LE COURS : Les suites - Première

Yvan Monka
19 Aug 202028:36

Summary

TLDRDans cette vidéo, l'explorateur数学 revisite le chapitre 18 en détaillant les concepts clés liés aux suites numériques. Il aborde la définition d'une suite,区分 les deux manières de la définir, explore la variation des suites et les limites possibles. Des exemples concrets illustrent comment identifier si une suite est croissante, décroissante ou divergente, ainsi que comment représenter graphiquement les termes d'une suite. L'objectif est d'aider à la préparation des examens en mathématiques.

Takeaways

  • 📚 La définition d'une suite est une liste ordonnée de nombres.
  • 🔢 On peut définir une suite de deux manières : par une formule explicite ou par une relation de récurrence.
  • 📈 Une formule explicite permet de calculer n'importe quel terme de la suite sans avoir besoin de connaître les termes précédents.
  • 🔄 Une relation de récurrence définit chaque terme en fonction du ou des termes précédents.
  • 📊 La représentation graphique d'une suite permet d'observer ses propriétés et ses variations.
  • 📈/📉 La variation d'une suite peut être croissante ou décroissante à partir d'un certain rang.
  • 🔢 Pour prouver si une suite est croissante ou décroissante, on calcule la différence entre les termes et l'analyse.
  • 📈/📉 On peut également étudier la variation d'une suite en associant une fonction à chaque terme et en analysant la variation de cette fonction.
  • 🏁 Les suites peuvent être classées en convergentes, divergentes ou oscillantes.
  • 🌐 La limite d'une suite convergente est le nombre vers lequel les termes de la suite tendent lorsqu'n devient très grand.
  • 🚫 La notion de divergence d'une suite signifie qu'elle ne tend pas vers une limite précise et peut s'éloigner vers plus ou moins l'infini.

Q & A

  • Quelle est la définition d'une suite numérique?

    -Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres réels ou entiers, où chaque terme est défini par une relation mathématique avec les termes précédents ou par une formule explicite.

  • Comment peut-on définir une suite numérique?

    -On peut définir une suite numérique soit par une formule explicite qui exprime chaque terme en fonction de son rang, soit par une relation de récurrence qui définit chaque terme en fonction de son ou ses termes précédents.

  • Quel est l'exemple donné de suite numérique dans le script?

    -L'exemple donné est la suite des nombres impairs ordonnés en croissant, qui est représentée par la suite 3, 5, 7, 9, et ainsi de suite.

  • Comment les termes d'une suite numérique sont-ils nommés?

    -Les termes d'une suite numérique sont nommés en fonction de leur rang, avec le premier terme étant le terme de rang 0, le deuxième terme étant le terme de rang 1, et ainsi de suite.

  • Qu'est-ce qu'une suite de récurrence et comment est-elle définie?

    -Une suite de récurrence est une suite numérique où chaque terme est défini par une relation avec ses termes précédents. Elle est définie par une formule qui montre comment le terme actuel dépend des termes précédents.

  • Quelle est la différence entre une formule explicite et une relation de récurrence?

    -Une formule explicite exprime chaque terme de la suite en fonction de son rang, tandis qu'une relation de récurrence définit chaque terme en fonction de son ou ses termes précédents. La formule explicite permet de trouver n'importe quel terme de la suite sans avoir à calculer les termes précédents, tandis que la relation de récurrence nécessite de connaître les termes précédents pour trouver le terme actuel.

  • Comment peut-on représenter graphiquement les termes d'une suite numérique?

    -Pour représenter graphiquement les termes d'une suite numérique, on peut tracer les points successifs dont les coordonnées sont données par le rang du terme et sa valeur. Ces points forment un nuage de points qui illustre la tendance de la suite.

  • Comment peut-on déterminer si une suite numérique est croissante ou décroissante?

    -Pour déterminer si une suite numérique est croissante ou décroissante, on peut calculer la différence entre les termes consecutifs et voir si cette différence est positive (croissance) ou negative (décroissance). On peut également étudier la fonction associée à la suite pour observer sa variation.

  • Qu'est-ce que la limite d'une suite numérique et comment elle est déterminée?

    -La limite d'une suite numérique est la valeur vers laquelle les termes de la suite tendent lorsqu'ils deviennent très grands. Elle peut être déterminée en observant la tendance des termes à long terme et en utilisant des outils informatiques pour des approximations ou en étudiant la formule de la suite pour une convergence ou une divergence vers une valeur spécifique ou vers l'infini.

  • Quels sont les deux types de suites numériques?

    -Les deux types de suites numériques sont les suites convergentes, qui tendent vers une limite spécifique lorsqu'elles deviennent très grandes, et les suites divergentes, qui ne tendent pas vers une limite spécifique et peuvent要么divergir vers l'infini ou osciller sans converger vers une valeur précise.

  • Quel exemple de suite divergente est donné dans le script?

    -L'exemple de suite divergente donné dans le script est la suite définie par vn_n+1 = -1^(n+1) * vn_n, où les termes de la suite tendent vers l'infini à mesure que n devient très grand.

Outlines

00:00

📚 Introduction aux suites numériques

Le paragraphe introduit le concept de suites numériques, expliquant que ce sont des listes d'entiers ordonnés. Il mentionne l'importance de définir précisément une suite pour travailler avec facilité. Un exemple de suite est donné avec les nombres impairs ordonnés, soulignant la nécessité de nommer et de définir les termes de la suite. Le paragraphe explique également les différentes façons de définir une suite : par une formule explicite ou par une relation de récurrence, et comment ces définitions peuvent être transformées l'une en l'autre.

