Modelacion Matemática - Introducción al Mundo de la Modelación
Summary
TLDREste vídeo introductorio aborda la modelación matemática, explicando qué es un modelo matemático y cómo se desarrolla. Se enfatiza que el proceso no es lineal y que los modelos mentales son esenciales para interpretar y solucionar problemas. Se discuten ejemplos de modelos como el de Malthus para el crecimiento poblacional y uno de optimización para la venta de frutas. El vídeo también destaca la importancia de la evaluación y la implementación de modelos y cómo estos pueden ayudar a mejorar los modelos mentales y tomar decisiones informadas.
Takeaways
- 🌐 El proceso de modelación matemática no es lineal y puede variar dependiendo de la percepción individual del mundo.
- 🧠 Los modelos mentales juegan un papel crucial en la generación de estrategias para resolver problemas y tomar decisiones.
- 🏗️ La calidad de los modelos mentales depende de la calidad de la información utilizada para construirlos.
- ⚖️ Se hace un esfuerzo consciente para simplificar los modelos matemáticos al excluir variables irrelevantes y reducir la complejidad.
- 🔍 Es fundamental diferenciar entre variables exógenas y endógenas al formular un modelo matemático.
- 📊 Los modelos matemáticos son útiles para representar sistemas, analizar fenómenos y predecir comportamientos bajo diferentes escenarios.
- 📉 Un ejemplo clásico de modelo matemático es la fórmula del área de un triángulo, que se aprende temprano y es ampliamente reconocida.
- 📈 Los modelos lineales, como la recta de mejor ajuste, son una herramienta común para aproximar relaciones entre variables.
- 🌱 El modelo de crecimiento poblacional de Malthus es un ejemplo de modelo que ilustra cómo los modelos pueden predecir comportamientos a lo largo del tiempo.
- 🔎 La evaluación de modelos es crucial para garantizar que sean robustos y aplicables en el mundo real, más allá de condiciones extremas.
Q & A
¿Qué es la modelación matemática?
-La modelación matemática es el proceso de crear un modelo que representa un sistema o problema de una manera que pueda ser analizada matemáticamente.
¿Cuál es la importancia de la modelación matemática en la toma de decisiones?
-La modelación matemática ayuda a tomar decisiones informadas al proporcionar una representación idealizada de objetos, personas, conceptos, etc., lo que permite prever resultados y estrategias antes de implementar acciones en el mundo real.
¿Por qué el proceso de modelación no es lineal?
-El proceso de modelación no es lineal porque implica un ir y venir entre diversas actividades o etapas, y a menudo requiere reiterar pasos o cambiar de enfoque dependiendo de los resultados obtenidos y la información nueva.
¿Qué es un modelo mental y cómo se relaciona con la modelación matemática?
-Un modelo mental es una representación idealizada de una situación en la mente, y es la base desde la cual se desarrollan modelos matemáticos. Estos modelos mentales ayudan a interpretar y entender mejor el mundo real y a generar estrategias para solucionar problemas.
¿Qué es un modelo matemático y cómo difiere de un modelo mental?
-Un modelo matemático es una representación formal y estructurada de un sistema o problema usando notación matemática, mientras que un modelo mental es una representación conceptual y subjetiva en la mente de una persona.
¿Cuál es la función de un modelo matemático en el estudio de ecuaciones diferenciales ordinarias?
-En el estudio de ecuaciones diferenciales ordinarias, un modelo matemático permite describir y predecir la evolución de una cantidad con respecto al tiempo o a otras variables, como se ve en el modelo de crecimiento poblacional de Malthus.
¿Cómo se utiliza la dimensión lineal en la modelación matemática?
-La dimensión lineal se utiliza en la modelación matemática para aproximar la relación entre dos variables usando una recta, lo que permite hacer predicciones basadas en la tendencia lineal observada.
¿Qué es un modelo de optimización y cómo se aplica en contextos prácticos?
-Un modelo de optimización es un tipo de modelo matemático diseñado para encontrar la mejor solución en términos de costos o beneficios bajo ciertas restricciones. Se aplica en contextos prácticos como la toma de decisiones empresariales, la planificación de recursos y la asignación de tareas.
