Intégrales - partie 1 : l'intégrale de Riemann

Summary

This chapter segment delves into the concept of integrals, specifically the Riemann integral, starting with simple step functions to build up to more complex function integration. It introduces the integral of an exponential function and demonstrates the process of approximating areas under the curve using rectangles. The main theorem is that continuous functions are integrable, and a proof is provided. The lesson also covers basic properties of integrals and explains how to define the integral for any given function, including those not integrable, such as the Dirichlet function. The importance of understanding the integral's definition for both bounded and unbounded functions is highlighted, concluding with the integral calculation for a quadratic function and the proof that continuous functions are integrable.

Takeaways

• 🔢 The chapter introduces Riemann integration, starting with simple step functions to define integrals.
• 📐 The integral of the exponential function is used as an example to calculate the area under a curve between x=0 and x=1.
• 🟩 By subdividing the interval and using lower and upper rectangles, the area under the curve is approximated.
• ↔️ As the number of subdivisions increases, the area approximation converges to the true integral.
• 🧮 The integral of a step function is defined as the sum of areas of rectangles formed under the function.
• ✅ A function is integrable if the limit of the areas under and above it are equal as subdivisions become finer.
• ⚠️ Not all functions are integrable; however, continuous functions are always integrable.
• 🚧 A non-integrable function example is given, where the function takes different values based on whether x is rational or irrational.
• 🔍 The integral of a general bounded function is defined using the upper and lower step functions.
• 📊 Continuous functions can be closely approximated by step functions, leading to their integrability.

Q & A

What is the primary focus of the first part of the chapter on integrals?

The primary focus is on understanding the definition of the integral, particularly the Riemann integral, rather than on performing calculations.

How is the Riemann integral initially defined for simple functions?

The Riemann integral is initially defined for simple step functions, which are functions that are constant on subintervals of a given interval.

What is the significance of step functions in defining the Riemann integral for more general functions?

Step functions are used as a foundational tool to define the Riemann integral for more general functions, allowing for the development of the concept by approximating the area under a curve.

What is the main theorem introduced in this chapter regarding continuous functions?

The main theorem states that continuous functions admit integrals, and the proof of this theorem is provided in the chapter.

How are the areas under the curve of the exponential function approximated?

The areas are approximated using sums of areas of rectangles positioned under and above the curve, with the sum of the lower rectangles converging to the integral as the number of subdivisions increases.

What happens to the sums of the areas of the lower and upper rectangles as the number of subdivisions increases?

As the number of subdivisions increases, the sums of the areas of the lower and upper rectangles both converge to the same value, which represents the integral of the function.

How is the integral defined for a general bounded function?

The integral for a general bounded function is defined using the concept of step functions that approximate the function from below and above. The integral exists if the upper and lower sums converge to the same value.

What conditions must a function meet to be integrable according to the Riemann definition?

A function is Riemann integrable if the upper sum and lower sum for step functions converge to the same value, meaning that the area under the curve can be accurately approximated from both sides.

Can you give an example of a function that is not Riemann integrable?

Yes, a function that takes the value 1 at rational points and 0 at irrational points on an interval is not Riemann integrable because the upper and lower sums do not converge to the same value.

What is the result of integrating the function f(x) = x^2 over the interval [0, 1]?

The integral of f(x) = x^2 over the interval [0, 1] is equal to one-third, as calculated using the definition of the Riemann integral and the approximation with step functions.

Outlines

00:00

📚 Introduction to Riemann Integrals

This paragraph introduces the concept of integrals, specifically the Riemann integral, and sets the stage for a deeper understanding of integration. It begins by explaining that the focus is not on extensive calculations but on understanding the definition of the integral. The paragraph uses the example of an exponential function to illustrate how to approximate the area under the curve using rectangles and then refines the approximation by considering the limit as the number of rectangles approaches infinity. The main theorem of the lesson is introduced, stating that continuous functions admit integrals, and the proof is outlined.

