10. Obtener el Volumen Máximo de la caja (Máximos y mínimos, aplicación de las derivadas)

Summary

En este video, se resuelve un problema de optimización en el que se debe construir una caja sin tapa a partir de un cartón cuadrado de 60 cm por lado. El proceso implica recortar cuadrados de cada esquina y doblar los costados para formar la caja. El objetivo es maximizar el volumen de la caja. Mediante el uso de derivadas, se determina que la longitud óptima para los cuadrados es de 10 cm, lo que da como resultado un volumen máximo de 16,000 cm³. Se explica detalladamente el proceso de derivación y la verificación del resultado mediante la segunda derivada.

Takeaways

• 😀 Se desea construir una caja sin tapa a partir de un cartón cuadrado de 60 cm de lado.
• 😀 Para formar la caja, se recortan cuadrados iguales de las cuatro esquinas del cartón.
• 😀 El objetivo es encontrar el volumen máximo que puede tener la caja después de los recortes.
• 😀 La altura de la caja será igual a la medida del lado de los cuadrados recortados, es decir, 'x'.
• 😀 El largo y el ancho de la base de la caja se determinan como 60 - 2x, ya que se recortan dos veces 'x' de cada lado.
• 😀 El volumen de la caja se calcula como largo * ancho * alto, lo cual da la función del volumen en términos de 'x'.
• 😀 Para encontrar el valor de 'x' que maximiza el volumen, se utiliza la derivada de la función del volumen.
• 😀 Se deriva la función de volumen, se iguala a cero y se resuelve la ecuación cuadrática obtenida.
• 😀 La solución a la ecuación cuadrática da dos posibles valores para 'x': 30 cm y 10 cm.
• 😀 El valor 'x = 30' cm se descarta porque no permite formar una caja con volumen, ya que el cartón se corta en cuatro partes iguales.
• 😀 La solución correcta es 'x = 10' cm, lo que da un volumen máximo de 16,000 cm³.
• 😀 Para asegurarse de que este valor corresponde a un máximo, se evalúa la segunda derivada, que resulta negativa, confirmando que se alcanza un máximo.
• 😀 El problema también sugiere ejercicios similares, como encontrar dimensiones óptimas para cajas con un volumen o área dada.

Q & A

¿Cuál es el objetivo del problema que se resuelve en el video?

El objetivo es encontrar el volumen máximo de una caja sin tapa, que se forma al cortar un cuadrado de cada una de las cuatro esquinas de un cartón cuadrado de 60 cm de lado.

¿Por qué el volumen de la caja cambia al variar el tamaño de los cuadrados cortados?

El volumen de la caja cambia porque al cortar los cuadrados, se modifica tanto la altura como las dimensiones de la base de la caja. Si cortamos un cuadrado muy pequeño, la caja tendrá una altura baja, y si cortamos cuadrados grandes, la base será más pequeña, lo que reduce el volumen.

¿Cómo se define la variable 'x' en el problema?

La variable 'x' representa el lado de los cuadrados que se cortan en las esquinas del cartón. Estos cuadrados son iguales en tamaño y se utilizan para formar la altura de la caja una vez doblados los costados del cartón.

¿Cuál es la relación entre el lado del cartón y las dimensiones de la caja después de cortar los cuadrados?

El cartón original tiene un lado de 60 cm. Después de cortar los cuadrados de lado 'x', las dimensiones de la base de la caja serán 60 - 2x en cada dirección, ya que se quitan dos lados de 'x' (uno por cada lado del cuadrado cortado). La altura de la caja será 'x'.

¿Cómo se calcula el volumen de la caja?

El volumen de la caja se calcula multiplicando la longitud, el ancho y la altura. En este caso, el volumen es (60 - 2x) * (60 - 2x) * x, donde 'x' es la altura de la caja y (60 - 2x) son las dimensiones de la base.

¿Qué método se utiliza para encontrar el volumen máximo de la caja?

Para encontrar el volumen máximo, se utiliza el cálculo diferencial. Se deriva la función que representa el volumen, se iguala a cero para encontrar los puntos críticos y se evalúa cuál de esos puntos corresponde al volumen máximo.

¿Cómo se resuelve la derivada para encontrar los puntos críticos?

Se calcula la derivada de la función volumen con respecto a 'x', luego se iguala a cero para obtener una ecuación de segundo grado. Esta ecuación se resuelve utilizando la fórmula general, lo que da dos posibles soluciones para 'x'.

¿Por qué se descarta la solución 'x = 30'?

La solución 'x = 30' se descarta porque, si recortamos 30 cm de cada esquina, ya no quedaría cartón suficiente para formar una caja. El cartón quedaría dividido en cuatro partes iguales, y el volumen de la caja sería cero.

¿Cómo se determina si 'x = 10' corresponde a un máximo o un mínimo?

Para verificar si 'x = 10' corresponde a un máximo, se utiliza la segunda derivada de la función volumen. Si el valor de la segunda derivada en 'x = 10' es negativo, significa que en ese punto se alcanza un máximo.

¿Cuál es el volumen máximo de la caja y qué dimensiones tiene?

El volumen máximo de la caja es 16,000 cm³, y se alcanza cuando el valor de 'x' es 10 cm. Las dimensiones de la caja son 40 cm x 40 cm en la base y 10 cm de altura.