LE COURS : Les suites - Première

Summary

Dans cette vidéo, l'explorateur数学 revisite le chapitre 18 en détaillant les concepts clés liés aux suites numériques. Il aborde la définition d'une suite,区分 les deux manières de la définir, explore la variation des suites et les limites possibles. Des exemples concrets illustrent comment identifier si une suite est croissante, décroissante ou divergente, ainsi que comment représenter graphiquement les termes d'une suite. L'objectif est d'aider à la préparation des examens en mathématiques.

Takeaways

• 📚 La définition d'une suite est une liste ordonnée de nombres.
• 🔢 On peut définir une suite de deux manières : par une formule explicite ou par une relation de récurrence.
• 📈 Une formule explicite permet de calculer n'importe quel terme de la suite sans avoir besoin de connaître les termes précédents.
• 🔄 Une relation de récurrence définit chaque terme en fonction du ou des termes précédents.
• 📊 La représentation graphique d'une suite permet d'observer ses propriétés et ses variations.
• 📈/📉 La variation d'une suite peut être croissante ou décroissante à partir d'un certain rang.
• 🔢 Pour prouver si une suite est croissante ou décroissante, on calcule la différence entre les termes et l'analyse.
• 📈/📉 On peut également étudier la variation d'une suite en associant une fonction à chaque terme et en analysant la variation de cette fonction.
• 🏁 Les suites peuvent être classées en convergentes, divergentes ou oscillantes.
• 🌐 La limite d'une suite convergente est le nombre vers lequel les termes de la suite tendent lorsqu'n devient très grand.
• 🚫 La notion de divergence d'une suite signifie qu'elle ne tend pas vers une limite précise et peut s'éloigner vers plus ou moins l'infini.

Q & A

Quelle est la définition d'une suite numérique?

Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres réels ou entiers, où chaque terme est défini par une relation mathématique avec les termes précédents ou par une formule explicite.

Comment peut-on définir une suite numérique?

On peut définir une suite numérique soit par une formule explicite qui exprime chaque terme en fonction de son rang, soit par une relation de récurrence qui définit chaque terme en fonction de son ou ses termes précédents.

Quel est l'exemple donné de suite numérique dans le script?

L'exemple donné est la suite des nombres impairs ordonnés en croissant, qui est représentée par la suite 3, 5, 7, 9, et ainsi de suite.

Comment les termes d'une suite numérique sont-ils nommés?

Les termes d'une suite numérique sont nommés en fonction de leur rang, avec le premier terme étant le terme de rang 0, le deuxième terme étant le terme de rang 1, et ainsi de suite.

Qu'est-ce qu'une suite de récurrence et comment est-elle définie?

Une suite de récurrence est une suite numérique où chaque terme est défini par une relation avec ses termes précédents. Elle est définie par une formule qui montre comment le terme actuel dépend des termes précédents.

Quelle est la différence entre une formule explicite et une relation de récurrence?

Une formule explicite exprime chaque terme de la suite en fonction de son rang, tandis qu'une relation de récurrence définit chaque terme en fonction de son ou ses termes précédents. La formule explicite permet de trouver n'importe quel terme de la suite sans avoir à calculer les termes précédents, tandis que la relation de récurrence nécessite de connaître les termes précédents pour trouver le terme actuel.

Comment peut-on représenter graphiquement les termes d'une suite numérique?

Pour représenter graphiquement les termes d'une suite numérique, on peut tracer les points successifs dont les coordonnées sont données par le rang du terme et sa valeur. Ces points forment un nuage de points qui illustre la tendance de la suite.

Comment peut-on déterminer si une suite numérique est croissante ou décroissante?

Pour déterminer si une suite numérique est croissante ou décroissante, on peut calculer la différence entre les termes consecutifs et voir si cette différence est positive (croissance) ou negative (décroissance). On peut également étudier la fonction associée à la suite pour observer sa variation.

Qu'est-ce que la limite d'une suite numérique et comment elle est déterminée?

La limite d'une suite numérique est la valeur vers laquelle les termes de la suite tendent lorsqu'ils deviennent très grands. Elle peut être déterminée en observant la tendance des termes à long terme et en utilisant des outils informatiques pour des approximations ou en étudiant la formule de la suite pour une convergence ou une divergence vers une valeur spécifique ou vers l'infini.

Quels sont les deux types de suites numériques?

Les deux types de suites numériques sont les suites convergentes, qui tendent vers une limite spécifique lorsqu'elles deviennent très grandes, et les suites divergentes, qui ne tendent pas vers une limite spécifique et peuvent要么divergir vers l'infini ou osciller sans converger vers une valeur précise.

Quel exemple de suite divergente est donné dans le script?

L'exemple de suite divergente donné dans le script est la suite définie par vn_n+1 = -1^(n+1) * vn_n, où les termes de la suite tendent vers l'infini à mesure que n devient très grand.