05:00

🏗️ Building the Integral for General Functions

The second paragraph delves into the construction of the integral for more general functions by first defining it for simple step functions. It explains the process of defining the integral using the lower and upper sums of step functions that approximate the function from below and above. The paragraph introduces the concept of a partition of the interval and how a function is considered a step function if it is constant over each subinterval of the partition. The integral of a step function is defined as the sum of the areas of the rectangles formed by the partition, with consideration for the sign of the function values.

10:00

📉 Understanding Integrable Functions and Their Properties

This paragraph discusses the criteria for a function to be considered integrable. It explains that the integral is defined for bounded functions and introduces the concept of lower and upper sums to determine the integral's value. The paragraph also highlights the importance of the function's behavior over the interval, emphasizing that continuous functions are integrable. It provides an example of a function that is not integrable due to its dense rational values, contrasting it with the properties of continuous functions and their integrability.

15:01

📐 Calculating the Integral of a Specific Function

The fourth paragraph provides a detailed example of calculating the integral of a function f(x) = x^2 over the interval from 0 to 1. It describes constructing lower and upper step functions to approximate the integral and then calculating the areas of the rectangles formed by these functions. The paragraph uses the formula for the sum of squares of integers to find the integral of the upper step function and similarly calculates the integral of the lower step function. It concludes by showing that as the partition becomes finer, the integrals of the step functions converge to a third, which is the value of the integral of the function f(x) over the given interval.

20:02

🔍 Theoretical Results and Proof of Integrability for Continuous Functions

The final paragraph presents theoretical results and a proof of the main theorem, which states that continuous functions are integrable. It begins by discussing the properties of continuous functions and their derivatives, using the Mean Value Theorem to establish bounds on the function's values. The paragraph then constructs lower and upper step functions to approximate the continuous function within a given error margin. It concludes by showing that as the partition becomes finer, the difference between the integrals of the lower and upper step functions approaches zero, proving the integrability of the continuous function.

Keywords

💡Integrals

Integrals are a fundamental concept in calculus that represent the area under a curve or the accumulation of a quantity. In the video, integrals are introduced as a way to understand the accumulation of values for simple functions, like step functions, and then extended to more general functions. The script discusses the Riemann integral, a specific method for defining integrals, and its relation to the area under the curve of a function.

💡Riemann Integral

The Riemann integral is a specific definition of an integral that involves breaking up the area under a curve into rectangles and taking a limit as the width of these rectangles approaches zero. The script explains how the Riemann integral is first defined for simple step functions and then generalized to other functions. It is central to the theme of the video as it provides the foundation for understanding how to calculate the integral of more complex functions.

💡Step Functions

Step functions are simple mathematical functions that have a constant value over a certain interval and change abruptly to another value at specific points. In the video, step functions are used as an introductory example to define the integral because their integrals can be easily calculated as the sum of areas of rectangles. They serve as a bridge to understanding the integral of more complex functions.

💡Continuous Functions

Continuous functions are functions that do not have any abrupt changes in value, meaning they can be drawn without lifting the pen from the paper. The video script mentions that continuous functions admit integrals, which is a key property that allows for the calculation of areas under their curves. The proof of this property is part of the main theme of the video.

💡Exponential Function

An exponential function is a mathematical function where the variable is in the exponent. In the script, the exponential function is used as an example to demonstrate the process of calculating an integral. The integral of the exponential function is calculated by approximating the area under the curve with rectangles and taking the limit as the number of rectangles approaches infinity.

💡Summation

Summation refers to the process of adding a sequence of numbers to find their total. In the context of the video, summation is used to calculate the area under the curve of a function by summing the areas of rectangles that approximate this area. The script describes how the summation of these areas can be simplified using geometric series when dealing with exponential functions.

💡Geometric Series

A geometric series is a series of numbers where each term after the first is found by multiplying the previous one by a fixed, non-zero number called the common ratio. In the video, the script uses the concept of a geometric series to simplify the calculation of the integral of an exponential function, showing how the sum of the areas of the rectangles can be expressed as a geometric series.

💡Subdivision

In the context of integrals, subdivision refers to the process of dividing an interval into smaller subintervals. The script mentions that as the number of subdivisions increases (i.e., as 'n' approaches infinity), the rectangles used to approximate the integral become thinner, and the approximation of the area under the curve becomes more accurate.

