Un fluide newtonien, c'est quoi ? Navier Stokes et Euler

Summary

Dans cette vidéo, l'exploration de l'équation de Navier-Stokes, fondement de la dynamique des fluides, est présentée avec finesse. Le concept est détaillé en expliquant comment les forces de pression et de viscosité influencent le flux de fluide. L'importance de la viscosité dynamique est mise en évidence, soulignant que'elle ne s'manifeste pas en statique mais est liée à la vitesse. L'expression de l'équivalent volumique des forces de viscosité pour un fluide newtonien est décomposée, et l'équation de Navier-Stokes est dérivée, montrant comment les forces volumiques et les dérivées spatiales interagissent. L'impact de l'incompressibilité du fluide est également discuté, avec une transition vers l'équation de l'air pour les écoulements compressibles.

Takeaways

• 📜 L'équation de Navier-Stokes est présentée comme le principe fondamental de la dynamique appliquée aux fluides.
• 🔄 Le fluide est considéré comme visqueux, ce qui signifie qu'il existe des forces de contact (pression et viscosité) et des forces à longue distance.
• 📌 La viscosité ne s'manifeste pas en statique mais est liée à la vitesse, donc elle est nulle lorsque la vitesse est nulle.
• 🔄 L'écoulement de fluide est illustré par l'exemple d'un écoulement de couette plan entre deux plaques.
• 📈 Le gradient de vitesse est crucial pour comprendre la force de viscosité, qui est proportionnelle à ce gradient.
• 🔧 La viscosité dynamique est définie comme une force par unité de surface, et est directement liée au tenseur de viscosité.
• 📐 L'équation de Navier-Stokes est dérivée en utilisant le principe de Newton et en considérant les forces volumiques et de surface sur un élément de fluide.
• 🚫 Les termes de viscosité sont négligés dans l'équation de l'air, qui est utilisée pour les écoulements parfaits et incompressibles.
• 📊 Les équations de Navier-Stokes sont applicables dans le référentiel du sol, supposé galiléen, et ne contiennent pas les termes de Coriolis ou de viscosité.
• 🔄 La dérive et convective est un terme non linéaire qui décrit le champ des vitesses et est à la fois source de richesse et de difficulté pour l'étude de la mécanique des fluides.
• 📚 La vidéo mentionne des exemples pratiques, tels que l'écoulement de Poiseuille et la circulation sanguine, pour illustrer les concepts.
• 📈 Des valeurs de viscosité dynamique sont données pour différents fluides (air, eau, glycérine) pour donner une idée de leur niveau de viscosité.

Q & A

Qu'est-ce que l'équation de Navier-Stokes et dans quelle situation est-elle utilisée?

L'équation de Navier-Stokes est une équation fondamentale de la dynamique des fluides qui décrit le mouvement d'un fluide visqueux. Elle est utilisée pour modéliser le comportement de différents types de fluides en écoulement, y compris les fluides newtoniens et incompressibles.

Quels sont les deux types de forces exercées sur une particule de fluide en mouvement?

Les deux types de forces exercées sur une particule de fluide en mouvement sont les forces à longue distance, pour lesquelles on peut trouver un équivalent volumique, et les forces de contact, telles que les forces de pression et de viscosité.

Comment est définie la viscosité d'un fluide newtonien?

La viscosité d'un fluide newtonien est définie comme une force par unité de surface qui est proportionnelle aux gradients de vitesse transverses. Plus précisément, elle est liée à la contrainte, qui est une force par unité de surface, et est mesurée en poise (Pa·s).

Comment la viscosité est-elle liée au mouvement des particules de fluide?

La viscosité ne se manifeste que lorsque les particules de fluide sont en mouvement, car elle est liée à la vitesse. Lorsque la vitesse est nulle, la force de viscosité est également nulle. Cela est dû au fait que la viscosité est la résultante des forces de friction entre les différentes couches de fluide en mouvement relativement l'une à l'autre.

Quel est l'exemple donné pour expliquer le phénomène de viscosité?

L'exemple donné est l'écoulement de Couette plan entre deux plaques. La plaque inférieure est immobile et la plaque supérieure est entraînée à une vitesse constante par un opérateur. Le fluide est entraîné par la plaque supérieure, montrant un profil de vitesse linéaire où les particules de fluide à la surface mobile ont la même vitesse que la plaque et les particules à l'extérieur ont une vitesse nulle.

Quelle est la différence entre la viscosité dynamique et la viscosité cinématique?

