Maxwell Denklemleri Ne Anlama Gelir?

Summary

This video script delves into the fundamentals of electromagnetism, focusing on Maxwell's equations, which are crucial for understanding electric and magnetic fields. The speaker aims to clarify common misconceptions and explores the transformation between differential and integral forms of these equations. The script also touches on the application of Gauss's, Stokes's, and Poisson's theorems in simplifying and solving Maxwell's equations. The video is designed to aid students and physics enthusiasts in grasping the complex concepts of electromagnetism and the practical use of these foundational equations.

Takeaways

• 🌐 Maxwell's Equations are the fundamental set of four equations that describe electromagnetism, a core aspect of physics.
• 🔍 The primary problem in electromagnetism is to determine the electric and magnetic fields in space, given the charges and currents.
• 📚 Maxwell's Equations are well-known to physics students but can be challenging to internalize and apply in practice.
• 📉 The script discusses the transition from differential to integral forms of the equations, highlighting the importance of understanding both for problem-solving.
• 📚 Gauss's Theorem, also known as the Divergence Theorem, is introduced as a mathematical principle that relates the volume integral of a vector field to its surface integral.
• 🧲 The absence of magnetic monopoles is a key point, stating that the divergence of the magnetic field is always zero, meaning magnetic field lines are always closed loops.
• 🔌 Faraday's Law and Ampère's Law with Maxwell's addition are explained, relating the change in magnetic fields to electric fields and vice versa.
• 📐 Stokes' Theorem is mentioned for its role in connecting the circulation of a vector field over a surface to its line integral around the boundary.
• ⚙ The script emphasizes the importance of vector calculus in understanding Maxwell's Equations, including divergence, curl, and gradient operations.
• 🔑 Gauge transformations are introduced as a method to provide flexibility in the choice of vector and scalar potentials, which can simplify solving the equations.
• 📉 The Lorentz condition and Coulomb gauge are discussed as specific gauge choices that can simplify the equations, particularly useful in the context of relativistic electromagnetism.

Q & A

What is the main topic of the video?

The main topic of the video is the Maxwell's equations, which are fundamental in electromagnetism, one of the most important branches of physics.

Why does the speaker think it's important to discuss Maxwell's equations in detail?

The speaker believes that despite being familiar with the names and expressions of Maxwell's equations, there is a need for a deeper understanding of their essence, which is lacking even among doctoral students.

What are the basic forms of Maxwell's equations mentioned in the script?

The basic forms of Maxwell's equations mentioned are differential form and integral form.

What does the first Maxwell's equation, the Gauss's law for electric fields, state?

The first Maxwell's equation, Gauss's law for electric fields, states that the divergence of the electric field is equal to the charge density.

What does the second Maxwell's equation, the Gauss's law for magnetic fields, imply about magnetic monopoles?

The second Maxwell's equation implies that magnetic monopoles do not exist because the divergence of the magnetic field is always zero, meaning magnetic field lines are always closed loops.

What is the relationship between Maxwell's equations and the Gauss theorem?

The Gauss theorem, also known as the divergence theorem in mathematics, provides the relationship between the volume integral of a vector field's divergence and the surface integral of the vector field over a boundary, which is used to derive the integral form of Maxwell's equations from their differential form.

What is Faraday's law and how does it relate to Maxwell's equations?

Faraday's law is the third of Maxwell's equations and it states that a changing magnetic field will induce an electromotive force (EMF), which is represented in the script as a rotation of the electric field (E) around a closed loop.

What is the Ampere-Maxwell law and how does it differ from the traditional Ampere's law?

The Ampere-Maxwell law is the fourth of Maxwell's equations and it includes an additional term that accounts for the displacement current, which is not present in the traditional Ampere's law, making it applicable to both steady and changing electric fields.

What is the significance of the Lorentz force equation in the context of Maxwell's equations?

The Lorentz force equation is not explicitly mentioned in the script, but it is significant as it describes the force experienced by a charged particle moving through electric and magnetic fields, which are the fundamental concepts described by Maxwell's equations.

How does the script discuss the transformation of Maxwell's equations into a more manageable form?

The script discusses the process of reducing the number of unknowns and equations by introducing the concepts of vector potential and scalar potential, which simplify the system of Maxwell's equations into two second-order differential equations.

What is the gauge transformation mentioned in the script, and why is it important?

Gauge transformation is a change in the vector potential and scalar potential that leaves the electric and magnetic fields unchanged. It is important because it provides flexibility in choosing the potentials, which can simplify the equations and make them more solvable.

What are the Lorenz and Coulomb gauges mentioned in the script, and how do they simplify Maxwell's equations?

The Lorenz and Coulomb gauges are specific choices for the gauge transformation. The Lorenz gauge simplifies Maxwell's equations into a set of four first-order differential equations, while the Coulomb gauge is chosen to simplify the Poisson equation for the scalar potential in electrostatics.

Outlines

00:00

📚 Introduction to Maxwell's Equations

The speaker begins by greeting the audience and introducing the topic of Maxwell's Equations, which are fundamental in electromagnetism, one of the most important branches of physics. They express concern that even advanced students may not fully grasp the essence of these equations, which are often memorized but not internalized. The main problem of electromagnetism is to determine the electric and magnetic fields in space, which are related to charges and currents. Maxwell's Equations provide four differential equations that can also be written in integral form. The video aims to help viewers understand the transition from differential to integral form and delve into the implications of these equations, starting with the divergence of the electric field, which is related to the charge density, and the divergence of the magnetic field, which is always zero, indicating that magnetic field lines are always closed loops.