💡Upper and Lower Sums

Upper and lower sums are used in the definition of the Riemann integral to provide an upper and lower bound for the area under the curve. In the script, the concept of upper and lower sums is introduced to show how the integral is the limit of these sums as the subdivisions become finer, and they converge to the actual integral value.

💡Integral of a Step Function

The integral of a step function is calculated by summing the products of the height (the constant value of the function over an interval) and the width of each subinterval. The script explains that for a step function, the integral is the sum of these areas, which corresponds to the algebraic sum of the areas above and below the x-axis.

💡Bounded Function

A bounded function is a function that has an upper and lower limit—it does not go to infinity or negative infinity. In the script, it is mentioned that for a function to be integrable, it must be bounded on the interval of integration. This is important because it ensures that the areas being summed are finite.

💡Supremum and Infimum

Supremum and infimum are terms used to describe the least upper bound and the greatest lower bound of a set of numbers, respectively. In the context of the video, these terms are used to define the upper and lower sums for a function, which are then used to determine the integral of the function if these bounds converge to the same value.

💡Piecewise Continuous Function

A piecewise continuous function is a function that is continuous except possibly at a finite number of points. The script mentions that piecewise continuous functions are integrable, which is an important generalization from continuous functions to a broader class of functions that can still have their areas under the curve calculated.

💡Theorem of Finite Increments

The theorem of finite increments, also known as the Mean Value Theorem for integrals, provides a way to estimate the difference in the function values at two points based on the average rate of change over an interval. In the script, this theorem is used to show that the difference between the integrals of upper and lower sums can be controlled, which is crucial for proving the integrability of continuous functions.

Highlights

Introduction to integrals, specifically the Riemann integral, for simple step functions and the progression to more general functions.

Explanation of how to define the integral for step functions to prepare for the definition of integrals for more complex functions.

The main theorem of the lesson: continuous functions admit integrals, with a proof provided.

Calculation of the integral of an exponential function using rectangles under the curve to approximate the area.

The concept of the sum of a geometric series and its application in calculating the area under the curve.

Behavior of the integral as the number of rectangles approaches infinity, leading to the definition of the integral limit.

The importance of subdivisions in refining the approximation of the area under the curve.

The definition of the integral for arbitrary functions using step functions to replace rectangles.

The integral of a function is only defined for integrable functions, and conditions for a function to be integrable are discussed.

Introduction of the concept of a subdivision of an interval and its role in defining the integral.

Definition of a step function and its integral, which is a sum of areas of rectangles, each with a constant height.

The integral of a step function as a real number that measures the algebraic area between the curve and the x-axis.

The process of defining the integral for any bounded function using the concept of upper and lower sums.

The criteria for a function to be integrable based on the equality of the upper and lower integrals.

Examples of integrable functions, such as step functions, and non-integrable functions, like the Dirichlet function.

The integral of a function defined on an interval is invariant under finite changes in the function's values.

The extension of the integral definition to continuous functions and the proof of their integrability.

The Mean Value Theorem for integrals and its application in proving the integrability of continuous functions.

The construction of step functions to approximate a continuous function and control the error uniformly over an interval.

The proof that a function of class C1 (continuously differentiable) is integrable, using the finite increment theorem.

The conclusion that continuous functions, and more generally, piecewise continuous functions, are integrable.

