Sistemas y Señales I - 4. Fasores

INENCO - LEB

4 May 202013:25

Summary

TLDREl script de video proporciona una explicación detallada sobre los factores en señales y sistemas. Se discute cómo los factores son utilizados para simplificar cálculos en el análisis de funciones senoidales. Se menciona la convención de representación de números complejos en forma polar y exponencial, y cómo estos están relacionados con las funciones senoidales. Se destaca la ventaja de utilizar factores en lugar de funciones trigonométricas para operaciones algebraicas, ya que simplifica significativamente los cálculos. Se ofrecen ejemplos prácticos para ilustrar cómo transformar funciones senoidales en factores y realizar operaciones como suma, resta, multiplicación y división. Además, se aborda el proceso de pasar del dominio temporal al dominio de las frecuencias y viceversa. El video finaliza con una invitación a los espectadores a consultar la bibliografía y aclarar dudas si las tuvieran.

Takeaways

📚 La bibliografía recomendada para estudiar factores complejos es Hyde, ya que utiliza la convención de los coseños que se aplicará en la asignatura.
🔍 Es importante tener en cuenta las convenciones de representación de números complejos en diferentes formatos: cartesiano, polar y polar exponencial.
🌀 Los ángulos en los factores complejos son variables y dependen del tiempo, a diferencia de los ángulos fijos en los números complejos.
⚙️ Los factores complejos son útiles para simplificar cálculos en el dominio de las frecuencias, permitiendo operaciones algebraicas más sencillas.
📈 La representación de una función senoidal a través de un factor complejo involucra tomar la parte real del factor, que es análogo a la función de onda.
🧮 Al realizar cálculos en el dominio de las frecuencias, es fundamental asegurarse de que todos los factores complejos tengan la misma frecuencia angular.
📉 Para transformar una función del dominio temporal al dominio de las frecuencias, se utiliza un factor complejo que captura la amplitud y el desfasaje inicial.
🔄 Un factor complejo se representa como un vector en el plano complejo que gire con una velocidad angular constante, formando una proyección senoidal en el eje horizontal.
📐 La transformación de funciones trigonométricas a factores complejos permite simplificar cálculos, como la suma, resta, multiplicación y división de funciones senoidales.
🛠️ La ventaja de utilizar factores complejos radica en la simplificación de cálculos en el dominio de las frecuencias, evitando el uso directo de funciones trigonométricas.
🔙 Al final de los cálculos en el dominio de las frecuencias, es posible revertir a una función en el dominio temporal a través de la transformación de factores complejos en funciones senoidales.

Q & A

¿Qué convención se recomienda utilizar para definir los factores en la asignatura?
-Se recomienda utilizar la convención que define los factores con cosenos.
¿Cuál es la diferencia entre la representación cartesiana y polar de un número complejo?
-La representación cartesiana proporciona la parte real e imaginaria de un número complejo, mientras que la polar ofrece el módulo y el ángulo del número complejo.
¿Cómo se relaciona la función seno con la función coseno en términos de ángulos?
-El seno de un ángulo es igual al coseno del ángulo menos 90 grados.
¿Qué es un factor y cómo se diferencia de un número complejo?
-Un factor es una representación de un número con módulo y ángulo variable, mientras que un número complejo tiene un ángulo fijo.
¿Cómo se puede simplificar la anotación de un factor que varía con el tiempo?
-Se puede representar el factor en el momento inicial, conservando el valor de omega y utilizando la representación polar o polar exponencial.
¿Qué ventaja tiene utilizar factores en lugar de funciones senoidales al realizar operaciones aritméticas?
-Los cálculos se simplifican significativamente, ya que es más fácil sumar, restar, multiplicar y dividir factores que tienen la misma frecuencia angular.
¿Cómo se realiza el paso del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia en un circuito?
-Se utiliza un artefacto matemático para transformar una función que depende del tiempo en un factor, el cual luego se puede manipular en el dominio de las frecuencias.
¿Por qué es importante verificar que los factores tengan la misma frecuencia angular al realizar operaciones algebraicas?
-Es necesario para que se puedan sumar, restar, multiplicar y dividir los factores de manera correcta. Si los factores tuvieran frecuencias distintas, no se podría realizar la operación algebraica.
¿Cómo se transforma una función de tiempo en un factor si la función contiene una señal senoidal?
-Se enfoca en el módulo y en el desfasaje inicial de la función senoidal, y se utiliza esta información para crear un factor con amplitud y desfasaje correspondientes.
¿Cómo se calcula el cociente de dos funciones senoidales si se quiere simplificar el proceso sin utilizar funciones trigonométricas?
-Se transforma el numerador y el denominador en factores con módulos y ángulos correspondientes y luego se dividen estos factores, asegurándose de que tengan la misma frecuencia angular.
¿Cómo se vuelve a transformar un factor en una función de tiempo para obtener una solución?
-Se utiliza la representación del factor en forma de coseno, seno o cualquier otra función senoidal equivalente, proporcionando la amplitud, la frecuencia y el desfase inicial del factor.

Outlines

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📚 Introducción a los Factores y Representación de Números Complejos

El primer párrafo introduce el tema de los factores en sistemas y señales, destacando la importancia de la bibliografía. Se recomienda seguir la convención de Hyde para definir los factores utilizando coseños. Se discute la representación de números complejos en diferentes formas: cartesiana, polar y polar exponencial. Además, se relaciona el tema con las funciones senoidales y cómo la sustitución de 'tita' por 'omega t' y la multiplicación por el módulo transforman la función en una forma que se asemeja a la que se ha estado utilizando en las clases anteriores.