05:02

📈 Génération de suites numériques

Ce paragraphe explique comment générer des suites numériques à travers des formules explicites et des relations de récurrence. Il présente l'avantage de la formule explicite pour trouver les termes de la suite sans avoir à énumérer tous les termes précédents. Des exemples sont donnés pour illustrer la construction de suites numériques à l'aide de formules explicites et de relations de récurrence, mettant en évidence la différence entre les deux approches.

10:04

📊 Représentation graphique des suites

Le paragraphe discute de la représentation graphique des suites numériques, montrant comment les termes de la suite peuvent être visualisés en points sur un graphique. Il explique comment construire un tableau de valeurs pour les termes de la suite et comment utiliser ces valeurs pour tracer un nuage de points. Le paragraphe aborde également les propriétés de variation des suites et comment observer leur comportement à travers des graphiques.

15:06

🔄 Variation des suites numériques

Dans ce paragraphe, l'accent est mis sur l'étude de la variation des suites numériques. Il explique comment analyser si une suite est croissante ou décroissante en regardant les différences entre les termes successifs. Le paragraphe présente des techniques pour démontrer la croissance ou la décroissance d'une suite, en utilisant soit la forme explicite soit la forme de récurrence. Il souligne également l'utilisation de fonctions associées pour étudier la variation des suites.

20:06

🌐 Limites des suites numériques

Le paragraphe traite des limites des suites numériques, différenciant les suites convergentes et divergentes. Il explique comment observer le comportement d'une suite lorsque le terme de la suite devient très grand et comment déterminer si elle tend vers une valeur unique ou vers l'infini. Des exemples sont fournis pour illustrer la convergence et la divergence de suites, ainsi que la manière de calculer et d'interpréter les limites des suites.

25:08

🔄 Suite numérique spéciale et divergence

Ce paragraphe présente une suite numérique spéciale, définie par une relation de récurrence complexe, et son comportement étrange lorsqu'elle devient grande. Il explique que cette suite ne converge pas vers une valeur unique ni vers l'infini, mais plutôt oscille entre des valeurs qui s'approchent d'une certaine valeur, mais sans jamais y parvenir. Cela est illustré par des termes de la suite qui alternent entre des valeurs croissantes et décroissantes. Le paragraphe conclut en définissant une suite divergente comme une suite qui n'est pas convergente.

Mindmap

Keywords

💡Suite numérique

Une suite numérique est une séquence ordonnée de nombres. Elle peut être définie de deux manières : par une formule explicite ou par une relation de récurrence. Dans le contexte de la vidéo, l'exemple donnée est la suite des nombres impairs ordonnés croissant, qui est une suite numérique car elle contient des nombres ordonnés suivant une certaine règle.

💡Formule explicite

Une formule explicite est une expression mathématique qui permet de déterminer le terme d'une suite numérique en utilisant son rang. Elle est utile car elle permet de calculer rapidement le terme à un rang donné sans avoir à calculer tous les termes précédents. Dans la vidéo, l'exemple de la suite des nombres pairs est défini par une formule explicite : u_n = 2n.

💡Relation de récurrence

Une relation de récurrence est une définition d'une suite numérique où chaque terme est défini en fonction du ou des termes précédents. Elle est souvent utilisée pour décrire des suites qui suivent un schéma de croissance ou de décroissance. Dans le script, une suite est définie par une relation de récurrence où chaque terme est le triple du terme précédent.

💡Variation de la suite

La variation d'une suite se réfère à la manière dont les termes de la suite changent entre eux. Elle peut être croissante, décroissante ou fluctuante. La variation est importante pour comprendre le comportement de la suite à mesure que son rang augmente. Dans la vidéo, l'analyse de la variation permet de déterminer si une suite est croissante ou décroissante à partir d'un certain rang.

💡Limite d'une suite

La limite d'une suite est la valeur vers laquelle les termes de la suite convergent lorsqu'ils sont suffisamment grands. Elle peut être finie ou divergente vers l'infini. La limite est un concept crucial pour comprendre le comportement d'une suite dans le temps ou à l'infini. Dans le script, la limite est utilisée pour décrire le comportement de différentes suites, comme la suite趋于 2 lorsque n devient grand.

💡Convergent et Divergent

Unes suites convergentes sont celles qui ont une limite finie, c'est-à-dire que les termes de la suite se rapprochent d'un certain nombre fini lorsque le rang de la suite augmente. Au contraire, les suites divergentes n'ont pas de limite finie et peuvent要么趋于 un nombre infini要么fluctuer sans se rapprocher de toute valeur précise. Dans le script, la suite u_n = n^2 + 1 est décrite comme étant convergente, tandis que la suite v_n = (-1)^n * (n+1) est divergente.

💡Terme de la suite

Le terme de la suite, également appelé élément de la suite, est un nombre individu dans la séquence ordonnée constituée par la suite numérique. Chaque terme est associé à un entier naturel appelé son rang. Le premier terme est généralement de rang 0 ou 1 selon la convention utilisée. Dans le script, les termes de la suite sont discutés en relation avec leur rang et leur valeur.

💡Rang d'un terme

Le rang d'un terme dans une suite numérique est sa position ou son ordre dans la séquence. Il est généralement un entier naturel qui commence à 0 ou 1 selon la convention d'indexation choisie. Le rang est utilisé pour identifier spécifiquement un terme et pour étudier la variation de la suite. Dans le script, le rang est mentionné lorsqu'il est question de définir et de calculer les termes de la suite.

💡Graphique de la suite

Le graphique de la suite est une représentation visuelle des termes de la suite numérique sur un axe des ordonnées et un axe des abscisses. Il permet de visualiser la tendance et le comportement de la suite, comme sa croissance, sa décroissance ou sa convergence. Dans le script, le graphique est mentionné comme un outil pour étudier les propriétés de variation de la suite.

