90. Ecuación del plano, dado punto y vector normal

Summary

En este vídeo tutorial de 'Mate, fácil', se aborda la resolución de ejercicios sobre la ecuación de un plano en matemáticas. Se explica cómo calcular la ecuación general de un plano dado un vector normal y un punto que el plano debe contener. Además, se muestra cómo encontrar otros puntos que pertenezcan al plano y cómo verificar si ciertos puntos están en el plano. Finalmente, se invita a los espectadores a intentar resolver un ejercicio similar y se les anima a apoyar al canal a través de donaciones.

Takeaways

• 📐 El vídeo enseña cómo resolver ejercicios sobre la ecuación de un plano en matemáticas.
• 🧮 Se explica cómo calcular la ecuación general de un plano dado un vector normal y un punto que el plano debe contener.
• 📌 Se menciona que el vector normal para el ejercicio es (2, -3, 1) y el punto es (4, 2, 5).
• 🔍 Se detalla el proceso de formar el vector que une el punto dado con cualquier otro punto en el plano y cómo calcular el producto punto con el vector normal.
• 📘 Se desarrolla la ecuación general del plano a partir del producto punto y se simplifica al final.
• 🔢 Se pide escribir las coordenadas de otros dos puntos que pertenezcan al plano, lo cual se logra asignando valores a dos coordenadas y calculando la tercera.
• 📍 Se muestra cómo verificar si un punto pertenece a un plano sustituyendo sus coordenadas en la ecuación del plano.
• 📝 Se invita a los espectadores a intentar resolver un ejercicio similar y se ofrecen los pasos para verificar su solución.
• 📖 Se sugiere que en la ecuación del plano, si una variable no aparece, puede omitirse sin problemas.
• 🗂️ Se explica que para encontrar la ecuación de un plano perpendicular a una recta, primero se debe encontrar un vector en la dirección de la recta y usarlo como vector normal.

Q & A

¿Qué es la ecuación general de un plano y cómo se calcula?

La ecuación general de un plano se calcula a partir de su vector normal y un punto que pertenece al plano. Se escribe en la forma ax + by + cz = d, donde (a, b, c) son los componentes del vector normal y d es un término independiente que se calcula al sustituir las coordenadas del punto en la ecuación vectorial del plano.

¿Cómo se determina si un punto pertenece a un plano?

Para determinar si un punto pertenece a un plano, se sustituyen las coordenadas del punto en la ecuación del plano. Si el resultado de la operación es cero, entonces el punto pertenece al plano.

¿Qué es el vector normal de un plano?

El vector normal de un plano es un vector perpendicular a dicho plano, y se utiliza para definir la orientación del plano en el espacio tridimensional. En la ecuación del plano, los componentes del vector normal aparecen como coeficientes multiplicando a las variables x, y y z.

Si se tiene un vector normal y un punto, ¿cómo se obtiene la ecuación del plano?

Con un vector normal (a, b, c) y un punto (x0, y0, z0), se forma el vector que une el punto al origen (a*x0, b*y0, c*z0) y se calcula su producto punto con el vector normal. El resultado se iguala a cero y se desarrolla para obtener la ecuación general del plano.

¿Cómo se calculan los puntos que pertenecen a un plano si se conoce su ecuación?

Para calcular puntos que pertenecen a un plano, se eligen dos coordenadas arbitrarias y se resuelve la ecuación del plano para encontrar la tercera coordenada. Esto se hace sustituyendo los valores en la ecuación y despejando la variable que quede en términos de la ecuación.

¿Qué significa que una recta sea perpendicular a un plano?

Una recta es perpendicular a un plano si el vector director de la recta es paralelo al vector normal del plano. Esto significa que la recta intersecta el plano en un solo punto y forma un ángulo de 90 grados con él.

Si se tiene una recta perpendicular a un plano, ¿cómo se determina el vector normal del plano?

Si se tiene una recta perpendicular a un plano, el vector director de la recta puede ser utilizado como vector normal del plano, ya que cualquier vector perpendicular a la recta también será perpendicular al plano.

