a
logaritmo con base c 5 de x + 3 para
hallar su función inversa intercambiamos
las variables teniendo así x = a
logaritmo con base 5 de y + 3 ahora
aplicamos la función exponencial en
ambos lados del igual Recuerda que la
base de la función exponencial debe
tener la misma base que la función
logarítmica en este caso 5 teniendo así
5 a la x = 5 elevado a la logaritmo con
base 5 de y +
3 Recuerda que a elevado a la logaritmo
con base a de X es igual a x por lo
tanto 5 elevado a la x = y + 3 si sustra
3 en ambos lados del igual obtenemos la
función y = a la diferencia entre 5 a la
x y 3 y esta función es la inversa de de
FX = logaritmo con base 5 de x + 3 por
lo tanto escribimos la letra a en este
espacio pausa el video y termina la
actividad uno de tu libro ahora veamos
cómo graficar este tipo de funciones
desarrollando la actividad 2s de tu
libro la función FX igual a logaritmo
con base
2dx Recuerda que el momento debe ser
estrictamente mayor que C de lo
contrario no está definido el logaritmo
entonces El dominio de esta función es
el intervalo no acotado abierto 0 coma
infinito Así que en la tabla podemos
darle a x valores mayores que cer y la
Gráfica va a tener como asíntota a la
recta x = 0 tomemos los siguientes
valores
para x 1 2 3 4 5 6 y
7 ahora veamos los valores que toma Y si
x es ig a 1 entonces f1 es igual a
logaritmo con base 2 de 1 lo que da como
resultado 0 ya que 2 elevado a la 0 es
ig a 1 entonces Y es = a 0 escribimos
este valor en la tabla
ahora
si x = a 2 entonces f2 es igual a
logaritmo con base 2 de 2 lo que da como
resultado 1 ya que 2 elevado a la 1 es
igual a 2 entonces y = 1 escribimos este
valor en la
tabla repetimos el proceso con x = 3 a
cu a c a se y a si para completar la
tabla ahora ubicamos en el plano cada
coordenada por último unimos los puntos
y listo no olvides que la función posee
una asíntota en x =
0 el intercepto con Los ejes se pueden
hallar analíticamente o
gráficamente veámoslo
gráficamente como sabemos no tiene
intercepto con el eje de las ordenadas y
el intercepto con el eje de las abscisas
es aquí en este punto 1
com0 ahora
analíticamente Recuerda que para
encontrar el intercepto con el eje de
las
abscisas usualmente lo llamamos eje x
debemos tomar y = 0 y = logaritmo con
base 2 dex haciendo y = 0 tenemos que
logaritmo con base 2 de X x es = 0
aplicando la función exponencial con
base 2 en ambos lados de la igualdad
obtenemos que 2 elevado a la logaritmo
con base 2 de X es = a 2 elevado a la 0
al operar encontramos que x es igual a 1
por lo tanto el intercepto con el eje de
las abscisas es el punto
1,0 debido a que en cer no está definida
la función logarítmica O sea que cero no
forma parte de su dominio no existe
intersecto con el eje de las ordenadas
en este caso y pausa el video y termina
la actividad dos de tu
libro practiquemos lo aprendido hasta el
momento en tu cuaderno grafica y halla
los interceptos con cada uno de los ejes
así como la inversa de cada función yo
me encargo de esta función FX =
logaritmo con base 3 de X + 1 Recuerda
que el argumento debe ser estrictamente
mayor que 0 de lo contrario no está
definido el
algoritmo entonces El dominio de esta
función es el intervalo uno negativo
coma infinito Así que en la tabla
podemos darle a x valores mayores que
uno negativo y la Gráfica tiene como
asíntota la recta x = a un negativo
tomemos lo sigi valores para x 0 1 2 3 4
5 y 6 ahora veamos los valores que toma
Y si x es = a 0 entonces F de 0 es igual
a logaritmo con base 3 de 0 + 1 lo que
da como resultado 0 entonces y = 0
escribimos este valor en la tabla Ahora