05:03

🔗 The Relationship Between Maxwell's Equations and Vector Calculus

The speaker discusses the connection between Maxwell's Equations and vector calculus, emphasizing the importance of understanding the concepts of divergence, curl, and Gauss's Theorem. They explain how the divergence theorem, known as Gauss's Law in physics, relates the flux of a vector field through a closed surface to the volume integral of its divergence. This theorem bridges the first two Maxwell's Equations, which describe the relationship between electric and magnetic fields and charges. The speaker also touches on the historical naming of Gauss's Law, clarifying that Gauss was a mathematician, not a physicist, and the significance of this theorem in transitioning between different forms of the equations.

10:04

🧲 Exploring the Fundamentals of Electromagnetism and Potentials

This paragraph delves deeper into the fundamentals of electromagnetism, discussing the usefulness of Maxwell's Equations in calculating electric and magnetic fields at a point in space or over a region. The speaker mentions that while integral forms of the equations are more practical for region-based calculations, differential forms are essential for understanding the underlying physics. They introduce the concept of vector and scalar potentials, explaining that magnetic fields can be represented as the curl of a vector potential, which is not unique and can be adjusted with the addition of a gradient of a scalar function. This adjustment is crucial for simplifying the equations and solving practical problems in electromagnetism.

15:05

🔍 Simplifying Maxwell's Equations Using Potentials

The speaker continues to simplify Maxwell's Equations by expressing them in terms of vector and scalar potentials. They demonstrate how the original six unknowns (components of the electric and magnetic fields) can be reduced to four by using these potentials. This reduction not only simplifies the equations but also provides a more flexible approach to solving electromagnetism problems. The speaker emphasizes that with the right choice of potentials, the equations can be made more manageable, highlighting the importance of understanding the relationship between the physical fields and the mathematical representations of potentials.

20:05

🛠 Gauge Transformations and Their Significance

In this paragraph, the speaker introduces the concept of gauge transformations, which are a way to adjust the vector and scalar potentials to simplify Maxwell's Equations further. They explain that by choosing a specific gauge, such as the Coulomb gauge, where the divergence of the vector potential is zero, the equations can be made more tractable. The speaker also discusses the Lorentz gauge, which is related to the wave equation and has applications in the theory of relativity and electromagnetism. These transformations provide a powerful tool for solving complex electromagnetic problems and are essential for understanding the deeper structure of the equations.

25:07

🌐 Conclusion and Implications for Advanced Physics

The speaker concludes by summarizing the content covered in the video and emphasizing the importance of understanding Maxwell's Equations in their various forms and applications. They mention the relevance of these equations in advanced physics, including relativity and electromagnetism, and express hope that the video has provided a deeper insight into the subject. The speaker also acknowledges the complexity of the topic and the challenges faced by students, offering encouragement to continue exploring the field.

Keywords

💡Maxwell's Equations

Maxwell's Equations are a set of four fundamental equations in physics that describe the behavior of electric and magnetic fields. They are central to the study of electromagnetism and are essential for understanding phenomena such as electromagnetic waves. In the video, the presenter aims to discuss these equations, which are considered the backbone of the field of electromagnetism.

💡Electromagnetism

Electromagnetism is one of the four fundamental forces in nature and is the force that arises from the interaction of electric and magnetic fields. It is the main theme of the video, as the presenter discusses the fundamental equations that describe how electric and magnetic fields are generated and altered by charges and currents.

💡Differential Form

In the context of the video, differential form refers to the representation of Maxwell's Equations using differential operators, which is a mathematical approach to describe the local behavior of fields. The presenter mentions the transition from differential to integral form, indicating a shift from local to global perspectives in the analysis of electromagnetic fields.

💡Integral Form

Integral form is another way to express Maxwell's Equations, which involves integral calculus to describe the behavior of fields over a region of space. The video discusses the usefulness of integral form for calculating quantities such as electric flux and magnetic circulation over a closed surface.

💡Gauss's Law

Gauss's Law, also known as the divergence theorem in mathematics, relates the flux of a vector field through a closed surface to the divergence of that field within the volume enclosed by the surface. In the video, it is used to explain the relationship between electric charge and the electric field, stating that the electric field's divergence is proportional to the charge density.

💡Magnetic Field

The magnetic field is a vector field that describes the magnetic influence on moving electric charges, electric currents, and magnetic materials. The video script mentions that the divergence of the magnetic field is always zero, indicating that magnetic monopoles do not exist.

💡Faraday's Law

Faraday's Law of electromagnetic induction is one of Maxwell's Equations and describes how a change in the magnetic field can induce an electromotive force (EMF) in a circuit. The video discusses this law in the context of the rotation of the magnetic field, which is related to the concept of electromotive force.

💡Ampère's Law

Ampère's Law, which is part of Maxwell's Equations, relates the magnetic field around a closed loop to the electric current passing through the loop. The video mentions the law in the context of the integral form of Maxwell's Equations and its relation to the concept of magnetic circulation.

💡Vector Potential

The vector potential is a concept used in the study of electromagnetism to describe the potential from which the magnetic field can be derived. In the video, the presenter discusses how the magnetic field can be expressed as the curl of a vector potential, which is a mathematical representation that simplifies the analysis of magnetic fields.

💡Gauge Transformation

Gauge transformation is a mathematical operation that can be applied to the vector and scalar potentials in electromagnetism without affecting the physical electric and magnetic fields. The video script mentions gauge transformation as a way to simplify the equations or to choose different but equivalent descriptions of the electromagnetic fields.