Outlines

00:00

📚 Introduction aux suites numériques

Le paragraphe introduit le concept de suites numériques, expliquant que ce sont des listes d'entiers ordonnés. Il mentionne l'importance de définir précisément une suite pour travailler avec facilité. Un exemple de suite est donné avec les nombres impairs ordonnés, soulignant la nécessité de nommer et de définir les termes de la suite. Le paragraphe explique également les différentes façons de définir une suite : par une formule explicite ou par une relation de récurrence, et comment ces définitions peuvent être transformées l'une en l'autre.

05:02

📈 Génération de suites numériques

Ce paragraphe explique comment générer des suites numériques à travers des formules explicites et des relations de récurrence. Il présente l'avantage de la formule explicite pour trouver les termes de la suite sans avoir à énumérer tous les termes précédents. Des exemples sont donnés pour illustrer la construction de suites numériques à l'aide de formules explicites et de relations de récurrence, mettant en évidence la différence entre les deux approches.

10:04

📊 Représentation graphique des suites

Le paragraphe discute de la représentation graphique des suites numériques, montrant comment les termes de la suite peuvent être visualisés en points sur un graphique. Il explique comment construire un tableau de valeurs pour les termes de la suite et comment utiliser ces valeurs pour tracer un nuage de points. Le paragraphe aborde également les propriétés de variation des suites et comment observer leur comportement à travers des graphiques.

15:06

🔄 Variation des suites numériques

Dans ce paragraphe, l'accent est mis sur l'étude de la variation des suites numériques. Il explique comment analyser si une suite est croissante ou décroissante en regardant les différences entre les termes successifs. Le paragraphe présente des techniques pour démontrer la croissance ou la décroissance d'une suite, en utilisant soit la forme explicite soit la forme de récurrence. Il souligne également l'utilisation de fonctions associées pour étudier la variation des suites.

20:06

🌐 Limites des suites numériques

Le paragraphe traite des limites des suites numériques, différenciant les suites convergentes et divergentes. Il explique comment observer le comportement d'une suite lorsque le terme de la suite devient très grand et comment déterminer si elle tend vers une valeur unique ou vers l'infini. Des exemples sont fournis pour illustrer la convergence et la divergence de suites, ainsi que la manière de calculer et d'interpréter les limites des suites.

25:08

🔄 Suite numérique spéciale et divergence

Ce paragraphe présente une suite numérique spéciale, définie par une relation de récurrence complexe, et son comportement étrange lorsqu'elle devient grande. Il explique que cette suite ne converge pas vers une valeur unique ni vers l'infini, mais plutôt oscille entre des valeurs qui s'approchent d'une certaine valeur, mais sans jamais y parvenir. Cela est illustré par des termes de la suite qui alternent entre des valeurs croissantes et décroissantes. Le paragraphe conclut en définissant une suite divergente comme une suite qui n'est pas convergente.

Keywords

💡Suite numérique

Une suite numérique est une séquence ordonnée de nombres. Elle peut être définie de deux manières : par une formule explicite ou par une relation de récurrence. Dans le contexte de la vidéo, l'exemple donnée est la suite des nombres impairs ordonnés croissant, qui est une suite numérique car elle contient des nombres ordonnés suivant une certaine règle.

💡Formule explicite

Une formule explicite est une expression mathématique qui permet de déterminer le terme d'une suite numérique en utilisant son rang. Elle est utile car elle permet de calculer rapidement le terme à un rang donné sans avoir à calculer tous les termes précédents. Dans la vidéo, l'exemple de la suite des nombres pairs est défini par une formule explicite : u_n = 2n.

💡Relation de récurrence

Une relation de récurrence est une définition d'une suite numérique où chaque terme est défini en fonction du ou des termes précédents. Elle est souvent utilisée pour décrire des suites qui suivent un schéma de croissance ou de décroissance. Dans le script, une suite est définie par une relation de récurrence où chaque terme est le triple du terme précédent.

💡Variation de la suite

La variation d'une suite se réfère à la manière dont les termes de la suite changent entre eux. Elle peut être croissante, décroissante ou fluctuante. La variation est importante pour comprendre le comportement de la suite à mesure que son rang augmente. Dans la vidéo, l'analyse de la variation permet de déterminer si une suite est croissante ou décroissante à partir d'un certain rang.

💡Limite d'une suite

La limite d'une suite est la valeur vers laquelle les termes de la suite convergent lorsqu'ils sont suffisamment grands. Elle peut être finie ou divergente vers l'infini. La limite est un concept crucial pour comprendre le comportement d'une suite dans le temps ou à l'infini. Dans le script, la limite est utilisée pour décrire le comportement de différentes suites, comme la suite趋于 2 lorsque n devient grand.

