¿Como se inventaron los numeros imaginarios?

Summary

El álgebra y la geometría, dos campos fundamentales de las matemáticas, evolucionaron a lo largo de la historia para abarcar conceptos que inicialmente parecían irreales. Este video relata la historia de cómo los números imaginarios, una vez considerados un concepto ficticio, se convirtieron en una pieza clave en la mejor teoría física del universo. La narrativa comienza con la cuantificación del mundo a través de la matemática, pasando por el desafío histórico de resolver la ecuación cúbica y la eventual separación de la matemática de la realidad para dar paso a la invención de números imaginarios. La historia sigue con la contribución de matemáticos como Luca Pacioli, Omar Khayyám, Scipione del Ferro, Tartaglia y Gerolamo Cardano, quienes gradualmente desentrañaron la solución a la ecuación cúbica. Finalmente, se destaca cómo estos números, a pesar de su naturaleza inicialmente abstracta, se revelaron esenciales en la descripción de fenómenos físicos subatómicos a través de la ecuación de Schrödinger, lo que muestra la importancia de aceptar y explorar conceptos matemáticos que trascienden la intuición para llegar a una comprensión más profunda de la realidad.

Takeaways

• 📏 Las matemáticas nacieron como una herramienta para cuantificar el mundo, medir terrenos, predecir el movimiento de los planetas y registrar el comercio.
• 🔍 La separación de la geometría y el álgebra y la invención de los números imaginarios permitió a la matemática evolucionar y llegar a la base de nuestras mejores teorías físicas.
• 📚 Luca Pacioli, el profesor de matemáticas de Leonardo da Vinci, publicó la 'Suma de Aritmética', un resumen de la matemática conocida en la Italia del Renacimiento.
• 🧮 La ecuación cúbica ha sido un problema históricamente considerado irresoluble, y su búsqueda de una solución general ha durado más de 4.000 años.
• 🚫 Las soluciones negativas y los coeficientes negativos eran ignorados en las matemáticas antiguas porque no tenían sentido en el mundo real de longitud, área y volumen.
• 🤓 Omar Khayyám, un matemático persa, identificó 19 ecuaciones cúbicas distintas y encontró soluciones numéricas para algunas, pero no logró una solución general.
• 🔑 Scipione del Ferro, un profesor de matemáticas de la Universidad de Bolonia, encontró un método para resolver ecuaciones cúbicas reducidas, pero guardó el secreto hasta su muerte.
• 🤝 Nicola Tartaglia, un matemático autodidacta, resolvió las 30 ecuaciones cúbicas presentadas por Antonio Fior en solo dos horas, demostrando su habilidad en la resolución de ecuaciones cúbicas.
• 📖 Gerolamo Cardano, un erudito milanés, publicó 'Ars Magna', un compendio de las matemáticas que incluía una solución para la ecuación cúbica completa, a pesar de los conflictos éticos con Tartaglia.
• ⚙️ Raffaele Bombelli fue el primero en comprender el concepto de áreas negativas y la utilidad de las raíces cuadradas de negativos en la solución de ecuaciones cúbicas.
• 🧲 Los números imaginarios, inicialmente vistos como un artefacto matemático, resultaron ser fundamentales en la descripción de la realidad, como se demuestra en la ecuación de Schrödinger en física cuántica.

Q & A

¿Cómo comenzaron las matemáticas y para qué se utilizaban inicialmente?

Las matemáticas comenzaron como una forma de cuantificar nuestro mundo, para medir terrenos, predecir el movimiento de los planetas y registrar el comercio.

¿Cuál fue el problema matemático considerado irresoluble que llevó a la separación de la geometría y el álgebra?

El problema considerado irresoluble fue encontrar una solución general para la ecuación cúbica, lo que llevó a la separación de la geometría y el álgebra y la invención de números nuevos llamados imaginarios.

¿Qué publicó Luca Pacioli en 1494 y qué importancia tenía en la historia de las matemáticas?

Luca Pacioli, el profesor de matemáticas de Leonardo da Vinci, publicó la 'Suma de aritmética', un resumen completo de toda la matemática conocida en aquel momento en Italia renacentista, incluyendo una sección sobre la ecuación cúbica.

¿Por qué las matemáticas de los antiguos no se transcribían en ecuaciones como hoy en día?

Las matemáticas de los antiguos se escribían mediante palabras y dibujos, ya que no utilizaban ecuaciones para representar sus problemas matemáticos.