💡Lorentz Force

The Lorentz force is the force experienced by a charged particle moving through electric and magnetic fields. Although not explicitly mentioned in the script, the concept is implicitly discussed when the presenter talks about the effects of electric and magnetic fields on charges and currents.

💡Electrostatics

Electrostatics is the study of stationary electric charges and the fields they produce. The video script touches on this concept when discussing the relationship between electric fields and charges, and how the fields can be described using Maxwell's Equations in a static context.

💡Lorentz Transformation

Lorentz Transformation is a set of mathematical transformations used in the theory of relativity to describe how measurements of space and time depend on the observer's velocity. The video script mentions the Lorentz condition, which is related to setting the divergence of the vector potential to zero, and is a concept that has implications in the study of relativistic electromagnetism.

💡Wave Equation

The wave equation is a key second-order differential equation that describes the propagation of waves, including electromagnetic waves. The video script refers to the wave equation in the context of the Lorentz condition, which is used to derive the wave equation for the electromagnetic field.

Highlights

Introduction to Maxwell's equations, the fundamental set of equations in electromagnetism.

Discussion on the importance of understanding Maxwell's equations beyond memorization for physics students.

Explanation of the basic problem of electromagnetism: finding electric and magnetic fields in space.

Description of the four Maxwell's equations in differential and integral forms.

Clarification on the relationship between differential and integral forms using mathematical theorems like Gauss's Theorem.

Gauss's Theorem is incorrectly referred to as a physics law, but it is actually a mathematical theorem.

Explanation of how electric field divergence is related to charge density and magnetic field divergence is always zero.

Introduction of Faraday's law and Ampere's law through Stokes' Theorem in the context of Maxwell's equations.

The significance of vector calculus in solving Maxwell's equations, including divergence, gradient, and curl operations.

Analysis of the number of unknowns and equations in Maxwell's equations to solve for electric and magnetic fields.

Introduction of the concept of vector potential and scalar potential in simplifying Maxwell's equations.

Discussion on gauge transformations and their role in providing flexibility in solving electromagnetic problems.

Explanation of how different gauge choices can simplify Maxwell's equations, such as Coulomb gauge and Lorentz gauge.

The Poisson equation's relevance in finding the scalar potential in the context of Maxwell's equations.

Final transformation of Maxwell's equations into two second-order differential equations for electric and magnetic fields.

Reflection on the trade-off between the complexity of the equations and their solvability in different gauges.

Conclusion emphasizing the importance of understanding the physical meaning and mathematical formulation of Maxwell's equations.

