B2.09 Paralelismo y perpendicularidad a partir de dos puntos. Explicación y ejemplos
Summary
TLDREn este video se explican las condiciones para que dos rectas sean paralelas o perpendiculares a partir de sus pendientes. Las rectas paralelas tienen pendientes iguales, lo que implica que nunca se cruzan. Por otro lado, las rectas perpendiculares se intersectan formando un ángulo de 90 grados y al multiplicar sus pendientes el resultado debe ser -1. A través de ejemplos con coordenadas y gráficos, se demuestra cómo calcular las pendientes para verificar si las rectas cumplen con estas condiciones de paralelismo o perpendicularidad, y se recomienda graficar para confirmar los resultados.
Takeaways
- 📐 Las rectas paralelas nunca se cortan y tienen la misma pendiente.
- ⚖️ Para comprobar si dos rectas son paralelas, las pendientes deben ser iguales.
- 🔢 Las pendientes se calculan usando la fórmula: (y2 - y1) / (x2 - x1).
- 📏 Si las pendientes de dos rectas son iguales, entonces son paralelas.
- 🛑 Las rectas perpendiculares se cortan formando un ángulo de 90 grados.
- ➗ Para que dos rectas sean perpendiculares, el producto de sus pendientes debe ser igual a -1.
- 📝 En un ejemplo, se comprobó que dos rectas con pendientes iguales son paralelas.
- 📊 El gráfico de las rectas paralelas muestra que nunca se tocan.
- 🖊️ Otro ejemplo mostró que multiplicando las pendientes de dos rectas se obtiene -1, lo que indica que son perpendiculares.
- 📉 Graficar las rectas es útil para verificar visualmente si son paralelas o perpendiculares.
Q & A
¿Qué significa que dos líneas sean paralelas?
-Dos líneas son paralelas cuando nunca se cortan, es decir, tienen la misma pendiente, lo que implica que tienen la misma inclinación.
¿Qué es una recta perpendicular?
-Una recta perpendicular es aquella que se cruza con otra formando un ángulo de 90 grados. La condición para que dos rectas sean perpendiculares es que el producto de sus pendientes sea igual a -1.
¿Cómo se puede comprobar si dos líneas son paralelas utilizando sus pendientes?
-Para comprobar si dos líneas son paralelas, sus pendientes deben ser iguales. Si las pendientes de ambas líneas son idénticas, entonces las líneas son paralelas.
¿Cuál es la fórmula para calcular la pendiente de una línea recta?
-La fórmula para calcular la pendiente de una recta es: (y2 - y1) / (x2 - x1), donde (x1, y1) y (x2, y2) son dos puntos por los que pasa la recta.
¿Qué pasa si el producto de las pendientes de dos rectas da menos uno?
-Si el producto de las pendientes de dos rectas es igual a -1, significa que las rectas son perpendiculares y forman un ángulo de 90 grados.
En el ejemplo de las rectas l1 y l2, ¿qué se concluyó sobre su paralelismo?
-En el ejemplo, se concluyó que las rectas l1 y l2 son paralelas porque sus pendientes son iguales, ambas con valor de 2.
¿Cómo se puede verificar geométricamente si dos rectas son paralelas o perpendiculares?
-Se puede verificar geométricamente dibujando las rectas en un gráfico y observando si nunca se cruzan (paralelas) o si se cruzan formando un ángulo de 90 grados (perpendiculares).
¿Qué valores de coordenadas se usaron en el ejemplo para calcular la pendiente de las rectas paralelas?
-En el ejemplo, se usaron las coordenadas (2, 3) y (3, 5) para la recta l1, y (-2, -1) y (4, 11) para la recta l2.
¿Cuál es la diferencia principal entre la condición de paralelismo y perpendicularidad en términos de pendientes?
-La condición de paralelismo exige que las pendientes sean iguales, mientras que la condición de perpendicularidad exige que el producto de las pendientes sea -1.
¿Qué se concluyó sobre las rectas en el segundo ejemplo que se mostraba en el video?
-En el segundo ejemplo, se concluyó que las rectas son perpendiculares porque el producto de sus pendientes es igual a -1, lo que se verificó tanto analíticamente como gráficamente.
