Il TEOREMA di LAGRANGE, spiegato per BENE - Road to Maturità

Summary

This video explores Lagrange's Theorem, part of a series on Fermat's Last Theorem and related concepts. It explains the conditions for a function to be continuous and differentiable between two points, A and B, within a closed interval. The theorem states that there exists at least one point where the tangent line is parallel to the secant line connecting A and B. The video also covers the theorem's hypotheses and corollaries, illustrating how a function's derivative being zero implies it is a constant function, and how two functions with the same derivative differ only by a constant.

Takeaways

• 📚 The video discusses Lagrange's Theorem, part of a series on Fermat's and Rolle's Theorems.
• 🔍 The theorem requires a function that is both continuous and differentiable between two precise points, A and B.
• 🚫 The function must not extend infinitely to the left or right, nor have discontinuities or vertical asymptotes within the interval [A, B].
• 📐 The function should be defined on a closed and bounded interval, meaning it should be a single piece with no gaps and include the endpoints.
• 📉 The theorem states that there exists at least one point in the interval [A, B] where the tangent line is parallel to the secant line connecting points A and B.
• 📝 The mathematical formula for Lagrange's Theorem is given by f'(x_0) = (f(B) - f(A)) / (B - A), which represents the slope of the tangent line at x_0.
• 🔑 The slope of the tangent line is crucial, as it must match the slope of the secant line connecting the endpoints of the interval.
• 🔍 The first corollary of the theorem states that if the derivative of a function is zero for all x in [A, B], then the function is constant.
• 🔄 The second corollary indicates that if two functions have the same derivative for all x in [A, B], they are the same function up to a constant difference.
• 📈 The video provides examples to illustrate the theorem and its corollaries, emphasizing the importance of the function's continuity and differentiability.
• 👍 The video concludes by encouraging viewers to support the channel if the content is useful.

Q & A

What is the main topic of the video?

The main topic of the video is the Lagrange's Theorem, which is part of a series on Fermat's, Rolle's, and Lagrange's Theorems.

What are the conditions for a function to be applicable for Lagrange's Theorem?

For a function to be applicable for Lagrange's Theorem, it must be continuous on a closed interval [a, b] and differentiable on the open interval (a, b).

Why can't a function with discontinuities be used for Lagrange's Theorem?

A function with discontinuities cannot be used for Lagrange's Theorem because it requires the function to be continuous on the interval [a, b], without any breaks or gaps.

What does it mean for a function to be differentiable on an interval?

A function is differentiable on an interval if it has a derivative at every point within that interval, meaning there are no sharp corners or cusps.

What is the geometric interpretation of Lagrange's Theorem?

The geometric interpretation of Lagrange's Theorem is that there exists at least one point on the graph of the function where the tangent line is parallel to the secant line connecting the points (a, f(a)) and (b, f(b)).

What is a secant line in the context of the video?

A secant line is a straight line that touches the function at two points, in this case, the points (a, f(a)) and (b, f(b)).

What is the mathematical formula that represents the conclusion of Lagrange's Theorem?

The mathematical formula representing the conclusion of Lagrange's Theorem is f'(x) = (f(b) - f(a)) / (b - a), where f'(x) is the derivative of the function at some point x in the interval (a, b).

What does the first corollary of Lagrange's Theorem state?

The first corollary of Lagrange's Theorem states that if the derivative of a function is zero for every x in the interval [a, b], then the function is constant.

What does the second corollary of Lagrange's Theorem imply about two functions with the same derivative?

The second corollary implies that if two functions have the same derivative for every x in the interval [a, b], then the functions are the same up to a constant difference.

How can the video help students with exercises related to Lagrange's Theorem?

The video provides a detailed explanation of the theorem, its conditions, and its implications, along with examples and exercises that can help students understand and apply the theorem.

Outlines

00:00

📚 Introduction to Lagrange's Theorem

This paragraph introduces the concept of Lagrange's Theorem as part of a series on theorems, including Fermat's and Rolle's Theorems. It sets the stage by explaining the prerequisites for the theorem: a function that is continuous and defined on a closed interval [a, b], where a and b can be any real numbers. The function should not extend to infinity in either direction and must be continuous without discontinuities or vertical asymptotes within the interval. The paragraph also emphasizes the need for the function to be derivable between points A and B, excluding any 'sharp turns' or 'cusps'. The main idea is that there must be at least one point on the graph where the tangent line is parallel to a given secant line, as illustrated with an example.