¿Cómo se verifica si un punto dado pertenece a un plano utilizando la ecuación del plano?

Para verificar si un punto pertenece a un plano, se sustituyen las coordenadas del punto en la ecuación del plano. Si el resultado es cero, entonces el punto está en el plano; si no, no lo está.

¿Cuál es la importancia de la ecuación del plano en la geometría y la modelación tridimensional?

La ecuación del plano es fundamental en la geometría y la modelación tridimensional, ya que permite definir y analizar la posición relativa de objetos en el espacio, calcular intersecciones, proyecciones y otras propiedades esenciales en la representación y manipulación de formas geométricas.

Si se tiene un punto y se desea encontrar la ecuación de un plano perpendicular a una recta que pasa por ese punto, ¿cómo se procede?

Primero se calcula un vector que tenga la misma dirección que la recta. Luego, ese vector se utiliza como vector normal para encontrar la ecuación del plano. Se sustituye el punto y el vector normal en la fórmula general de la ecuación del plano para obtener la ecuación del plano perpendicular.

Outlines

00:00

📚 Introducción a la ecuación del plano

Este primer párrafo presenta el tema del vídeo, que es la resolución de ejercicios sobre la ecuación de un plano en matemáticas. Se describe el proceso para calcular la ecuación general de un plano dado un vector normal y un punto que el plano debe contener. Se detalla cómo formar el vector que une el punto conocido con un punto general en el plano y cómo calcular el producto punto entre este vector y el vector normal para obtener la ecuación del plano. Finalmente, se resuelve el inciso 'a' del ejercicio proporcionando la ecuación general del plano.

05:00

🔍 Hallando puntos en el plano

El segundo párrafo se centra en el inciso 'b' del ejercicio, que requiere encontrar coordenadas de otros dos puntos que pertenezcan al plano. Se explica que existen infinitos puntos en un plano y se describe el método para encontrarlos asignando valores arbitrarios a dos de las variables y calculando el tercer valor utilizando la ecuación del plano. Se proporcionan ejemplos concretos de cómo asignar valores a 'x' y 'y' para obtener el valor de 'z', y viceversa, para determinar puntos en el plano.

10:04

📏 Verificando pertenencia a un plano

El tercer párrafo trata el inciso 'c' del ejercicio, que consiste en determinar qué de los puntos dados pertenecen al plano. Se explica que un punto pertenece al plano si sus coordenadas satisfacen la ecuación del plano, es decir, si la sustitución de estas coordenadas en la ecuación resulta en cero. Se verifican tres puntos específicos, 'a', 'b' y 'c', sustituyendo sus coordenadas en la ecuación y evaluando el resultado para determinar su pertenencia al plano.

🛠 Desarrollando la ecuación de un plano perpendicular a una recta

El último párrafo introduce un nuevo ejercicio que requiere obtener la ecuación de un plano que pase por un punto dado y sea perpendicular a una recta. Se sugiere que, dado que la recta es perpendicular al plano, un vector en la dirección de la recta también será perpendicular al plano y, por lo tanto, puede ser utilizado como vector normal para la ecuación del plano. Se invita a los espectadores a intentar resolver el ejercicio y se ofrece la promesa de mostrar el procedimiento completo en un próximo vídeo. Además, se agradece a los donantes y se menciona cómo pueden apoyarse a través de diferentes plataformas.

Keywords

💡Ecuación del plano

La ecuación del plano es una fórmula matemática que define una superficie en el espacio tridimensional. En el vídeo, se utiliza para determinar la posición relativa de puntos y vectores en relación con un plano específico. Se menciona que la ecuación general del plano se puede derivar a partir del vector normal y un punto que pertenece al plano, como se ejemplifica con la ecuación '2x - 3y + z - 19 = 0'.

💡Vector normal

Un vector normal es un vector perpendicular a un plano en el espacio tridimensional. En el vídeo, el vector normal se utiliza para definir la orientación de un plano y se calcula a partir de la ecuación vectorial del plano. Por ejemplo, se menciona un vector normal como '2 - 3 1', que es esencial para obtener la ecuación del plano.