💡Convergent et Divergent

Unes suites convergentes sont celles qui ont une limite finie, c'est-à-dire que les termes de la suite se rapprochent d'un certain nombre fini lorsque le rang de la suite augmente. Au contraire, les suites divergentes n'ont pas de limite finie et peuvent要么趋于 un nombre infini要么fluctuer sans se rapprocher de toute valeur précise. Dans le script, la suite u_n = n^2 + 1 est décrite comme étant convergente, tandis que la suite v_n = (-1)^n * (n+1) est divergente.

💡Terme de la suite

Le terme de la suite, également appelé élément de la suite, est un nombre individu dans la séquence ordonnée constituée par la suite numérique. Chaque terme est associé à un entier naturel appelé son rang. Le premier terme est généralement de rang 0 ou 1 selon la convention utilisée. Dans le script, les termes de la suite sont discutés en relation avec leur rang et leur valeur.

💡Rang d'un terme

Le rang d'un terme dans une suite numérique est sa position ou son ordre dans la séquence. Il est généralement un entier naturel qui commence à 0 ou 1 selon la convention d'indexation choisie. Le rang est utilisé pour identifier spécifiquement un terme et pour étudier la variation de la suite. Dans le script, le rang est mentionné lorsqu'il est question de définir et de calculer les termes de la suite.

💡Graphique de la suite

Le graphique de la suite est une représentation visuelle des termes de la suite numérique sur un axe des ordonnées et un axe des abscisses. Il permet de visualiser la tendance et le comportement de la suite, comme sa croissance, sa décroissance ou sa convergence. Dans le script, le graphique est mentionné comme un outil pour étudier les propriétés de variation de la suite.

💡Nuage de points

Un nuage de points est une représentation graphique des termes d'une suite numérique où chaque terme est représenté par un point dont les coordonnées sont déterminées par son rang et sa valeur. Il n'est généralement pas connecté directement les points, contrairement à une courbe de fonction. Dans le script, le nuage de points est utilisé pour illustrer la représentation graphique des termes de la suite.

💡Analyse de la variation

L'analyse de la variation d'une suite consiste à étudier comment les termes changent en fonction du rang de la suite. Cela permet de déterminer si la suite est croissante, décroissante ou présente une tendance fluctuante. Dans le script, l'analyse de la variation est utilisée pour conjecturer le comportement de la suite pour de grands valeurs de n.

Highlights

La vidéo revisite le chapitre 18 et explique les éléments clés, notamment la notion de suite.

On définit une suite de nombres comme une liste ordonnée de nombres.

La suite des nombres impairs est un exemple de suite numérique.

Les suites peuvent être définies de deux manières : formule explicite ou relation de récurrence.

La formule explicite d'une suite permet de calculer n'importe quel terme sans avoir besoin de connaître les termes précédents.

La relation de récurrence définit chaque terme d'une suite en fonction du ou des termes précédents.

On peut représenter les termes d'une suite sur un graphique pour observer leur variation.

La variation d'une suite est intéressante pour comprendre son comportement pour de grands valeurs de n.

Les suites peuvent être soit croissantes, soit décroissantes, ou divergentes.

La limite d'une suite représente son comportement à l'infini.

Une suite convergente se rapproche d'une valeur unique lorsqu'n devient très grand.

Une suite divergente ne se rapproche ni d'une valeur unique ni d'une valeur finie à l'infini.

On peut associer une fonction à une suite pour étudier sa variation plus facilement.

Les suites numériques peuvent être étudiées à l'aide d'outils informatiques pour en déterminer la convergence ou la divergence.

La suite définie par u_n = 2^n + 1 converge vers 2 lorsque n devient grand.

La suite définie par v_n = (-1)^n * (1/n) + 1 est divergente et ne converge pas vers une valeur spécifique.

La suite w_n = (-1)^(n+1) * (1/w_(n-1)) est spéciale et ne converge pas vers une valeur ni vers l'infini.

Transcripts

[Rires]

[Musique]