Transcripts

dans cette première partie du chapitre

sur les intégrales nous n'allons pas en

calcul et beaucoup nous allons bien

comprendre comment est définie

l'intégrale plus précisément l'intégrale

de riemann nous allons d'abord définir

l'intégrale pour des fonctions très

simple les fonctions en escalier cela

nous permettra ensuite de définir

l'intégrale de fonctions beaucoup plus

général puis nous verrons quelques

propriétés élémentaire le théorème

principal de cette leçon sera que les

fonctions continue admettre des

intégrales et nous en donnerons la

preuve

nous allons introduire l'intégrale aller

exemple considérons la fonction

exponentielle

fdx égale exponentielle x on souhaite

calculé l'air à en dessous du grave de f

et entre les droites d'équations x égal

zéro x égal 1 et lax os x nous

approchons ses terres par des sommes

d'air de rectangles situé sous la courbe

plus précisément des coupons notre

intervalle 011 est mort saut et sur ce

dessin n est égal à 4

on considère les rectangles inférieur r

i - chacun ayant pour base un segment i

- 1 sur rennes i sur rennes et deux

longueurs donc un sur aisne ont choisi

la hauteur de chacun des rectangles pour

qu'il soit juste en dessous de la courbe

ici la hauteur est donc la valeur prise

sur la gauche de l'intervalle qui vaut

ici exponentielle i - 1 sur rennes

calculons l'air verte de nos rectangle

inférieur l'air d'un rectangle et base

est donc un suresnes fois auteur c'est à

dire exponentielle i - à suresnes et il

faut faire la somme surtout les

rectangles c'est à dire la somme pour

yves variant de 1 jusqu'à peine on

réécrit cette somme ainsi et on

reconnaît la somme d'une suite

géométriques dont la raison est

exponentielle 1 sur rennes

on peut donc calculer cette somme et on

la réécrit 1 6 1 sur rennes /

exponentielle 1 sur l moins un facteur

2e - que se passe-t-il lorsque haine

envers plus l'infini on sait que

exponentielle x - 1 sur x temps vers 1

lorsque x tend vers zéro donc 1 sur

rennes / exponentielle 1 sur rennes - un

temps aussi vers 1 lorsque end en verre

plus l'infini et donc notre somme

tant vers -1

regardons maintenant les rectangles

supérieur ils ont la même base mais sont

au dessus de la courbe pour notre

fonction ils ont donc la hauteur qui

correspond à la valeur à droite du

segment de base un calcul tout à fait

similaire montre que lorsque haine

envers plus l'infini la somme des rd

rectangle rouge supérieur temps aussi

vers eux - 1

les rats de notre région est plus grande

que l'air verte des rectangles

inférieure est plus petit que l'air

rouge des rectangles supérieur lorsque

l'on considère des subdivisions de plus

en plus petit

c'est à dire lorsque l'on fait tendre n

vert plus l'infini alors on obtient la

limite que l'air à de notre région est

encadré par deux aires qui tendent vers

1 - 1 dont claire de notre région est à

est égale à e - 1

résumons tout cela nous avons cadré

l'air sous la courbe par des airs de

rectangle en verre qui reste en dessous

et des rectangles rouge qui sont au

dessus cela nous donne un encadrement de

notre ère sous la courbe notre

intervalle de départ est coupée en

morceaux

donc chaque rectangle à une base de

longueur 1 sur rennes et sur ce dessin n

est égal à 4 lorsque n grandit alors là

base de nos rectangle diminue et il

approche de mieux en mieux l'air sous la

courbe si l'on arrive à justifier que

l'air verte s'approche de l'air rouge

comme on l'a fait ici par le calcul

alors à la limite cet encadrement nous

donne l'air sous la courbe

nous allons reprendre la construction

que l'on vient de faire

mais cette fois ci pour une fonction f

quelconque ce qui va remplacer les

rectangles ce seront des fonctions en

escalier et si la limite des airs en

dessous et gala limite des airs au

dessus on appelle cette limite commune

l'intégrale de f que l'on note intégrale

de ab de f2 xd x cependant il n'est pas

toujours vrai que c'est limite soit égal

l'intégrale n'est donc défini que pour

les fonctions intégrables heureusement