¿Cómo era la actitud de los matemáticos antiguos frente a los números negativos?

Los matemáticos antiguos eran reacios a los números negativos, ya que no existían en su trabajo con longitudes, áreas y volúmenes del mundo real.

¿Quién fue Scipione del Ferro y qué logró en el campo de las matemáticas?

Scipione del Ferro fue un profesor de matemáticas de la Universidad de Bolonia que alrededor del año 1510 encontró un método para resolver de forma confiable las ecuaciones cúbicas reducidas.

¿Cómo describía Nicolo Tartaglia su método para resolver la ecuación cúbica y por qué?

Nicolo Tartaglia describió su método para resolver la ecuación cúbica en forma de un poema, no utilizando la notación algebraica moderna que no existiría por cien años.

¿Qué evento llevó a Jerónimo Cardano a publicar la solución de la ecuación cúbica?

Jerónimo Cardano publicó la solución de la ecuación cúbica después de que en 1542 viajó a Bolonia y descubrió que la solución de las cúbicas reducidas que él había recibido de Tartaglia anteriormente ya había sido conocida y utilizada por Antonio Fiore, yerno de Scipione del Ferro, décadas antes.

¿Quién fue Rafael Bombelli y qué contribución realizó a los números imaginarios?

Rafael Bombelli fue un ingeniero italiano que asumió que los términos en la solución de Cardano no podían representarse como una combinación de un número ordinario y el nuevo tipo de números que incluye la raíz cuadrada de un negativo, lo que llevó a la comprensión de que las dos raíces cúbicas de la ecuación de Cardano no eran equivalentes y reveló la solución.

¿Cómo se relacionan los números imaginarios con la física y por qué son importantes?

Los números imaginarios son fundamentales en la descripción de la realidad física, como se muestra en la ecuación de Schrödinger, que describe el comportamiento de los átomos y es la base de la química y gran parte de la física. La raíz cuadrada de menos 1 implica que la naturaleza trabaja con complejos y no solo con los reales.

¿Por qué los físicos inicialmente se sintieron incómodos con la aparición de números imaginarios en la física?

Los físicos se sintieron incómodos con los números imaginarios porque parecían no tener sentido en una función de onda fundamental, que debería ser una función real. Sin embargo, con el tiempo, se aceptaron debido a sus propiedades únicas y su papel crucial en la descripción de fenómenos cuánticos.

Outlines

00:00

📚 Las matemáticas y la cuestión de la ecuación cúbica

Este párrafo aborda el origen de las matemáticas y cómo comenzaron como una herramienta para cuantificar y medir el mundo. Se destaca un problema histórico en matemáticas: la separación del álgebra de la geometría y la creación de los números imaginarios. Además, se menciona cómo estos números, considerados inicialmente como fantasiosos, terminaron siendo cruciales en la mejor teoría física moderna del universo. Finalmente, se relata la publicación de 'Suma de aritmética' por Luca Pacioli y cómo la ecuación cúbica desafió a las civilizaciones antiguas.

05:00

🧮 La resolución de la ecuación cúbica y el duelo matemático

Este párrafo relata la historia de cómo Scipione del Ferro, un profesor de matemáticas en Bolonia, encontró un método confiable para resolver ecuaciones cúbicas reducidas, es decir, sin el término al cuadrado. Del Ferro mantuvo en secreto su método durante casi dos décadas para asegurar su posición laboral. Tras su muerte, su discípulo Antonio Fior reveló el secreto a Nicolo Fontana Tartaglia, quien a su vez, lo resolvió en dos horas en un desafío matemático. Tartaglia exploró la idea de completar el cuadrado en tres dimensiones, lo que lo llevó a una solución para la ecuación cúbica.

10:01

📖 El algoritmo de Tartaglia y la publicación del método

Tartaglia redactó su método para resolver la ecuación cúbica en un poema y se convirtió en una celebridad. Gerolamo Cardano, un erudito de Milán, logró atraer a Tartaglia a Milán y después de una promesa de confidencialidad, Tartaglia le reveló su método. Cardano, con un objetivo más ambicioso, resolvió la ecuación cúbica completa y publicó su obra 'Ars Magna'. Aunque reconoció la contribución de Tartaglia, la publicación generó conflictos entre ambos.