Transcripts

Merhaba arkadaşlar şöyle damardan bir

fizik videosuna Ne dersiniz İşte bu

videoda size Maxwell denklemlerinden

bahsetmek istiyorum fiziğin en önemli

dallarından bir tanesi olan

elektromanyetizmanın temel dört denklemi

olan Maxwell denkleminden bahsetmek

istiyorum Maxwell denklemleri fizik

öğrencileri fizik meraklılarının böyle

ezbere bildikleri isimlerini veya

ifadelerini ezbere bildikleri denklemler

ancak onların ruhuna Vakıf olma

açısından e bazı sıkıntı görüyorum yani

Doktora öğrencileri seviyesinde dahi e

Bunlar gözümüze çarpıyor o yüzden böyle

yardımcı olması ümidiyle böyle bir video

çekmeyi istedim şimdi

elektromanyetizmanın temel problemi

nedir elektromanyetizmanın temel

problemi uzaydaki elektrik alanları ve

manyetik alanları bulmaktır

bilinmeyenlerin elektrik alanlar ve

manyetik alanlar bu denklemlerde size

elektrik alanı ve manyetik alanı yükler

ve akımlar cinsinden bulmanızı sağlayan

denklemler 4 tanedir

Bunlar ve bunu diferansiyel formunda

yazabileceğiniz gibi integral formunda

da yazmak mümkündür e sırasıyla önce şu

dönüşüm nasıl yapılıyor yani şeyden

diferansiyel Formdan integral formuna

nasıl geçiyor önce ondan bahsedelim

Ondan sonra diferansiyel form bize neler

söylüyor Birazcık böyle derinine nüfuz

etmeye çalışalım bu denklemlerin şimdi

bir denkleme bakacak olursak elektrik

alanın diverjans uzayın yasındaki yük

yoğunluğunu verdiğini söylüyor Çok

benzer bir ifade manyetik alanın

diverjansı daima sıfır olduğunu söylüyor

bu denklem ikinci denklem aynı zamanda

manyetik alanı böyle üreten bir noktadan

üreten bir tırnak içinde monopol tek

kutuplu olmadığını da söylüyor yani

manyetik alan çizgilerinin daima

kendileri üzerine kapanan çizgiler

olduğunu uzayda bir noktadan hiçbir

zaman başlayıp veya bir noktada

sonlanmayan söylüyor elektrik alan öyle

değil elektrik alan artı yüklerden

biliyorsunuz dışarı doğru çıkar eksi

yüklere doğru kapanabilir Dolayısıyla

uzayın o noktasında bir yük yoğunluğu

varsa

o bir elektrik alan yaratacaktır bu

denklem bunu söylüyor Peki bu form Bu

forma nasıl ilişkili veya bu form bu

form ile nasıl ilişkili birazcık ondan

bahsedelim matematikte Gaus Teoremi

dediğimiz bir teorem var esasında Siz

böyle standart fizik 2 kitaplarının

ikinci ünitesi Gaus yasası olarak geçer

ve karşınıza bu ifade sunulur Gaus

yasası olarak bilir fizik öğrencileri

bunu Oysa Gaus bir fizikçi değil Gaus

bir matematikçi Eee ismi neden bu fizik

yasasına verilmiş diyecek olursak İşte

bu ifadeden bu ifadeye geçmemizi

sağlayan veya bu ifadeden bu ifadeye

geçmemizi sağlayan teorem gus Teoremi

olarak bilinir matematikte ne diyor O

teorem şunu söylüyor uzayda bir vektör

alanınız varsa çok genel konuşuyor

herhangi bir vektör alanınız varsa yani

e de olur B de olur bu o v vektör

alanının uzayda kapadığını bir hacim

üzerinden o vektör alanının diverjans

hacim

integrali O bölgeyi kapayan yüzey

üzerinden vektör alanının integrali ile

ilişkilidir bunu söyler İşte o bölgeyi

kapayan yüzeyi derken bunu kastediyorum

elektrik alanın uzayda kapalı bir bölge

üzerinden alınan yüzey integrali buna

akı da diyoruz elektrik akı da diyoruz

sağ tarafta E

diverjans yani yük yoğunluğunun hacim

üzerinden alınan integrali yük

yoğunluğunun hacim üzerinden alınan

integrali toplam yükü verecektir Elbette

ki o yüzden sağ tarafı böyle integralli

yazmayız da normal direkt yükü yazarak

buraya bu şekilde bırakırız yani bu iki

ifade arasındaki geçişi Gaus Teoremi bir

başka deyişle diverjans Teoremi bize

sağlar O yüzden Gaus yasası olarak

biliniyor bu yasalar manyetik alan için

de aynı ifadeyi yazabiliyorsunuz burada

dediğimiz gibi manyetik monopol olmadığı

için Eee bunun daima Sıfıra eşit olduğu

olduğunu görüyoruz Tamam bu 1 ve

ikincinin buraya geçişi bu şekilde

yapılıyor 3 ve 4 denklemler yani Faraday

yasası ve amper Maxwell yasası olarak

bildiğimiz yasa ise yine matematikte

başka bir teorem olan stokes Teoremi

üzerinden yapılıyor stocks Teoremi de

bana şunu söylüyor uzayda kapalı bir

eğirin varsa o eğrinin kapadığı alanın

alanda bir vektör alanının rotasyonel

inin alan integrali o eğri üzerinden

vektör alanının kendisinin çizgi

integrali ile ilişkili olduğunu söyleyen

bir teorem aynı şekilde bu Teoremi

kullanarak buradan Eee bu şeye

geçebiliyorsunuz ifadeye

geçebiliyorsunuz işte bir kapalı bir

çizgi üzerinden alınan bir yol integrali

var burada sağ tarafta da o çizginin

kapadığı bölgede rotasyonel bir

integralini alan integralini alıyorsunuz

O da size o bölgeyi e delip geçen Eee

Şurayı yanlış yazmışım Zannedersem bu MB

olacak şimdi fark ettim manyetik

akının zamana göre değişimini veriyor