💡Punto en el plano

Un punto en el plano es una coordenada específica que satisface la ecuación del plano y, por lo tanto, está contenido en él. En el vídeo, se utiliza un punto con coordenadas (4, -2, 5) para ayudar a determinar la ecuación del plano, ya que cualquier punto en el plano debe cumplir con la ecuación que se establece.

💡Producto punto

El producto punto, también conocido como producto escalar, es una operación entre dos vectores que resulta en un escalar. En el vídeo, se utiliza el producto punto entre el vector que une un punto dado con cualquier otro punto en el plano y el vector normal para formar la ecuación vectorial del plano.

💡Ecuación vectorial del plano

La ecuación vectorial del plano es una representación alternativa de un plano que involucra vectores. Se utiliza para transformar la relación entre un vector normal y un punto en el plano en una ecuación algebraica. En el vídeo, se menciona cómo se obtiene a partir del producto punto de un vector que une dos puntos con el vector normal.

💡Coordenadas de un punto

Las coordenadas de un punto son los valores numéricos que definen la posición de un punto en un espacio tridimensional. En el vídeo, se solicitan coordenadas para otros dos puntos que pertenecen al plano, y se muestra cómo se calculan asignando valores a las variables x e y y resolviendo para z, como en el ejemplo donde se establece x = 1, y = 1 y se resuelve para z.

💡Recta perpendicular

Una recta perpendicular es una línea que intersecta otro plano o recta a un ángulo de 90 grados. En el vídeo, se menciona la necesidad de encontrar un vector que tenga la misma dirección que una recta perpendicular para usarlo como vector normal del plano.

💡Vector en la dirección de una recta

Un vector en la dirección de una recta es un vector que apunta en la misma dirección que la recta. En el vídeo, se sugiere que para encontrar la ecuación de un plano perpendicular a una recta, primero se debe encontrar un vector en la dirección de la recta, ya que este vector será perpendicular al plano buscado.

💡Ecuación general del plano

La ecuación general del plano es una forma algebraica que describe la relación entre las coordenadas x, y y z de los puntos que forman el plano. En el vídeo, se muestra cómo se obtiene a partir de la ecuación vectorial del plano, y se ejemplifica con la simplificación de términos y la ordenación de variables.

💡Pertenencia a un plano

La pertenencia a un plano se refiere a la verificación de si un punto específico está contenido en el plano. En el vídeo, se describe cómo sustituir las coordenadas de un punto en la ecuación del plano para verificar si cumple con la ecuación (es decir, si la izquierda de la ecuación resulta en cero), como se hace con los puntos A, B y C para determinar si pertenecen al plano.

Highlights

Introducción al vídeo de resolución de ejercicios sobre ecuaciones del plano.

Explicación del inciso a: calcular la ecuación general del plano con un vector normal dado y un punto específico.

Método para obtener la ecuación general del plano a partir de la ecuación vectorial.

Uso del vector normal y el punto conocido para formar la ecuación del plano.

Pasos para formar el vector que une el punto conocido con cualquier otro punto del plano.

Cálculo del producto punto entre el vector formado y el vector normal.

Desarrollo del producto punto para obtener la ecuación general del plano.

Paso al inciso b: escritura de coordenadas de otros dos puntos que pertenecen al plano.

Metodología para obtener puntos en el plano asignando valores a dos de las variables.

Ejemplo de cómo obtener un punto en el plano al asignar valores a x e y.

Otro ejemplo de cómo obtener un punto en el plano al asignar valores a x y z.

Paso al inciso c: verificación de qué puntos pertenecen al plano.

Proceso de verificación de pertenencia a un plano mediante la ecuación del plano.

Resultado del punto a perteneciendo al plano.

Resultado del punto b no perteneciendo al plano.

Resultado del punto c perteneciendo al plano.

Invitación a los espectadores a intentar resolver el siguiente ejercicio.