05:00

🔍 Detailed Explanation of Lagrange's Theorem

This paragraph delves deeper into the conditions and implications of Lagrange's Theorem. It clarifies that the theorem requires the function to be continuous on the interval [a, b] and derivable on the open interval (a, b). The importance of the function not having any non-derivable points within the interval is highlighted, with the exception that the function may not be derivable at the endpoints a and b. The paragraph then presents the theorem's conclusion in the form of a formula, which translates the graphical explanation into a mathematical one. It explains how the slope of the tangent line (the derivative at a certain point) is related to the slope of the secant line connecting points A and B. The corollaries of the theorem are also briefly introduced, stating that if the derivative is zero for all x in [a, b], the function is constant, and if two functions have the same derivative for all x in [a, b], they are the same function up to a constant difference.

10:01

📘 Examples and Further Exploration of Lagrange's Theorem

The final paragraph provides examples to illustrate the application of Lagrange's Theorem and its corollaries. It uses the example of two functions with the same derivative to show that they differ by a constant. The paragraph also encourages viewers to find exercises related to the theorem in the video description and to explore the complete playlist on related theorems. It ends with a reminder to support the channel if the content is found to be useful.

Keywords

💡Lagrange's Theorem

Lagrange's Theorem, also known as the Mean Value Theorem, is a fundamental concept in calculus that states if a function is continuous on a closed interval [a, b] and differentiable on the open interval (a, b), then there exists at least one point c in (a, b) where the derivative of the function at c is equal to the slope of the secant line connecting the points (a, f(a)) and (b, f(b)). In the video, this theorem is the central theme, explaining that for any function that meets the given conditions, there is at least one point where the tangent line is parallel to the secant line between the endpoints.

💡Function

A function, in the context of the video, is a mathematical relation between two sets that assigns each element from the first set (domain) to exactly one element of the second set (range). The video emphasizes that for Lagrange's Theorem to apply, the function must be well-defined from a specific starting point to an ending point without extending to infinity in either direction. The function's behavior is crucial for understanding the theorem's application.

💡Continuity

Continuity in a function refers to the property that the function does not have any breaks, jumps, or asymptotes within a certain interval. The video script mentions that for Lagrange's Theorem to hold, the function must be continuous on the closed interval [a, b]. This means there should be no points of discontinuity within this interval, ensuring a smooth curve without abrupt changes.

💡Derivative

The derivative of a function at a certain point measures the rate at which the function's output changes with respect to changes in its input. In the video, the derivative is essential for determining the slope of the tangent line at a point on the function's graph. The theorem requires the function to be derivable on the interval (a, b), indicating that the function's rate of change is well-defined at every point within this interval.

💡Closed Interval

A closed interval in mathematics is an interval that includes both its endpoints. The video script specifies that for Lagrange's Theorem, the function must be defined and continuous on a closed interval [a, b], which means the function is considered over the entire range from a to b, inclusive of the endpoints.

💡Open Interval

An open interval is an interval that does not include its endpoints. The video mentions that the function must be differentiable on the open interval (a, b), which excludes the endpoints. This is important for the theorem because it ensures that the function's rate of change can be analyzed between the endpoints without considering the behavior at the endpoints themselves.

💡Secant Line

A secant line is a straight line that intersects a curve at two or more points. In the video, the secant line is drawn between the points (a, f(a)) and (b, f(b)), and its slope is compared to the slope of the tangent line at some point c within the interval (a, b). The theorem's conclusion is that there exists at least one point where the tangent line is parallel to this secant line.

💡Tangent Line

A tangent line to a curve at a given point is a straight line that 'just touches' the curve at that point without crossing it. The video explains that according to Lagrange's Theorem, there is at least one point on the curve where the tangent line is parallel to the secant line connecting the endpoints of the interval, which is determined by the function's derivative at that point.

💡Slope

Slope is a measure of the steepness of a line, indicating how much the line rises or falls vertically for a given horizontal distance. In the context of the video, the slope of the secant line and the tangent line is crucial. The theorem states that there is a point where the slope of the tangent line (given by the function's derivative) equals the slope of the secant line between the endpoints.