buradan yola çıkarak bunu gösterebiliyor

musunuz aynı ifadeyle e benzer Benzer

bir şekilde manyetik alan için

Yazdığınız bu amper maxwel yasasından da

E buraya geçmek mümkün olabiliyor Şimdi

bunlar nerede faydalı oluyorlar uzayın

bir noktasındaki elektrik alan manyetik

alanı hesaplayacak sanız bu form daha

kullanışlı hale geliyor uzayda bir

bölgeniz varsa o bölge üzerinden

birtakım hesaplar yapmak istiyorsanız o

zaman integral formu daha kullanışlı

hale geliyor lisans seviyesinde genelde

öğretilen şey budur Eee bu ifadeler ve

bunların üzerinden yapılan hesaplar

biraz daha böyle 3 sınıf 4 sınıf

dersleri ve lisans üstü derslerinde

insanlara gösterilir ama işin Özünde

bakın başladığım noktadan şunu

söyleyeyim ki vektör hesabı bir kere çok

önemli bir yer tutuyor yani diverjans

rotasyonel Gaus Teoremi ve stoks Teoremi

bunları bir kere bilmek lazım ki bu

formlar Bu formlar nasıl ilişkili bu

konuda eksiğiniz varsa merceğin ben

değilim onunla matematik kitaplarına şey

yapın başvurun ben size bu denklemlerin

birazcık daha böyle fiziksel olarak ne

anlama geldiğini arka planda neler

yattığını E onları başka forma daha

böyle Optimum formlara nasıl

dönüştürebileceğiniz üzerinden bahsetmek

istiyorum o yüzden şu integral formunu

silelim Ve diferansiyel form üzerinden

devam edelim şimdi dedik ki

elektromanyetizmanın temel problem

elektrik alanı ve manyetik alanı bulmak

yükler ve akımların verildiğini

varsayıyoruz Bunlar verilenler yani R

verilmiş J verilmiş bunları biliyorum

elektrik alanı ve manyetik alanı bulmak

istiyorum Kaç bilinmeyenin var şimdi bir

kere onu soralım kaç bilinmeyenin var

elektrik alan vektörünü bilmiyorum

manyetik alan vektörünü bilmiyorum Bu

bir vektör Dolayısıyla 3 bileşeni var Bu

da bir vektör Dolayısıyla 3 bileşeni var

6 tane bilinmeyen var peki burada kaç

denklem var Ona bakmak lazım şimdi bu

denklemin sol tarafı bir diverjans yani

skaler Bu bir skaler denklem Bu da bir

skaler denklem bir denklem bir denklem 2

denklem buradan geliyor bu denklemin sol

tarafı bir vektör sağ tarafı da bir

vektör bu esasında 3 denklem yani burada

3 denklem gizli Burada da 3 denklem

gizli 3 buradan 3 buradan 6 1 buradan 1

buradan 8 denklem oldu bir kere burada

bir terslik var 3 bilinmeyen 3

bilinmeyen 6 bilinmeyen 8 denklem 6

bilinmeyen 6 denklemle çözülür fazladan

denklem verildiyse size o denklem

sisteminin çözümü dahi olmayabilir böyle

bir Bazı sıkıntılar var bir kere Her

şeyden önce bunu bir anlamak lazım

Burada ne demek istiyor ya bu denklemler

onu konuşuyoruz Eee işin bu noktasına

birazcık nüfuz etmek lazım yani 6

bilinmeyen var 8 denklem var Bu şu

anlama geliyor bu 8 denklemin Eee

Muhtemelen bir kısmı birbirine bağlı

fazladan bilgi verilmiş Yani bu formda

yazılınca fazladan bilgi verilmiş o

bağlı olan kısmı da bize Şu söylüyor

süreklilik denklemi dediğimiz bir şey

var yani yükün değişimiyle akımların

birbirine bağlayabilen burada verilenler

de şey var ya bir yük yoğunluğu var işte

akım yoğunluğu var Bunlar arasında

yazılabilecek bir ifade var mesela o

bizi hani o 8 bağımsız denklemden En

azından kurtarıyor benzer bir ifade de

manyetik yük yoğunluğuyla işte manyetik

akım yoğunluğu arasında yazılabilecek

bir ifadedir Eee onu da yazdığınız zaman

6ı denkleme düşürebiliyor musunuz

indirgemiş olabiliyorsunuz Ama daha

baştan şunu demek istiyorum Bu Formdan

daha böyle Eee Optimum bir şekilde

yazmak ve ifade etmek mümkün mü acaba

elektromanyetizmaya birazcık onu

konuşalım Yani bu bilinmeyen ve denklem

meselesine O yüzden buradan girmek

istedim şimdi 2 numaralı denklemle

başlayacağız 2 numaralı denklem bize ne

diyor bir manyetik alanınız var ve onun

diverjansı daima sıfır olduğunu söylüyor

bir vektörün diverjansı daima 0

ise o

vektörü başka bir vektörün rotasyoneli

olarak yazabilirim ben çünkü herhangi

bir vektörün rotasyonel inin diverjansı

daima 0 veririr bu İlla manyetik alan

şununla bununla alakalı değil

matematikte genel bir teorem bir vektör

alanınız varsa Yani bunu kendiniz

ispatlayabilir şey onun rotasyonel dinin

diverjansı daima sıfır verir Dolayısıyla

manyetik alan daima böyle bir Eee başka

bir vektörün rotasyoneli olarak

yazılabilir tarihsel sebeplerden dolayı

bu vektöre vektör potansiyeli ismi

veriliyor Çünkü bunu üreten bir şey yani

alanlar başka şeylerden üretilebiliyor

fikir olarak bu potansiyel Fikri oradan

biliyoruz birazdan Skylar potansiyeli de

konuşacağız bazı tarihsel seb

sebeplerden dolayı buna vektör

potansiyeli ismi veriliyor Demek ki bu

denklemin artık üzerini silebilirim ben

bu denklemin bana söyleyebileceği şeyi

ben oradan aldım onun bilgisini tükettim