¿Cómo se evalúa la validez de un modelo matemático?
-La validez de un modelo matemático se evalúa verificando si reproduce adecuadamente el comportamiento del problema estudiado, si es robusto bajo condiciones extremas y si las soluciones obtenidas son aplicables y útiles en el mundo real.
¿Cuáles son los métodos para resolver modelos matemáticos?
-Los métodos para resolver modelos matemáticos incluyen el análisis analítico, los métodos numéricos y el enfoque cualitativo, cada uno con aplicaciones específicas dependiendo de la naturaleza y la complejidad del modelo.
¿Cómo se relaciona la implementación de un modelo matemático con la generación de nuevos retos?
-La implementación de un modelo matemático en el mundo real puede revelar nuevas dinámicas o problemas no considerados previamente, lo que genera nuevos retos y puede requerir la actualización o creación de nuevos modelos para abordar estas situaciones.
Outlines
📐 Introducción a la Modelación Matemática
Este primer párrafo presenta la modelación matemática como un tour temático que abarcará una visión general del proceso de modelado, sin centrarse en áreas específicas de las matemáticas. Se discute la naturaleza no lineal del proceso de modelación y cómo se inicia con la observación del mundo real, que es dinámico y sujeto a interpretaciones individuales. La información obtenida de la realidad sirve como base para construir modelos mentales, que son esquemas idealizados de objetos, personas o conceptos. Estos modelos ayudan a generar estrategias para responder a preguntas y tomar decisiones que transforman el mundo real, generando nuevos retos. Se enfatiza la importancia de no descartar variables relevantes al crear un modelo simplificado y se menciona la relación entre modelos mentales y modelos matemáticos.
🐄 Modelos Simplificados y Aplicaciones Prácticas
El segundo párrafo explora la naturaleza interactiva de la modelación a través de ejemplos simplificados, como la representación de una vaca esférica, y cómo se pueden refinar en iteraciones sucesivas para acercarse a la realidad. Se explica que un modelo matemático es una representación de un sistema en notación matemática, y se menciona el ejemplo clásico de la fórmula para el área de un triángulo. También se discuten otros modelos, como la dimensión lineal para aproximar datos y el modelo de crecimiento poblacional de Malthus, que ilustra la importancia de los modelos en la predicción y la optimización. Se presentan ejemplos de cómo los modelos pueden ser usados para resolver problemas prácticos, como la optimización de una función de ganancias en la venta de frutas, y se destacan las restricciones y la necesidad de soluciones factibles.
🌐 Diversidad de Modelos y Proceso de Modelación
En el tercer párrafo se aborda la gran variedad de técnicas disponibles en la modelación matemática, como ecuaciones ordinarias, estrategias de simulación, diseño de experimentos, etc. Se enfatiza que la modelación tiene como objetivo representar, analizar, predecir y generar conocimiento sobre fenómenos naturales y sociales. Se describe el proceso de modelación como iterativo y retroalimentado, que comienza con la definición de un problema y la identificación del 'cliente' del modelo. Se destaca la importancia de conocer la historia del problema y la necesidad de ser cauteloso con el tiempo futuro al modelar. Se detallan las etapas del proceso de modelación, desde la formulación del modelo hasta la implementación y evaluación de los resultados, y se menciona la importancia de la interpretación y la toma de decisiones basadas en los modelos.
🔄 Ciclo de Modelación y Retos Futuros
El cuarto y último párrafo del script resalta cómo la implementación de los resultados de un modelo puede transformar el entorno y generar nuevos desafíos, lo que lleva a un ciclo continuo de modelación. Se sugiere que el reto es integrar el proceso de modelación en el mundo real, donde los problemas a resolver y la información disponible permiten proponer hipótesis, y los modelos matemáticos ayudan a mejorar los modelos mentales. Se enfatiza la interdependencia entre modelos mentales y modelos matemáticos, y cómo las estrategias y decisiones son fundamentales para la implementación y resolución de problemas. El vídeo concluye invitando a los espectadores a suscribirse al canal, compartir y dar like al vídeo.