💡Constant Function

A constant function is a function whose value does not change regardless of the input. The video script mentions a corollary of Lagrange's Theorem, stating that if the derivative of a function is zero for every point in the interval [a, b], then the function must be a constant function. This means that the function's graph is a horizontal line, and its value remains the same across the entire interval.

💡Corollary

A corollary is a proposition or theorem that is inferred as a consequence of a proven theory or theorem. The video discusses corollaries of Lagrange's Theorem, which are smaller theorems derived from the main theorem. These corollaries provide additional insights into the properties of functions and their derivatives, such as the implications of a function having a derivative of zero or having the same derivative as another function over an interval.

Highlights

The video discusses the Lagrange Theorem, part of a series on Fermat's Last Theorem, Rolle's Theorem, and Lagrange's Theorem.

The Lagrange Theorem aims to understand the behavior of a function between two precise points without extending to infinity in either direction.

For the theorem to apply, the function must be continuous and defined within a closed and bounded interval.

The function should not have discontinuities or vertical asymptotes within the interval for the theorem to hold.

The theorem requires the function to be derivable between the interval points, without sharp turns or cusps.

The theorem states that there must be at least one point where the tangent line is parallel to a given secant line.

The theorem's hypothesis requires the function to be defined and continuous on a closed interval, and derivable on an open interval.

The theorem's formula translates the graphical explanation into a mathematical expression, relating the slope of the tangent to the secant line.

The first corollary of the theorem states that if the derivative is zero for every point in the interval, the function is constant.

A constant function with a derivative of zero at all points implies a horizontal line.

The second corollary indicates that if two functions have the same derivative over an interval, they differ by a constant.

Examples are provided to illustrate functions that are the same except for a constant difference.

The video includes exercises related to the theorem and links to a playlist of related theorems.

The video encourages viewers to support the channel if the content is useful.

The transcript provides a detailed explanation of the conditions and implications of the Lagrange Theorem.

The theorem and its corollaries are explained in the context of their mathematical significance and practical applications.

The video aims to clarify the theorem's hypotheses and demonstrate its proof through graphical and mathematical representations.