Sugerencia para el siguiente ejercicio: calcular un vector perpendicular a una recta dada.

Explicación de cómo el vector perpendicular a una recta puede servir como vector normal para un plano.

Agradecimientos a los donantes y promoción de los métodos de apoyo al canal.

Transcripts

hola y bienvenidos a otro vídeo de mate

fácil en este vídeo vamos a resolver los

siguientes ejercicios sobre ecuación del

plano el inciso a nos pide calcular la

ecuación general del plano que tiene

como vector normal 2 menos 31 y que pasa

por el punto con coordenadas 4 25 el

inciso b pide escribir las coordenadas

de otros dos puntos que pertenezcan al

plano y el inciso se nos pregunta cuáles

de estos puntos pertenecen al plano el

punto a el b y el c bueno vamos a

empezar resolviendo el inciso a y para

eso vamos a aplicar la ecuación que

obtuvimos en el vídeo anterior esta de

aquí que es la ecuación vectorial del

plano a partir de esta ecuación

vectorial podemos obtener la ecuación

general muy fácilmente entonces

recordemos que n es el vector normal así

que ponemos que el vector normal es 2

menos 3 1 s es n

p 0 es el punto que nosotros conocemos

que pertenece al plano en este caso nos

dice que el plano pasa por este punto

así que éste nos puede servir como p 0

entonces p 0 es 4 menos 25 p es

cualquier otro punto del plano al cual

le vamos a poner coordenadas x y z

ahora vamos a formar el vector p 0 p que

es el que une estos dos vectores para

eso simplemente hay que recordar que se

restan las coordenadas x menos 4 y menos

menos dos y luego zeta menos 5 de esa

manera formamos el vector que une estos

dos puntos bueno ese es el vector p 0 p

ahora calculamos el producto punto de

este vector que acabamos de calcular

aquí con el vector normal aquí lo

tenemos aquí noten que ya hice la

multiplicación de estos signos menos por

menos nos da más entonces tenemos aquí

el producto punto de estos dos vectores

esta de aquí es la ecuación vectorial

del plano pero nosotros queremos la

ecuación general así que vamos a

desarrollar este producto multiplicamos

2 por x menos 4 luego menos 3 porque más

2 y luego más 1 por zeta menos 5 eso

igual a cero hacemos las

multiplicaciones nos queda 2x menos 8

menos 3 y 6 75

y finalmente hacemos la suma de las

cantidades que aparecen aquí menos 8 6 5

que nos da menos 19 esta de aquí es la

ecuación general del plano bueno vamos a

pasar ahora al inciso b

en el inciso b nos pide escribir las

coordenadas de otros dos puntos que

pertenezcan al plano bueno en el plano

hay una infinidad de puntos entonces

únicamente nos están pidiendo otros dos

la manera de obtener puntos sobre el

plano es muy sencilla simplemente le

vamos a dar a dos de las variables los

valores que nosotros queramos y a partir

de esos valores obtenemos el valor de la

tercera variable por ejemplo vamos a

hacer que x sea igual a 1 y que ye sea

igual a 1 esos valores

nosotros los estamos dando podemos

elegir los valores que queramos pero a

partir de ahí vamos a obtener el valor

de la tercera variable en este caso de

la variable zeta y para eso sustituimos

estos valores en la ecuación y

despejamos z

entonces sustituimos x igual a 1 que

igual a 1 y nos queda esto de aquí

hacemos las operaciones 2 por 1 es 2 3

por 1 es 32 menos tres nos da menos uno

menos 19 nos da menos 20 y ahora

despejamos z así que este 20 pasa al

otro lado positivo y obtenemos entonces

que si x vale 1 y que vale 1

debe valer 20 o se acepta que era

completamente determinado por estos

valores que nosotros estamos aquí

asignando de esa manera obtenemos las

coordenadas de un punto sobre el plano

el punto que tiene coordenada x igual a

1 que igual a 1 iceta igual a 20 o sea

11 20 podemos asignar otros dos valores

para obtener otro punto que pertenezca

al plano y no tiene por qué ser