Outlines
📐 Conceptos de paralelismo y perpendicularidad
Este párrafo introduce el tema de las líneas paralelas y perpendiculares. Explica que las rectas paralelas nunca se tocan y tienen la misma pendiente, mientras que las perpendiculares se cruzan en un ángulo de 90 grados. La condición para que las rectas sean paralelas es que sus pendientes sean iguales, mientras que para que sean perpendiculares, el producto de sus pendientes debe ser -1.
📝 Ejemplo de líneas paralelas
Aquí se presenta un ejemplo para comprobar si dos rectas son paralelas. Se proporcionan las coordenadas de las rectas y se calcula la pendiente de ambas utilizando la fórmula de la pendiente. Las pendientes resultan ser iguales, lo que confirma que las rectas son paralelas. Luego, se realiza un gráfico para visualizar que las rectas efectivamente nunca se tocan.
🔄 Verificación gráfica de paralelismo
Se refuerza la idea de que las rectas paralelas tienen la misma pendiente y no se cruzan. El gráfico muestra visualmente que las rectas son paralelas, coincidiendo con los cálculos analíticos. Se concluye que las pendientes idénticas son suficientes para determinar el paralelismo.
📏 Ejemplo de líneas perpendiculares
Este ejemplo se centra en comprobar si dos rectas son perpendiculares. Se calcula la pendiente de cada recta utilizando las coordenadas proporcionadas, y el producto de ambas pendientes es -1, lo que confirma que las rectas forman un ángulo de 90 grados. Al final, se hace un gráfico que muestra que las rectas se cruzan en un ángulo recto.
🔍 Confirmación gráfica de perpendicularidad
Después de calcular las pendientes y confirmar que el producto es -1, el gráfico muestra que las rectas se intersectan en un ángulo de 90 grados, confirmando su perpendicularidad tanto en la parte analítica como en la representación visual. Este ejercicio refuerza la importancia de utilizar tanto el análisis algebraico como el gráfico.
📊 Recomendaciones finales
Se concluye explicando que la verificación del paralelismo o perpendicularidad es sencilla siempre y cuando se calculen las pendientes correctamente. Se recomienda graficar las rectas para que los resultados analíticos coincidan con los gráficos. El tema es simple, pero ofrece mucha información útil al combinar el análisis matemático con la visualización.
Mindmap
Keywords
💡Pendiente
💡Rectas paralelas
💡Rectas perpendiculares
💡Fórmula de la pendiente
💡Coordenadas
💡Producto de pendientes
💡Inclinación
💡Gráfico
💡Condición de paralelismo
💡Condición de perpendicularidad
Highlights
Las rectas paralelas nunca se cortan, y tienen pendientes iguales.
Rectas perpendiculares se cortan en un ángulo de 90 grados, y sus pendientes multiplicadas dan como resultado -1.
Para determinar si dos rectas son paralelas, se deben comparar sus pendientes, que deben ser iguales.
La fórmula para calcular la pendiente es el cambio en Y dividido entre el cambio en X: (Y2 - Y1) / (X2 - X1).
Un ejemplo muestra que las rectas que pasan por los puntos (2, 3) y (3, 5), y las que pasan por los puntos (-2, -1) y (4, 11) son paralelas, ya que ambas tienen una pendiente de 2.
El análisis gráfico refuerza que las rectas paralelas tienen la misma inclinación y nunca se tocan.
Para rectas perpendiculares, se deben calcular las pendientes y verificar que su producto sea -1.
Ejemplo de rectas perpendiculares: las que pasan por los puntos (5, 13) y (-1, 1), y las que pasan por los puntos (-2, 4) y (2, 2), ya que sus pendientes al multiplicarse dan -1.
El análisis gráfico de rectas perpendiculares muestra que forman un ángulo de 90 grados.
La pendiente de la recta que pasa por los puntos (5, 13) y (-1, 1) es 2.
La pendiente de la recta que pasa por los puntos (-2, 4) y (2, 2) es -1/2.
Multiplicar las pendientes 2 y -1/2 resulta en -1, lo que confirma que las rectas son perpendiculares.