bonjour

dans cette vidéo je te propose de revoir

tout le cours sur le chapitre 18

l'objet de cette séquence est de te

rappeler et de t'expliquer les éléments

est plus important de ce chapitre plus

précisément on parlera de la notion de

suite on définira une suite on verra

qu'il est possible de la définir de deux

manières ensuite on parlera de la

variation d'une suite et on finira par

les limites d'une suite pour préparer un

contrôle ou un examen ceci ne suffira

évidemment pas il te faudra encore faire

de nombreux exercices en tout cas pour

le court c'est parti alors quand on

parle de suite on parle en réalité deux

suites de nombres

c'est une liste de noms brune suite

voyons tout de suite un exemple pour

mieux comprendre si on considère une

liste de nombres formée par tous les

nombres impairs rangé dans l'ordre

croissant

ça nous donnerait un 3 5 7 9

et c est bien là on a une suite de

nombres mais dit comme ça c'est

difficile de travailler avec il faudrait

la définir avec plus de précision alors

on va l'appeler humaine cette suite on

va tout de suite comprendre pourquoi on

écrit humaine avec un petit n en 1 10 et

u qu'est ce que c'est alors qu en

réalité c'est le nom de la suite le on

peut l'appeler vl l'on peut l'appeler w

l on peut lui donner n'importe quel nom

habituellement quand on en a qu'une

seule de suite on l'appelle humaine et n

c'est ce qui s'appelle laurent de la

suite alors pour mieux comprendre

reprenons cette liste de nombre mais on

voit les écrire l'un en dessous de

l'autre alors les voilà là je retrouve

ma liste de noms un père un 3 5 7 9 11

et cetera mais j'aimerais pouvoir les

nommer chacun on va lui donner un petit

nom qui dépend du nom de la suite heures

la suite s'appelle une haine donc la

lettre u on va la garder pour chacun de

ses éléments pour bien savoir que chacun

de ces éléments appartient à la suite

humaine mais par contre elle va varier

alors n c'est un entier un entier

naturel 0 1 2 3 4 5

donc le premier entier naturel c zéro

du coup le premier élément de ma suite

c'est hull 0 mais ça peut être dans

certains cas on le verra un peu plus

tard donc là j'ai eu zéro égal à 1

ça veut dire que orange 0 je trouve le

nombre un dans ma liste

alors les éléments de la suite s'appelle

des thermes donc on va dire que le

premier terme de ma suite de nombres

sait user raw est ce une 0 ce premier

terme vos seins

ce qui fait que le deuxième terme c'est

donc juste le suivant qu'est ce qui

vient après 0 il y à un donc le deuxième

terme ce1 et bien eu un égal à 3 on

remarque là encore que je garde toujours

le nom eut pour cette suite normale 7/8

s'appelle humaine si elle s'appelait vng

dit tout à l'heure qu'on peut l'appeler

eu également bmw m et bien si cette

suite s'appelait vn

je dirais v0 gall 1 v1 égale à 3 et je

dirais donc v2 égale à 5 mais bon elle

s'appelle pavé elle s'appelle humaine

donc je dis humaine eu deux par don égal

à 5

et après on continue dans l'ordre eu 3

et gallas est une cate égal à 9,5 égale

à 11 alors du coup on peut considérer

une suite un petit peu comme une

fonction où à chaque fois je vais donner

une valeur x alors ici le hic ça

correspond à quoi

eh bien ça correspond aux haines et elle

me renvoie une autre valeur un nombre

réel de coûts on pourrait avoir cette

notation pour les suites dire qu'une

suite est bien quelque part c'est une

fonction qui va de haine dans air à

chaque fois que je lui donne un entier

petite elle elle me renvoie un réel eu

de n

mais on l'écrit pas eu de n n entre

parenthèses on pourrait en fait mais on

l'écrit eu un dix cennes alors si par

exemple on reprend cette notation là je

lui donne zéro eh bien elle me renvoie

u20 on a dit que ça s'écrivait mu 0 et 1

0

ça fait un si je lui donne un peu plus

bas 5

elle me renvoie eu 2,5 on a dit que ça

se noter eu un 10 1 et eu 1 10 5

c'est donc le suivant ici ça

11 et bien une suite qu'est ce que c'est

alors on parle habituellement

habituellement de suite numérique

puisqu'on a dit que c'est une suite qui

est donc formé de nombres une suite

numérique humaine

c'est une liste ordonnée on voit bien

que tous ces nombres sont ordonnés 0123

c'est à chaque fois lundi ce qui nous le

dit qui s'appelle laurent en fait donc

c'est une liste ordonné de nombreux réel

bon là avec des entier mais on verra

dans la suite qu'on peut avoir des

réelles qui a tout entier ed lee cif

petit n il est là associe un nombre réel

qu'on va noter humaine ici on retrouve

notre humaine et chacun de ces us est

appelé le terme de la suite le terme de

hre en n2 cette suite on dit aussi le

terme d'un 10 n par exemple celui ci

c'est le terme de rang 3 de la suite

niveau 7

celui ci c'est le terme de rang 1 de la

suite niveau 3 et celui ci je le

rappelle c'est le premier terme de la

suite voyons maintenant comment générer

une suite numérique

il y a deux façons en fait de définir

une suite numérique alors la première

