LE COURS : Les suites - Première
Summary
TLDRDans cette vidéo, l'explorateur数学 revisite le chapitre 18 en détaillant les concepts clés liés aux suites numériques. Il aborde la définition d'une suite,区分 les deux manières de la définir, explore la variation des suites et les limites possibles. Des exemples concrets illustrent comment identifier si une suite est croissante, décroissante ou divergente, ainsi que comment représenter graphiquement les termes d'une suite. L'objectif est d'aider à la préparation des examens en mathématiques.
Takeaways
- 📚 La définition d'une suite est une liste ordonnée de nombres.
- 🔢 On peut définir une suite de deux manières : par une formule explicite ou par une relation de récurrence.
- 📈 Une formule explicite permet de calculer n'importe quel terme de la suite sans avoir besoin de connaître les termes précédents.
- 🔄 Une relation de récurrence définit chaque terme en fonction du ou des termes précédents.
- 📊 La représentation graphique d'une suite permet d'observer ses propriétés et ses variations.
- 📈/📉 La variation d'une suite peut être croissante ou décroissante à partir d'un certain rang.
- 🔢 Pour prouver si une suite est croissante ou décroissante, on calcule la différence entre les termes et l'analyse.
- 📈/📉 On peut également étudier la variation d'une suite en associant une fonction à chaque terme et en analysant la variation de cette fonction.
- 🏁 Les suites peuvent être classées en convergentes, divergentes ou oscillantes.
- 🌐 La limite d'une suite convergente est le nombre vers lequel les termes de la suite tendent lorsqu'n devient très grand.
- 🚫 La notion de divergence d'une suite signifie qu'elle ne tend pas vers une limite précise et peut s'éloigner vers plus ou moins l'infini.
Q & A
Quelle est la définition d'une suite numérique?
-Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres réels ou entiers, où chaque terme est défini par une relation mathématique avec les termes précédents ou par une formule explicite.
Comment peut-on définir une suite numérique?
-On peut définir une suite numérique soit par une formule explicite qui exprime chaque terme en fonction de son rang, soit par une relation de récurrence qui définit chaque terme en fonction de son ou ses termes précédents.
Quel est l'exemple donné de suite numérique dans le script?
-L'exemple donné est la suite des nombres impairs ordonnés en croissant, qui est représentée par la suite 3, 5, 7, 9, et ainsi de suite.
Comment les termes d'une suite numérique sont-ils nommés?
-Les termes d'une suite numérique sont nommés en fonction de leur rang, avec le premier terme étant le terme de rang 0, le deuxième terme étant le terme de rang 1, et ainsi de suite.
Qu'est-ce qu'une suite de récurrence et comment est-elle définie?
-Une suite de récurrence est une suite numérique où chaque terme est défini par une relation avec ses termes précédents. Elle est définie par une formule qui montre comment le terme actuel dépend des termes précédents.
Quelle est la différence entre une formule explicite et une relation de récurrence?
-Une formule explicite exprime chaque terme de la suite en fonction de son rang, tandis qu'une relation de récurrence définit chaque terme en fonction de son ou ses termes précédents. La formule explicite permet de trouver n'importe quel terme de la suite sans avoir à calculer les termes précédents, tandis que la relation de récurrence nécessite de connaître les termes précédents pour trouver le terme actuel.
Comment peut-on représenter graphiquement les termes d'une suite numérique?
-Pour représenter graphiquement les termes d'une suite numérique, on peut tracer les points successifs dont les coordonnées sont données par le rang du terme et sa valeur. Ces points forment un nuage de points qui illustre la tendance de la suite.
Comment peut-on déterminer si une suite numérique est croissante ou décroissante?
-Pour déterminer si une suite numérique est croissante ou décroissante, on peut calculer la différence entre les termes consecutifs et voir si cette différence est positive (croissance) ou negative (décroissance). On peut également étudier la fonction associée à la suite pour observer sa variation.
Qu'est-ce que la limite d'une suite numérique et comment elle est déterminée?
-La limite d'une suite numérique est la valeur vers laquelle les termes de la suite tendent lorsqu'ils deviennent très grands. Elle peut être déterminée en observant la tendance des termes à long terme et en utilisant des outils informatiques pour des approximations ou en étudiant la formule de la suite pour une convergence ou une divergence vers une valeur spécifique ou vers l'infini.
Quels sont les deux types de suites numériques?