💡Nuage de points

Un nuage de points est une représentation graphique des termes d'une suite numérique où chaque terme est représenté par un point dont les coordonnées sont déterminées par son rang et sa valeur. Il n'est généralement pas connecté directement les points, contrairement à une courbe de fonction. Dans le script, le nuage de points est utilisé pour illustrer la représentation graphique des termes de la suite.

💡Analyse de la variation

L'analyse de la variation d'une suite consiste à étudier comment les termes changent en fonction du rang de la suite. Cela permet de déterminer si la suite est croissante, décroissante ou présente une tendance fluctuante. Dans le script, l'analyse de la variation est utilisée pour conjecturer le comportement de la suite pour de grands valeurs de n.

Highlights

La vidéo revisite le chapitre 18 et explique les éléments clés, notamment la notion de suite.

On définit une suite de nombres comme une liste ordonnée de nombres.

La suite des nombres impairs est un exemple de suite numérique.

Les suites peuvent être définies de deux manières : formule explicite ou relation de récurrence.

La formule explicite d'une suite permet de calculer n'importe quel terme sans avoir besoin de connaître les termes précédents.

La relation de récurrence définit chaque terme d'une suite en fonction du ou des termes précédents.

On peut représenter les termes d'une suite sur un graphique pour observer leur variation.

La variation d'une suite est intéressante pour comprendre son comportement pour de grands valeurs de n.

Les suites peuvent être soit croissantes, soit décroissantes, ou divergentes.

La limite d'une suite représente son comportement à l'infini.

Une suite convergente se rapproche d'une valeur unique lorsqu'n devient très grand.

Une suite divergente ne se rapproche ni d'une valeur unique ni d'une valeur finie à l'infini.

On peut associer une fonction à une suite pour étudier sa variation plus facilement.

Les suites numériques peuvent être étudiées à l'aide d'outils informatiques pour en déterminer la convergence ou la divergence.

La suite définie par u_n = 2^n + 1 converge vers 2 lorsque n devient grand.

La suite définie par v_n = (-1)^n * (1/n) + 1 est divergente et ne converge pas vers une valeur spécifique.

La suite w_n = (-1)^(n+1) * (1/w_(n-1)) est spéciale et ne converge pas vers une valeur ni vers l'infini.

Transcripts

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[Rires]

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[Musique]

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bonjour

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dans cette vidéo je te propose de revoir

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tout le cours sur le chapitre 18

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l'objet de cette séquence est de te

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rappeler et de t'expliquer les éléments

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est plus important de ce chapitre plus

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précisément on parlera de la notion de

play00:19

suite on définira une suite on verra

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qu'il est possible de la définir de deux

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manières ensuite on parlera de la

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variation d'une suite et on finira par

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les limites d'une suite pour préparer un

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contrôle ou un examen ceci ne suffira

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évidemment pas il te faudra encore faire

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de nombreux exercices en tout cas pour

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le court c'est parti alors quand on

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parle de suite on parle en réalité deux

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suites de nombres

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c'est une liste de noms brune suite

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voyons tout de suite un exemple pour

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mieux comprendre si on considère une

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liste de nombres formée par tous les

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nombres impairs rangé dans l'ordre

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croissant

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ça nous donnerait un 3 5 7 9

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et c est bien là on a une suite de

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nombres mais dit comme ça c'est

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difficile de travailler avec il faudrait

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la définir avec plus de précision alors

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on va l'appeler humaine cette suite on

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va tout de suite comprendre pourquoi on

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écrit humaine avec un petit n en 1 10 et

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u qu'est ce que c'est alors qu en

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réalité c'est le nom de la suite le on

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peut l'appeler vl l'on peut l'appeler w

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l on peut lui donner n'importe quel nom

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habituellement quand on en a qu'une

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seule de suite on l'appelle humaine et n

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c'est ce qui s'appelle laurent de la

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suite alors pour mieux comprendre

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reprenons cette liste de nombre mais on

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voit les écrire l'un en dessous de

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l'autre alors les voilà là je retrouve

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ma liste de noms un père un 3 5 7 9 11

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et cetera mais j'aimerais pouvoir les

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nommer chacun on va lui donner un petit

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nom qui dépend du nom de la suite heures

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la suite s'appelle une haine donc la

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lettre u on va la garder pour chacun de

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ses éléments pour bien savoir que chacun

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de ces éléments appartient à la suite

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humaine mais par contre elle va varier

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alors n c'est un entier un entier

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naturel 0 1 2 3 4 5

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donc le premier entier naturel c zéro

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du coup le premier élément de ma suite

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c'est hull 0 mais ça peut être dans

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certains cas on le verra un peu plus

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tard donc là j'ai eu zéro égal à 1

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ça veut dire que orange 0 je trouve le

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nombre un dans ma liste

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alors les éléments de la suite s'appelle

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des thermes donc on va dire que le

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premier terme de ma suite de nombres

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sait user raw est ce une 0 ce premier

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terme vos seins

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ce qui fait que le deuxième terme c'est

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donc juste le suivant qu'est ce qui

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vient après 0 il y à un donc le deuxième

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terme ce1 et bien eu un égal à 3 on

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remarque là encore que je garde toujours

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le nom eut pour cette suite normale 7/8

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s'appelle humaine si elle s'appelait vng

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dit tout à l'heure qu'on peut l'appeler

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eu également bmw m et bien si cette

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suite s'appelait vn

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je dirais v0 gall 1 v1 égale à 3 et je

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dirais donc v2 égale à 5 mais bon elle

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s'appelle pavé elle s'appelle humaine

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donc je dis humaine eu deux par don égal

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à 5

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et après on continue dans l'ordre eu 3

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et gallas est une cate égal à 9,5 égale