nous verrons que si la fonction f et

continue alors elle est intégrable

soit à b1 interne

r on appelle une subdivision de

l'intervalle avait une suite finie

strictement croissante de nombres xxi

tels que a est égal à x 1 10 0 qui est

strictement plus petit que x 1 10 à 1

qui est lui-même strictement plus petit

que x indice de etc jusqu'à strictement

plus petit que x un dix cennes qui est

égal à l'extrémité b voici un exemple

d'une subdivision de l'intervalle

ab maintenant on dit qu'une fonction f

défini sur l'intervalle ab dans aer

s'appelle une fonction en escalier s'il

existe une subdivision de l'intervalle

ab et des valeurs c1 c2 et c'est jusqu'à

cn tels que f 2 x est égal à c y pour

tous les x dans le sou d'intervalle xxi

- un xxi autrement dit est fait une

fonction constante sur chacun des ce ou

intervalle de la subdivision nous allons

définir l'intégrale pour ses fonctions

très spéciale pour une fonction en

escaliers comme ci dessus son intégrale

est le réel la somme pourri variant de 1

jusqu'à n2c ifois xxi - xxi moins que

l'on note intégrale de ab de f2 xd x

noter que chaque terme

seïf acteurs de xxi - ici - 1 l ère du

rectangle compris entre les apps 6 x 6 -

1 et xxi et de hauteur c'est i

il faut juste prendre garde que l'on

compte l'air avec un signe plus si c'est

y est positif et un signe - cissé y est

négatif l'intégrale d'une fonction en

escalier l ère de la partie rouge donc

situé au dessus de l'axé des abscisses -

l'ère de la partie

donc bleu situé en dessous l'intégrale

une fonction en escalier et bien un

nombre réel qui mesurent l'air

algébrique c'est-à-dire avec signe entre

la courbe de f

et l'axé des abscisses

avant de définir l'intégrale pour une

fonction quelconque

rappelons qu'une fonction f défini sur

un intervalle ab dans aer est borné s'il

existe un réel grands thèmes tels que f

2 x est compris entre -0 scène pour

toutes xe de l'intervalle

ab rappelons aussi que si l'on a deux

fonctions est fait j'ai défini sur un

intervalle ab alors on dira que f est

inférieur ou égal à g si et seulement si

f 2 x est inférieur ou égal à g2x ceci

pour toutes xe

dans l'intervalle ab alors on suppose à

présent que f2 l'intervalle ab dans air

est une fonction borné quelconque et

pour définir l'intégrale nous aurons

besoin de deux nombres

le premier y moins de f et définit ainsi

on prend toutes les fonctions fille en

escalier qui sont inférieures à f

on calcule à chaque fois l'intégrale de

fille c'est à dire l'air sous la

fonction l'escalier et on prend l'air la

plus grande parmi toutes ces fonctions

en escalier mais comme on n'est pas sûr

que ce maximum existe on prend la borne

supérieure

de même on définit un second réels y

plus de f

c'est le même principe mais les

fonctions fille en escaliers sont

supérieurs à f

et on cherche l'air la plus petite

possible alors il est intuitif que l'on

a dit moins de f qui est inférieur ou

égal à plus de f

et nous dirons d'une fonction borné f

donc de l'intervalle ab dont r quelle

est intégrable si l'aide de nombres ou

moins de fmi plus de f sont égaux si

c'est le cas alors cette valeur commune

s'appelle l'intégrale de f sur ab et on

note cette valeur commune

l'intégrale de a à b

fdx dx

la définition de l'intégrale repose donc

sur la même idée qu avec les rectangles

on a des fonctions en escalier sous la

courbe ici en verre et on cherche l'air

la plus grande possible

pour cela on s'autorise à prendre des

bases de rectangles aussi petit que l'on

veut et on a aussi des fonctions en

escalier au dessus de la courbe ici en

rouge et on cherche l'air la plus petite

possible au lieu de s'autoriser

seulement un découpage régulier de

l'intervalle avec des auteurs

correspondant aux valeurs aux extrémités

on considère tout les subdivisions

possible avec toutes les valeurs

possible du moment que l'on reste en

dessous pour les rectangles verts et au

dessus pour les rectangle rouge

évidemment c'est lorsque les

subdivisions sont de plus en plus fine

que l'on peut trouver des fonctions en