asignarle a xy allí podemos por ejemplo

ahora asignárselo h y aceta hacemos que

sea igual a 0 y z sea igual a 1 por

ejemplo y sustituimos aquí en esta

expresión para obtener el valor de la

tercer variable en este caso de la

variable x entonces sustituimos ya igual

a 0 se está igual a 1 y obtenemos esto

de aquí y ahora hacemos las operaciones

entonces aquí a las de las operaciones

esto nos da 0 1 - 19 nos da menos 18 lo

pasamos al otro lado como 18 positivo

luego el 2 pasa dividiendo y 18 entre 2

nos da 9 así que sí que vale 0

iceta vale 1 x tiene que valer 9 así

obtenemos entonces otro punto que tiene

estas

las coordenadas x igual a 9 y igual a 0

iceta igual a 1 901 bueno ya tenemos

entonces otros dos puntos que pertenecen

al plano vamos a resolver ahora el

inciso se nos pregunta cuáles de los

siguientes puntos pertenecen al plano de

entre estos puntos a b y c bueno un

punto va a pertenecer al plano

únicamente cuando satisface la ecuación

del plano es decir si nosotros

sustituimos aquí el valor de x de jay-z

que son las coordenadas del punto que

nosotros estamos verificando si al

sustituir aquí y hacer las operaciones

eso nos da igual a cero entonces ese

punto pertenece al plano si nos da igual

a otra cantidad distinta de cero

entonces no pertenece al plano vamos a

verlo con el primer punto el punto a en

este caso tenemos que sustituir x igual

a cero ye igual a menos 5 iceta igual a

4 sustituimos esto en la parte izquierda

de esta ecuación y vamos a ver si eso

nos da igual a 0

entonces sustituimos y nos da lo

siguiente 2 x 0 - 3 x 5 + 4 que vale z

-19 hacemos estas operaciones 2 por 0 2

a 0

menos tres por menos 5 nos da más 15 más

4 menos 19 y ahora hacemos las sumas y

restas 0 + 15 nos da 15 + 4 nos da 19

menos 19 20

vemos entonces que si se cumple la

ecuación del plano para estos valores de

x y z porque al hacer las operaciones si

nos dio igual a cero por lo tanto el

punto a si pertenece al plano

bueno vamos ahora a ver si el punto b

pertenece al plano en este caso

sustituimos x igual a 2

2 z igual a menos 3 al sustituir nos

queda esto de aquí hacemos las

operaciones y vemos en este caso que al

hacer todas las sumas y restas lo que

nos da como resultado es menos 24 en

este caso no nos dio como resultado

igual a 0 por lo tanto el punto b no

pertenece al plano porque estos valores

no satisfacen la ecuación del plano

ahora vamos a verificar el punto c

en este caso sustituimos x igual a 5

igual a menos 3

iceta igual a 0 al sustituir obtenemos

esto de aquí hacemos las

multiplicaciones luego las sumas y

restas y en este caso nos da como

resultado igual a 0 por lo tanto si se

satisface la ecuación del plano y

entonces se si pertenece al plan

bueno ahora los invito a que ustedes

hagan el siguiente ejercicio que le den

pausa al vídeo e intenten hacerlo en su

libreta y después les mostraré el

procedimiento para que puedan verificar

su resultado

bueno si ya intentaron hacerlo ahora les

mostraré el resultado para el inciso a

tenemos como vector normal el 2 0 4 y

tenemos como punto p 0 el -1 10 el punto

p es x y z como siempre y formamos el

vector p 0 p que es restar x menos menos

uno que menos uno z menos cero luego

hacemos el producto punto de este vector

con el vector normal aquí lo tenemos

hacemos el producto punto las

multiplicaciones y luego las sumas y

restas y en este caso vemos que nos

queda esta ecuación de aquí noten que

como en el vector normal la coordenada

ya es cero al hacer aquí el producto

punto la h

se multiplica por cero y entonces aquí

ya no aparece únicamente aparece la

variable x y z por lo que vemos que en

la ecuación del plano puede faltar

alguna de las variables sin ningún

problema en este caso no aparece la

variable y bueno entonces aquí podemos

dejar ya esto como la ecuación general