15:03

🔍 Las raíces cuadradas negativas y la aparición de los números imaginarios

Este párrafo explora la idea de las raíces cuadradas negativas y cómo estas surgieron en el contexto de resolver ecuaciones cúbicas. Rafael Bombelli, un ingeniero italiano, propuso la existencia de un nuevo tipo de número que incluye la raíz cuadrada de un negativo, lo que llevó a la invención de los números imaginarios. La notación simbólica moderna del álgebra fue introducida por François Viète, y René Descartes popularizó el uso de las raíces cuadradas negativas, dándoles el nombre de 'números imaginarios'. La letra 'i' fue introducida para representar la raíz cuadrada de -1, lo que llevó a la creación de los números complejos.

20:06

🌀 Los números imaginarios en física y la ecuación de Schrödinger

Este párrafo describe cómo los números imaginarios, que inicialmente eran considerados solo como un paso intermedio en la resolución de ecuaciones matemáticas, se convirtieron en fundamentales para la descripción de la realidad física. La ecuación de Schrödinger, una de las más importantes y famosas en física, involucra la raíz cuadrada de -1 y describe correctamente el comportamiento de los átomos, siendo la base de la química y gran parte de la física. La aparición de números imaginarios en la ecuación fue una sorpresa y muestra que la naturaleza utiliza números complejos en lugar de solo reales.

Keywords

💡Matemáticas

Las matemáticas son el estudio de conceptos como el tamaño, la forma, el número y el espacio. En el video, se destaca cómo las matemáticas comenzaron como una herramienta para cuantificar y medir el mundo físico y cómo, con el tiempo, evolucionaron para describir fenómenos más abstractos y fundamentales de la realidad, como se muestra en la historia de la ecuación cúbica.

💡Ecuación cúbica

Una ecuación cúbica es una ecuación algebraica de tercer grado, que puede escribirse en la forma ax³ + bx² + cx + d = 0. El video narra la historia de cómo encontrar una solución general para estas ecuaciones ha sido un desafío históricamente, y cómo su resolución llevó a la invención de nuevos números, como los imaginarios, que son cruciales en la física moderna.

💡Números imaginarios

Los números imaginarios son una extensión de los números reales que incluyen la raíz cuadrada de -1, a menudo denotada como 'i'. En el video, se menciona cómo los números imaginarios, inicialmente considerados como una invención matemática abstracta, resultaron ser esenciales para la teoría física moderna, incluida la mecánica cuántica.

💡Geometría

La geometría es una rama de las matemáticas que estudia las formas, tamaños y propiedades de las figuras en el espacio. En el contexto del video, la geometría se relaciona con las soluciones visuales de ecuaciones, como se describe en la resolución de ecuaciones cuadráticas y cúbicas mediante formas geométricas.

💡Matemáticos

Los matemáticos son los profesionales y académicos que se dedican al estudio y la investigación de las matemáticas. En el video, se mencionan a varios matemáticos, como Luca Pacioli, Omar Khayyám, Scipione del Ferro, Antonio Fior y Niccolò Fontana (Tartaglia), cuyos descubrimientos y desafíos son fundamentales en la narrativa de la resolución de ecuaciones cúbicas.

💡Completar el cuadrado

Completar el cuadrado es una técnica utilizada en álgebra para resolver ecuaciones cuadráticas. El video describe cómo, en el pasado, los matemáticos utilizaban esta técnica de manera visual, manipulando formas geométricas para encontrar soluciones, lo cual es un ejemplo de cómo la geometría y el álgebra están interconectados.

💡Negativos

Los números negativos son aquellos que son menos que cero en la línea numérica. El video menciona la reluctancia de los matemáticos antiguos a aceptar los negativos, ya que no se alineaban con conceptos físicos como el largo, el área o el volumen, y cómo estos fueron finalmente aceptados como parte del álgebra.

💡Mecánica cuántica

La mecánica cuántica es una rama de la física que trata los fenómenos a nivel subatómico, donde las partículas pueden mostrar comportamientos wave-particle duality. En el video, se destaca la importancia de los números imaginarios en la ecuación de Schrödinger, que es fundamental en la mecánica cuántica y describe el comportamiento de las partículas en el átomo.

💡Ecuación de Schrödinger

La ecuación de Schrödinger es una ecuación matemática que describe el comportamiento cuántico de una partícula o sistema de partículas. En el video, se discute cómo esta ecuación, que involucra la raíz cuadrada de -1, es esencial para entender la naturaleza de la materia a nivel cuántico y cómo las soluciones a la ecuación son fundamentales para la química y la física.