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🔁 Representación de Seno y Coseno en el Plano Complejo

Este párrafo profundiza en la representación de funciones senoidales en el plano complejo. Se describe cómo el ángulo 'tita' es constante en la representación polar, mientras que 'omega t' varía con el tiempo. Esto lleva a la definición de un factor, que tiene una parte real y una parte imaginaria, y cómo esta parte real es similar a las funciones senoidales que se han estado estudiando. Se ilustra cómo se puede obtener una función senoidal a partir de la parte real de un factor complejo con un ángulo variable.

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🔄 Factores como Vectores en el Plano Complejo y Operaciones en el Dominio de las Frecuencias

El tercer párrafo explica cómo los factores, representados como vectores en el plano complejo, giran constantemente con una frecuencia angular. Se simplifica la anotación de estos vectores al representarlos en el instante inicial. Se discute cómo trabajar con factores en el dominio de las frecuencias simplifica significativamente el cálculo de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones en comparación con las funciones senoidales tradicionales. Se proporciona un ejemplo de cómo transformar una función senoidal dada en el dominio de la frecuencia en un factor, y cómo realizar operaciones algebraicas con factores una vez que se conocen la amplitud y el desfase inicial. Finalmente, se resalta la ventaja de utilizar factores en lugar de funciones trigonométricas para simplificar cálculos en el dominio de las frecuencias.

Mindmap

Keywords

💡Sistemas y señales

Los sistemas y señales son el núcleo del tema del video. Se refiere a la forma en que los sistemas procesan y responden a señales, que son variaciones de alguna cantidad con el tiempo. En el video, se discute cómo los factores complejos se relacionan con las funciones senoidales en sistemas de señal.

💡Factores complejos

Los factores complejos son una representación de señales senoidales en el dominio de las frecuencias. Se definen por un módulo y un ángulo, donde el ángulo varía con el tiempo. En el video, se explica cómo estos factores simplifican cálculos en el análisis de sistemas.

💡Convenciones de representación

Las convenciones de representación son los métodos utilizados para describir números complejos. En el video, se mencionan la convención del seno y la del coseno, y se recomienda seguir la convención del coseno para definir factores complejos.

💡Plano complejo

El plano complejo es un diagrama que representa la magnitud y la fase de un número complejo en dos dimensiones. Es fundamental para entender cómo se grafican y manipulan los factores complejos en sistemas y señales.

💡Representación polar

La representación polar es una forma de describir un número complejo en términos de su módulo y su ángulo. Es una representación alternativa al sistema de coordenadas cartesiano y se utiliza en el video para describir factores complejos.

💡Ecuación de Euler

La ecuación de Euler es una relación fundamental en matemáticas que vincula los números complejos con las funciones trigonométricas. En el video, se utiliza para conectar las partes reales e imaginarias de los factores complejos con las funciones senoidales.

💡Dominio del tiempo y dominio de la frecuencia

El dominio del tiempo se refiere a funciones que varían con el tiempo, mientras que el dominio de la frecuencia se refiere a funciones que varían con la frecuencia angular. En el video, se discute cómo transformar señales del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia utilizando factores complejos.

💡Trigonometría

La trigonometría es el estudio de relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos rectángulos. En el contexto del video, las funciones trigonométricas como el coseno y el seno son fundamentales para describir y manipular señales senoidales.

💡Desfasaje

El desfasaje, o fase inicial, es la diferencia entre la fase de una señal y una referencia. En el video, se destaca la importancia del desfasaje al definir y manipular factores complejos en señales senoidales.

💡Algebra lineal

La álgebra lineal es un área de las matemáticas que estudia sistemas de ecuaciones lineales. En el video, se menciona su utilidad para simplificar cálculos en el dominio de las frecuencias al manipular factores complejos.

💡Transformación de señales

La transformación de señales es el proceso de pasar de una representación de una señal a otra, generalmente del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia. En el video, se discute cómo realizar esta transformación utilizando factores complejos.

Highlights

El tema de los factores complejos es muy importante en sistemas y señales.

Se recomienda seguir la convención de Hyde para definir los factores con cosenos.

Los factores complejos se representan en forma cartesiana, polar y polar exponencial.

La relación de Euler se utiliza para definir la forma exponencial de un número complejo.

Los factores complejos están relacionados con las funciones senoidales trabajadas en clases anteriores.

Los factores complejos tienen una parte real y una parte imaginaria, similar a las funciones senoidales.

Los ángulos en los factores complejos son variables y dependen del tiempo.

Los factores complejos son como vectores en el plano complejo que giran con el tiempo.

La proyección del vector en el eje horizontal forma la función senoidal.

Para simplificar, se representa al vector en el momento inicial cuando el ángulo es cero.

El factor complejo se utiliza en lugar de números complejos para simplificar cálculos en el dominio de la frecuencia.

El factor complejo se representa en forma polar con amplitud y ángulo de desfasaje inicial.

La ventaja de los factores complejos es que simplifican la suma, resta, multiplicación y división de funciones senoidales.

El cambio de dominio desde el temporal al de las frecuencias se hace a través de factores complejos.

Se puede trabajar con factores complejos utilizando álgebra para resolver operaciones en el dominio de las frecuencias.

Es importante verificar que todos los factores complejos tengan la misma frecuencia angular para operar algebraicamente.

Se pueden transformar funciones senoidales en factores complejos para simplificar cálculos y luego volver al dominio del tiempo.

Se proporciona un ejemplo de cómo transformar una función senoidal en un factor complejo y luego realizar operaciones algebraicas.

Se muestra cómo calcular el cociente de dos funciones senoidales utilizando factores complejos y luego transformar el resultado de vuelta al dominio del tiempo.