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à 11 alors du coup on peut considérer

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une suite un petit peu comme une

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fonction où à chaque fois je vais donner

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une valeur x alors ici le hic ça

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correspond à quoi

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eh bien ça correspond aux haines et elle

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me renvoie une autre valeur un nombre

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réel de coûts on pourrait avoir cette

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notation pour les suites dire qu'une

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suite est bien quelque part c'est une

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fonction qui va de haine dans air à

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chaque fois que je lui donne un entier

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petite elle elle me renvoie un réel eu

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de n

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mais on l'écrit pas eu de n n entre

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parenthèses on pourrait en fait mais on

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l'écrit eu un dix cennes alors si par

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exemple on reprend cette notation là je

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lui donne zéro eh bien elle me renvoie

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u20 on a dit que ça s'écrivait mu 0 et 1

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0

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ça fait un si je lui donne un peu plus

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bas 5

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elle me renvoie eu 2,5 on a dit que ça

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se noter eu un 10 1 et eu 1 10 5

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c'est donc le suivant ici ça

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11 et bien une suite qu'est ce que c'est

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alors on parle habituellement

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habituellement de suite numérique

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puisqu'on a dit que c'est une suite qui

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est donc formé de nombres une suite

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numérique humaine

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c'est une liste ordonnée on voit bien

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que tous ces nombres sont ordonnés 0123

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c'est à chaque fois lundi ce qui nous le

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dit qui s'appelle laurent en fait donc

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c'est une liste ordonné de nombreux réel

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bon là avec des entier mais on verra

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dans la suite qu'on peut avoir des

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réelles qui a tout entier ed lee cif

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petit n il est là associe un nombre réel

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qu'on va noter humaine ici on retrouve

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notre humaine et chacun de ces us est

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appelé le terme de la suite le terme de

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hre en n2 cette suite on dit aussi le

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terme d'un 10 n par exemple celui ci

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c'est le terme de rang 3 de la suite

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niveau 7

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celui ci c'est le terme de rang 1 de la

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suite niveau 3 et celui ci je le

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rappelle c'est le premier terme de la

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suite voyons maintenant comment générer

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une suite numérique

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il y a deux façons en fait de définir

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une suite numérique alors la première

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façon qu'on va voir c'est comment

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générer une suite par une formule

play05:35

explicite

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on va voir les avantages de cette

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expression par rapport à l'autre qui

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sera par une relation de récurrence

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chacune d'elles ont leurs avantages ont

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leurs inconvénients

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d'ailleurs le travail est souvent de

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passer d'une forme à l'autre on valoir

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commençons déjà par définir une suite

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sous sa forme explicite on va considérer

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une nouvelle suite humaine mais cette

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fois ci qui nous renvoie tous les

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nombres pairs mais j'aimerais pouvoir

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exprimer ul en fonction de haine

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tout à l'heure j'ai exprimés u11 u12 u13

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par une valeur mais j'aimerais en fait

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une formule qui me donne de façon

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générale humaine alors attention ici on

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parle plus d un père mais encore le des

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pères donc je voudrais définir la suite

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des nombres pairs à l'aide d'une formule

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explicite ça donne ceci alors si c'est

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tous les nombres pairs c0 2 4 6 8 10 etc

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on les ordonne comme on a dit donc le

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premier le premier terme c'est u10 égal

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à zéro ensuite vient eu un aygalades

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u2 égal à 4 u 3 égale à 6 uqat égale à 8

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etc

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et si on y regarde de plus près il y a

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une relation en fait entre eux lundi ce

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qui est ici et la valeur de n4 8,8 et le

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double de 4 3 6 6 et où le double de 3 4

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2 4 c'est le double de 2 et cetera donc

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qu'est ce que je vais mettre ici je vais

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mettre le double de haine c'est à dire 2

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n

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eh bien on a là ce qui s'appelle la

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forme explicite de notre suite humaine

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une égale à 2 x n

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alors pourquoi ces pratiques parce que

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là on n'est plus obligé de les écrire

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dans l'ordre pour savoir la valeur d'un

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terme

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si je veux par exemple pu s'en est bien

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je ferai deux fois haine mais ici n vos

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sens donc je ferai deux fois cents soit

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2 cents et ceci va pouvoir marcher à

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n'importe quel niveau de la suite pour

play07:34

n'importe quel vent de la suite si je

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veux une cent mille je ferai deux fois

play07:38

sont ils donc c'est extrêmement pratique

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de disposer de la forme explicite d'une

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suite numérique et on dira que lorsqu on

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génère une suite par une formule

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explicite et bien chaque terme de la

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suite est exprimée en fonction de l et

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ceci indépendamment des termes précédent

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on voit bien ici que pour calculer

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humaine j'ai pas eu besoin de remonter

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au précédent comme je lé fais ici là

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j'ai vraiment construit la suite à

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chaque fois par rapport au précédent

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je suis à huit le suivant ça sera disent

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pourquoi parce que je rajoute deux pour

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que ce soit un nombre pair là pour

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calculer us ans je ne connaissais pas eu

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99 9 98 voyons maintenant la différence

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avec une suite numériques générées par

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une relation de récurrence alors je vais

play08:25

construire la suite suivante on me dit

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que pour la suite on l'appelle encore

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une pour la suite une aide est bien on à

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son premier terme use héros égale à 5

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je connais le point de départ et on nous

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dit que chaque terme de la suite et le

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triple de son précédent je sais que si

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je me trouve un niveau de la suite est

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bien

play08:47

vie de prendre le nombre l'eau le terme

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de cette suite

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le x 3 puisque c'est le triple et

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j'obtiens donc son suivant commençons

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déjà par construire les premiers termes