Yani bunu yazdım bir kere Şimdi bu

bilgiyi kullanarak diğer denklemler bize

ne diyor yavaş yavaş onları ayıklamaya

başlayalım oraya geçmeden önce şunu

söylemek lazım ki bu vektör potansiyeli

tek bir potansiyel midir yani manyetik

alanı üreten

Eee sadece tek bir potansiyel mi

olabilir hayır elbette ki Çünkü bu bir

vektör operasyonu şey pardon türev

operasyonu türevde herhangi bir Sabit

ekleyebiliyorsunuz değil mi Dolayısıyla

Bu bir esasında bir aile gibi de

bakabilirsiniz yani a'yı Eee biraz

orasından burasından azcık çekiştirmek

mümkün belli sabitler ekleyerek

çıkararak sabit bir vektör ekleyerek

çıkararak bu konuya döneceğiz Bu önemli

bir konu bunu yapabiliyorum Çünkü burada

esas fiziksel olan şey manyetik alan bu

yardımcı bir fonksiyon gibi düşünün

vektör potansiyeli diye bakıyoruz buna

ama doğrudan bu denklemin bir sonucu

Dolayısıyla o denkleme artık

bakmayacağım Onun üzerini sildim ve

buradan yola çıkarak devam edeceğim bir

sonra bakmamız gereken denklem 3

numaralı denklem yani Faraday yasası

Faraday yasasında manyetik alan için bu

bulduğumuz ifadeyi yerine yazacak

olursak

şu forma getirebilecek miyim bakalım

denkleme bu bir vektör Bu da bir vektör

Eee eş 0 formuna getirebiliyor nasıl

yaptım bunu şöyle bakalım

eee bunu bir kere bu tarafa attım

rotasyonel rotasyonel uzaya göre bir

vektör türev operasyonu yani uzaya göre

bir türev operasyonu ve kısmi türevler

var Bunun içerisinde Bu da bir kısmi

türev kısmi türevlerin sırasını

değiştirebilirsiniz önce zamana göre

türevini alıp Ondan sonra rotasyonel

alabilirsiniz rotasyonel de lineer bir

operatör olduğundan dolayı onun

parantezine de alabilirsiniz yani yanlış

yapmadıysan bunu Bu forma getirmek

mümkün olabiliyor şimdi rotasyonel var

burada ve burada başka bir vektör var bu

vektörün rotasyoneli bize 0 veriyor yine

Matematikteki başka bir teorem de diyor

ki o zaman bu

ifade bu ifade

bir skalerin

diverjansı yanlış söyledim diverjansı

değil gradienti olarak yazılabilir yani

gradiyentin rotasyoneli daima II verir

Bize bakın bir demin bir vektör

potansiyeli yaratmıştım Buradan da bir

tane skaler potansiyel yaratt mış oldum

Böylece yani 3 denklemin de bize

söylediği şey bu şimdi bu bu ifadeyi

yazalım elektrik

alan

+ del

a bö delt

eş

bir skaler potansiyelin diverjansı

olarak yazılabiliyor

şimdi ne yaptım 3üncü denklemi de

tüketmiş oldum yani ikinci denklem bana

söylediği şey buydu 3üncü denklemin bunu

3üncü denklem de yerine koyarak onun da

bana söylediği şeyi Eee bulmuş oldum

Dolayısıyla Onun da üzerini çizebilirim

artık bu noktadan sonra artık elimde

Eğer skaler potansiyel ve vektör

potansiyeli varsa ben elektrik alanı da

bulabiliyorum Eee manyetik alanı da

bulabiliyorum

Dolayısıyla bakın elektrik alan ve

manyetik alan 6 bilinmeyen diyorduk ama

esasında vektör potansiyeli 3 bilinmeyen

skaler potansiyel skaler sayı biri bir

bilinmeyen 4 4E indirg diim bilinmeyen

sayımı yani bilinmeyenleri bu 4

bilinmeyeni bildiğim zaman

eee şeyi bulabiliyorum elektrik alan ve

manyetik alanı verecek bir ifade var

yani a'yı ve a'yı ve f'yi bilmek yeterli

oluyor bu bilinmeyenlerin yerine şu

vektör potansiyeli ve

f'yi yazabilirsiniz yeni bilinmeyenler

olarak Tamam 4 bilinmeyen kaldı geri

kalan iki denklem Bu bir vektör

denklemiyle da öyle değildi bunlar

homojen denklemleri esasında O yüzden

önce bunları tükettim Ondan sonra esas

işte verilenler cinsinden fiziksel

olarak verilenler cinsinden konuşmaya

başladığımız zaman

Eee bu 4 bilinmeyen bu 4 denklemden

çözülebilir 4 denklem derken Burası 3

denklem Burası da bir denklem 4 denklem

ve 4 bilinmeyen bu şekilde çözülebilir

şimdi problemimi esas 4 bilinmeyen 4

denklem gibi daha böyle mantıklı Makul

bir noktaya getirdim bakalım bu noktadan

sonra nerelere getirecek şimdi tahtayı

çok karıştırdım birazcık sileyim bir

nefes leney devam edeyim videoya hemen

küçük bir düzeltme

yapıyorum Bir vektörün rotasyoneli 0a

eşitse o bir skalerin gradyan olarak

yazılabilir demiştik doğru

ancak burada bir eksi işareti var

konvansiyonel sebeplerden dolayı Çünkü

bu skaler potansiyel bizim voltla

ölçtüğümüz potansiyel elektriksel

potansiyel olarak bildiğimiz şey

elektrostatik de

Eee ve o elektrik alan yani volt arttığı

zaman elektrik alanı diğer yönde

olduğunu söylediğinden dolayı bize

buraya bir tane konvansiyon olarak eksi

işareti koyuyoruz yani buradaki

Seçtiğiniz sabit eksiyle çarpmışsın gibi

de olabilir o yüzden bu eksi işaretini

unutmayalım buraya da o eksi işaretini

koyalım şimdi dediğim gibi e bunları bu

yeni iki ifademi kullanarak diğer iki

makvel denkleminin bize ne söylediğine

bakalım Evet vakit kaybetmemek için