💡Números complejos

Los números complejos son números que contienen una parte real y una parte imaginaria. En el video, se abordan los números complejos como una extensión del plano real que incluyen los números imaginarios, y cómo son esenciales para resolver ecuaciones cúbicas y para la descripción de fenómenos en la física moderna.

💡Raíz cuadrada

La raíz cuadrada de un número es otro número que, al multiplicarse por sí mismo, resulta en el primero. En el video, se destaca la raíz cuadrada como un concepto fundamental en la resolución de ecuaciones y cómo su extensión a los números negativos (raíz cuadrada de -1) llevó a la invención de los números imaginarios.

Highlights

Las matemáticas comenzaron como una forma de cuantificar el mundo.

El problema de la ecuación cúbica considerado irresoluble durante más de 4.000 años.

La separación del álgebra de la geometría y la invención de números imaginarios.

400 años después, los números imaginarios se encuentran en el centro de la mejor teoría física del universo.

Luca Pacioli, el profesor de matemáticas de Leonardo da Vinci, publicó 'Suma de aritmética' en 1494.

La ecuación cúbica ha sido buscada en vano por civilizaciones antiguas como la babilonia, la griega, la china, la india, el egipcia y la persa.

Omar Khayyám, matemático persa, identificó 19 ecuaciones cúbicas distintivas manteniendo coeficientes positivos.

Scipione del Ferro, profesor en la Universidad de Bolonia, encontró un método para resolver cúbicas reducidas.

Del Ferro mantuvo en secreto su solución a las cúbicas reducidas para asegurar su empleo.

Antonio Fior, discípulo de Del Ferro, reveló públicamente que podía resolver la cúbica reducida.

Nicola Fontana Tartaglia, matemático autodidacta, resolvió 30 cúbicas reducidas en solo dos horas.

Tartaglia utilizó la idea de completar el cuadrado en tres dimensiones para resolver la cúbica reducida.

Gerolamo Cardano, erudito milanés, logró una solución para la ecuación cúbica completa.

Cardano publicó 'Ars Magna', un compendio de las matemáticas que incluía la solución a la ecuación cúbica.

Raffaelle Bombelli introdujo el concepto de números complejos y su utilidad en la solución de ecuaciones cúbicas.

La geometría no es la única fuente de verdad en las matemáticas; los números imaginarios y complejos son esenciales para describir la realidad.

La ecuación de Schrödinger, fundamental en física, utiliza números imaginarios para describir comportamientos cuánticos.

Los números imaginarios, una vez considerados como un artefacto matemático, resultan ser fundamentales en la descripción de la realidad física.