Es útil graficar las coordenadas para confirmar visualmente si las rectas son paralelas o perpendiculares.
Para rectas paralelas, se debe cumplir que las pendientes sean exactamente iguales.
Para rectas perpendiculares, el producto de las pendientes debe ser -1.
Transcripts
en este vídeo vamos a hablar de la
condición de paralelismo y
perpendicularidad de líneas rectas a
partir de sus coordenadas vamos a tener
las coordenadas y vamos a ver si son
paralelas o son perpendiculares
para empezar vamos a entender que rectas
para la nación aquellas rectas que nunca
se cortan si tenemos una recta n 1 y una
recta l 2 y nunca se tocan quiere decir
que son paralelas si vieron los videos
donde hablamos ya de la pendiente de la
inclinación nos daríamos cuenta que una
característica que tiene una condición
que tienen las rectas paralelas desde
que sus pendientes no importa cuál sea
vamos a llamarle 1 la pendiente de la
recta de 1 tiene que ser igual a la
pendiente menos una recta líberos
si son iguales sus pendientes quiere
decir que son iguales sus inclinaciones
por lo tanto nunca se van a tocar esas
rectas esas son rectas paralelas y
rectas perpendiculares son aquellas
rectas
1
ya está dos son aquellas que si se tocan
en un punto y forman un ángulo de 90
grados está esta condición hace que sean
perpendiculares y las pendientes la
pendiente de m 1 multiplicada por la
pendiente de m2 nos tienen que dar igual
a menos tú lo estás son las condiciones
con las que vamos a trabajar
para ver si rectas son paralelas
perpendicular veamos esto con un ejemplo
ok tenemos este ejercicio que nos pide
comprobar que las rectas l 1 que pasan
por los puntos 2 3 y 3,5 y la venta de 2
que pasan por los puntos menos 2 - 1 y 4
11 son paralelas entonces la condición
que vamos a utilizar para este ejemplo
es recordar que son paralelas y tienen
que cumplir que la pendiente de la
primera recta tiene que ser igual a la
pendiente de la segunda recta vamos a
comprobarlo anoten si quieren las
coordenadas de las rectas l 1 y las
coordenadas de la red tele 2
yo voy a ahorrar esto y vamos a trabajar
por los datos porque ya tenemos aquí
nuestros nuestros datos tenían una red
de l 1 que pasa por estos puntos y la
recta r 2 que pasa por estos puntos que
vamos a hacer bueno vamos a calcular las
pendientes de cada una de las niñas de
las niñas rectas y vamos a ver si
coinciden que son iguales para ver si
son paralelas entonces
la pendiente m 1
la pendiente me uno va a ser de la recta
de la recta y entonces está pendiente
hay que acordarnos de la fórmula lo
tenemos en el vídeo que precede a este y
nos decía que es de 2 - lleva uno sea
como cambiar entre x 2 - x como cambiar
entonces para esto vamos a lograr de
aquí x 1
empiezo
entonces si sustituimos 2 los valores de
dos son 5 menos de 13 entre 3 x 2 - 2
en eso
52 y a321 por lo tanto aquí en la recta
es
voy a ponerle clarito que aquí la
pendiente nos da el valor de 2
m2 va a ser igual voy a llamarle ahora
aquí x1 y 1
x2 hielos entonces va a ser de 2 que son
11 menos de 1 que es menos 1 / x 24 - x
1 que es menos 2 recordar que aquí
miedos por menos de más entonces van a
ser once más uno entre cuatro y menos
con menos paras
esto nos da igual a 12 sobre
por lo tanto la pendiente de todos a
nuestra recta 2 es igual a 2 observamos
que la pendiente debe 1 es igual a la
pendiente m2 por lo tanto estas rectas
son
vamos a hacer el gráfico para que vean
que la parte analítica coincide con la
parte geométrica porque tenemos aquí el
gráfico la recta de 1 nos habían dado
estas coordenadas 23 y 35 tenemos que
encuestas 23 y 35 son estos puntos de
aquí prolonga la recta si estos puntos
pasan por esta línea recta para que se
vea el paralelismo la recta r 2 con
estas coordenadas degustan que están la
