Tangente und Normale | Mathe by Daniel Jung

Summary

Das Skript behandelt die Berechnung von Tangenten- und Normalenfunktionen an einem Punkt einer Kurve. Es erklärt, wie man die erste Ableitung verwendet, um die Steigung der Tangente zu finden, und wie man den Y-Wert des Punktes durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung erhält. Anschließend wird gezeigt, wie man die Steigung der Normalen als die negative Kehrwert der Tangentensteigung bestimmt und die Normalengleichung aufstellt. Das Skript betont die visuelle Darstellung der beiden Geraden und ihre Beziehung zum Kurvenpunkt.

Takeaways

• 🔢 Die Gleichung, die im Text erwähnt wird, ist x^3 - 2x.
• 📈 Die erste Ableitung dieser Funktion ist 3x^2 - 2, welche die Steigung der Tangente angibt.
• 🎯 Um den y-Wert der Funktion für x = 1 zu finden, wird die Funktion eingesetzt, was zu 1^3 - 2 * 1 = -1 führt.
• 📉 Die Steigung der Tangente an der Stelle x = 1 ist 3 * 1^2 - 2 = 1.
• 🔍 Die Gleichung der Tangente wird durch die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b gegeben, also y = mx + b.
• 📐 Die Gleichung der Normalen ist senkrecht zur Tangente, was bedeutet, dass ihre Steigung -1 ist.
• 📍 Die Steigung der Normalen ist -1 und der y-Achsenabschnitt ist ebenfalls -1, da sie den gleichen Punkt (1, -1) wie die Tangente durchläuft.
• 🔄 Die Gleichung der Normalen wird durch y = -x + m_0 beschrieben, wobei m_0 der y-Achsenabschnitt ist.
• 📘 Die Normale wird durch die Gleichung y = -x - 1 dargestellt, was aus der Steigung und dem y-Achsenabschnitt folgt.
• 🖼️ Das Visualisieren der Funktion und ihrer Tangente und Normale kann helfen, die Beziehungen zwischen ihnen besser zu verstehen.

Q & A

Was ist die erste Ableitung der Funktion x³ - 2x?

Die erste Ableitung der Funktion x³ - 2x ist 3x² - 2.

Wofür wird die erste Ableitung verwendet?

Die erste Ableitung gibt die Steigung der Tangente an einem bestimmten Punkt an.

Wie berechnet man den y-Wert an der Stelle x = 1 für die Funktion x³ - 2x?

Der y-Wert wird berechnet, indem man x = 1 in die Funktion x³ - 2x einsetzt: 1³ - 2 × 1 = -1.

Wie berechnet man die Steigung der Tangente an der Stelle x = 1?

Die Steigung der Tangente wird berechnet, indem man x = 1 in die erste Ableitung 3x² - 2 einsetzt: 3 × 1² - 2 = 1.

Wie lautet die Tangentengleichung an der Stelle x = 1?

Die Tangentengleichung lautet y = -x + 1.

Was ist der Unterschied zwischen Tangente und Normale?

Die Tangente berührt die Funktion in einem Punkt, während die Normale senkrecht zur Tangente verläuft.

Wie berechnet man die Steigung der Normalen?

Die Steigung der Normalen ist der negative Kehrwert der Tangentensteigung. Wenn die Tangentensteigung 1 ist, ist die Steigung der Normalen -1.

Wie lautet die Normalengleichung an der Stelle x = 1?

Die Normalengleichung lautet y = -x - 1.

Was bedeutet es, dass die Normale im rechten Winkel zur Tangente steht?

Es bedeutet, dass der Winkel zwischen der Tangente und der Normalen 90 Grad beträgt, was mathematisch durch das Produkt ihrer Steigungen, das -1 ergibt, ausgedrückt wird.

Wie kann man das Thema besser verstehen?

Man kann das Thema besser verstehen, indem man den Graphen der Funktion zeichnet und sowohl die Tangente als auch die Normale visualisiert.