façon qu'on va voir c'est comment

générer une suite par une formule

explicite

on va voir les avantages de cette

expression par rapport à l'autre qui

sera par une relation de récurrence

chacune d'elles ont leurs avantages ont

leurs inconvénients

d'ailleurs le travail est souvent de

passer d'une forme à l'autre on valoir

commençons déjà par définir une suite

sous sa forme explicite on va considérer

une nouvelle suite humaine mais cette

fois ci qui nous renvoie tous les

nombres pairs mais j'aimerais pouvoir

exprimer ul en fonction de haine

tout à l'heure j'ai exprimés u11 u12 u13

par une valeur mais j'aimerais en fait

une formule qui me donne de façon

générale humaine alors attention ici on

parle plus d un père mais encore le des

pères donc je voudrais définir la suite

des nombres pairs à l'aide d'une formule

explicite ça donne ceci alors si c'est

tous les nombres pairs c0 2 4 6 8 10 etc

on les ordonne comme on a dit donc le

premier le premier terme c'est u10 égal

à zéro ensuite vient eu un aygalades

u2 égal à 4 u 3 égale à 6 uqat égale à 8

etc

et si on y regarde de plus près il y a

une relation en fait entre eux lundi ce

qui est ici et la valeur de n4 8,8 et le

double de 4 3 6 6 et où le double de 3 4

2 4 c'est le double de 2 et cetera donc

qu'est ce que je vais mettre ici je vais

mettre le double de haine c'est à dire 2

n

eh bien on a là ce qui s'appelle la

forme explicite de notre suite humaine

une égale à 2 x n

alors pourquoi ces pratiques parce que

là on n'est plus obligé de les écrire

dans l'ordre pour savoir la valeur d'un

terme

si je veux par exemple pu s'en est bien

je ferai deux fois haine mais ici n vos

sens donc je ferai deux fois cents soit

2 cents et ceci va pouvoir marcher à

n'importe quel niveau de la suite pour

n'importe quel vent de la suite si je

veux une cent mille je ferai deux fois

sont ils donc c'est extrêmement pratique

de disposer de la forme explicite d'une

suite numérique et on dira que lorsqu on

génère une suite par une formule

explicite et bien chaque terme de la

suite est exprimée en fonction de l et

ceci indépendamment des termes précédent

on voit bien ici que pour calculer

humaine j'ai pas eu besoin de remonter

au précédent comme je lé fais ici là

j'ai vraiment construit la suite à

chaque fois par rapport au précédent

je suis à huit le suivant ça sera disent

pourquoi parce que je rajoute deux pour

que ce soit un nombre pair là pour

calculer us ans je ne connaissais pas eu

99 9 98 voyons maintenant la différence

avec une suite numériques générées par

une relation de récurrence alors je vais

construire la suite suivante on me dit

que pour la suite on l'appelle encore

une pour la suite une aide est bien on à

son premier terme use héros égale à 5

je connais le point de départ et on nous

dit que chaque terme de la suite et le

triple de son précédent je sais que si

je me trouve un niveau de la suite est

bien

vie de prendre le nombre l'eau le terme

de cette suite

le x 3 puisque c'est le triple et

j'obtiens donc son suivant commençons

déjà par construire les premiers termes

de cette suite en partant de zéro égale

à 5 alors premier terme use héros et

gallas eu un humain et le triple de son

précédent soit 3 x le précédent soit

trois fois 5 15

u2 u2 et le triple de son précédent son

précédent vaut 15 soit trois fois 15 45

u 3 un petit dernier est le triple 2,45

soit 135 et on continue ainsi de suite

jusqu'à interne humaine est il possible

de l'exprimer en fonction de haine

facilement pas évident parce que autant

tout à l'heure on voyait bien la

relation qu'il y avait entre elle et le

terme que là on voit pas trop la g1 l'ag

15 la g2 l'ag 45 la g3 l'âge et 135 ya

pas une relation évidente entre le rang

est le terme

par contre il y a une relation évidente

entre un terme et son précédent alors

comment on va à l'exprimer en bas on va

le faire de la façon suivante on va pas

et créé luhan ici mais on va avec une

plus humaine plus un qui est donc le

suivant de humaine forcément quand je

suis à ul je continue d'arriver à une

plus simple ils viennent plus de etc

et qu'est ce qu'on sait on sait que

chaque terme et le triple de son

précédent alors qu'elle est le précédent

2 e n plus humble on vient de le dire

c'est uem et bien finalement

u n + 1 est égal à 3 fois humaines

on vient là de définir notre suite

mais cette fois ci pas en fonction de

haine comme tout à l'heure mais un terme

en fonction de son précédent on dit

qu'on a défini notre suite par une

relation

récurrence c'est récurrent ça se répète

parce que cette formule là elle est

vraie à n'importe quel niveau de la

suite elle est vrai pour tout entier

naturel pour tout entier naturel n

et c'est là que c'est intéressant parce

qu'à n'importe quel niveau de la suite

je pourrais avoir la relation entre un

terme et son suivant par contre on voit

tout de suite le problème comme tout à