La viscosité dynamique est la force de cisaillement qui s'oppose au mouvement relatif des différentes couches de fluide, tandis que la viscosité cinématique est un coefficient qui décrit la vitesse à laquelle les molécules de fluide se déplacent par rapport les unes aux autres. La viscosité dynamique est mesurée en poise, tandis que la viscosité cinématique est souvent exprimée en mètres cubes par seconde (m³/s).

Quels sont les ordres de grandeur de viscosité pour l'air, l'eau et la glycérine?

Pour l'air, la viscosité est d'environ 1,5 x 10^-5 Pa·s, pour l'eau elle est d'environ 10^-3 Pa·s, et pour la glycérine, elle est d'environ 1 Pa·s. Cela montre que l'air est moins visqueux que l'eau, et l'eau est moins visqueuse que la glycérine.

Qui était Jean-Louis-Marie Poisson et quel est son rôle dans l'étude de la viscosité?

Jean-Louis-Marie Poisson était un médecin et un polytechnicien français qui a étudié les écoulements, notamment la circulation sanguine. Son nom est associé à l'unité de viscosité dynamique, le poise (Pa·s), qui est utilisé pour mesurer la viscosité des fluides.

Comment est-il possible de simplifier l'équation de Navier-Stokes en utilisant le Laplacien?

Le Laplacien est utilisé pour simplifier l'équation de Navier-Stokes en convertissant les termes de viscosité qui sont des dérivées secondes en des formes plus simples. Le Laplacien est une opération vectorielle qui s'applique à un champ de vitesse et permet d'obtenir une expression scalaire qui peut être utilisée dans l'équation de Navier-Stokes pour décrire l'effet de la viscosité sur le mouvement du fluide.

Quelle est la différence entre l'équation de Navier-Stokes et l'équation de l'air?

L'équation de l'air est une version de l'équation de Navier-Stokes utilisée pour les écoulements compressibles, où le terme de viscosité est négligé. Elle est utilisée pour modéliser des situations où les variations de densité jouent un rôle important, comme dans l'acoustique.

Comment la viscosité est-elle prise en compte dans l'équation de Navier-Stokes?

La viscosité est prise en compte dans l'équation de Navier-Stokes par le biais d'un terme qui représente la force de viscosité. Ce terme est une force par unité de surface qui est proportionnelle aux gradients de vitesse transverses et est mesurée en poise (Pa·s). Il décrit l'effet de la friction interne entre les différentes couches de fluide en mouvement relativement l'une à l'autre.

Quels sont les domaines d'application de l'équation de Navier-Stokes?

L'équation de Navier-Stokes est utilisée dans de nombreux domaines de l'ingénierie et des sciences, notamment la mécanique des fluides, l'aérodynamique, la hydrodynamique, la turbulence, les écoulements industriels et la météorologie, pour nommer quelques-uns.

Outlines

00:00

📚 Introduction aux équations de Navier-Stokes

Le paragraphe introduit les équations de Navier-Stokes, qui sont fondamentales en dynamique des fluides. Il explique que ces équations s'appliquent à un fluide visqueux en mouvement et que la viscosité ne s'exprime que lorsqu'il y a un mouvement. Le concept de force de contact et de viscosité est discuté, ainsi que la différence entre les forces à longue distance et les forces de pression et de viscosité. L'exemple d'un écoulement de Couette est utilisé pour illustrer la viscosité dynamique et son expression est donnée en termes de contrainte et de dérive de vitesse.

05:01

📈 Exemple de viscosité dynamique et unité de mesure

Dans ce paragraphe, l'exemple de viscosité dynamique est expliqué en utilisant les valeurs de viscosité pour différents fluides comme l'air, l'eau et la glycérine. Il est mentionné que la viscosité est une propriété importante des fluides et qu'elle peut être mesurée en poiseux. Le rôle de Jean-Louis-Marie Poiseuille est également souligné, qui a étudié les écoulements, notamment la circulation sanguine, et la formule de Poiseuille est présentée pour calculer la force de viscosité dans un écoulement.

10:02

🔢 Dérivation de la force de viscosité et équations de Navier-Stokes

Le paragraphe explique la dérivée de viscosité et comment elle est utilisée pour dériver les équations de Navier-Stokes. Il est question de la force de viscosité sur une particule de fluide, la dérivée de vitesse par rapport à la distance垂直, et la formulation de la force de viscosité en utilisant le laplacien de vitesse. Le paragraphe montre également comment les équations de Navier-Stokes sont obtenues en combinant les différentes forces agissant sur un volume élémentaire de fluide, y compris la force de viscosité, la force de pression et les forces gravitationnelles et Coriolis.