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de cette suite en partant de zéro égale

play09:02

à 5 alors premier terme use héros et

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gallas eu un humain et le triple de son

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précédent soit 3 x le précédent soit

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trois fois 5 15

play09:14

u2 u2 et le triple de son précédent son

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précédent vaut 15 soit trois fois 15 45

play09:24

u 3 un petit dernier est le triple 2,45

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soit 135 et on continue ainsi de suite

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jusqu'à interne humaine est il possible

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de l'exprimer en fonction de haine

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facilement pas évident parce que autant

play09:45

tout à l'heure on voyait bien la

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relation qu'il y avait entre elle et le

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terme que là on voit pas trop la g1 l'ag

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15 la g2 l'ag 45 la g3 l'âge et 135 ya

play09:57

pas une relation évidente entre le rang

play10:00

est le terme

play10:01

par contre il y a une relation évidente

play10:03

entre un terme et son précédent alors

play10:07

comment on va à l'exprimer en bas on va

play10:09

le faire de la façon suivante on va pas

play10:11

et créé luhan ici mais on va avec une

play10:14

plus humaine plus un qui est donc le

play10:21

suivant de humaine forcément quand je

play10:24

suis à ul je continue d'arriver à une

play10:26

plus simple ils viennent plus de etc

play10:28

et qu'est ce qu'on sait on sait que

play10:30

chaque terme et le triple de son

play10:34

précédent alors qu'elle est le précédent

play10:36

2 e n plus humble on vient de le dire

play10:37

c'est uem et bien finalement

play10:41

u n + 1 est égal à 3 fois humaines

play10:44

on vient là de définir notre suite

play10:48

mais cette fois ci pas en fonction de

play10:50

haine comme tout à l'heure mais un terme

play10:53

en fonction de son précédent on dit

play10:56

qu'on a défini notre suite par une

play10:59

relation

play11:00

récurrence c'est récurrent ça se répète

play11:03

parce que cette formule là elle est

play11:05

vraie à n'importe quel niveau de la

play11:07

suite elle est vrai pour tout entier

play11:09

naturel pour tout entier naturel n

play11:12

et c'est là que c'est intéressant parce

play11:13

qu'à n'importe quel niveau de la suite

play11:15

je pourrais avoir la relation entre un

play11:18

terme et son suivant par contre on voit

play11:20

tout de suite le problème comme tout à

play11:22

l'heure si on me demande de calculer us

play11:24

ans qu'est ce que je pourrais faire cas

play11:28

je pourrais dire que sans égale à 3 x

play11:32

son précédent avançant eu 99

play11:37

ah oui mais du 90 d'affiché combien

play11:39

abbas je peux le calcul et une 99

play11:43

il est égal à 3 x son précédent eu 98

play11:48

on voit tout le problème là c'est qu'il

play11:51

faudrait faire la remontée jusqu'à use

play11:54

héros parce que c'est le seul que j'ai

play11:55

finalement ou disons au moins avec trois

play11:57

avec 135 qu'elle travaille donc là on

play11:59

utilise évidemment un outil informatique

play12:01

pour y arriver ou alors on essaie de

play12:04

modifier la formule de récurrence pour

play12:07

en avoir une formule explicite en

play12:08

fonction de haine

play12:09

en tout cas lorsqu'on génère une suite

play12:11

par une relation de récurrence chaque

play12:14

terme de la suite s'obtient à partir de

play12:17

son terme précédent lors des x de

play12:18

plusieurs termes précédent mais cette

play12:21

année ça sera essentiellement internes

play12:22

précédent et donc il n'est pas possible

play12:24

d'obtenir un terme de la suite à

play12:26

n'importe quel niveau comme c'est le cas

play12:28

avec une forme explicite

play12:30

alors il est possible également de

play12:32

représenter dans un graphique les termes

play12:35

d'une suite

play12:35

alors pour cela bien évidemment il faut

play12:38

déjà choisir quels termes on va

play12:40

représenter alors en général ce sont les

play12:42

premiers donc on n'en représente une

play12:44

dizaine pour avoir la lure de la suite

play12:47

sur ces premiers terme et voir si elle a

play12:50

des propriétés particulières on va en

play12:52

parler tout de suite en particulier des

play12:54

propriétés en termes de variation et

play12:57

donc il faut calculer les valeurs de ses

play12:58

premiers terme donc ici on se donne une

play13:00

nouvelle suite humaine qui est définie

play13:02

par une égale n au carré sur deux -

play13:06

trois et on a construit le tableau de

play13:09

valeur qui donne donc qui expriment les

play13:11

premiers termes de la suite alors pour

play13:14

le terme en user vos n égale à zéro

play13:16

c'est facile ça nous fait donc du zéro

play13:18

au carré sur deux ça fait donc 0 - 3

play13:21

donc moins 3 pour rien donc juste que

play13:23

calculée pour l'exemple un donc eu un

play13:26

cette fois ci elle vaut 1

play13:28

donc ça fait du 1 au carré sur 2 - 3 1

play13:32

au carré sur deux donc ça fait un demi -

play13:35

3 et 1 2 me -3 ou 0,25 -3 ça fait moins

play13:39

2,5

play13:40