l'heure si on me demande de calculer us

ans qu'est ce que je pourrais faire cas

je pourrais dire que sans égale à 3 x

son précédent avançant eu 99

ah oui mais du 90 d'affiché combien

abbas je peux le calcul et une 99

il est égal à 3 x son précédent eu 98

on voit tout le problème là c'est qu'il

faudrait faire la remontée jusqu'à use

héros parce que c'est le seul que j'ai

finalement ou disons au moins avec trois

avec 135 qu'elle travaille donc là on

utilise évidemment un outil informatique

pour y arriver ou alors on essaie de

modifier la formule de récurrence pour

en avoir une formule explicite en

fonction de haine

en tout cas lorsqu'on génère une suite

par une relation de récurrence chaque

terme de la suite s'obtient à partir de

son terme précédent lors des x de

plusieurs termes précédent mais cette

année ça sera essentiellement internes

précédent et donc il n'est pas possible

d'obtenir un terme de la suite à

n'importe quel niveau comme c'est le cas

avec une forme explicite

alors il est possible également de

représenter dans un graphique les termes

d'une suite

alors pour cela bien évidemment il faut

déjà choisir quels termes on va

représenter alors en général ce sont les

premiers donc on n'en représente une

dizaine pour avoir la lure de la suite

sur ces premiers terme et voir si elle a

des propriétés particulières on va en

parler tout de suite en particulier des

propriétés en termes de variation et

donc il faut calculer les valeurs de ses

premiers terme donc ici on se donne une

nouvelle suite humaine qui est définie

par une égale n au carré sur deux -

trois et on a construit le tableau de

valeur qui donne donc qui expriment les

premiers termes de la suite alors pour

le terme en user vos n égale à zéro

c'est facile ça nous fait donc du zéro

au carré sur deux ça fait donc 0 - 3

donc moins 3 pour rien donc juste que

calculée pour l'exemple un donc eu un

cette fois ci elle vaut 1

donc ça fait du 1 au carré sur 2 - 3 1

au carré sur deux donc ça fait un demi -

3 et 1 2 me -3 ou 0,25 -3 ça fait moins

2,5

c'est pour ça que dans le tableau en

dessous de 1

on trouve moins de 25 voilà je passe sur

les calculs d autres termes je pense que

ça pose pas de difficulté et ensuite ce

qui nous intéresse c'est représenter

tous ces termes dans un graphique

alors pour cela on va considérer des

points successifs dont les coordonnées

sont donnés par le rang 2 du terme et la

valeur du terme

c'est pour ça que ce tableau ben nous

donne directement les coordonnées par

exemple le point p 0 qui représentait en

tout premier et bien il a pour

coordonner 0 - 3 c'est pour ça que je

trouve sur l'axé des ordonnées en moins

3 le point et 1 alors le point p à pour

coordonner 1 - 2 points 5

le point p 2 2 - 1 et c'est donc on

utilise tout ce tableau là en

considérant à chaque fois donc qu'on a

des coordonnées on a nos points

successifs et voilà on obtient alors ce

qui s'appelle un nuage de points

attention c'est un nuage de points dont

on ne renie pas ses points sauf dans une

situation particulière et à condition

que ce soit demandée dans l'exercice

mais si rien n'est demandé on ne relis

jamais les points obtenus à l'aide des

termes d'une suite

on poursuit avec la variation des suites

alors on a représenté ici le nouvel

suite on donne pas son expression ça n'a

pas d'importance

on voit le tableau de valeur on voit la

lure du nuage de points donc on l'a

obtenue à l'aide d'un logiciel et on va

plutôt s'intéresser à la variation de

cette suite on remarque que sur les

premiers terme

eh bien ça commence par des cendres

autrement dit ça décroît et puis on est

légal à 3 on dirait qu'il ya un

changement de mariage

et qu'ensuite s'accroît ça monte les

termes ont tendance à augmenter

et oui on peut conjecturer que cette

suite est croissante pour n supérieur ou

égal à 3 alors la différence avec les

fonctions c'est qu'en fait ça nous

intéresse pas beaucoup ce qui se passe

sur les premiers terme ce qui nous

intéresse plus tôt c'est ce qui se passe

pour des grandes valeurs de haine

comment la suite elle évolue pour n

tendant vers l'infini car on va pas dire

que cette suite est d'abord décroissante

puis ensuite croissante

on va plutôt dire cette suite la suite

eu n est croissante pour n supérieur ou

égal à 3 c'est pas intéressant ce qui se

passe au début tout simplement parce que

ce qui ce qui se passe au début je peux

le calcul est donc j'ai les valeurs mais

ce qui se passe pour des grandes valeurs

de haine

ça ça nous intéresse un peu plus alors

ça reste une conjecture puisque là on

n'a pas l'expression n'est pas capable

de le prouver mais en réalité c'est vrai

maintenant la question c'est si on nous

donne une suite par récurrence ou défini

sous sa formule explicites comme en

démontre que cette suite est croissante

ou décroissante

eh bien on a une propriété qui est très

simple à comprendre et qui nous dit que