-Les deux types de suites numériques sont les suites convergentes, qui tendent vers une limite spécifique lorsqu'elles deviennent très grandes, et les suites divergentes, qui ne tendent pas vers une limite spécifique et peuvent要么divergir vers l'infini ou osciller sans converger vers une valeur précise.
Quel exemple de suite divergente est donné dans le script?
-L'exemple de suite divergente donné dans le script est la suite définie par vn_n+1 = -1^(n+1) * vn_n, où les termes de la suite tendent vers l'infini à mesure que n devient très grand.
Outlines
📚 Introduction aux suites numériques
Le paragraphe introduit le concept de suites numériques, expliquant que ce sont des listes d'entiers ordonnés. Il mentionne l'importance de définir précisément une suite pour travailler avec facilité. Un exemple de suite est donné avec les nombres impairs ordonnés, soulignant la nécessité de nommer et de définir les termes de la suite. Le paragraphe explique également les différentes façons de définir une suite : par une formule explicite ou par une relation de récurrence, et comment ces définitions peuvent être transformées l'une en l'autre.
📈 Génération de suites numériques
Ce paragraphe explique comment générer des suites numériques à travers des formules explicites et des relations de récurrence. Il présente l'avantage de la formule explicite pour trouver les termes de la suite sans avoir à énumérer tous les termes précédents. Des exemples sont donnés pour illustrer la construction de suites numériques à l'aide de formules explicites et de relations de récurrence, mettant en évidence la différence entre les deux approches.
📊 Représentation graphique des suites
Le paragraphe discute de la représentation graphique des suites numériques, montrant comment les termes de la suite peuvent être visualisés en points sur un graphique. Il explique comment construire un tableau de valeurs pour les termes de la suite et comment utiliser ces valeurs pour tracer un nuage de points. Le paragraphe aborde également les propriétés de variation des suites et comment observer leur comportement à travers des graphiques.
🔄 Variation des suites numériques
Dans ce paragraphe, l'accent est mis sur l'étude de la variation des suites numériques. Il explique comment analyser si une suite est croissante ou décroissante en regardant les différences entre les termes successifs. Le paragraphe présente des techniques pour démontrer la croissance ou la décroissance d'une suite, en utilisant soit la forme explicite soit la forme de récurrence. Il souligne également l'utilisation de fonctions associées pour étudier la variation des suites.
🌐 Limites des suites numériques
Le paragraphe traite des limites des suites numériques, différenciant les suites convergentes et divergentes. Il explique comment observer le comportement d'une suite lorsque le terme de la suite devient très grand et comment déterminer si elle tend vers une valeur unique ou vers l'infini. Des exemples sont fournis pour illustrer la convergence et la divergence de suites, ainsi que la manière de calculer et d'interpréter les limites des suites.
🔄 Suite numérique spéciale et divergence
Ce paragraphe présente une suite numérique spéciale, définie par une relation de récurrence complexe, et son comportement étrange lorsqu'elle devient grande. Il explique que cette suite ne converge pas vers une valeur unique ni vers l'infini, mais plutôt oscille entre des valeurs qui s'approchent d'une certaine valeur, mais sans jamais y parvenir. Cela est illustré par des termes de la suite qui alternent entre des valeurs croissantes et décroissantes. Le paragraphe conclut en définissant une suite divergente comme une suite qui n'est pas convergente.
Mindmap
Keywords
💡Suite numérique
💡Formule explicite
💡Relation de récurrence
💡Variation de la suite
💡Limite d'une suite
💡Convergent et Divergent
💡Terme de la suite
💡Rang d'un terme
💡Graphique de la suite
💡Nuage de points
💡Analyse de la variation
Highlights
La vidéo revisite le chapitre 18 et explique les éléments clés, notamment la notion de suite.
On définit une suite de nombres comme une liste ordonnée de nombres.
La suite des nombres impairs est un exemple de suite numérique.
Les suites peuvent être définies de deux manières : formule explicite ou relation de récurrence.
La formule explicite d'une suite permet de calculer n'importe quel terme sans avoir besoin de connaître les termes précédents.
La relation de récurrence définit chaque terme d'une suite en fonction du ou des termes précédents.
On peut représenter les termes d'une suite sur un graphique pour observer leur variation.
La variation d'une suite est intéressante pour comprendre son comportement pour de grands valeurs de n.
Les suites peuvent être soit croissantes, soit décroissantes, ou divergentes.
La limite d'une suite représente son comportement à l'infini.
