📘​ EJEMPLO de Linealización

Summary

Este video explica el concepto de linealización en matemáticas, enfocado en aproximar funciones como la raíz cuadrada mediante la ecuación de la recta tangente en un punto específico. El procedimiento incluye derivar la función, encontrar la pendiente y la ecuación de la recta tangente, y usar esta ecuación para aproximar valores cercanos al punto de tangencia. A lo largo de la explicación, se ejemplifica cómo se realiza la linealización en función de valores cercanos a un número conocido, y se destaca cómo la precisión de la aproximación depende de la cercanía al punto elegido para la linealización.

Takeaways

• 😀 La linealización es una técnica que simplifica el trabajo con funciones complejas, como las raíces cuadradas, al aproximarlas con una recta tangente en un punto cercano.
• 😀 La función raíz cuadrada de x + 3 tiene una forma de parábola que abre hacia la derecha, y solo se considera la parte positiva para que sea una función válida.
• 😀 Para realizar una linealización, se necesita calcular la derivada de la función y evaluar tanto la función como su derivada en un punto específico (a).
• 😀 La derivada de la función raíz cuadrada de x + 3 es 1 / (2√(x + 3)), lo que permite calcular la pendiente de la recta tangente.
• 😀 Al utilizar la linealización en x = 1 para la función raíz cuadrada de x + 3, la ecuación de la recta tangente obtenida es: y = 2 + 1/4(x - 1).
• 😀 La linealización es especialmente útil para calcular raíces cuadradas de números cercanos a un valor conocido, como 3.98 o 4.05, sin necesidad de usar una tabla o calculadora.
• 😀 La precisión de la linealización mejora cuando el valor de x está cerca del punto de evaluación (a), pero el error aumenta a medida que nos alejamos de este punto.
• 😀 Se debe tener en cuenta que la linealización solo es válida para valores cercanos al punto de evaluación, ya que a mayor distancia, el error de aproximación crece.
• 😀 Para calcular la raíz cuadrada de 3.98 usando la linealización en x = 1, se transforma el valor 3.98 en 0.98 y se realiza la sustitución en la ecuación de la recta tangente.
• 😀 El proceso de linealización convierte un problema de raíz cuadrada en un problema de fracciones, lo que facilita su cálculo manual mediante aproximaciones.
• 😀 Aunque la linealización es útil para aproximaciones cercanas a valores conocidos, no es adecuada para números muy alejados del punto de evaluación, ya que el error aumenta significativamente.

Q & A

¿Cuál es el objetivo de la linealización de funciones?

El objetivo de la linealización es encontrar una aproximación de funciones complejas, como las raíces cuadradas, mediante una ecuación lineal, facilitando su cálculo sin necesidad de tablas o calculadoras.

¿Por qué se usa una recta tangente en la linealización?

Se usa una recta tangente porque representa la mejor aproximación lineal de la función en un punto específico, permitiendo calcular valores cercanos a ese punto de manera sencilla.

¿Qué función se está linealizando en el ejemplo del video?

La función que se está linealizando en el video es la raíz cuadrada de x + 3, evaluada en el punto x = 1.

¿Cómo se calcula la derivada de la función en este caso?

La derivada de la función raíz cuadrada de (x + 3) se calcula utilizando la regla de la cadena. La derivada de √(x + 3) es 1 / (2√(x + 3)), y se multiplica por la derivada de x + 3, que es 1.

¿Por qué solo se toma la parte positiva de la función raíz cuadrada?

Se toma solo la parte positiva porque la raíz cuadrada de números negativos no está definida en el conjunto de los números reales, y para que la función sea válida, solo se considera la parte positiva.

¿Qué significa la ecuación de la recta tangente obtenida?

La ecuación de la recta tangente, que es y = (1/4)x + 7/4, proporciona una aproximación lineal de la función raíz cuadrada de (x + 3) cerca del punto x = 1. Se puede usar esta ecuación para calcular valores aproximados de la función en puntos cercanos a 1.

¿Qué se busca al aproximar la raíz cuadrada de 3.98 y 4.05 utilizando la linealización?

Se busca calcular aproximaciones de las raíces cuadradas de 3.98 y 4.05 usando la recta tangente a la función en x = 1, sin recurrir a una calculadora o tabla de valores.

¿Cuál es el error asociado al usar la linealización para calcular valores alejados de x = 1?

El error aumenta a medida que los valores de x se alejan de 1, ya que la aproximación lineal es más precisa cuando x está cerca del punto de tangencia. Cuanto más lejos se esté de x = 1, mayor será la discrepancia entre la recta tangente y la función real.

¿Qué significa que la linealización sea válida solo para valores cercanos a x = 1?

Esto significa que la aproximación mediante la recta tangente solo es precisa para valores de x próximos a 1. A medida que nos alejamos de ese valor, la aproximación se vuelve menos confiable.

¿Cómo se calculó la raíz cuadrada de 3.98 en el video?

Para calcular la raíz cuadrada de 3.98, se utilizó la ecuación de la recta tangente, sustituyendo x = 0.98 en la expresión lineal obtenida de la linealización, lo que resultó en una aproximación de la raíz cuadrada de 3.98 como 1.995.