15:04

🚀 Simplification et application des équations de Navier-Stokes

Le dernier paragraphe traite de la simplification des équations de Navier-Stokes en utilisant le laplacien et en éliminant les termes de viscosité pour obtenir l'équation de l'air. Il est également question de l'application de ces équations dans différents contextes, comme l'étude de la mécanique des fluides et la compressibilité des fluides. Le paragraphe conclut en soulignant l'importance de ces équations pour la compréhension de la dynamique des fluides et en mentionnant d'autres vidéos sur le sujet disponibles pour l'apprentissage.

Keywords

💡Navier-Stokes

Les équations de Navier-Stokes sont des équations fondamentales de la mécanique des fluides qui décrivent le mouvement des fluides visqueux. Elles sont utilisées pour modéliser des phénomènes tels que la turbulence et les écoulements autour des objets. Dans le script, l'objectif principal est de présenter et d'expliquer ces équations pour comprendre les dynamiques des fluides.

💡Fluide visqueux

Un fluide visqueux est un fluide dont les particules interagissent de manière à produire une résistance au glissement l'un par l'autre. Cette propriété est essentielle pour comprendre le comportement des fluides dans les équations de Navier-Stokes, car elle influence les forces de friction et les gradients de vitesse à l'intérieur du fluide.

💡Forces de contact

Les forces de contact sont des forces qui agissent entre les particules d'un fluide et qui sont liées à la pression et à la viscosité. Ces forces sont cruciales pour comprendre comment les fluides réagissent aux surfaces solides et comment ils s'entraînent mutuellement.

💡Gradient de vitesse

Le gradient de vitesse est une mesure de la variation de vitesse d'un fluide sur une certaine distance. Il est essentiel pour comprendre les forces de viscosité, car ces dernières sont directement proportionnelles au gradient de vitesse transverse.

💡Viscosité dynamique

La viscosité dynamique est une mesure de la résistance d'un fluide à l'écoulement. Elle est directement liée à la capacité d'un fluide à transmettre la force par unité de surface, et est un élément clé dans l'analyse des équations de Navier-Stokes.

💡Écoulement de couette plan

L'écoulement de couette plan est un type d'écoulement laminaire où un fluide se déplace entre deux surfaces parallèles, une étant fixe et l'autre en mouvement. Cet écoulement est utilisé pour illustrer comment les forces de viscosité agissent et comment les particules de fluide adhèrent aux surfaces.

💡Force de cisaillement

La force de cisaillement est une force qui agit tangemment sur les particules d'un fluide et est causée par les différences de vitesse entre les couches de fluide. Elle est directement liée à la viscosité et est essentielle pour comprendre la transmission de mouvement dans les fluides.

💡Contrainte

Une contrainte est une force appliquée à une surface d'un objet. Dans le contexte des fluides, la pression est une forme de contrainte qui est souvent utilisée pour décrire les forces exercées par les fluides sur les surfaces solides.

💡Écoulement incompressible

Un écoulement incompressible est un écoulement de fluide où la densité du fluide reste constante. Cela implique que la quantité de fluide qui passe à travers une surface donnée est la même à tout moment, ce qui est un假设 important dans de nombreux modèles de fluides.

💡Laplace

La Laplace est l'opérateur divergence dans les équations de Navier-Stokes. Elle est utilisée pour exprimer la variation de la vitesse d'un fluide dans le temps et l'espace, et est cruciale pour comprendre les phénomènes de turbulence et de transfert de matière.

💡Écoulement parfait

Un écoulement parfait est un concept qui suppose que les effets de la viscosité sont négligeables. Cela permet de simplifier les équations de Navier-Stokes, mais ne correspond pas à la réalité dans de nombreux cas réels où la viscosité joue un rôle important.

Highlights

Introduction à l'équation de Navier-Stokes, une équation fondamentale de la dynamique des fluides.

Explication des forces agissant sur une particule de fluide en écoulement, y compris les forces à longue distance et les forces de contact.

Présentation de l'équivalent volumique de la force de pression, abordée dans une précédente vidéo.

Discussion sur les forces de viscosité et leur équivalent volumique pour un fluide newtonien.

Illustration de l'écoulement de couette plan entre deux plaques, où se manifeste l'adhérence des particules de fluide à la plaque.

Explication du profil de vitesse linéaire dans un écoulement de couette plan et du régime transitoire.

Définition de la viscosité dynamique et son lien avec la vitesse des particules de fluide.

Présentation de la formule de viscosité newtonienne et son importance dans la définition d'un fluide newtonien.