Une suite convergente se rapproche d'une valeur unique lorsqu'n devient très grand.
Une suite divergente ne se rapproche ni d'une valeur unique ni d'une valeur finie à l'infini.
On peut associer une fonction à une suite pour étudier sa variation plus facilement.
Les suites numériques peuvent être étudiées à l'aide d'outils informatiques pour en déterminer la convergence ou la divergence.
La suite définie par u_n = 2^n + 1 converge vers 2 lorsque n devient grand.
La suite définie par v_n = (-1)^n * (1/n) + 1 est divergente et ne converge pas vers une valeur spécifique.
La suite w_n = (-1)^(n+1) * (1/w_(n-1)) est spéciale et ne converge pas vers une valeur ni vers l'infini.
Transcripts
[Rires]
[Musique]
bonjour
dans cette vidéo je te propose de revoir
tout le cours sur le chapitre 18
l'objet de cette séquence est de te
rappeler et de t'expliquer les éléments
est plus important de ce chapitre plus
précisément on parlera de la notion de
suite on définira une suite on verra
qu'il est possible de la définir de deux
manières ensuite on parlera de la
variation d'une suite et on finira par
les limites d'une suite pour préparer un
contrôle ou un examen ceci ne suffira
évidemment pas il te faudra encore faire
de nombreux exercices en tout cas pour
le court c'est parti alors quand on
parle de suite on parle en réalité deux
suites de nombres
c'est une liste de noms brune suite
voyons tout de suite un exemple pour
mieux comprendre si on considère une
liste de nombres formée par tous les
nombres impairs rangé dans l'ordre
croissant
ça nous donnerait un 3 5 7 9
et c est bien là on a une suite de
nombres mais dit comme ça c'est
difficile de travailler avec il faudrait
la définir avec plus de précision alors
on va l'appeler humaine cette suite on
va tout de suite comprendre pourquoi on
écrit humaine avec un petit n en 1 10 et
u qu'est ce que c'est alors qu en
réalité c'est le nom de la suite le on
peut l'appeler vl l'on peut l'appeler w
l on peut lui donner n'importe quel nom
habituellement quand on en a qu'une
seule de suite on l'appelle humaine et n
c'est ce qui s'appelle laurent de la
suite alors pour mieux comprendre
reprenons cette liste de nombre mais on
voit les écrire l'un en dessous de
l'autre alors les voilà là je retrouve
ma liste de noms un père un 3 5 7 9 11
et cetera mais j'aimerais pouvoir les
nommer chacun on va lui donner un petit
nom qui dépend du nom de la suite heures
la suite s'appelle une haine donc la
lettre u on va la garder pour chacun de
ses éléments pour bien savoir que chacun
de ces éléments appartient à la suite
humaine mais par contre elle va varier
alors n c'est un entier un entier
naturel 0 1 2 3 4 5
donc le premier entier naturel c zéro
du coup le premier élément de ma suite
c'est hull 0 mais ça peut être dans
certains cas on le verra un peu plus
tard donc là j'ai eu zéro égal à 1
ça veut dire que orange 0 je trouve le
nombre un dans ma liste
alors les éléments de la suite s'appelle
des thermes donc on va dire que le
premier terme de ma suite de nombres
sait user raw est ce une 0 ce premier
terme vos seins
ce qui fait que le deuxième terme c'est
donc juste le suivant qu'est ce qui
vient après 0 il y à un donc le deuxième
terme ce1 et bien eu un égal à 3 on
remarque là encore que je garde toujours
le nom eut pour cette suite normale 7/8
s'appelle humaine si elle s'appelait vng
dit tout à l'heure qu'on peut l'appeler
eu également bmw m et bien si cette
suite s'appelait vn
je dirais v0 gall 1 v1 égale à 3 et je
dirais donc v2 égale à 5 mais bon elle
s'appelle pavé elle s'appelle humaine
donc je dis humaine eu deux par don égal
à 5
et après on continue dans l'ordre eu 3
et gallas est une cate égal à 9,5 égale
à 11 alors du coup on peut considérer
une suite un petit peu comme une
fonction où à chaque fois je vais donner
une valeur x alors ici le hic ça
correspond à quoi
eh bien ça correspond aux haines et elle
me renvoie une autre valeur un nombre
réel de coûts on pourrait avoir cette
notation pour les suites dire qu'une
suite est bien quelque part c'est une
fonction qui va de haine dans air à
chaque fois que je lui donne un entier
petite elle elle me renvoie un réel eu
de n