Transcripts

las matemáticas comenzaron como una

forma de cuantificar nuestro mundo medir

terrenos predecir el movimiento de los

planetas y registrar el comercio luego

apareció un problema considerado

irresoluble el secreto para resolverlo

fue separar a la matemática del mundo

real separar el álgebra de la geometría

e inventar números nuevos tan

fantasiosos que los llamaron imaginarios

irónicamente 400 años después estos

números se encontrarían en el centro de

nuestra mejor teoría física sobre el

universo sólo al abandonar la conexión

de la matemática con lo real pudimos

descubrir la naturaleza de la realidad

en 1494 luca pacioli el profesor de

matemática de leonardo da vinci publicó

suma de aritmética un resumen completo

de toda la matemática sabida en aquel

momento de la italia renacentista

allí hay una sección sobre la ecuación

cubica cualquier ecuación que hoy

escribamos como a x al cubo b x al

cuadrado más c x + d igual a 0 la gente

intentó buscar una solución general a la

ecuación cúbica por más de 4.000 años

pero cada civilización antigua que la

encontró la babilonia la griega la china

la india el egipcia y la persa acabó con

las manos vacías la conclusión de patio

lee fue que la solución a la ecuación

cúbica era imposible esto debería ser

algo sorprendente ya que sin el término

elevado al cubo se convierte en una

simple ecuación cuadrática y muchas

civilizaciones antiguas habían resuelto

cuadráticas miles de años antes hoy

cualquiera que terminé la primaria

podría resolver la es menos ven más

menos la raíz cuadrada de b al cuadrado

menos 4 hace todo sobre 2a pero la

mayoría simplemente completa la ecuación

sin saber absolutamente nada de la

geometría que los antiguos matemáticos

usaron para llegar a ella por aquellos

días las matemáticas no se transcribían

en ecuaciones se escribían mediante

palabras y dibujos por ejemplo la

ecuación x al cuadrado más 26 x igual a

27 los antiguos matemáticos pensaban al

término x al cuadrado literalmente como

un cuadrado con lados que miden x y 26 x

sería un rectángulo con un lado de largo

26 y otro de largo x y estas dos áreas

suman 27 como determinamos cuánto es x

bueno podemos tomar este rectángulo 26 x

y

cortarlo a la mitad ahora tengo dos

rectángulos de 13 x y puedo usarlos para

crear una forma que sea casi un cuadrado

sólo le falta esta sección de abajo pero

sé las dimensiones de esta sección es 13

x 13 así que puedo completar el cuadrado

haciendo un cuadrado de 13 x 13 como he

añadido 13 al cuadrado o sea 169 al lado

izquierdo de la ecuación también debo

agregar 169 al lado derecho de la

ecuación para mantener la igualdad ahora

tengo este cuadrado más grande con lados

de largo x + 13 que es igual a

196 la raíz cuadrada de 196 es 14 así

que sé que los lados del cuadrado miden

14 lo que significa que x es igual a 1

bien esta es una forma visual muy genial

de resolver una ecuación cuadrática pero

no está completa si miras a la ecuación

original x igual a 1 si es una solución

pero también lo es menos 27 por miles de

años los matemáticos ignoraban las

soluciones negativas de sus ecuaciones

porque trataban con las cosas del mundo

real longitud área y volumen entonces

que querría decir tener un cuadrado con

lados que midan menos 27 no tienen

ningún tipo de sentido para esos

matemáticos los números negativos no

existían podías restar que es la

diferencia entre dos cantidades

positivas pero no podías tener una

respuesta negativa ni coeficientes

negativos los matemáticos eran tan

reacios a los números negativos que no

había una ecuación cuadrática habían

seis versiones diferentes para que los

coeficientes siempre sean positivos el

mismo enfoque se tomó con la ecuación

pública en el siglo 11 el matemático

persa omar khayyám identificó 19

ecuaciones cúbicas distintas siempre

manteniendo todos los coeficientes

positivos encontró soluciones numéricas

para algunas de ellas al considerar

intersecciones de formas como hipérbola

si círculos pero no llegó a concretar su

objetivo final una solución general para

las cúbicas él escribió quizás alguien

que llegue después de nosotros tendrá

éxito 400 años después si a 4000

kilómetros la solución comienza a tomar

forma

chipiona del ferro fue un profesor de

matemática de la universidad de bolonia

alrededor del año 1510 halló un método

para resolver de forma confiable cúbicas

reducidas éstas son una selección de

ecuaciones cúbicas sin término elevado

al cuadrado que hizo luego de resolver

un problema que había derrotado a los

matemáticos por milenios uno considerado

imposible por el profesor de leonardo da

vinci

no se lo contó a nadie

ser un matemático en el siglo 16 era

duro su empleo está constantemente bajo

amenaza de otros matemáticos que pueden

aparecer en cualquier momento y desafiar

tu posición puedes pensarlo como un

duelo matemático cada participante