videoyu durdurarak

bu iki ifadeyi Yani buradan çektiğim

elektrik alanı ve manyetik alanı 1in ve

4 denklemde yerine yazdım ve şu iki

denklemi elde etmiş oluyoruz bu iki

denklemi elde etmiş oluyoruz nasıl

yaptık hızlıca şey yapalım elektrik

alanı çekecek olursanız bunu bu tarafa

atıyorum eee ondan sonra diverjansı

alıyorum bunun diverjansı almış

oluyorsunuz burada çıktı Eee bu skaler

fonksiyonun gradiyentin diverjansı almış

oluyorsunuz O da nabla kare operatörü

ile ifade ediliyor buna laplasyen ismi

de verilir Eee ve şu formda bir denkleme

dönüştürebiliyor musunuz bu denklemi

ikinci denkleme bakacak olursanız yani

şu denkleme bakacak olursanız aynı

şekilde manyetik alanı tanımını ve

elektrik alanı buradan çekebileceğiniz

Eee tanımını kullanarak Eee ve mesela

rotasyonel rotasyoneli ifadesini falan

kullanmanız gerekiyor

denklemi Bu forma getirebiliyorsunuz

Bunu niye açmadım da bu şekilde bıraktım

onun üzerinden birazcık konuşacağız Eee

Dolayısıyla bu 4 maxvel denkleminin

içeriğini tüketmiş oluyoruz nasıl

tüketmiş oluyoruz yani şu iki denkleme

dönüştürerek tüketmiş oluyoruz bu 4

maxvel denkleminin bize söylediği şey

esasında E bu iki denklemin içerisine

gömülü duruma gelmiş oluyor bunların da

üzerini artık

silebiliriz

Eee ve bu denklemlerle çalışmaya

başlayabiliriz diyeceksiniz ki yani

şimdi daha mı kolay bir hale getirdik

E şöyle daha esnek bir hale getirdik

Çünkü burada elektrik alan ve manyetik

alan fiziksel olarak ölçülebilecek

şeyler ancak benim problemi yeni ifade

ettiğim vektör potansiyeli ve skalar

potansiyelinin seçiminde esnek

davranabiliyorum problemim uygunluğuna

göre onları ben seçebiliyorum e birazdan

bunu konuşacağız bu mevzuyu konuşacağız

burada söylenmesi gereken bir başka

husus Yalnız bu dört denklemi bu iki

denklem haline dönüştürürken bir bedel

ödedik O da

nedir güzelin Birci derece kısmi

diferansiyel denklemler ikinci dereceden

denklemlere dönüşmüş oldu yani iki tane

denklem elde ettiniz ancak ikinci

dereceden diferansiyel denklemler bunlar

bu tip şeyleri fizikte yapıyoruz mesela

klasik mekaniği hatırlayın klasik

mekanikte

E F = ma gibi yazmak mümkün değil mi

hareket denklemini A dediğimiz şey

konumun ikinci türevi Yani bu esasında

ik dereceden bir diferansiyel denk e

veya lagran denklemleri lagran

denklemleri ik dereceden diferansiyel

denklemler Ama mesela n tane 2 dereceden

diferansiyel denklemin varsa onu bir

dönüşümle Hamilton formalizm geçerek

mesela 2n tane bir dereceden

diferansiyel denklem şekline

yazabiliyoruz benzer bir durum söz

konusu burada yani böyle bir dönüşüm

yaptık e faydası zararı işte dediğimiz

gibi problem lemine uygulanabilirliğine

göre belli olacak Eee şimdi A'nın ve FN

seçiminde ne kadar Esnek

davranabiliyorum ne yapabiliyoruz

birazcık onlar üzerinden konuşmak

istiyorum o yüzden şu maksvel denklemler

mizden bir kurtulalım

Evet vektör potansiyelinin ve skalar

potansiyelinin tek olmadığı bir çözüm

ailesi olduğu ve değiştirilebileceğini

zaten videonun başında bahsettik şimdi o

değişimleri nasıl yapacağız Eee bunu

konuşmak istiyorum dediğimiz gibi

tekrarlayalım burada fiziksel olan şey

elektrik alan ve manyetik alan aynı

elektrik alan ve manyetik alanı verdiği

sürece ben eee a la ve f ile

oynayabilirim nasıl oynayabilirim şimdi

a Nereden çıkmıştı hatırlarsanız Eee

bunun doğrudan rotasyoneli manyetik

alanı vermesi gerekiyordu değil mi ve

ben bir

skalerin diverjan Pardon bir skalerin

gradyan inin rotasyoneli her zaman 0

olacağından dolayı A'nın yanına her

zaman böyle bir terim ekleyebilirim bu K

dediğim yeni bir fonksiyon

e keyfi bir fonksiyon skaler olması

yeterli Bu skalerin gradienti

ni buna eklersem aynı manyetik alanı

verir hiçbir şey

değişmez bunu yaptığınız zaman tabii ki

a'yı değiştirmiş oluyorsunuz elektrik

alanın tanımında da a var Ona göre f'yi

de değiştirmeniz gerekiyor Bu tanımı

kullanarak bu tanımı kullanarak e Fi'yi

de şu şekilde değiştirmeniz gerekiyor

Yani A'dan ve f'den e a üssü ve Fi

üssüne geçebiliyorsunuz Eee bunun sağ

aynı elektrik alanı verdiğini Eee yani

şu dönüşümü yaptığınız zaman f'yi de o

şekilde dönüştürmenin size bırakıyorum

göstermeyi çok basit şu şu formülü

kullanmanız gerekiyor Yani a'yı ve fyi a

üssü ve Fi üssü ile değiştirdiğiniz

zaman elektrik alanda manyetik alanda

aynı kalıyor Dolayısıyla bakın a'yı ve

Fi'yi bu şekilde ayarlayabiliyor ayar

kelimesi İngilizcede gauge

transformation deniyor veya gage

invariance deniyor buna ayar inv

varyansı bu ayarı yaptığınız zaman e

hiçbir şey değişmiyor Bu size bir

esneklik sağlıyor probleminizin

çözümünde

şimdi bu nasıl bir esneklik sağlayabilir