mais on l'écrit pas eu de n n entre
parenthèses on pourrait en fait mais on
l'écrit eu un dix cennes alors si par
exemple on reprend cette notation là je
lui donne zéro eh bien elle me renvoie
u20 on a dit que ça s'écrivait mu 0 et 1
0
ça fait un si je lui donne un peu plus
bas 5
elle me renvoie eu 2,5 on a dit que ça
se noter eu un 10 1 et eu 1 10 5
c'est donc le suivant ici ça
11 et bien une suite qu'est ce que c'est
alors on parle habituellement
habituellement de suite numérique
puisqu'on a dit que c'est une suite qui
est donc formé de nombres une suite
numérique humaine
c'est une liste ordonnée on voit bien
que tous ces nombres sont ordonnés 0123
c'est à chaque fois lundi ce qui nous le
dit qui s'appelle laurent en fait donc
c'est une liste ordonné de nombreux réel
bon là avec des entier mais on verra
dans la suite qu'on peut avoir des
réelles qui a tout entier ed lee cif
petit n il est là associe un nombre réel
qu'on va noter humaine ici on retrouve
notre humaine et chacun de ces us est
appelé le terme de la suite le terme de
hre en n2 cette suite on dit aussi le
terme d'un 10 n par exemple celui ci
c'est le terme de rang 3 de la suite
niveau 7
celui ci c'est le terme de rang 1 de la
suite niveau 3 et celui ci je le
rappelle c'est le premier terme de la
suite voyons maintenant comment générer
une suite numérique
il y a deux façons en fait de définir
une suite numérique alors la première
façon qu'on va voir c'est comment
générer une suite par une formule
explicite
on va voir les avantages de cette
expression par rapport à l'autre qui
sera par une relation de récurrence
chacune d'elles ont leurs avantages ont
leurs inconvénients
d'ailleurs le travail est souvent de
passer d'une forme à l'autre on valoir
commençons déjà par définir une suite
sous sa forme explicite on va considérer
une nouvelle suite humaine mais cette
fois ci qui nous renvoie tous les
nombres pairs mais j'aimerais pouvoir
exprimer ul en fonction de haine
tout à l'heure j'ai exprimés u11 u12 u13
par une valeur mais j'aimerais en fait
une formule qui me donne de façon
générale humaine alors attention ici on
parle plus d un père mais encore le des
pères donc je voudrais définir la suite
des nombres pairs à l'aide d'une formule
explicite ça donne ceci alors si c'est
tous les nombres pairs c0 2 4 6 8 10 etc
on les ordonne comme on a dit donc le
premier le premier terme c'est u10 égal
à zéro ensuite vient eu un aygalades
u2 égal à 4 u 3 égale à 6 uqat égale à 8
etc
et si on y regarde de plus près il y a
une relation en fait entre eux lundi ce
qui est ici et la valeur de n4 8,8 et le
double de 4 3 6 6 et où le double de 3 4
2 4 c'est le double de 2 et cetera donc
qu'est ce que je vais mettre ici je vais
mettre le double de haine c'est à dire 2
n
eh bien on a là ce qui s'appelle la
forme explicite de notre suite humaine
une égale à 2 x n
alors pourquoi ces pratiques parce que
là on n'est plus obligé de les écrire
dans l'ordre pour savoir la valeur d'un
terme
si je veux par exemple pu s'en est bien
je ferai deux fois haine mais ici n vos
sens donc je ferai deux fois cents soit
2 cents et ceci va pouvoir marcher à
n'importe quel niveau de la suite pour
n'importe quel vent de la suite si je
veux une cent mille je ferai deux fois
sont ils donc c'est extrêmement pratique
de disposer de la forme explicite d'une
suite numérique et on dira que lorsqu on
génère une suite par une formule
explicite et bien chaque terme de la
suite est exprimée en fonction de l et
ceci indépendamment des termes précédent
on voit bien ici que pour calculer
humaine j'ai pas eu besoin de remonter
au précédent comme je lé fais ici là
j'ai vraiment construit la suite à
chaque fois par rapport au précédent
je suis à huit le suivant ça sera disent
pourquoi parce que je rajoute deux pour
que ce soit un nombre pair là pour
calculer us ans je ne connaissais pas eu
99 9 98 voyons maintenant la différence
avec une suite numériques générées par
une relation de récurrence alors je vais
construire la suite suivante on me dit
que pour la suite on l'appelle encore
une pour la suite une aide est bien on à
son premier terme use héros égale à 5
je connais le point de départ et on nous