escalier qui approche très bien le grave

de notre fonction si les airs verte et

les herbes rouges sont aussi proches que

l'on veut alors on dit que la fonction

est faite intégrable et la limite

s'appelle l'intégrale de f

entre a et b

voyons quelques exemples tout d'abord

fonctions à l'escalier sont intégrables

en effet si elle fait une fonction en

escaliers alors la borne inférieure i -

2f et la borne supérieure y plus de f

sont atteintes avec la fonction fille

est égal à f nous verrons bientôt que

toutes les fonctions continue sont des

fonctions intégrables mais attention

cependant il existe des fonctions qui ne

sont pas intégrables par exemple celle

ci 6x et rationnel alors la fonction vos

seins et sinon la fonction vos héros

c'est un bon exercice décrire proprement

que f n'est pas intégrable par la

densité des rationnel dans air si une

fonction en escalier est supérieur à f

alors en fait elle est supérieure à 1 et

par densité d irrationnel une fonction

en escalier inférieur à eve est toujours

négative donc pour cette fonction i - de

f est égal à zéro y plus de f est égal à

1

ce sont des valeurs distinctes et donc f

n'est pas intégrables

mettons en pratique la définition de

l'intégrale regardons la fonction f qui

a x à ceux ci x carré est ce que cette

fonction est faite intégrables et si oui

que vaut son intégrale entre 0 et 1

alors pour répondre à ces questions on

prend la subdivision régulière de

l'intervalle 0 1 0 1 sur rennes de

suresnes et cetera le terme général

c'est ea sur rennes jusqu'à n suresnes

qui vaut 1 alors sur chaque intervalle i

- 1 sur l issue rennes nous avons la

double inégalités x carrés est compris

entre 10 - 1 sur rennes au car elle est

issue rennes au carré nous construisons

donc une fonction l'escalier fille - en

dessous de f qui est définie par fille -

2x est égal à 10 - 1 sur rennes au carré

si x est compris entre 10 - 1 sur lci

sur elle de même nous construisons une

fonction en escalier fit plus au dessus

de f qui est défini sur le même

intervalle par fit plus de x est égal à

icare et / m²

alors ici fille - correspond à la au

rectangle vert et fit plus au rectangle

rouge et elle est égale à 5

voici le dessin pour n égale 6

et voici le dessin pour un égal 7

nous allons maintenant calculé chacune

des airs verte et rouge et vert tendre n

vers l'infini alors on a défini pour

cela deux fonctions l'escalier fille -

et fit plus donc ce sont des fonctions

en escalier et elle vérifie que f est

compris entre filles - et fit plus alors

l'intégrale de la fonction à l'escalier

fit plus est par définition la zone la

somme des airs calculé par la formule

base fois auteur ce qui serait écrit ici

un suresnes cube fois la somme pourri

variant de 1 à n d i au carré alors on

se souvient de la formule pour la somme

des carrés des entier et donc on peut en

déduire l'intégrale de la fonction en

escalier fit plus cette intégrale vos

haines plus un facteur de 2 m + 1 sur 6

et nocar on calcule de même l'intégrale

de la fonction en escalier fille -

maintenant y moins de f

c'est la borne supérieure sur toutes les

fonctions en escalier inférieur à f et

donc en particulier y moins de f est

supérieur à l'intégrale de 0 à 1 2

filles moins de même y plus de f est

inférieure à l'intégrale de 0 à 1 2 fit

plus on connaît chacune des extrémités

et elles tendent toutes les deux vers un

tiers lorsque end envers plus cela finit

par le théorème des gendarmes alors

d'une part cela implique

i - de f est égal à y plus de f

et en plus cette valeur vos un tiers en

conclusion f

eh bien une fonction intégrable et

l'intégrale de 0 à 1 2 x 2 2 x est égale

à un tiers

voici deux résultats qui découlent de la

définition premièrement soit f défini

sur un intervalle ab une fonction

intégrables alors si l'on change les

valeurs de f en un nombre fini de poing

alors la fonction est fait toujours

intégrable et la valeur de l'intégrale

de ab de f 2 x 2 x ne change pas

deuxièmement si f défini sur un

intervalle ab est intégrable alors la