nerede fayda sağlayabilir ona bakalım şu

denkleme bakacak

olursak bu denklemin içerisinde Eee Fi

var ve a var acaba sorumuz Şu Ben öyle

yeni bir a üssü seçmek istiyorum yani

problemi yeni bir a üssü cinsinden ifade

etmek istiyorum Burası yok olsun yani a

üssünün diverjansı 0 olacak şekilde bir

eee k'yı seçebilir miyim acaba o problem

üzerinde düşünecek olursak yani yeni A

üssümüzü diverjansı ben 0a eşitlemek

istiyorum İlk başta 0 değildi A'nın bir

diverjansı vardı F olsun o f fonksiyonu

olsun konumun Ve zamanın bir fonksiyonu

Eee yeni A üstümün bu şekilde

tanımladığım a üstümün diverjansı o

zaman bu şekilde tanımlanması gerekiyor

Ve ben bunu 0a eşitlem gerekiyor Bu

nasıl bir denklem buna bakacak olursanız

bu matematikte bilinen bir denklem

arkadaşlar buna poon denklemi ismi

veriliyor Yani bir skalerin Eee Laplace

yanından ürettiğiniz başka bir skaler

var o işte bu skaler eşit oluyor burada

kısmi türevler Tabii bunlar bir kısmı

diferansiyel denklem buna po poon e

denklemi deniyor Eee ve iyi davranan bir

denklem Yani bir çözümleri bilinen bir

denklem Dolayısıyla şunu demek istiyorum

prensipte Bu yapılabilecek şey şu

kafanızı

karıştırmasın Hocam zaten bu denklemi

çözmek için önce a'yı bilmek gerekli

değil mi a'yı bilmem gerekiyor ki ben

bunu yapmam gerekiyor o zaman ne

kolaylık sağladı gibi düşünmeyin Hayır

onu kastetmiyorum diyorum ki her zaman

öyle bir a üssü bulunabilir Yani eğer bu

0dan farklıysa o zaman bu denklemin

çözümünü verecek bir Kay ile

değiştirdiğiniz zaman öyle bir a üsü

bulunabilir bu varsayımı baştan

yapıyorsanız yani

eee şunun ile çalışıyorum Ben şunun ile

çalışıyorum bu ayar ile çalışıyorum

diyorsanız Buna arkadaşlar kulon ayarı

diyoruz kulon

ayarı

yani burayı ben bu denklemde bu yeni bir

a üsü ile çalışıyorum öyle ki

dönüştürmüş bunu aynı şeyleri verecek

Eee burayı yok etmiş oluyorum o zaman

geri kalan denklem Bu da tabii pi üssü

oluyor o zaman yine pi üssünü oluyor şu

denklem Eee de poon denklemi po aon

denklemi dediğim gibi elektrostatik

bahsinde çok karşımıza çıkar ama burada

görüyoruz ki problemi öyle formüle etmek

lazım ki her zaman elektrostatik şeyi

gibi davranabiliyorum durumu gibi

davranabiliyorum yani anlatabiliyor

muyum o yüzden buna e kulon ayarında

çalışmak diyoruz Dolayısıyla Sadece

burayı çözdükten sonra bunun çözümünü bu

Fi üssünü bulup diğerin de yerine

Yazdığınız zaman diğer denklemden de

a'yı çözmek mümkün olabiliyor yani şeyi

de ayırmış oluyorsunuz Böylece nasıl

söyleyeyim

Eee yani iç içe geçmiş Bunlar çiftlenim

denklemler öyle bir dönüşüm yaptım ki

bundan kurtuldum sadece bunu çözdüm

Ondan sonra onu diğer denklemde yerine

koydum bu denklemi çözerek de a'yı

bulabiliyorsunuz değişkenleri

birbirinden ayırarak Eee çözmemize eee

olanak sağlıyor kulon ayarında

çalışırsanız problemde Elbette ki şeyi

bilmek lazım artık keyfi değil Eee

seçtiğim vektör potansiyeli artık belli

yani şu şartı sağlayacak şekilde

seçilmiş durumda Eee Yani diverjansı 0a

eşit olacak şekilde seçilmiş durumda

başka burada nasıl bir ayar seçebiliriz

mesela Kon ayarından başka işimizi

kolaylaştıracak şimdi ona bakalım

yapabileceğiniz bir diğer ayar dönüşümü

de şu ifadeyi 0a

eşitleyen onu da yazalım

şuraya bunu 0a eşitlem buna da

arkadaşlar

lorence ayarı

diyoruz Onu 0a eşitlemek demek buranın

sadece A'ya bağlı bir denklem olarak

kalması anlamına geliyor ve bu denklemde

birazcık tanıdık bir denklem bu denklem

bildiğimiz dalga denklemi dalga denklemi

Bu dalga denkleminin de çözümleri iyi

bilinen bir denklem yani Dalga

denklemini çözdüğünüz zaman buradan

bulduğunuz A'dan tekrar bu şartı 0a

eşitlem miştim ya a'yı tekrar burada

yerine koyarak oradan f'yi de çözmek

mümkün bu şekilde de probleme yaklaşmak

mümkün bu lorence

ayarı adından anlaşılabileceği gibi

lorence dönüşümleriyle ilişkili ve

özellikle Görelilik teorisini etkilerini

hesaba kattığınız da elektromanyetizm da

bu ayarda çalışmak Eee daha avantajlı

bir hale geliyor problemlerinizi

çözerken Bu noktadan ilerisi birazcık

daha işin derinine iniyor Eee artık

dediğim gibi daha spesifik problemler

üzerine yoğunlaşarak Hani konuşmak lazım

işte görelilikte mi bahsedeceğiz

elektrostatik gibi davranmaktan mı

bahsedeceğiz problemlerimizi ama ama

ümit ediyorum ki bu video Eee Maxwell

denklemlerinin sonuçlarını veya onları

birazcık daha derin görmenizi

sağlayabilecek eee bir fayda sunar

dediğim gibi bu konuda ben eee bir

eksiklik görüyorum açıkçası çevremdeki

öğrenci arkadaşlar da evet tamam bu

denklemler var Ama işte bunlar nasıl

çözülecek nasıl davranılacağını

faydası dokunmuştur Herkese selamlar

diğer videolarda görüşmek üzere