sí x es ig 1 entonces f1 es igual
logaritmo con base 3 de 1 + 1 lo que da
como resultado
aproximadamente
0,63 Entonces y Es aproximadamente
0,63 y escribimos este valor en la tabla
y hacemos lo mismo para x = 2 a 3 a 4 a
5 y a 6 para completar la
tabla ahora ubicamos en el plano cada
coordenada
[Música]
un buen inicio Ubicar la asíntota
vertical que posee la función y por
último unir los puntos y listo el
intercepto con Los ejes se pueden hallar
analíticamente o gráficamente según la
Gráfica que acabamos de construir
podemos evidenciar que el intercepto con
ambos ejes es el punto
0,0 ya que la pasa por el
origen ahora
analíticamente y = a logaritmo con base
3 de x + 1 haciendo y = 0 tenemos que
logaritmo con base 3 de x + 1 es igual a
0 aplicando la función exponencial con
base 3 en ambos lados de la igualdad
obtenemos que 3 elevado a la logaritmo
con base 3 de x + 1 es igual a 3 elevado
a la 0 entonces x + 1 = 1 sustrayendo 1
en ambos lados de la igualdad concluimos
que x = 0 por lo tanto el intercepto con
el eje de las abscisas es el punto
0,0 Recuerda que para Hallar el
intercepto con el eje de las ordenadas
usualmente lo llamamos eje y tomamos el
valor de X como 0 Entonces si x es = 0 Y
es es igual a logaritmo con base 3 de 0
+ 1 realizando la operación del
argumento obtenemos que y es igual al
logaritmo con base 3 de 1 que es igual a
0 por lo tanto el intercepto con el eje
de las ordenadas es el punto
0,0 ahora hallemos la función inversa a
esta
[Música]
función recuerda que en este caso FX es
igual a y por lo tanto y es igual a
logaritmo con base 3 de x + 1 para
hallar su función inversa intercambiamos
las variables teniendo así x = logaritmo
con base 3 de y + 1 ahora aplicamos la
función exponencial en ambos lados del
igual Recuerda que la base de la función
exponencial debe tener la misma base que
la función logarítmica en este caso 3
teniendo así 3 a la x = a la 3 a la
logaritmo con base 3 de y +
1 Recuerda que a elevado a la logaritmo
con base a de X es igual a x por lo
tanto 3 elevado a la x = a y + 1
sustrayendo en uno ambos lados del igual
obtenemos la función y igual a la
diferencia entre 3 a la x y 1 y esta
función es la inversa de F dex = a
logaritmo con base 3 de x + 1 pausa el
video y termina la actividad 3 de tu
libro Listo ya eres todo un experto ya
puedes usar a tu favor este conocimiento
veamos una aplicación de este tipo de
funciones en la parte de la economía
responde las preguntas de la actividad
cuatro de tu libro
Jaime fabrica sellos a demanda la
ecuación de oferta del fabricante es p =
a logaritmo con base 5 de 10 + q sobre 3
donde q es el número de unidades
ofrecidas y p es el precio en dólares
por cada unidad para dar respuesta a la
pregunta uno debes dar valores a x
dentro del rango de la función y
descartar las gráficas en las que no
coincida la imagen y para responder la
pregunta dos y tres debes identificar
las variables y reemplazar en la función
la variable por el valor necesario según
sea el caso bien como ves conocer sobre
esta función es muy importante en varios
estados de nuestra vida profesional
serías un gran sismólogo o empresario
nos vemos en otra ocasión chao chao Din
amigos
[Música]
ah
Browse More Related Video
Función logarítmica Gráfica, Dominio y Rango | Ejemplo 1
Función Logarítmica - Ejercicios Nivel 1 - Intro
¿Entendamos los LOGARITMOS? ¿Dónde y cuándo se aplican? ¿Para qué sirven?
Identidades Trigonométricas | Introducción
Función inversa | Introducción
CORRIENTE, INTENSIDAD, DENSIDAD, RESISTIVIDA Y CONDUCTIVIDAD ELÉCTRICA
5.0 / 5 (0 votes)