presenta una serie de preguntas al otro

y el que resuelven más preguntas

correctamente se queda con el empleo

mientras que el perdedor sufre

humillación pública

para del perro nadie más en el mundo

podía resolver la cúbica reducida así

que al mantener su solución en secreto

se aseguraba mantener su empleo por casi

dos décadas del ferro guardó su secreto

solo en su lecho de muerte en 1526 se lo

deja entrever a su discípulo antonio

flor flor no es un matemático tan

talentoso como su mentor pero es joven y

ambicioso luego de la muerte de del

ferro se jactó de su propia proeza

matemática específicamente de poder

resolver la cúbica reducida el 12 de

febrero de 1535 fior desafió al

matemático nicolo fontana tartaglia

quien se había mudado hacía poco a la

ciudad de fior venecia nicola fontana no

le teme a la adversidad de niño sufrió

un corte en el rostro por parte de un

soldado francés lo que lo dejó tartamudo

por eso se lo conoce como tartaglia que

es tartamudo en italiano creció en la

pobreza y fue mayormente autodidacta

trepó en la sociedad italiana hasta ser

un matemático respetado

ahora todo estaba en riesgo como era de

costumbre en el desafío tartaglia le

presenta 30 problemas para resolver a

flor y flor le presenta 30 problemas a

tartaglia son todas cúbicas reducidas

cada matemático tiene 40 días para

resolver los 30 problemas peor no pudo

resolver ni un solo problema mientras

que tartaglia resolvió las 30 cúbicas

reducidas en solo dos horas y así la

soberbia de fior marcó su propio final

antes del desafío tartaglia se enteró

que flor se jactaba de haber resuelto la

cúbica reducida pero no lo creyó no lo

creí capaz de hallar tal regla por sí

solo escribió tartaria pero corría el

rumor de que un gran matemático le había

revelado el secreto a flor lo que era

más posible así que sabiendo que una

solución a la cúbica era posible y con

su reputación en riesgo

tartaglia se propone resolver la cúbica

reducida el mismo para hacerlo explora

la idea de completar el cuadrado en tres

dimensiones

piensa en la ecuación x cubo + 9 x igual

a 26 puedes pensar a x al cubo como el

volumen de un cubo con lados que miden x

y si sumas un volumen de 9 x obtienes 26

igual que como completamos el cuadrado

precisamos agregarle al el cubo para

aumentar su volumen 9 x imagina extender

tres lados de este cubo una distancia y

creando un cubo nuevo y más grande cuyos

lados me lance está siendo z x + i

el cubo original fue agrandado y podemos

dividir el volumen adicional en siete

formas hay tres prismas rectangulares

con dimensiones x x x x y y 3 prismas

más angostos con dimensiones x x y x y

además hay un cubo cuyo volumen es i al

cubo trataría reordena los seis prismas

rectangulares en un bloque un lado mide

tres y el otro mide x más y que es z y

la altura es x el volumen de esta figura

de su base 3 y z por su altura x y

tartaglia nota que este volumen puede

representar perfectamente el término 9 x

de la ecuación si su base es igual a 9

así que determina que 3 iceta es igual a

9

rearmando el cubo verás que te falta el

pequeño cubo y así que podemos completar

el cubo añadiendo y al cubo a ambos

lados de la ecuación ahora vemos que se

está al cubo que es el cubo grande

completo es igual a 26 más y cubo

tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas

al resolver la primera ecuación para z y

sustituyendo en la segunda obtenemos y a

la sexta más 26 y cubo igual a 27 a

primera vista parece que empeoramos todo

la variable está elevada a la sexta en

lugar de al cubo sin embargo si piensas

a iu al cubo como una nueva variable la

ecuación acaba siendo una cuadrática la

misma cuadrática que resolvimos

completando al cuadrado así que sabemos

que y al cubo es igual a 1 por lo que y

es igual a 1 iceta es igual a 3 sobre y

así que z es 3 y como x + i es igual a z

x debe ser igual a 2 lo que es en verdad

la solución a la ecuación original y con

eso tartaglia se convirtió en el segundo

humano en el planeta en resolver la

cúbica reducida para ahorrarse el

trabajo de hacer la geometría para cada

ecuación cúbica que encuentre tarta guía

resume su método en un algoritmo una

serie de instrucciones no escribe esto

como una serie de ecuaciones como lo

haríamos hoy la notación algebraica

moderna no existiría por cien años sino

que lo escribió como un poema la

victoria de tartaglia lo convirtió en

una celebridad los matemáticos se

desesperaron por saber cómo resolvió la

cubica especialmente gerolamo cardán o

un erudito que vivía en milán o como

imaginarán tartaglia no quiso saber nada

se niega a responder siquiera una sola

pregunta de sus competidores pero

cardano insistió escribió una serie de

cartas que alternaban entre elogios y

ataques agresivos

finalmente con la promesa de presentarle

a su adinerado mecenas cardano logra

atraer a tartaglia a milán allí el 25 de

marzo de