Mindmap
Keywords
💡Modelado matemático
💡Modelo matemático
💡Sistema
💡Variables
💡Hipótesis
💡Análisis
💡Ecuaciones diferenciales
💡Optimización
💡Restricciones
💡Implementación
Highlights
Introducción al canal Tutti Martín, enfocado en videos temáticos de matemáticas.
Definición de modelación matemática y su proceso general.
La modelación matemática es un proceso no lineal y iterativo.
Importancia de los modelos mentales en la generación de estrategias para resolver problemas.
Modelos mentales y su relación con el mundo real y la información disponible.
La calidad de los modelos mentales depende de la calidad de la información con la que se construyen.
El proceso de modelación comienza con la observación del mundo real y sus dinámicas.
La simplificación de variables en modelos para reducir complejidad y facilitar soluciones.
La distinción entre el mundo real conocido y el mundo real supuesto en la modelación.
El modelo matemático como una representación idealizada de objetos, personas o conceptos.
Ejemplo de cómo los modelos mentales pueden ayudar en la toma de decisiones, como en la construcción de una casa.
La importancia de la interacción entre el modelo y el problema que se busca resolver.
El chiste de la vaca esférica como metáfora de la simplificación en la modelación.
La fórmula del área de un triángulo como ejemplo de un modelo matemático básico.
La dimensión lineal como técnica de modelación para aproximar datos.
El modelo de crecimiento poblacional de Malthus como ejemplo de ecuaciones diferenciales ordinarias.
La optimización en modelos matemáticos, con el ejemplo de la venta de manzanas y naranjas.
La necesidad de cumplir con restricciones en los modelos de optimización.
La importancia de la claridad en los modelos matemáticos para evitar ambigüedades.
La variedad de técnicas en la modelación matemática, como ecuaciones ordinarias, estrategias de simulación, etc.
Los objetivos de la modelación matemática: representar, analizar, predecir y generar conocimiento.
La identificación del cliente del modelo como un paso crucial en la modelación.
La formulación de un modelo matemático incluye la identificación de variables y condiciones iniciales.
Los tres métodos principales para resolver modelos matemáticos: analítico, numérico y cualitativo.
La evaluación de las soluciones del modelo como un paso previo a su implementación.
La implementación de los resultados del modelo y su influencia en el entorno.
La generación de nuevos retos tras la implementación que pueden requerir una nueva modelación.
La relación entre los modelos matemáticos y los modelos mentales en la toma de decisiones.
Transcripts
[Música]
bienvenidos a tutti martín el canal en
el cual podrás encontrar vídeos de
matemáticas diversas esto será un tour
tipo de tema temático que esperamos te
guste y sin más comenzamos
este vídeo introductorio está dedicado a
la modelación matemática aquí vamos a
platicar que es un modelo matemático y
cuál es el proceso de modelación
matemática clara no nos centraremos en
modelos de áreas específicas de las
matemáticas sino que te brindaremos una
perspectiva general de la modelación
cada día en el mundo que lo rodea nos
plantea diversas preguntas que pueden
ser bastante interesantes por ejemplo
debería comer o no un poco más de
postres de platillos del menú seleccionó
cuál es el centro del país que está al
norte es el norte como se disipó un
virus en el mundo pasar a la demanda de
cierto producto cuál es la mejor ruta de
un punto a otro con estas preguntas
queramos o no cuando se responden se
sigue el proceso que implica la modela 5
se debe advertir que el proceso de
modelación no es lineal o secuencial
es decir no sigue monótonamente una
serie de pasos más bien es un ir y venir
entre diversas actividades o etapas
dicho lo anterior pensemos que el
proceso se detona en el mundo real
conocido el cual puede considerarse
distinto cada instante e interpretado de
forma diferente por cada individuo este
dinamismo del mundo y la forma en que se
percibe que interpreta genera
información que es la materia prima en
el desarrollo de modelos mentales la
calidad de los modelos mentales depende
de la calidad de la información con que
se le construyó la turnos lado del mundo
de las ideas en donde conviven las cosas
universales eternas y que están más allá
del tiempo y el espacio de esta manera
los modelos mentales están más allá del