c'est pour ça que dans le tableau en

play13:42

dessous de 1

play13:43

on trouve moins de 25 voilà je passe sur

play13:46

les calculs d autres termes je pense que

play13:47

ça pose pas de difficulté et ensuite ce

play13:50

qui nous intéresse c'est représenter

play13:52

tous ces termes dans un graphique

play13:56

alors pour cela on va considérer des

play13:59

points successifs dont les coordonnées

play14:02

sont donnés par le rang 2 du terme et la

play14:07

valeur du terme

play14:08

c'est pour ça que ce tableau ben nous

play14:10

donne directement les coordonnées par

play14:12

exemple le point p 0 qui représentait en

play14:16

tout premier et bien il a pour

play14:17

coordonner 0 - 3 c'est pour ça que je

play14:20

trouve sur l'axé des ordonnées en moins

play14:23

3 le point et 1 alors le point p à pour

play14:27

coordonner 1 - 2 points 5

play14:30

le point p 2 2 - 1 et c'est donc on

play14:33

utilise tout ce tableau là en

play14:35

considérant à chaque fois donc qu'on a

play14:37

des coordonnées on a nos points

play14:38

successifs et voilà on obtient alors ce

play14:40

qui s'appelle un nuage de points

play14:42

attention c'est un nuage de points dont

play14:46

on ne renie pas ses points sauf dans une

play14:48

situation particulière et à condition

play14:50

que ce soit demandée dans l'exercice

play14:52

mais si rien n'est demandé on ne relis

play14:54

jamais les points obtenus à l'aide des

play14:57

termes d'une suite

play14:58

on poursuit avec la variation des suites

play15:01

alors on a représenté ici le nouvel

play15:03

suite on donne pas son expression ça n'a

play15:05

pas d'importance

play15:06

on voit le tableau de valeur on voit la

play15:09

lure du nuage de points donc on l'a

play15:10

obtenue à l'aide d'un logiciel et on va

play15:13

plutôt s'intéresser à la variation de

play15:16

cette suite on remarque que sur les

play15:18

premiers terme

play15:19

eh bien ça commence par des cendres

play15:21

autrement dit ça décroît et puis on est

play15:24

légal à 3 on dirait qu'il ya un

play15:26

changement de mariage

play15:27

et qu'ensuite s'accroît ça monte les

play15:30

termes ont tendance à augmenter

play15:32

et oui on peut conjecturer que cette

play15:35

suite est croissante pour n supérieur ou

play15:38

égal à 3 alors la différence avec les

play15:40

fonctions c'est qu'en fait ça nous

play15:42

intéresse pas beaucoup ce qui se passe

play15:44

sur les premiers terme ce qui nous

play15:46

intéresse plus tôt c'est ce qui se passe

play15:48

pour des grandes valeurs de haine

play15:50

comment la suite elle évolue pour n

play15:53

tendant vers l'infini car on va pas dire

play15:56

que cette suite est d'abord décroissante

play15:58

puis ensuite croissante

play16:00

on va plutôt dire cette suite la suite

play16:02

eu n est croissante pour n supérieur ou

play16:05

égal à 3 c'est pas intéressant ce qui se

play16:08

passe au début tout simplement parce que

play16:09

ce qui ce qui se passe au début je peux

play16:11

le calcul est donc j'ai les valeurs mais

play16:13

ce qui se passe pour des grandes valeurs

play16:15

de haine

play16:15

ça ça nous intéresse un peu plus alors

play16:17

ça reste une conjecture puisque là on

play16:19

n'a pas l'expression n'est pas capable

play16:20

de le prouver mais en réalité c'est vrai

play16:23

maintenant la question c'est si on nous

play16:25

donne une suite par récurrence ou défini

play16:28

sous sa formule explicites comme en

play16:30

démontre que cette suite est croissante

play16:33

ou décroissante

play16:34

eh bien on a une propriété qui est très

play16:37

simple à comprendre et qui nous dit que

play16:40

on une suite humaine et croissante à

play16:43

partir d'un certain rang j'ai dit que ce

play16:46

qui se passait au début c'est pas

play16:47

important c'est à partir d'un certain

play16:48

rang alors seront ils s'appellent p eh

play16:51

bien ça signifie que dès que je vais

play16:53

prendre des haines qui sont plus grands

play16:54

que paie forcément puisque c'est à

play16:55

partir de paix eh bien on a une haine

play16:58

plus un qui est plus grand que le n le

play17:01

suivant qui est plus grand que son

play17:04

précédent et ceci pour n'importe quelle

play17:07

haine à partir d'un certain rang on

play17:09

comprend bien que là nécessairement si

play17:12

le suivant est plus grand que celui qui

play17:14

vient avant ça fait que monter donc on

play17:16

est bien là en présence d'une suite

play17:18

croissante

play17:19

al'inverse si on a tout pile le

play17:21

contraire toujours pareil à partir d'un

play17:26

certain rang et bien seront l'appel paix

play17:29

pour toute haine supérieur ap on a eu

play17:32

une plus un plus petit que humaine est

play17:35

bien là on est en présence d'une suite

play17:36

dé croissante

play17:38

parce que le suivent

play17:39

il est plus petit que son précédent donc

play17:42

on va faire que décroître on va faire

play17:43

que des cendres dans la pratique vu

play17:47

qu'on veut prouver

play17:48

soit que humaine plus sains et plus

play17:50

grand que humaine soit que humaine plus

play17:52

sain et plus petit que n eh bien on va

play17:54

calculer la différence

play17:56

qn + 1 - humaine alors soit à l'aide de

play18:00

la forme explicite soit à l'aide de la

play18:02

forme de récurrence et l'objectif sera

play18:04

de prouver que soient ceux ci est

play18:07

positif si jamais c'est positif ça veut

play18:10

