Ecuaciones Diferenciales de primer orden - Aplicaciones - Periodo Medio - Desintegración

Academatica
11 Aug 201221:24

Summary

TLDREn este video se explica la aplicación de las ecuaciones diferenciales de primer orden en el contexto de la desintegración radiactiva. Se aborda cómo la media vida o período de una sustancia radiactiva mide su estabilidad, y cómo calcular el tiempo necesario para que una cantidad determinada se desintegre. Se presentan dos ejemplos prácticos: uno sobre la desintegración de un isótopo de plomo, y otro sobre el cálculo del período medio de un isótopo de plutonio. El video resalta la importancia de entender el modelo exponencial de desintegración y su aplicación en situaciones reales de física y matemáticas.

Takeaways

  • 😀 La ecuación diferencial de primer orden es fundamental para modelar fenómenos de desintegración radiactiva y crecimiento poblacional.
  • 😀 El período medio es una medida de la estabilidad de una sustancia radiactiva y mide el tiempo que tarda la mitad de los átomos de una muestra en desintegrarse.
  • 😀 La desintegración radiactiva sigue un modelo exponencial en el que la cantidad de sustancia disminuye a una tasa proporcional a la cantidad presente.
  • 😀 Ejemplo 1: Para el plomo-109, con una vida media de 3.3 horas, se calcula cuánto tiempo pasa hasta que el 90% se desintegra, utilizando la ecuación de decaimiento.
  • 😀 La fórmula para la desintegración radiactiva es n(t) = n₀ * e^(kt), donde n(t) es la cantidad de sustancia en el tiempo t y k es la constante de desintegración.
  • 😀 Para encontrar la constante de desintegración, se usa el valor de n en un tiempo dado, aplicando logaritmos naturales a ambos lados de la ecuación.
  • 😀 Ejemplo 2: En el caso del uranio-238, después de 15 años de decaimiento, el 0.043% de la muestra original se ha desintegrado, y se usa esta información para calcular el período medio de plutonio-239.
  • 😀 La fórmula para calcular el período medio (tiempo que tarda en reducirse a la mitad) es similar a la de la desintegración, utilizando logaritmos para despejar el tiempo.
  • 😀 El período medio de una sustancia radiactiva puede ser extremadamente largo, como el caso del plutonio-239, que tiene un período medio de 24,180 años.
  • 😀 Los residuos radiactivos, como los generados en plantas nucleares, pueden tardar miles de años en desintegrarse, por lo que se almacenan de manera segura hasta que se desintegren completamente.
  • 😀 El concepto de desintegración radiactiva se aplica no solo a la física nuclear, sino también a otros campos que involucran procesos de decaimiento o disminución exponencial.

Q & A

  • ¿Qué es el período medio de una sustancia radiactiva?

    -El período medio es una medida de la estabilidad de una sustancia radiactiva, indicando el tiempo que tarda en desintegrarse la mitad de los átomos de una muestra inicial.

  • ¿Qué ocurre con los átomos de radio después de 1700 años?

    -Después de 1700 años, la mitad de los átomos de radio se desintegran, convirtiéndose en radón-222.

  • ¿Cuánto tiempo tarda el Uranio-238 en convertirse en Plutonio-239?

    -El Uranio-238 tiene un período medio de 4.5 mil millones de años para convertirse en Plutonio-239.

  • ¿Cómo se resuelve un problema de desintegración radiactiva utilizando ecuaciones diferenciales de primer orden?

    -Se resuelve con la ecuación diferencial n'(t) = -k * n(t), donde n(t) es la cantidad de sustancia en el tiempo t y k es la constante de desintegración. La solución general es n(t) = n_0 * e^(-kt), donde n_0 es la cantidad inicial.

  • ¿Cómo se encuentra la constante de desintegración 'k' en estos problemas?

    -La constante de desintegración 'k' se encuentra utilizando el valor de la mitad de la vida (tiempo en el que se reduce a la mitad la cantidad de sustancia) y la fórmula k = ln(0.5) / t_half.

  • En el ejemplo de Pb-109, ¿cuánto tiempo debe transcurrir para que el 90% de la sustancia se desintegre?

    -En el caso de Pb-109, para que se desintegre el 90%, es necesario que transcurran aproximadamente 10.96 horas.

  • ¿Qué significa que la tasa de desintegración de una sustancia sea proporcional a la cantidad presente?

    -Significa que la cantidad de sustancia que se desintegra en un tiempo dado es proporcional a la cantidad restante de la sustancia en ese momento.

  • En el caso del Uranio-238, ¿qué cantidad de plutonio-239 queda después de 15 años si solo el 0.043% se desintegra?

    -Después de 15 años, queda el 99.9957% de la cantidad inicial de plutonio-239.

  • ¿Cómo se calcula el período medio de un isótopo radiactivo en el caso de plutonio-239?

    -Para calcular el período medio de plutonio-239, se usa la ecuación de desintegración y se resuelve para el tiempo necesario para que la sustancia se reduzca a la mitad. En este caso, el período medio es aproximadamente 24,180 años.

  • ¿Por qué es importante saber el período medio de una sustancia radiactiva?

    -Es importante porque nos ayuda a entender cuánto tiempo tomará para que una sustancia radiactiva se desintegre y sea menos peligrosa, lo que es crucial en aplicaciones como la gestión de residuos nucleares.

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