1539 tartaglia le reveló su método pero

luego de forzar a cardano a jurar

solemnemente no contarle a nadie no

publicarlo y sólo redactar lo enclave y

dijo así luego de mi muerte nadie podrá

entenderlo cardano quedó fascinado e

inmediatamente comenzó a jugar con el

algoritmo de tartaria pero tiene un

objetivo más ambicioso una solución para

la ecuación cúbica completa incluyendo

el término con x al cuadrado y

asombrosamente lo logra si sustituye es

x con x b sobre 3 a todos los términos

de x al cuadrado se cancelan así se

transforma toda ecuación cúbica general

en una cúbica reducida que luego puede

resolverse con la fórmula de tartaglia

cardano estaba tan feliz de haber

resuelto el problema que derrotó a los

mejores matemáticos por miles de años

que quiso publicarlo a diferencia de sus

colegas cardano no necesita guardar el

secreto no gana dinero como matemático

sino como médico e intelectual para él

el mérito es más importante que el

secreto el único problema es el

juramento a tartaglia quien no quiere

que lo quiebre quizás pienses que este

es el fin pero en 1542 cardano viajó a

bolonia donde visitó a un matemático que

resultó ser el yerno de chipión en del

ferro el hombre que antes de morir le

dio la solución de las cúbicas reducidas

antonio flor cardan hola yo en un cuadro

viejo desde el ferro que le mostraron

durante su visita y esta solución

antecedía la de tartaglia por décadas

así que cardano consideró que podía

publicar la solución a la cúbica

completa sin violar su promesa a

tartaglia tres años después cardano

publicó artist magna el gran arte un

compendio actualizado de las matemáticas

escrito en cinco años para que dure

quinientos cardano redactó un capítulo

con prueba geométrica única para cada

una de las 13 versiones de la ecuación

cúbica a pesar de reconocer las

contribuciones de tarta guía del ferro i

fjor tartaglia estaba por lo menos

insatisfecho escribió cartas insultando

a cardano y las expuso ante parte de la

comunidad matemática y entendemos por

qué al día de hoy la solución general a

la cúbica se le suele llamar método

cardano pero artist magna es un logro

fenomenal

empuja el razonamiento geométrico hasta

su propio límite

literalmente mientras cardan no escribía

artist magnas se encontró con algunas

ecuaciones cúbicas que no pueden

resolverse fácilmente de la forma usual

como x al cubo es igual a 15 x + 4 al

aplicar el algoritmo aquí obtenemos una

solución que incluye raíces cuadradas de

números negativos cardano le consulta a

tartaglia sobre esto pero este lo ignora

y asume que cardan o no es lo

suficientemente inteligente para usar

bien la fórmula la verdadera que de

tartaglia tampoco tenía idea de qué

hacer

carda no exploró la derivación

geométrica de un problema similar para

ver qué era lo que estaba fallando

mientras que la división y el rearmado

del cubo 3d funciona la cuadrática final

que completa el cuadrado lleva a una

paradoja geométrica

cardano halla parte de un cuadrado que

debe tener un área de 30 pero también

lados de 5 de largo

como el cuadrado completo tiene una área

de 25 para completarlo cardano debe de

alguna forma sumar una área negativa de

allí provienen las raíces cuadradas de

negativos la idea de un área negativa

esta no era la primera vez que aparecían

las raíces cuadradas de negativos de

hecho antes en artist magna está este

problema encuentra dos números que sumen

10 y multiplicados de en 40 puedes

combinar estas ecuaciones en una

cuadrática x al cuadrado más 40 es igual

a 10 x pero si aplicas de la fórmula

cuadrática las soluciones incluyen

raíces cuadradas de negativos la

conclusión obvia es que la solución no

existe puedes verificarlo mirando el

problema original no hay dos números

reales que sumen 10 y que multiplicados

de en 40 así que creían que las raíces

cuadradas de negativos eran la forma en

la que las matemáticas nos dicen que no

hay solución pero esta ecuación cúbica

es diferente adivinando y comprobando

allá que x es igual a 4 es una solución

porque el enfoque que funciona para el

resto de las cúbicas no llega a una

solución razonable en esta sin saber

cómo avanzar cardan o esquiva este caso

en artist magna diciendo que la idea de

la raíz cuadrada de los negativos es tan

sutil como inútil

pero diez años más tarde el ingeniero

italiano raffaelle bombelli tomó la

posta de cardan o in afectado por la

raíz cuadrada de negativos y su

imposible geometría quería encontrar una

forma de hallar una solución viendo que

la raíz cuadrada de un negativo no puede

llamarse positiva ni negativa le permite

ser un nuevo tipo de número bombelli

asume que los dos términos en la

solución de carda no pueden

representarse como una combinación de un

número ordinario y este nuevo tipo de

números que incluye la raíz cuadrada de

uno negativo de esta forma bombelli se

da cuenta de que las dos raíces cúbicas