Transcripts

Questo è il video sul Teorema di

Lagrange E fa parte della serie sui

teoremi di Fermat roll Lagrange coscie

trovi la playlist completa qui in alto a

destra o sotto in descrizione Per gli

esercizi sul Teorema di Lagrange trovi

il link a fine video oppure qui sotto in

descrizione il teorema di Lagrange

cerchiamo di capire in soldoni cosa ci

dice prima cosa dobbiamo avere una

funzione che parte da un punto ben

preciso e arriva un altro punto ben

preciso se avete visto anche il video

sul Teorema di Rol e sul Teorema di

Fermat è sempre la stessa storia cioè vi

serve una funzione che parta da un punto

a arrivi a un punto b ma non volete una

funzione che vada avanti all'infinito a

destra o torna indietro a meno infinito

a sinistra quindi per intenderci non vi

va bene una funzione fatta che ne so

così questa roba a sinistra a destra

continua all'infinito Non soddisfa le

ipotesi se proprio proprio volete avere

una funzione del genere dovete limitarvi

a guardarla in un intervallo delimitato

cioè dovete fermare voi mettere delle

barriere in un in un punto b e andare a

osservare soltanto il pezzetto in mezzo

a e b possono essere numeri entrambi

positivi entrambi negativi un positivo

negativo non importa altra condizione è

che FX quindi che la funzione sia

continua quindi non volete una funzione

fatta a pezzi con delle discontinuità

facciamo un esempio una roba del genere

non va bene per il teorema di Lagrange

perché va bene che parte da un punto

Avio impresciso e arriva un punto B ben

preciso Però rimane il fatto che è

spezzata quindi non soddisfa questa

condizione per il tema della grunge

questa roba Non va bene allo stesso modo

non volete una funzione che abbia che ne

so un asintoto verticale una roba del

genere Anche se parte da un punto a ben

preciso e arriva in B che è un altro

punto ben preciso ha una discontinuità

non va bene per il teorema di Lagrange

altra cosa fondamentale volete che la

funzione sia derivabile tra A e B Che

significa non volete che ci siano dei

punti angolosi o delle cuspidi tra Ebbi

che ne so una funzione fatta così non va

bene per il teorema di Lagrange perché

parte da un punto a arriva in B e anche

continua Peccato che qua in cima abbia

un punto angoloso e quindi non è

derivabile e di conseguenza non soddisfa

questa condizione altro esempio non

potete avere una funzione che ha una

cuspide che ne so una roba del genere

non va bene questa è una cuspide anche

qui la funzione sarebbe anche continua

definita su un intervallo a b ma non è

derivabile in quel punto lì e quindi

invalida automaticamente tutto il

teorema queste robe non funzionano

Quindi ammesso che sia continua tra e B

derivabile tra e B quello che vi dice

era granché prendete il punto di

partenza il punto di arrivo e uniteli

con una retta a questo punto siete

sicuri che c'è almeno un punto sul

grafico che ha la retta tangente

parallela alla retta blu per esempio se

vi mettete qui da qualche parte il punto

non è esattamente preciso Però l'idea è

lì in zona c'è la retta tangente che

passa per questo punto qui che è

parallela alla retta blu non è credo sia

una sola nella funzione che ho disegnato

infatti c'è un altro punto che ha la

retta tangente parallela a quella blu

che a questo punto qua la realtà blu Mi

raccomando è quella che ho tracciato

unendo partenza e arrivo non è una retta

tangente quella blu tecnicamente è una

secante perché tocca la funzione almeno

in due punti Le altre due sono tangenti

l'agrario vi dice Guarda sicuramente c'è

almeno un punto dove puoi disegnare la

retta Viola parallela quella blu adesso

che abbiamo visto che cosa significa in

soldoni il teorema E voi state pensando

tutto molto bello ma non è cosa vi serve

facciamo le ipotesi Perché queste

perlomeno vi servono per gli esercizi

prima ipotesi del teorema di Lagrange

avete bisogno che FX sia definita e

continua su un intervallo chiuso e

limitato del tipo ab con le parentesi

quadre Cosa vuol dire intervallo chiuso

e limitato vuol dire che non deve essere

fatto dall'Unione di più intervalli cioè

deve essere un pezzo unico e deve avere

le parentesi quadre per indicare che

prendendo anche i bordi Che significa

che FX è definita su AB vuol dire che

l'intervallo AB deve essere contenuto

nel dominio della funzione poi il

dominio di FX può essere diverso

dall’intervallo A B che state

considerando L'importante è che questo

intervallo sia all'interno del dominio

che tutti i punti dell'intervallo

caschino all'interno del dominio della

funzione Cosa significa che deve essere

Continua su a b vuol dire che gli

eventuali punti di discontinuità di FX

non devono stare all'interno

dell'intervallo AB quindi perché dico

eventuali perché la funzione potrebbe

avere dei punti di discontinuità Ma

potrebbe anche non averne seceriale

importante che stiano fuori

dall'intervallo a B poi FX secondo

ipotesi deve essere

derivabile

sull'intervallo attenzione a b questa

volta con le parentesi tonde Cosa

significa questa cosa qua che gli

eventuali punti di non possibilità

devono stare o su A e B oppure proprio

fuori dall'intervallo cioè la funzione

potrebbe non essere derivabile in A e B

ma l'importante è che lo sia nel mezzo

eventuali cuspidi Flash tangente

verticale punti angolosi non devono

stare nelle X che stanno tra A e B

Queste sono le ipotesi del teorema di