tiempo y el espacio y representan de
forma idealizada soluciones objetos
personas conceptos etcétera por ejemplo
una casa antes de ser construida y
existir en el mundo real tangible es
concebida como un modelo mental por un
arte
o el conjunto de personas que
intervienen en su diseño los modelos
mentales permiten generar estrategias
para responder o solucionar la pregunta
por él en cuestión al tener en mente a
las características potenciales se
intenta prever los resultados en la
implementación de las opciones que se
tienen y en consecuencia se toman las
decisiones que se consideran pertinentes
para lograr los objetivos planteados
estas decisiones llevan a la acción que
transforman el mundo real para generar
nuevos retos
de esta manera un modelo parte del mundo
real conocido y sobre este se hace una
serie de supuestos y anotaciones que
producen un mundo real supuesto al
asumir como válidas o no circunstancias
del sistema analizado se busca dejar
fuera a aquellas variables que tienen un
efecto tan pequeño en el resultado y se
consideran irrelevantes esto reduce la
complejidad de los modelos y puede hacer
más sencillo tener soluciones a
problemas se debe tener cuidado de no
considerar como irrelevantes variables
que si tienen un efecto de importancia
el mundo real supuesto es notablemente
menor al mundo real conocido y aún así
puede ser muy complejo y complicado
abordar situaciones problemáticas en el
de este mundo real supuesto se extrae
finalmente un modelo que es una
estructura mucho más regular de menor
tamaño y que si bien está lejos de ser
una representación fiel del mundo real
puede llegar a ser suficientemente bueno
para obtener información útil de él en
resumen un modelo matemático intentó
hacer una red
se trata de un sistema y en este momento
quizá conviene recordar que un sistema
es un conjunto de elementos que
interactúan con un objeto determinado
por ejemplo el sistema operativo de una
computadora el sistema de creencias de
una sociedad o el sistema inmunológico
del cuerpo humano aquí se debe aclarar
que a pesar de que un modelo representa
un sistema
la recomendación es modelar problemas
los sistemas los sistemas pueden ser
demasiado complejos y regularmente
cuando se modela es porque se tiene en
mente resolver el problema por tal razón
es mejor idea o dejar pensando en
resolver un problema que en describir un
sistema
eso me recuerda el chiste que dice que
en alguna ocasión un granjero se acercó
a la universidad de su estado o en su
granja tenía baja producción de leche y
la quería incrementar la universidad
reunió un equipo de trabajo y les dio el
encargo de incrementar la producción de
leche de la granja para lo cual proveyó
de una gran cantidad de información
después de un par de semanas el granjero
recibió el informe con los resultados
que empezaban así esta solución es para
el caso de vacas esféricas en el espacio
este chiste ilustrar alguna manera lo
que se ha discutido sobre la modelación
también se puede rescatar la naturaleza
interactiva de la modelación quizá en
una segunda interacción se pueda
considerar una vaca esférica ya en la
tierra y en una tercera aproximación una
vaca compuesta por dos esferas en la
tierra y así sucesivamente hasta llegar
a ser una vaca más parecida a las que se
encuentran en la realidad además
probablemente alguno de los resultados
conseguidos hasta ahora podrían
aplicarse ya con las vacas en granjeros
entonces en particular un modelo
matemático es la descripción o
representación de un sistema en notación
matemática lo que es ampliamente
conocido es la fórmula para obtener el
área de un canguro con base be y altura
h
la fórmula a igual a bh sobre 2 se
aprende desde muy temprana edad y
probablemente sea de los primeros
modelos matemáticos que yo dominamos de
una forma de verificar la validez de
este modelo es dibujar un rectángulo
alrededor del triángulo y notar que el
área que nos incluye una gran una
original forma otro triángulo al primero
es muy claro que el área del rectángulo
completo es lo hace por altura y como
lengua hay dos triángulos iguales se
dice con toda tranquilidad que el área
que se hace con altura sólidos otro
modelo al que se recurre mucho es a la
dimensión lineal la cual consiste en
aproximar una nube de puntos que
utilizando una recta llegó igual a 20
más
esta nube de puntos puede ser por
ejemplo el precio de cierto producto
según el momento en el que se observe la