on une suite humaine et croissante à

partir d'un certain rang j'ai dit que ce

qui se passait au début c'est pas

important c'est à partir d'un certain

rang alors seront ils s'appellent p eh

bien ça signifie que dès que je vais

prendre des haines qui sont plus grands

que paie forcément puisque c'est à

partir de paix eh bien on a une haine

plus un qui est plus grand que le n le

suivant qui est plus grand que son

précédent et ceci pour n'importe quelle

haine à partir d'un certain rang on

comprend bien que là nécessairement si

le suivant est plus grand que celui qui

vient avant ça fait que monter donc on

est bien là en présence d'une suite

croissante

al'inverse si on a tout pile le

contraire toujours pareil à partir d'un

certain rang et bien seront l'appel paix

pour toute haine supérieur ap on a eu

une plus un plus petit que humaine est

bien là on est en présence d'une suite

dé croissante

parce que le suivent

il est plus petit que son précédent donc

on va faire que décroître on va faire

que des cendres dans la pratique vu

qu'on veut prouver

soit que humaine plus sains et plus

grand que humaine soit que humaine plus

sain et plus petit que n eh bien on va

calculer la différence

qn + 1 - humaine alors soit à l'aide de

la forme explicite soit à l'aide de la

forme de récurrence et l'objectif sera

de prouver que soient ceux ci est

positif si jamais c'est positif ça veut

dire que celui ci est plus grand que

celui ci donc eu en plus sains et plus

grand que humaine croissante soi que

cette différence est négative et bien

dans ce cas là ça voudra dire que celui

ci est plus petit que celui ci que

humaine plus aéré plus petit que lui n

est donc que la suite est décroissante

voilà donc tout le travail consistera à

exprimer de la meilleure façon la

différence u n + 1 - humaine je t'invite

à cliquer sur le lien pour regarder les

vidéos correspondante qui montre des

exemples de démonstration de variation

de suite alors j'ai pas préciser ici le

symbole cissé street si strictement

croissante

si ces larges c'est tout simplement

croissante et pareil pour la

décroissance alors petites astuces qui

peut servir de temps en temps lorsqu'on

a utilisé lorsqu'on a étudié la

variation d'une suite c'est en fait de

passer par la fonction qui lui est

associée alors ça ça marche bien

quand la suite elle est définie en

fonction de haine voyait voici un

exemple alors par exemple la suite

ul qu'elle ait fini par l occar et plus

sain et bien qu'est ce qu'on va faire on

va lui associer une fonction une

fonction f qui sera donc définie sur

zéro + 1 fini puisque n est un entier

naturel on nous rappelle pareil 2x égal

à ixxo claret +1 et au lieu d'étudier la

variation de note suite

eh bien on va étudier la variation de

notre fonction des fois c'est plus

facile et suivant le résultat ici on

pourra la corde et à la suite pourquoi

pour le comprendre

un petit schéma en fait si je représente

les termes de

j'aurai quelque chose comme ça la

cheville en un est donc là j'aurais tous

les termes et si je représente la

fonction avec 2 x égale x o car est plus

un là dessus ça me donnerait ceci est là

on voit donc notre courbe qui passe donc

par tous les points donnés par la suite

ce qui fait que si la fonction

croissante et bien nécessairement la

suite dont les points se trouve sur la

courbe de la fonction la suite sera

également croissante

c'est ce qui est exprimé dans cette

propriété on définit donc une fonction

par une égale f de haine

c'est la même chose ici que j'écrive f

de haine ou que j'écrive l2 hic c'est la

même chose

la seule chose qui diffère en fait c'est

que x est réel j'obtiens dans quelque

chose de continue alors que ici n est

entier donc j'obtiens on dit quelque

chose de discret de deux dentiers en

entier et est donc si jamais la fonction

effet croissante alors la suite ul et

croissante également si la fonction est

décroissante

la suite est décroissante ceci à partir

d'un certain rang pareil alors si

j'arrive par exemple a prouvé qu'une

fonction est croissante

à partir de 2005 pour la suite cela

voudra dire que lé croissante à partir

de n égale trois on va prendre le 1er

entier qui suit 2,5 alors passons

maintenant à tout ce qui concerne la

limite d'une suite on va voir qu'il

existe deux types de suite les suites

dit convergentes et les suites

divergentes

il n'existe pas autre chose mais qu'est

ce que ça veut dire tout ça et qu'est ce

que c'est en fait rechercher la limite

d'une suite et bien c'est savoir comment

elle se comporte

lorsque n devient très très très grand

est ce que les termes de la suite

deviennent aussi très très très grand

est ce qu'ils deviennent très très petit

est-ce qu'il se rapproche d'un nombre

est ce qu'il sera proche de zéro bas

c'est toute la question qu'on se pose et

pour cela et bien on s'est souvent d'un

outil informatique où on fait des essais

des calculs

c'est ce qu'on va faire tout de suite