dit que chaque terme de la suite et le
triple de son précédent je sais que si
je me trouve un niveau de la suite est
bien
vie de prendre le nombre l'eau le terme
de cette suite
le x 3 puisque c'est le triple et
j'obtiens donc son suivant commençons
déjà par construire les premiers termes
de cette suite en partant de zéro égale
à 5 alors premier terme use héros et
gallas eu un humain et le triple de son
précédent soit 3 x le précédent soit
trois fois 5 15
u2 u2 et le triple de son précédent son
précédent vaut 15 soit trois fois 15 45
u 3 un petit dernier est le triple 2,45
soit 135 et on continue ainsi de suite
jusqu'à interne humaine est il possible
de l'exprimer en fonction de haine
facilement pas évident parce que autant
tout à l'heure on voyait bien la
relation qu'il y avait entre elle et le
terme que là on voit pas trop la g1 l'ag
15 la g2 l'ag 45 la g3 l'âge et 135 ya
pas une relation évidente entre le rang
est le terme
par contre il y a une relation évidente
entre un terme et son précédent alors
comment on va à l'exprimer en bas on va
le faire de la façon suivante on va pas
et créé luhan ici mais on va avec une
plus humaine plus un qui est donc le
suivant de humaine forcément quand je
suis à ul je continue d'arriver à une
plus simple ils viennent plus de etc
et qu'est ce qu'on sait on sait que
chaque terme et le triple de son
précédent alors qu'elle est le précédent
2 e n plus humble on vient de le dire
c'est uem et bien finalement
u n + 1 est égal à 3 fois humaines
on vient là de définir notre suite
mais cette fois ci pas en fonction de
haine comme tout à l'heure mais un terme
en fonction de son précédent on dit
qu'on a défini notre suite par une
relation
récurrence c'est récurrent ça se répète
parce que cette formule là elle est
vraie à n'importe quel niveau de la
suite elle est vrai pour tout entier
naturel pour tout entier naturel n
et c'est là que c'est intéressant parce
qu'à n'importe quel niveau de la suite
je pourrais avoir la relation entre un
terme et son suivant par contre on voit
tout de suite le problème comme tout à
l'heure si on me demande de calculer us
ans qu'est ce que je pourrais faire cas
je pourrais dire que sans égale à 3 x
son précédent avançant eu 99
ah oui mais du 90 d'affiché combien
abbas je peux le calcul et une 99
il est égal à 3 x son précédent eu 98
on voit tout le problème là c'est qu'il
faudrait faire la remontée jusqu'à use
héros parce que c'est le seul que j'ai
finalement ou disons au moins avec trois
avec 135 qu'elle travaille donc là on
utilise évidemment un outil informatique
pour y arriver ou alors on essaie de
modifier la formule de récurrence pour
en avoir une formule explicite en
fonction de haine
en tout cas lorsqu'on génère une suite
par une relation de récurrence chaque
terme de la suite s'obtient à partir de
son terme précédent lors des x de
plusieurs termes précédent mais cette
année ça sera essentiellement internes
précédent et donc il n'est pas possible
d'obtenir un terme de la suite à
n'importe quel niveau comme c'est le cas
avec une forme explicite
alors il est possible également de
représenter dans un graphique les termes
d'une suite
alors pour cela bien évidemment il faut
déjà choisir quels termes on va
représenter alors en général ce sont les
premiers donc on n'en représente une
dizaine pour avoir la lure de la suite
sur ces premiers terme et voir si elle a
des propriétés particulières on va en
parler tout de suite en particulier des
propriétés en termes de variation et
donc il faut calculer les valeurs de ses
premiers terme donc ici on se donne une
nouvelle suite humaine qui est définie
par une égale n au carré sur deux -
trois et on a construit le tableau de
valeur qui donne donc qui expriment les
premiers termes de la suite alors pour
le terme en user vos n égale à zéro
c'est facile ça nous fait donc du zéro
au carré sur deux ça fait donc 0 - 3
donc moins 3 pour rien donc juste que
calculée pour l'exemple un donc eu un
cette fois ci elle vaut 1
donc ça fait du 1 au carré sur 2 - 3 1
au carré sur deux donc ça fait un demi -
3 et 1 2 me -3 ou 0,25 -3 ça fait moins
2,5
c'est pour ça que dans le tableau en
dessous de 1
on trouve moins de 25 voilà je passe sur