dire que celui ci est plus grand que

play18:12

celui ci donc eu en plus sains et plus

play18:14

grand que humaine croissante soi que

play18:18

cette différence est négative et bien

play18:21

dans ce cas là ça voudra dire que celui

play18:23

ci est plus petit que celui ci que

play18:25

humaine plus aéré plus petit que lui n

play18:26

est donc que la suite est décroissante

play18:28

voilà donc tout le travail consistera à

play18:31

exprimer de la meilleure façon la

play18:33

différence u n + 1 - humaine je t'invite

play18:35

à cliquer sur le lien pour regarder les

play18:38

vidéos correspondante qui montre des

play18:40

exemples de démonstration de variation

play18:43

de suite alors j'ai pas préciser ici le

play18:46

symbole cissé street si strictement

play18:48

croissante

play18:49

si ces larges c'est tout simplement

play18:50

croissante et pareil pour la

play18:52

décroissance alors petites astuces qui

play18:55

peut servir de temps en temps lorsqu'on

play18:57

a utilisé lorsqu'on a étudié la

play19:00

variation d'une suite c'est en fait de

play19:02

passer par la fonction qui lui est

play19:04

associée alors ça ça marche bien

play19:06

quand la suite elle est définie en

play19:09

fonction de haine voyait voici un

play19:11

exemple alors par exemple la suite

play19:14

ul qu'elle ait fini par l occar et plus

play19:17

sain et bien qu'est ce qu'on va faire on

play19:19

va lui associer une fonction une

play19:21

fonction f qui sera donc définie sur

play19:24

zéro + 1 fini puisque n est un entier

play19:26

naturel on nous rappelle pareil 2x égal

play19:30

à ixxo claret +1 et au lieu d'étudier la

play19:35

variation de note suite

play19:37

eh bien on va étudier la variation de

play19:39

notre fonction des fois c'est plus

play19:41

facile et suivant le résultat ici on

play19:44

pourra la corde et à la suite pourquoi

play19:48

pour le comprendre

play19:50

un petit schéma en fait si je représente

play19:52

les termes de

play19:53

j'aurai quelque chose comme ça la

play19:54

cheville en un est donc là j'aurais tous

play19:56

les termes et si je représente la

play20:00

fonction avec 2 x égale x o car est plus

play20:02

un là dessus ça me donnerait ceci est là

play20:05

on voit donc notre courbe qui passe donc

play20:07

par tous les points donnés par la suite

play20:10

ce qui fait que si la fonction

play20:12

croissante et bien nécessairement la

play20:15

suite dont les points se trouve sur la

play20:18

courbe de la fonction la suite sera

play20:20

également croissante

play20:21

c'est ce qui est exprimé dans cette

play20:22

propriété on définit donc une fonction

play20:25

par une égale f de haine

play20:27

c'est la même chose ici que j'écrive f

play20:29

de haine ou que j'écrive l2 hic c'est la

play20:31

même chose

play20:32

la seule chose qui diffère en fait c'est

play20:34

que x est réel j'obtiens dans quelque

play20:36

chose de continue alors que ici n est

play20:39

entier donc j'obtiens on dit quelque

play20:40

chose de discret de deux dentiers en

play20:43

entier et est donc si jamais la fonction

play20:47

effet croissante alors la suite ul et

play20:49

croissante également si la fonction est

play20:51

décroissante

play20:52

la suite est décroissante ceci à partir

play20:54

d'un certain rang pareil alors si

play20:57

j'arrive par exemple a prouvé qu'une

play20:58

fonction est croissante

play21:00

à partir de 2005 pour la suite cela

play21:03

voudra dire que lé croissante à partir

play21:05

de n égale trois on va prendre le 1er

play21:07

entier qui suit 2,5 alors passons

play21:12

maintenant à tout ce qui concerne la

play21:14

limite d'une suite on va voir qu'il

play21:16

existe deux types de suite les suites

play21:18

dit convergentes et les suites

play21:19

divergentes

play21:20

il n'existe pas autre chose mais qu'est

play21:21

ce que ça veut dire tout ça et qu'est ce

play21:23

que c'est en fait rechercher la limite

play21:25

d'une suite et bien c'est savoir comment

play21:27

elle se comporte

play21:28

lorsque n devient très très très grand

play21:31

est ce que les termes de la suite

play21:34

deviennent aussi très très très grand

play21:36

est ce qu'ils deviennent très très petit

play21:38

est-ce qu'il se rapproche d'un nombre

play21:40

est ce qu'il sera proche de zéro bas

play21:41

c'est toute la question qu'on se pose et

play21:43

pour cela et bien on s'est souvent d'un

play21:46

outil informatique où on fait des essais

play21:48

des calculs

play21:50

c'est ce qu'on va faire tout de suite

play21:52

avec cette première suite eu n

play21:53

alors cette suite eu n elle est définit

play21:56

par ul égal 2 n + 1 sur elle et donc

play21:58

défini à l'aide de sa forme explicite et

play22:01

on a construit en dessous un tableau de

play22:04

valeur

play22:04

donc je passe sur tout

play22:06

les calculs on retrouve donc comme tout

play22:08

à l'heure quand on avait fait le

play22:09

graphique sur la première ligne les

play22:11

valeurs de l donc le les rangs de la

play22:14

suite et ensuite les valeurs de humaine

play22:16

correspondant donc on voit par exemple

play22:18

donc qu'on a

play22:20

22.5 ça signifie que u2 est égal à 2,5

play22:25

et si on va beaucoup plus loin on voit

play22:28

qu'on a 50 2,02 cela signifie que eu 50

play22:33

est égal à 2,02 alors ce qui est

play22:37

intéressant je les dis c'est de voir

play22:39

comment évoluent ces termes quand on

play22:41