restriction de rêve à tout intervalles à

prime des primes inclus dans

l'intervalle ab est encore une fonction

intégrables

voici le résultat théorique le plus

important de cette leçon théorème 6f est

une fonction continue à leur ai fait une

fonction intégrables ce résultat s'étend

à une classe de fonctions plus générale

une fonction af ait dit continue par

morceau s'il existe une subdivision x 0

x1 et cetera jusqu'à xn tels que la

restriction de f soit continu sur chacun

des ce ou intervalle xxi - un hic si une

conséquence du théorème est que les

fonctions continue par morceaux sont des

fonctions intégrables

voici une preuve du théorème principale

preuve que vous pouvez passer lors d'une

première lecture nous allons prouver une

version un peu plus faible du théorème

rappelons qu'une fonction f

edit de classe c1 6 f et continue des

rives à bhl et que f prime est aussi une

fonction continue nous allons montrer le

théorème suivants 6 f et de classe c1

alors f est une fonction intégrables

l'idée est que les fonctions continue ou

ici de classer un peuvent être approchés

d'aussi près que l'on veut par des

fonctions en escalier tout en gardant un

contrôle d'erreur uniforme sur

l'intervalle

alors comme est fait de classe c1 alors

f prime est une fonction continue sur

l'intervalle fermé et bornés ab f prime

est donc une fonction borné il existe

une constante grands thèmes tels que

pour toutes xe appartenant à

l'intervalle ab on a valeur absolue de f

primes de x plus petit que m

l'inégalité des accroissements fini nous

dit alors que pour tout x et y dans

l'intervalle ab on a valeur absolue de

f2 x - f2 y est inférieure à m x valeur

absolue de x - y

fixons un epsilon positif et considérons

une subdivision x 0 x1 x2 et c'est de

l'intervalle ab suffisamment fine pour

que xxi - xxi -1 soit plus petit que

notre epsilon nous allons construire

deux fonctions en escalier fille - et

fit plus et fille - indéfinie de la

façon suivante alors sur l'intervalle

xxi - un xxi fille - est la fonction

constante c'est y qui s est é

c'est l'info pour tes appartenant à eksi

- 1 x idf de thé voici la valeur

de scei pour seul sou intervalle de même

puis plus c'est une fonction constante

sur chaque intervalle xxi - xxi où elle

prend la valeur dei qui est le sup

df de thé pour tes appartenant à xxi -

ici voici dei pour sossou intervalle

fille - et fit plus ce sont bien deux

fonctions en escalier

on a donc construit deux fonctions en

escalier fille - et fit plus tels que f

soit comprise entre filles - et fit plus

par définition de i - et de i plus on a

donc que i - est plus grand que

l'intégrale de films - et e-plus est

plus petit que l'intégrale de fit plus

en utilisant la continuité de f sur

l'intervalle xxi - xxi alors le maximum

et le minimum sont atteints sur cet

intervalle c'est à dire qu'il existe une

valeur à hideux l'intervalle xxi - un

xxi tels que f2 à y soit égal au minimum

c y et de même il existe une valeur pays

tels que f2b y soit égale au maximum 10

mai nous avons vu que grâce au théorème

des accroissements fini d i - c'est y

qui vaut f2b i - f2 hays est plus petit

que m x valeur absolue de baby - aille

donc plus petit que m x x 6 - x 10 - 1

et par le choix de notre subdivision

plus petit que m x epsilon on va

utiliser ces inégalités pour majorer la

différence entre l'intégrale de fit plus

et l'intégrale de fille - sur chaque

intervalle

l'écart est inférieur à m

epsilon facteur de xxi - ici - 1 on a

majoré la différence de hauteur par m

epsilon et on multiplie par la longueur

de la base xxi - 6 - 1

lorsque l'on sommes pourris variant de 1

jusqu'à n alors cela vaut m

epsilon x b - a car les xxi forme une

subdivision de l'intervalle ab cela

implique l'inégalité e-plus - i - est

plus petit que m

fois epsilon x b - a mais m

et b - à sont des constantes fixé

lorsque l'on fait tendre et

si lon vers zéro on n'obtient que i plus

est égal à i - ce qui prouve que notre

fonction af est une fonction intégrables

c'est le moment de vérifier votre

compréhension du court