de la ecuación de carga no son

equivalentes a 2 + menos la raíz

cuadrada de 1 negativo cuando llega el

último paso y la suma las raíces

cuadradas se cancelan revelando la

solución 4 esto parece al menos

milagroso el método de cardan o si

funciona pero tienes que abandonar la

prueba geométrica que la generó en

primer lugar las áreas negativas que no

tienen sentido en la realidad deben

existir como paso intermedio en el

camino a la solución durante los

siguientes 100 años

moderna toma su forma en el siglo 17

françois diet introdujo la notación

simbólica moderna del álgebra acabando

con la tradición milenaria de los

problemas matemáticos hechos con dibujos

o largas descripciones la geometría no

es la fuente de la verdad rené descartes

uso asiduamente las raíces cuadradas de

negativos y así las popularizó y

mientras que reconoció su utilidad las

llamo números imaginarios un nombre que

se mantuvo por eso hoy leer luego

introdujo la letra i para representar la

raíz cuadrada de menos 1 al combinarla

con los números regulares forma los

números complejos la cúbica llevó a la

invención de estos nuevos números y

liberó al álgebra de la geometría al

soltar lo que parecía la mejor

descripción de la realidad la geometría

que podemos ver y tocar obtienes unas

matemáticas más completas y poderosas

que pueden solucionar problemas reales y

resulta que la cúbica es tan sólo el

comienzo

en 1925 rodinger estaba buscando una

ecuación de onda que gobernar el

comportamiento de las partículas

cuánticas a partir del pensamiento de de

brooklyn

la materia se compone de ondas se le

ocurre una de las ecuaciones más

importantes y famosas de la física la

ecuación de schrödinger y en ella

aparecen notoriamente la y la raíz

cuadrada de menos 1 mientras que los

matemáticos se han acostumbrado a los

números imaginarios los físicos no y les

incomoda verlos aparecer en una teoría

tan fundamental rodinger mismo escribió

lo incomodó aquí y de hecho algo que

debe ser objetado es el uso de números

complejos la función de ondas y es

fundamentalmente una función real esto

parece una objeción justa porque

entonces un número imaginario que

apareció en la solución de la cúbica

aparece en la física fundamental

bueno es por las propiedades únicas de

los números imaginarios los números

imaginarios existen en una dimensión

perpendicular a la línea de los números

reales

combinadas forman el plano complejo mira

lo que pasa cuando repetidamente

multiplicamos por y comenzando con 11

por y es

y por iu es uno negativo por definición

uno negativo por y es negativo e y

negativo por y es uno volvimos a donde

comenzamos y si seguimos multiplicando

por el punto seguirá rotando cuando

estás multiplicando por lo que en verdad

estás haciendo es rotar 90 grados en el

plano complejo hay una función que

repetidamente multiplica por y a lo

largo del eje x y es elevado ahí x crea

una espiral al esparcir estas rotaciones

a lo largo del eje x si miras la parte

real de la espiral es una onda co

senoidal y si miras la parte imaginaria

es una onda senoidal las dos funciones

básicas para describir ondas están

contenidas en ^ y x cuando el rodinger

procede escribir una ecuación de onda

asume naturalmente que las soluciones se

verían parecidas ha elevado ahí x

específicamente ^ y por cada x menos

omega t quizás te preguntes por qué uso

esa fórmula y no simple onda senoidal

pero el exponencial tiene propiedades

útiles si ves la derivada con respecto a

la posición o el tiempo esa derivada es

proporcional a la función original y eso

no es cierto si usas la función del seno

cuya derivada es el coseno además como

la ecuación de schrödinger es lineal

puedes sumar un número arbitrario de

soluciones de esta forma creando

cualquier forma de onda que quieras y

ésta también será una solución a la

ecuación del rodinger el físico freeman

dyson escribió luego rodinger puso la

raíz cuadrada de menos 1 en la ecuación

y de pronto tenía sentido de pronto se

convirtió en una ecuación de onda en

lugar de una ecuación de conducción de

calor y sol ding era yo felizmente que

la ecuación tiene soluciones que

corresponden a órbitas quant izadas en

el modelo de átomo de boro resulta que

la ecuación de schrödinger describe

correctamente todo lo que sabemos del

comportamiento de los átomos es la base

de toda la química y mucho de la física

y es la raíz cuadrada de menos 1 implica

que la naturaleza trabaja con complejos

y no con los reales este descubrimiento

fue una total sorpresa para schrödinger

y para todo el mundo

los números imaginarios que fueron

descubiertos como un extraño paso

intermedio en el camino a resolver la

cubica acabaron siendo fundamentales

para nuestra descripción de la realidad

solo resignando la conexión de las

matemáticas con la realidad pudieron

guiarnos a una verdad profunda acerca de

cómo funciona el universo

mm ag

[Música]