estatura de una persona en función de la
longitud de su dedo meñique la
competitividad de un país con respecto
al desempeño de sus jóvenes en la prueba
prisa de matemáticas etc
la idea aquí es que si la recta se
ajusta suficientemente bien a los datos
que se conocen se pueden tener la
esperanza de que las estimaciones que se
hagan para el futuro o para
circunstancias en las del resultado no
se conoce serán válidas es decir muy
cercanas a los valores reales
un modelo clásico en el estudio de las
ecuaciones diferenciales ordinarias es
el modelo de crecimiento poblacional de
malthus suponiendo que se tiene un par
de proyectos con camacho creando una
cámara de 7 gazapos a quien te podrán
volver a reproducirse incluyendo los
gazapos que ya han crecido
de este modo la población observar en
cierto tiempo es proporcional al cambio
de la población con respecto al tiempo
es decir no es la misma con la acción se
observa al inicio del proceso que a los
dos meses o seis años el modelo
expresado puede ser tratado de manera
que se consigue en la siguiente ecuación
en el t igual a 0 porque a la cara
donde pese a la población inicial y acá
es un índice de crecimiento si es
positiva implica un crecimiento o si
toma valores negativos se refiere a un
decreciente un fallo en este modelo es
que produce un crecimiento exponencial
lo cual no es sostenible como se
alimentaría una cantidad infinita de
conejos veamos un último ejemplo se
trata de un modelo de optimización
optimizar efe de ese sujeto a que se
pertenece ante un modelo nos pide
optimizar una función 10 además de
proporcionar una solución s pero tomando
en cuenta que la solución es se debe
cumplir ciertas características que le
permitan ser factibles esta función y en
fin regularmente mide costos o
beneficios y cuando se trata de costos
deseamos minimizar en el caso de que me
dan beneficios buscamos más servicios
supongamos entonces que vendemos
manzanas y naranjas y por cada una se
tiene una ganancia de un peso la función
objetivo se expresaría como maximizar
manzanas y las naranjas
a simple vista la solución es sencilla
hay que vender una cantidad infinita de
frutas y obtendremos infinitas ganancias
sin embargo existen restricciones que
acortan las decisiones a tomar por
ejemplo supongamos que cada manzana
cuesta un peso y cada naranja 2 y
disponemos solo de 100 pesos para hacer
las compras
es decir manzanas + 2 x naranjas y menor
o igual a 100 como las naranjas son más
caras y ambas producen la misma utilidad
se antoja vender solo manzanas para
poder comprar una cantidad mayor y tener
más rendimiento y como lamentablemente
existe el compromiso en surtir un pedido
de 15 naranja eso se expresa como
naranja mayor o igual a 15 aunque a
veces nos parecen obvias algunas
circunstancias en matemáticas no se
puede dejar sin aclarar nada que pueda
llevar a dudas por ello es importante
decir que la cantidad de manzanas y
naranjas no puede ser una cantidad
negativa de manera que manzanas naranjas
mayor o igual a cero si se nombra a las
manzanas x1 y a las naranjas x2 el
modelo anterior se puede reescribir de
esta forma más elegante y económica
[Música]
en fin existe una gama enorme de
opciones en la modulación se pueden
utilizar personas sugerencias ordinarias
parciales estrategias de seducción
dinámicas temas diseño de experimentos y
un largo etcétera
en general la modelación matemática se
realiza con la intención de uno
representar es decir dar una fotografía
de la realidad que estamos estudiando
analizar encontrar características de
los fenómenos de la naturaleza actuación
de los interés es predecir anteponerse
diversos escenarios tomar decisiones con
más información 4 generar el
conocimiento es decir conocer el
comportamiento de fenómenos sociales
económicos físicos biológicos etc
como ya se advirtió la modelación y no
es una receta procedimiento fijo es una
actividad interactiva y retroalimentada
en el caso de la modelación matemática
regularmente se parte de la definición
de un problema en este paso es muy
importante identificar quién es el
cliente del modelo que no necesariamente
es la persona que paga por él el cliente
es la persona u objeto que será imputado
por el modelo y puede ser por ejemplo el
ciego de una empresa las máquinas de una
fábrica grupos de trabajo o inclusive
comunidades numerosas es de mucha ayuda
incorporar a los clientes en la