coordenada menos dos como menos una la
coordenada 4,2 si sacamos las pendientes
en ambos casos nos dan dos aquí ya
podríamos nosotros decir asegurar que
son rectas paralelas sin embargo tenemos
el gráfico y nos damos cuenta que es
verdad una figura o las rectas ya en el
gráfico nos muestran que son rectas que
nunca se van a tocar tienen la misma
pendiente por lo tanto son paralelas
este segundo ejemplo os quieren
comprobar que las rectas l1 que tienen
coordenadas 5 13 menos 1 1 y el 2 con
coordenadas en los 2 422 son
perpendiculares entonces lo que vamos a
tener que hacer ahora es recordar la
condición de perpendicularidad es muy
fácil vamos a sacarlas las pendientes y
al multiplicar la pendiente 1 con la
pendiente 2
esto nos tienen que dar igual a menos 1
entonces ahora vamos a trabajar con la
condición de perpendicularidad ok
tenemos nuestros nuestros datos nuestras
coordenadas lo que vamos a hacer va a
ser sacar la pendiente
vamos a llevar m 1 dependiente de la
recta de 1 y esto va a ser igual aquí
dos años lleva 1 / x2 - x vamos a
nombrarle aquí x 1 1 2
los sustituimos los saltos que dos es
uno vamos a restar que 11 es 13
entre x2 que es menos uno menos x 1 que
es simple por lo tanto aquí uno menos 3
se nos da menos 12 entre menos uno menos
cinco menos seis primeros entre menos
nos da más 12 en 332 entonces ya tenemos
vamos a probar que la pendiente de la
recta 1 realmente uno es igual
vamos a hacer lo mismo con la pendiente
2 de nuestra recta l 2
y a todos menos a uno entre x 2 - x 1 x
1 1
en estos tíos un poco aquí puede ser que
eso no llevo 1 y x2 cielos nos daría el
mismo resultado pero bueno vamos a
sustituir de 22 menos que uno que es
cuatro
/ x 2 2 - x 1 que es menos 2 y esto va a
ser igual a 2 - 4 - 2 / menos por menos
más y dos más dos son cuatro
esto es igual a menos para mitad de 21
la mitad de 42 simplificamos esa canción
que nos daban insumir por lo tanto
nuestra pendiente m2 va a ser igual a
menos 1
ya tenemos aquí nuestra y la condición
del perpendicular nos decía que si
multiplicamos m1 por m2 nos tiene que
dar la condición de perpendicularidad
vamos a ver
los datos son rectas perpendiculares
tenemos clara la recta la pendiente de
la recta 1 que es 2
lo multiplicamos por la pendiente m2
y hasta que es igual más x menos menos
dos por un medio serían dos medios y
esto es igual a menos uno por lo tanto
se cumple que son rectas perpendiculares
vamos a hacer el gráfico para ver si
concuerda la parte analítica con la
parte geométrica
tenemos nuestro gráfico tenemos nuestra
recta l2 aquí está nuestra recta en los
que el punto se ve que están sus
coordenadas pero también la línea recta
para que sea más más visual teníamos
nuestra recta que l 1 que es los puntos
a y b es esta línea recta y vemos que
forman un ángulo de 90 grados aquí
tenemos un ángulo de 90 grados
por lo tanto si es perpendicular también
aquí en el gráfico ya lo habíamos hecho
con sacando las pendientes multiplicando
las y nos dio menos 1 y con esto
decíamos que si son rectas
perpendiculares entonces en realidad es
muy fácil en la condición de paralelismo
y perpendicular dadas las coordenadas
solamente hay que calcular las
pendientes y recordar para rectas
paralelas las pendientes tienen que ser
iguales y para vetas perpendiculares
como en este caso al multiplicar las nos
tienen que dar menos 1 si se cumple esto
sí o sí
va a ser en este caso perpendicular y lo
pueden ustedes gráfica es una
recomendación siempre gráfica en las
coordenadas y se darán cuenta si son
paralelas y perpendiculares para que lo
algebraico lo analítico coincidan con
los gráficos espero que les haya servido
desde este tema es un tema muy fácil
pero si se fijan nos da mucha
información al hacerlo analítico color
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