les calculs d autres termes je pense que
ça pose pas de difficulté et ensuite ce
qui nous intéresse c'est représenter
tous ces termes dans un graphique
alors pour cela on va considérer des
points successifs dont les coordonnées
sont donnés par le rang 2 du terme et la
valeur du terme
c'est pour ça que ce tableau ben nous
donne directement les coordonnées par
exemple le point p 0 qui représentait en
tout premier et bien il a pour
coordonner 0 - 3 c'est pour ça que je
trouve sur l'axé des ordonnées en moins
3 le point et 1 alors le point p à pour
coordonner 1 - 2 points 5
le point p 2 2 - 1 et c'est donc on
utilise tout ce tableau là en
considérant à chaque fois donc qu'on a
des coordonnées on a nos points
successifs et voilà on obtient alors ce
qui s'appelle un nuage de points
attention c'est un nuage de points dont
on ne renie pas ses points sauf dans une
situation particulière et à condition
que ce soit demandée dans l'exercice
mais si rien n'est demandé on ne relis
jamais les points obtenus à l'aide des
termes d'une suite
on poursuit avec la variation des suites
alors on a représenté ici le nouvel
suite on donne pas son expression ça n'a
pas d'importance
on voit le tableau de valeur on voit la
lure du nuage de points donc on l'a
obtenue à l'aide d'un logiciel et on va
plutôt s'intéresser à la variation de
cette suite on remarque que sur les
premiers terme
eh bien ça commence par des cendres
autrement dit ça décroît et puis on est
légal à 3 on dirait qu'il ya un
changement de mariage
et qu'ensuite s'accroît ça monte les
termes ont tendance à augmenter
et oui on peut conjecturer que cette
suite est croissante pour n supérieur ou
égal à 3 alors la différence avec les
fonctions c'est qu'en fait ça nous
intéresse pas beaucoup ce qui se passe
sur les premiers terme ce qui nous
intéresse plus tôt c'est ce qui se passe
pour des grandes valeurs de haine
comment la suite elle évolue pour n
tendant vers l'infini car on va pas dire
que cette suite est d'abord décroissante
puis ensuite croissante
on va plutôt dire cette suite la suite
eu n est croissante pour n supérieur ou
égal à 3 c'est pas intéressant ce qui se
passe au début tout simplement parce que
ce qui ce qui se passe au début je peux
le calcul est donc j'ai les valeurs mais
ce qui se passe pour des grandes valeurs
de haine
ça ça nous intéresse un peu plus alors
ça reste une conjecture puisque là on
n'a pas l'expression n'est pas capable
de le prouver mais en réalité c'est vrai
maintenant la question c'est si on nous
donne une suite par récurrence ou défini
sous sa formule explicites comme en
démontre que cette suite est croissante
ou décroissante
eh bien on a une propriété qui est très
simple à comprendre et qui nous dit que
on une suite humaine et croissante à
partir d'un certain rang j'ai dit que ce
qui se passait au début c'est pas
important c'est à partir d'un certain
rang alors seront ils s'appellent p eh
bien ça signifie que dès que je vais
prendre des haines qui sont plus grands
que paie forcément puisque c'est à
partir de paix eh bien on a une haine
plus un qui est plus grand que le n le
suivant qui est plus grand que son
précédent et ceci pour n'importe quelle
haine à partir d'un certain rang on
comprend bien que là nécessairement si
le suivant est plus grand que celui qui
vient avant ça fait que monter donc on
est bien là en présence d'une suite
croissante
al'inverse si on a tout pile le
contraire toujours pareil à partir d'un
certain rang et bien seront l'appel paix
pour toute haine supérieur ap on a eu
une plus un plus petit que humaine est
bien là on est en présence d'une suite
dé croissante
parce que le suivent
il est plus petit que son précédent donc
on va faire que décroître on va faire
que des cendres dans la pratique vu
qu'on veut prouver
soit que humaine plus sains et plus
grand que humaine soit que humaine plus
sain et plus petit que n eh bien on va
calculer la différence
qn + 1 - humaine alors soit à l'aide de
la forme explicite soit à l'aide de la
forme de récurrence et l'objectif sera
de prouver que soient ceux ci est
positif si jamais c'est positif ça veut
dire que celui ci est plus grand que