grandit donc on voit qu'on a fait

play22:43

grandir n 1 2 3 4 5 10 15 550 500 et

play22:50

qu'est ce qui arrive à u n alors si on

play22:53

regarde l'évolution du yen on voit quand

play22:55

même qu'il se passe quelque chose

play22:56

on démarre à trois premiers termes 2.5

play23:00

2,33 2,25 2002 2,1 on dirait qu'on se

play23:06

rapproche de 2,2 points 0,67 ça semble

play23:09

se confirmer

play23:10

et ça se confirme quand on continue avec

play23:12

2 0 2 puis 2 0 0 2 on va donc pouvoir

play23:16

faire ça restera de l'ordre de la

play23:19

conjecture

play23:19

mais on va donc pouvoir dire que les

play23:24

termes de la suite sera proche de 2

play23:26

lorsque n devient grand eh bien on dira

play23:29

que la suite humaine convergent vers 2

play23:33

et on écrira que la limite on n'écrit

play23:38

pas limites en entier on écrit elle

play23:40

im de humaine c'est bien ul avec qui on

play23:45

travaille

play23:45

lorsque n devient grand alors pour dire

play23:49

que n devient grand on met haine qui se

play23:52

rapproche de plus l'infini alors là plus

play23:55

l'infini on comprend que elle devient

play23:57

très très grand et bien la limite de

play24:00

humaine lorsque n devient grand est égal

play24:03

à 2 et là je peux mettre égal car je

play24:08

parle de la limite même si je n'atteins

play24:10

jamais la valeur 2 en terme de limites

play24:13

on à l'égalité ceci ça se lit la limite

play24:17

de

play24:17

lorsque n tend vers plus l'infini est

play24:19

égal à 2 alors un deuxième exemple avec

play24:22

une autre situation maintenant est une

play24:24

suite qui est divergente qui diverge

play24:26

qu'est-ce que cela signifie

play24:27

alors on retrouve la suite de tout à

play24:29

l'heure bon cette fois ci je les

play24:30

appelais vn pour changer un peu

play24:32

qui est définie par vsd galles aide au

play24:35

carré +1

play24:36

j'ai calculé les premiers terme donc 0 0

play24:40

au quart est plus à ça donne un v1 1 o

play24:43

car est plus un ça donne 2 v 2 2 au

play24:46

carré plus un ça donne 5 etc et on est

play24:49

allé comme ça jusqu'à v sens qu'ils

play24:52

donnent donc s'en carre +1 qui nous

play24:54

renvoie 10000 1 on comprend bien et on a

play24:57

bien envie de penser en plus on

play24:58

reconnaît la suite carey ici que les

play25:01

termes de cette suite vn vont devenir

play25:04

aussi grand que l'on veut pourvu juste

play25:07

que je choisisse des ailes suffisamment

play25:09

grand et bien c'est ça plus elle devient

play25:12

grand plus les termes de la suite semble

play25:14

devenir grand on dit que la suite vn

play25:17

divergent vert +1 fini et on écrit la

play25:21

limite 2 qui devait n

play25:24

non quand ça quand elle devient grand ça

play25:29

fait quoi

play25:29

ça fait plus l'infini on lit la limite

play25:33

de la suite vn lorsque haine envers plus

play25:36

l'infini est égale 1 plus infi et une

play25:39

petite dernière pour finir une suite w

play25:43

haine qui est un peu spécial qui est

play25:45

définie par récurrence par w n plus un

play25:48

égale à -1 puissance n fois wm on nous

play25:54

donne le premier terme qui est w0 égale

play25:57

à deux on va faire quelques calculs w0

play26:01

égale à 2 alors du coup w1 est égal à -1

play26:07

puissance n

play26:09

alors attention il ya un petit piège

play26:10

c'est pas ici - impuissance 1 pourquoi

play26:14

parce que on voit qu'il est écrit w n

play26:18

plus un égale à -1 puissance n autrement

play26:22

dit entre eux l'exposant et l' indice il

play26:26

ya un décalage de un jeu

play26:28

perd un rang sur l'exposant donc si là

play26:31

je suis à un ici j'arrive à 0 x w0

play26:37

puisque c'est du n

play26:40

alors que l'ag du n + 1 w 0 qui fait

play26:43

d'eux alors - impuissant 0 bah ça ça

play26:46

fait 1 1 x 2 w 2 égal à -1 puissance

play26:55

maintenant on a compris je diminue de 1

play26:57

puissance 1 x w1

play27:01

le précédent niveau 2 soit -1 6 ans ça

play27:05

fait moins 1 - 1 x 2 - 2 on poursuit w3

play27:10

égales - impuissance 2 x - 2cw 2 soit

play27:18

moins au carré ça fait un x - deux ça

play27:21

fait monde

play27:22

encore un petit dernier w4 égal à -1

play27:27

puissance 3 x w3 c'est à dire x moins

play27:32

deux ans ça nous donne - occupe ça fait

play27:35

moins 1 - 1 fois moins deux ça fait plus

play27:38

de 2 alors on remarque là il se passe

play27:41

des choses bizarres on va

play27:42

alternativement sur deux ou moins deux

play27:45

c'est normal puisque à chaque fois on

play27:47

multiplie par le terme précédent qe2 ou

play27:49

moins 2 et l'autre facteur c'est moins

play27:52

en moins donc on sent bien que ça va

play27:53

être du dock du moins deux et comme ça

play27:55

ça va continuer du coup lorsque elle

play27:57

devient grand eh bien les termes de la

play27:59

suite ne semble pas se rapprocher vers

play28:00

une valeur unique ni aller vers plus

play28:03

infinie dit même aller vers moins

play28:04

l'infini on dira tout simplement que la

play28:07

suite w n 10 verges alors on ne peut pas

play28:11

dire qu'elle diverses vers quelque chose

play28:12

comme tout à l'heure puisque elle ne

play28:14

diverge verts rien on dit tout

play28:16

simplement qu elles divergent

play28:17

la définition d'une suite divergences

play28:19

c'est tout simplement une suite qui

play28:21

n'est pas convergentes et cette séquence

play28:23

est terminée

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