del plano pero no tan tan bien que cada

número se puede

de forma exacta entre dos entonces es

algo que yo les recomiendo es que en

esos casos cuando puedan dividir todos

los coeficientes entre una misma

cantidad lo hagan para que se

simplifique un poco más la ecuación en

este caso entonces vamos a dividir cada

término entre dos hacemos las divisiones

y nos queda esto de aquí 2 entre 2 es 1

aquí también y 4 entre dos es 2 y

también hay que ordenar las variables

ponerlas en primer lugar x luego que que

no aparece luego z y luego el término

independiente y esto igual a cero esta

es la ecuación general del plano es el

inciso a ahora vamos a ver el inciso b

nos pide escribir las coordenadas de

otros dos puntos que pertenezcan al

plano y en este caso podrían haberles

quedado muchas posibles respuestas ya

que como les mencionaba hace un momento

simplemente hay que darle un valor a x y

un valor a ye y a partir de ahí obtener

un valor de zeta o podríamos darle un

valor a xy un valor a z y a partir de

ahí obtener el valor de ch es decir

tomamos dos de las variables les damos

los valores que queramos

y a partir de eso obtenemos el valor de

la tercera variable entonces una posible

respuesta es el punto menos 100 este lo

obtenemos si le damos a x el valor menos

1 y allí el valor 0

en ese caso al sustituir nos va a quedar

aquí menos 1 el 0 no se sustituye en

ningún lado porque no hay ninguna ye y

entonces menos 1 1 2 a 0 y al pasar este

menos 2 dividiendo al 0 0 entre menos 2

a 0 y así obtenemos que se está vale 0

bueno otro posible punto es el siguiente

mostrándoles que también pueden quedar

resultados como fracciones en este caso

por ejemplo lo obtendríamos si x vale 0

y sigue vale 8 aunque como jane no

aparece se puede tomar cualquier valor

sin ningún problema que podría valer 100

por ejemplo y no habría aquí ningún

cambio las coordenadas de xy de zetas

seguirían siendo las mismas entonces en

este caso si x vale 0 ese término lo

quitamos el 1 pasa al otro lado negativo

el menos 2 pasa dividiendo y menos entre

menos da más así que nos queda un medio

positivo

estos son entonces otros dos puntos

sobre el plano y ahora vamos a ver el

inciso c para comprobar cuáles de estos

puntos pertenecen al plano simplemente

hay que sustituir estos valores en la

ecuación y ver para cuales nos da 0 al

hacer las operaciones bueno eso ya no lo

voy a hacer aquí únicamente les doy las

respuestas el punto ahí el punto c si

pertenecen al plano mientras que el

punto b no pertenece al plano

bueno ahora los invito a que ustedes

intenten resolver el siguiente ejercicio

nos pide obtener la ecuación general del

plano que pasa por este punto y es

perpendicular a esta recta recuerden que

para obtener la ecuación de un plano

necesitan un punto y un vector normal en

este caso nos están dando un punto pero

no nos están dando un vector normal en

lugar de eso nos están dando una recta

perpendicular bueno entonces la

sugerencia es primero calcular un vector

que tenga la misma dirección de la recta

y como la recta es perpendicular al

plano el vector que obtengan también

será perpendicular al plano y por lo

tanto ese será el vector normal que

pueden utilizar para encontrar la

ecuación entonces primero encuentren el

vector en la dirección de esta recta y

es lo usan como vector normal en el

siguiente vídeo les voy a mostrar el

procedimiento completo para que

verifiquen su respuesta

muchas gracias a todas las personas que

me han apoyado con su donación a través

de youtube y a través de page jon por

aquí pueden ver sus nombres si ustedes

quieren apoyarme por alguno de estos

medios pueden hacerlo dando click al

botón de unirse que aparece a un lado

del botón de suscribirse o el enlace a

petición pueden encontrarlo en la

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