celui ci donc eu en plus sains et plus
grand que humaine croissante soi que
cette différence est négative et bien
dans ce cas là ça voudra dire que celui
ci est plus petit que celui ci que
humaine plus aéré plus petit que lui n
est donc que la suite est décroissante
voilà donc tout le travail consistera à
exprimer de la meilleure façon la
différence u n + 1 - humaine je t'invite
à cliquer sur le lien pour regarder les
vidéos correspondante qui montre des
exemples de démonstration de variation
de suite alors j'ai pas préciser ici le
symbole cissé street si strictement
croissante
si ces larges c'est tout simplement
croissante et pareil pour la
décroissance alors petites astuces qui
peut servir de temps en temps lorsqu'on
a utilisé lorsqu'on a étudié la
variation d'une suite c'est en fait de
passer par la fonction qui lui est
associée alors ça ça marche bien
quand la suite elle est définie en
fonction de haine voyait voici un
exemple alors par exemple la suite
ul qu'elle ait fini par l occar et plus
sain et bien qu'est ce qu'on va faire on
va lui associer une fonction une
fonction f qui sera donc définie sur
zéro + 1 fini puisque n est un entier
naturel on nous rappelle pareil 2x égal
à ixxo claret +1 et au lieu d'étudier la
variation de note suite
eh bien on va étudier la variation de
notre fonction des fois c'est plus
facile et suivant le résultat ici on
pourra la corde et à la suite pourquoi
pour le comprendre
un petit schéma en fait si je représente
les termes de
j'aurai quelque chose comme ça la
cheville en un est donc là j'aurais tous
les termes et si je représente la
fonction avec 2 x égale x o car est plus
un là dessus ça me donnerait ceci est là
on voit donc notre courbe qui passe donc
par tous les points donnés par la suite
ce qui fait que si la fonction
croissante et bien nécessairement la
suite dont les points se trouve sur la
courbe de la fonction la suite sera
également croissante
c'est ce qui est exprimé dans cette
propriété on définit donc une fonction
par une égale f de haine
c'est la même chose ici que j'écrive f
de haine ou que j'écrive l2 hic c'est la
même chose
la seule chose qui diffère en fait c'est
que x est réel j'obtiens dans quelque
chose de continue alors que ici n est
entier donc j'obtiens on dit quelque
chose de discret de deux dentiers en
entier et est donc si jamais la fonction
effet croissante alors la suite ul et
croissante également si la fonction est
décroissante
la suite est décroissante ceci à partir
d'un certain rang pareil alors si
j'arrive par exemple a prouvé qu'une
fonction est croissante
à partir de 2005 pour la suite cela
voudra dire que lé croissante à partir
de n égale trois on va prendre le 1er
entier qui suit 2,5 alors passons
maintenant à tout ce qui concerne la
limite d'une suite on va voir qu'il
existe deux types de suite les suites
dit convergentes et les suites
divergentes
il n'existe pas autre chose mais qu'est
ce que ça veut dire tout ça et qu'est ce
que c'est en fait rechercher la limite
d'une suite et bien c'est savoir comment
elle se comporte
lorsque n devient très très très grand
est ce que les termes de la suite
deviennent aussi très très très grand
est ce qu'ils deviennent très très petit
est-ce qu'il se rapproche d'un nombre
est ce qu'il sera proche de zéro bas
c'est toute la question qu'on se pose et
pour cela et bien on s'est souvent d'un
outil informatique où on fait des essais
des calculs
c'est ce qu'on va faire tout de suite
avec cette première suite eu n
alors cette suite eu n elle est définit
par ul égal 2 n + 1 sur elle et donc
défini à l'aide de sa forme explicite et
on a construit en dessous un tableau de
valeur
donc je passe sur tout
les calculs on retrouve donc comme tout
à l'heure quand on avait fait le
graphique sur la première ligne les
valeurs de l donc le les rangs de la
suite et ensuite les valeurs de humaine
correspondant donc on voit par exemple
donc qu'on a
22.5 ça signifie que u2 est égal à 2,5
et si on va beaucoup plus loin on voit
qu'on a 50 2,02 cela signifie que eu 50
est égal à 2,02 alors ce qui est
intéressant je les dis c'est de voir
comment évoluent ces termes quand on
grandit donc on voit qu'on a fait