modelación porque colaboran el hallazgo
de las variables importantes y en la
delimitación del horizonte del tiempo
aquí es importante conocer la historia
del problema que se está resolviendo
porque las causas de un problema
normalmente no son inmediatas y por ello
se debe estudiar el pasado lo suficiente
que reducen completo todos los síntomas
pero no más
a futuro también será reportar el tiempo
porque comúnmente es menos incierto
próximo por ello se debe ser cauteloso
con el tiempo futuro modelo al tener
claramente definido el problema y
elaborar una hipótesis por ejemplo sobre
la relación entre variables estudiadas o
las causas de un problema se puede
proponer un modelo matemático en la
formulación de un modelo se deben
identificar las variables su relación si
se trata de variables exógenas y
endógenas es decir que se forman interna
o externamente si existen lazos de
causalidad de estructura y reglas que
siguen también se estiman los parámetros
involucrados y las condiciones iniciales
de las que se parte y de todo esto hay
que revisar qué tan consistente se tiene
de la información esencial del
pensamiento crítico el análisis la
capacidad de síntesis y evaluación del
gen realice el modelo y la capacidad de
autoaprendizaje tener un modelo
matemático no es garantía de obtener
soluciones pero cuando es posible
existen estos tres métodos identificados
para lograr el primero es el analítica
por ejemplo cuando se resuelve la
ecuación de primer grado 3 x + 7 igual
en este ejercicio se estudia la
estructura de la ecuación y se despeja x
para obtener que x vale uno de manera
que tres veces 17 efectivamente es 10
cuando la estructura en matemáticas se
torna más complicada por ejemplo para
actuaciones directamente no lineales se
puede hacer uso de los puntos numéricos
en esencia los métodos numéricos
utilizan aritmética para resolver
problemas completos de matemáticas el
costo que se debe pagar es que se
realice una gran cantidad de operaciones
básicas por lo que cobra mucha
importancia al uso de las herramientas
computacionales y con ello los lenguajes
de programación
finalmente el método cualitativo es un
recurso en el que se aprovecha el
conocimiento o experiencia de los gurús
sobre un tema o simplemente se pregunta
a alguien de forma arbitraria por
ejemplo el pulpo paul era consultado
sobre los resultados de los partidos del
mundial de 2010 así como tener un modelo
no garantiza atender soluciones obtener
soluciones para un modelo no garantizar
resultados válidos en el mundo real las
soluciones deben ser interpretadas y
posteriormente ser sometidas a un
proceso de evaluación realmente en la
modelación matemática se realizan
evaluaciones a cada momento sin embargo
la evaluación cobra aún más relevancia
en
momento previo a proponer políticas o
reglas de decisión
en esta fase es útil hacer comparaciones
con modelos de referencia preguntarse si
el modelo reproduce el comportamiento
del problema estudiado adecuadamente
para el propósito definido si el modelo
es robusto bajo condiciones extremas por
ejemplo el modelo de los conejos falla
cuando el tiempo es demasiado grande
este análisis permite especificar el
escenario para el cual la solución es
aplicable y dar una propuesta de
solución más completa al tomador de
decisiones
cuando se ha construido que es lo
obtenido en el modelo es factible el
siguiente paso es la implementación de
los resultados ciertamente pueden
existir diferencias entre lo estimado y
lo real pero esta brecha generalmente se
reduce entre mayor sea el esfuerzo
invertido en la modelación matemática y
su evaluación el paso de la
implementación transforma el entorno por
lo que eventualmente termina en la
generación de nuevos retos que dan pie a
reiniciar el proceso de la modelación
matemática
finalmente el reto es acoplar a ambos
procesos de modelación en un mundo real
se consiguen los problemas a resolver la
información que se tiene permite
proponer hipótesis por otro lado los
modelos matemáticos ayudan a mejorar los
modelos mentales y los modelos mentales
son indispensables en la interpretación
de las soluciones de los modelos
matemáticos las estrategias ayudan a
medir los resultados y por último para
lograr la implementación se deben tomar
las decisiones necesarias hasta que
llegaremos por hoy esperamos que te haya
gustado el vídeo y te invitamos a
suscribirte al canal compartirlo y darle
like you' ultimate
5.0 / 5 (0 votes)