avec cette première suite eu n

alors cette suite eu n elle est définit

par ul égal 2 n + 1 sur elle et donc

défini à l'aide de sa forme explicite et

on a construit en dessous un tableau de

valeur

donc je passe sur tout

les calculs on retrouve donc comme tout

à l'heure quand on avait fait le

graphique sur la première ligne les

valeurs de l donc le les rangs de la

suite et ensuite les valeurs de humaine

correspondant donc on voit par exemple

donc qu'on a

22.5 ça signifie que u2 est égal à 2,5

et si on va beaucoup plus loin on voit

qu'on a 50 2,02 cela signifie que eu 50

est égal à 2,02 alors ce qui est

intéressant je les dis c'est de voir

comment évoluent ces termes quand on

grandit donc on voit qu'on a fait

grandir n 1 2 3 4 5 10 15 550 500 et

qu'est ce qui arrive à u n alors si on

regarde l'évolution du yen on voit quand

même qu'il se passe quelque chose

on démarre à trois premiers termes 2.5

2,33 2,25 2002 2,1 on dirait qu'on se

rapproche de 2,2 points 0,67 ça semble

se confirmer

et ça se confirme quand on continue avec

2 0 2 puis 2 0 0 2 on va donc pouvoir

faire ça restera de l'ordre de la

conjecture

mais on va donc pouvoir dire que les

termes de la suite sera proche de 2

lorsque n devient grand eh bien on dira

que la suite humaine convergent vers 2

et on écrira que la limite on n'écrit

pas limites en entier on écrit elle

im de humaine c'est bien ul avec qui on

travaille

lorsque n devient grand alors pour dire

que n devient grand on met haine qui se

rapproche de plus l'infini alors là plus

l'infini on comprend que elle devient

très très grand et bien la limite de

humaine lorsque n devient grand est égal

à 2 et là je peux mettre égal car je

parle de la limite même si je n'atteins

jamais la valeur 2 en terme de limites

on à l'égalité ceci ça se lit la limite

de

lorsque n tend vers plus l'infini est

égal à 2 alors un deuxième exemple avec

une autre situation maintenant est une

suite qui est divergente qui diverge

qu'est-ce que cela signifie

alors on retrouve la suite de tout à

l'heure bon cette fois ci je les

appelais vn pour changer un peu

qui est définie par vsd galles aide au

carré +1

j'ai calculé les premiers terme donc 0 0

au quart est plus à ça donne un v1 1 o

car est plus un ça donne 2 v 2 2 au

carré plus un ça donne 5 etc et on est

allé comme ça jusqu'à v sens qu'ils

donnent donc s'en carre +1 qui nous

renvoie 10000 1 on comprend bien et on a

bien envie de penser en plus on

reconnaît la suite carey ici que les

termes de cette suite vn vont devenir

aussi grand que l'on veut pourvu juste

que je choisisse des ailes suffisamment

grand et bien c'est ça plus elle devient

grand plus les termes de la suite semble

devenir grand on dit que la suite vn

divergent vert +1 fini et on écrit la

limite 2 qui devait n

non quand ça quand elle devient grand ça

fait quoi

ça fait plus l'infini on lit la limite

de la suite vn lorsque haine envers plus

l'infini est égale 1 plus infi et une

petite dernière pour finir une suite w

haine qui est un peu spécial qui est

définie par récurrence par w n plus un

égale à -1 puissance n fois wm on nous

donne le premier terme qui est w0 égale

à deux on va faire quelques calculs w0

égale à 2 alors du coup w1 est égal à -1

puissance n

alors attention il ya un petit piège

c'est pas ici - impuissance 1 pourquoi

parce que on voit qu'il est écrit w n

plus un égale à -1 puissance n autrement

dit entre eux l'exposant et l' indice il

ya un décalage de un jeu

perd un rang sur l'exposant donc si là

je suis à un ici j'arrive à 0 x w0

puisque c'est du n

alors que l'ag du n + 1 w 0 qui fait

d'eux alors - impuissant 0 bah ça ça

fait 1 1 x 2 w 2 égal à -1 puissance

maintenant on a compris je diminue de 1

puissance 1 x w1

le précédent niveau 2 soit -1 6 ans ça

fait moins 1 - 1 x 2 - 2 on poursuit w3

égales - impuissance 2 x - 2cw 2 soit

moins au carré ça fait un x - deux ça

fait monde

encore un petit dernier w4 égal à -1

puissance 3 x w3 c'est à dire x moins

deux ans ça nous donne - occupe ça fait

moins 1 - 1 fois moins deux ça fait plus

de 2 alors on remarque là il se passe

des choses bizarres on va

alternativement sur deux ou moins deux

c'est normal puisque à chaque fois on

multiplie par le terme précédent qe2 ou

moins 2 et l'autre facteur c'est moins

en moins donc on sent bien que ça va

être du dock du moins deux et comme ça

ça va continuer du coup lorsque elle

devient grand eh bien les termes de la

suite ne semble pas se rapprocher vers

une valeur unique ni aller vers plus

infinie dit même aller vers moins

l'infini on dira tout simplement que la

suite w n 10 verges alors on ne peut pas

dire qu'elle diverses vers quelque chose

comme tout à l'heure puisque elle ne

diverge verts rien on dit tout

simplement qu elles divergent

la définition d'une suite divergences

c'est tout simplement une suite qui

n'est pas convergentes et cette séquence

est terminée