grandir n 1 2 3 4 5 10 15 550 500 et
qu'est ce qui arrive à u n alors si on
regarde l'évolution du yen on voit quand
même qu'il se passe quelque chose
on démarre à trois premiers termes 2.5
2,33 2,25 2002 2,1 on dirait qu'on se
rapproche de 2,2 points 0,67 ça semble
se confirmer
et ça se confirme quand on continue avec
2 0 2 puis 2 0 0 2 on va donc pouvoir
faire ça restera de l'ordre de la
conjecture
mais on va donc pouvoir dire que les
termes de la suite sera proche de 2
lorsque n devient grand eh bien on dira
que la suite humaine convergent vers 2
et on écrira que la limite on n'écrit
pas limites en entier on écrit elle
im de humaine c'est bien ul avec qui on
travaille
lorsque n devient grand alors pour dire
que n devient grand on met haine qui se
rapproche de plus l'infini alors là plus
l'infini on comprend que elle devient
très très grand et bien la limite de
humaine lorsque n devient grand est égal
à 2 et là je peux mettre égal car je
parle de la limite même si je n'atteins
jamais la valeur 2 en terme de limites
on à l'égalité ceci ça se lit la limite
de
lorsque n tend vers plus l'infini est
égal à 2 alors un deuxième exemple avec
une autre situation maintenant est une
suite qui est divergente qui diverge
qu'est-ce que cela signifie
alors on retrouve la suite de tout à
l'heure bon cette fois ci je les
appelais vn pour changer un peu
qui est définie par vsd galles aide au
carré +1
j'ai calculé les premiers terme donc 0 0
au quart est plus à ça donne un v1 1 o
car est plus un ça donne 2 v 2 2 au
carré plus un ça donne 5 etc et on est
allé comme ça jusqu'à v sens qu'ils
donnent donc s'en carre +1 qui nous
renvoie 10000 1 on comprend bien et on a
bien envie de penser en plus on
reconnaît la suite carey ici que les
termes de cette suite vn vont devenir
aussi grand que l'on veut pourvu juste
que je choisisse des ailes suffisamment
grand et bien c'est ça plus elle devient
grand plus les termes de la suite semble
devenir grand on dit que la suite vn
divergent vert +1 fini et on écrit la
limite 2 qui devait n
non quand ça quand elle devient grand ça
fait quoi
ça fait plus l'infini on lit la limite
de la suite vn lorsque haine envers plus
l'infini est égale 1 plus infi et une
petite dernière pour finir une suite w
haine qui est un peu spécial qui est
définie par récurrence par w n plus un
égale à -1 puissance n fois wm on nous
donne le premier terme qui est w0 égale
à deux on va faire quelques calculs w0
égale à 2 alors du coup w1 est égal à -1
puissance n
alors attention il ya un petit piège
c'est pas ici - impuissance 1 pourquoi
parce que on voit qu'il est écrit w n
plus un égale à -1 puissance n autrement
dit entre eux l'exposant et l' indice il
ya un décalage de un jeu
perd un rang sur l'exposant donc si là
je suis à un ici j'arrive à 0 x w0
puisque c'est du n
alors que l'ag du n + 1 w 0 qui fait
d'eux alors - impuissant 0 bah ça ça
fait 1 1 x 2 w 2 égal à -1 puissance
maintenant on a compris je diminue de 1
puissance 1 x w1
le précédent niveau 2 soit -1 6 ans ça
fait moins 1 - 1 x 2 - 2 on poursuit w3
égales - impuissance 2 x - 2cw 2 soit
moins au carré ça fait un x - deux ça
fait monde
encore un petit dernier w4 égal à -1
puissance 3 x w3 c'est à dire x moins
deux ans ça nous donne - occupe ça fait
moins 1 - 1 fois moins deux ça fait plus
de 2 alors on remarque là il se passe
des choses bizarres on va
alternativement sur deux ou moins deux
c'est normal puisque à chaque fois on
multiplie par le terme précédent qe2 ou
moins 2 et l'autre facteur c'est moins
en moins donc on sent bien que ça va
être du dock du moins deux et comme ça
ça va continuer du coup lorsque elle
devient grand eh bien les termes de la
suite ne semble pas se rapprocher vers
une valeur unique ni aller vers plus
infinie dit même aller vers moins
l'infini on dira tout simplement que la
suite w n 10 verges alors on ne peut pas
dire qu'elle diverses vers quelque chose
comme tout à l'heure puisque elle ne
diverge verts rien on dit tout
simplement qu elles divergent
la définition d'une suite divergences
c'est tout simplement une suite qui
n'est pas convergentes et cette séquence
est terminée
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