Lagrange Adesso vediamo qual è la tesi

esiste almeno un X con zero quindi un

valore di X appartenente all'intervallo

AB tale che e qui arriva il formulone F

primo di X con zero è uguale a f di B -

fda fratto B - a e uno dice Matteo Ma

cosa c'entra tutta questa roba con

quello che dicevi prima e la retta

secante blu e le rette tangenti Viola

adesso vi faccio vedere subito che

questa formula qui in realtà è la

traduzione matematica di quello che ho

spiegato prima con un grafico Rifaccio

un attimo il disegno quindi avevamo una

funzione fatta così avevamo tracciato

questa retta blu partiva dal punto di

inizio e arrivava al punto di fine e poi

avevamo pescato un punto di tangenza qua

dove la tangente era parallela quella

blu nella formulona che c'è qua sotto

cioè quella che c'è all'interno della

tesi vi viene detto che avete a che fare

prima di tutto con f primo di X con zero

F per X con zero Che cos'è Visto che

questa è la derivata calcolata in X con

zero questo non è altro che il

coefficiente angolare della retta

tangente in X con zero cioè

l'inclinazione della retta Viola è la

derivata calcolata in X con zero Che

cos'è Invece questo mostro qua a

sinistra questa roba qua non è altro che

il coefficiente angolare invece della

retta che parte da il punto A arriva il

punto B e uno mi dice Matteo Ma come fai

a sapere sta roba cioè perché quello è

il coefficiente angolare della retta blu

non ne ho idea questa roba qua viene

semplicemente dalla formula del

coefficienti angolari quando vi dicono

calcola il coefficiente angolare di una

retta una formula sarete il coefficiente

angolare è il del ragazzi non fratto il

Delta X di due punti da cui passa la

retta la retta blu noi sappiamo che

passa dal punto che ha X uguale AA e Y

fda e dal punto che AB ed FB Quindi per

la retta blu il Delta Y è la Y del punto

in B meno la y nel punto in a fratto la

x del punto in B meno la x del Puntone

la potete anche invertire A e B non

succede niente Chi è la Y del punto in B

e FTP che è la Y del punto in a e fda

che è la x del punto B proprio B che è

la x del punto uninae proprio a Ecco

perché nel formulone c'è quella roba lì

perché sono messi uguali Cioè va bene

che adesso abbiamo capito che quella

sinistra è il coefficiente angolare

della retta Viola a quella destra

coefficiente angolare della retta

Azzurra sono uguali perché se due rette

hanno lo stesso coefficiente angolare

Allora sono parallele questo vi dice il

teorema che se calcolate il coefficiente

angolare della retta Azzurra con quel

metodo normale il fascino Delta Y su

Delta X Allora è riuscito a trovare un X

con zero per cui vale l'uguaglianza Cioè

per cui la retta tangente è

effettivamente parallela in realtà il

teorema di Lagrange è il più infame dei

quattro teoremi dell'apocalisse roll

fermà Lagrange Cauchy perché c'è pure il

corollari che sono dei mini teoremini

derivati da Quello principale il primo

corollario del teorema di Lagrange vi

dice questa cosa qua se F primo di x è

uguale a zero per ogni x appartenente ad

AB Allora FX è una funzione costante Che

significa questa cosa qua significa che

se avete una funzione che ha sempre la

derivata che vale 0 non importa quale X

Scegliete tra il punto di partenza e il

punto di arrivo l'unica funzione che può

soddisfare questa condizione è una retta

orizzontale cioè una funzione che ha

sempre la derivata uguale a zero è solo

una retta orizzontale Che significa una

retta orizzontale e una funzione del

tipo FX uguale a un numero Diciamo che

ne so FX uguale a 2 Questa è una retta

orizzontale F di X uguale a -5 una retta

orizzontale quando scrivo FX uguale a

una costante intendo dire FX uguale a un

numero in questo senso qua Questo è il

primo corollario il secondo corollario

invece vi dice che se due funzioni FX e

GX anno la stessa derivata per ogni x

appartenente ad AB solita roba

intervallo chiuso illimitato Allora sono

la stessa funzione ma possono differire

di una costante che significa questa

roba qua facciamo subito un esempio y

uguale a x alla terza + 1 y = x ^ 3 - 4

se vi calcolate la derivata di queste

due la prima derivata 3x alla seconda

l'altra derivata 3x alla seconda uguale

identica perché tanto la derivata del +1

del -4 si cancella durante la

derivazione fa 0 quindi le due funzioni

hanno la stessa deriva fa sì sono la

stessa funzione Sì nel senso che sono

entrambe x alla terza ma differiscono di

una costante nel senso che la prima a

sinistra è uguale a quella a destra

semplicemente per passare dalla prima

alla seconda Basta che fate meno 5 in

questo senso differiscono di una

costante cioè la differenza tra due

funzioni è un numero posso farvi

tranquillamente un altro esempio con dei

numeri un po' più assurdi che ne so y

uguale a l n di x meno 100 e y uguale a

LN di X + e sono la stessa funzione No

differiscono però di una costante me ne

accorgo perché la derivata è uguale la

prima derivata è uno su X la seconda

derivata è uno su X Cosa devo fare per

passare dalla prima alla seconda devo

sommare 100 più e fa schifo Sì però è

una costante la differenza tra le due È

una costante

Qui trovi gli esercizi sul Teorema

affrontato in questo video in

descrizione trovi anche la playlist

completa con i teoremi di Fermat roll

Cauchy Lagrange Ricordati di supportare

il canale se il video ti sono utili