Discussion sur les ordres de grandeur de la viscosité pour différents fluides, comme l'air, l'eau et la glycérine.

Introduction au coefficient de viscosité cinématique et son rôle dans la dynamique des fluides.

Explication de la force de cisaillement et son rôle dans l'entraînement des particules de fluide.

Démonstration de la force exercée sur une particule de fluide dans un écoulement en utilisant la définition des fluides newtoniens.

Présentation de la formule du tenseur de viscosité et son application dans le calcul des forces de viscosité.

Explication de l'équation de Navier-Stokes dans le référentiel du sol galiléen et son application à l'étude des fluides incompressibles.

Discussion sur l'équation de l'air, une version de l'équation de Navier-Stokes pour les écoulements compressibles.

Mise en évidence de la complexité et de la richesse de l'équation de Navier-Stokes due à son terme non linéaire.

Description de la dérivée convective et son importance dans l'étude de la mécanique des fluides.

Explication de la dérivée de viscosité et son rôle dans la formulation de l'équation de Navier-Stokes.

Illustration de l'application de l'équation de Navier-Stokes à des cas particuliers, tels que l'écoulement de Poiseuille.

Présentation de la formule vectorielle de la force de viscosité et son utilité dans le calcul des écoulements.

Conclusion sur la richesse et l'importance de l'équation de Navier-Stokes dans l'étude des fluides.

Transcripts

bonjour à tous bienvenue sur les rings

physique allez on est presque prêt pour

écrire l'équation de navier stokes donc

ce principe fondamental de la dynamique

appliqué à une particule de fluides en

écoulement est un fluide un fluide

visqueux

donc il nous manque plus qu'une seule

chose après avoir montré que sur une

particule de fluide bien il y a

plusieurs types de forces qui s'exercent

des forces à longue distance pour

lesquels on peut facilement trouver un

équivalent volumique mais des forces de

contact comme les forces de pression et

de viscosité la force de pression on a

trouvé son équivalent volumique dans la

dernière vidéo - gradient paix est

aujourd'hui donc il nous reste plus qu'à

expliquer ce qui influe newtonien et à

donner l'expression de l'équivalent où

elle même démontré l'expression de

l'équivalent volumique des forces de

viscosité pour un fluide newtonien donc

autant bon l'équivalent volumique des

forces de pression qu'il a peut-être vu

en première année situé en 2e année

autant l'histoire de la viscosité ces

nouveaux donc la viscosité ne se

manifeste que quand les particules sont

en mouvement elle ne se manifeste pas en

statique on va comprendre ça tout de

suite c'est parce que c'est lié à la

vitesse donc quand la vitesse est nulle

la force de viscosité nuls on imagine

qu'on a un fluide c'est ce qu'on appelle

un écoulement de couette plan qui est

compris entre deux plaques et la plaque

du bas est immobile donc à la pâte

vitesse donc tout ça s'est séparés par

une distance h par exemple

et imaginons qu'on entraîne la plaque

duo un opérateur tirs sur cette plaque

de manière à ce qu'elle s'avance avec

une vitesse ou alors on constate

expérimentalement mêmes on pourra le

démontrer que le fluide est entraînée

par la plaque duo il y à ce qu'on

appelle adhérence des particules de

fluides à la plaque et la vitesse même

tangentielle à la plaque des particules

de fluide et bien ça va être la vitesse

de la plaque c'est comme si la plaque

voilà les particules de feed adhère à la

plaque et donc on peut voit là on peut

constater expérimentalement que les

particules de fluides tout en haut ont

une vitesse qui est celle de la plaque

et on peut même

voir que se profilent deux vitesses en

fait ça va être un profil linéaire et

dans un premier temps avant d'atteindre

ce profil linéaire on a ce qu'on appelle

un régime transitoire au cours duquel

petit à petit les couche de fluides qui

sont de plus en plus éloignés de la

plaque ont une vitesse qui va être cette

vitesse-là atteinte en régime permanent

et alors ça à cause de quoi parce que en

réalité voilà si j'isole une

effectivement une surface ds dans

l'écoulement

les particules de fluides qui sont au

dessus elles ont été accélérés par la

plaque et donc elle entraîne la plaque

elle entraîne pardon le fluide qui est

juste en dessous donc il ya une force

une force parallèle à l'écoulement sur

les particules de fluides qui est ce qui

est cette force de cisaillement qu'on

appelle parfois de cisaillement donc est

une force d'entraînement des particules

de fluides qui vont vite sur les

particules de fluides qui vont moins

vite et principes de l'action et de la

réaction bien sûr celles qui sont en

dessous qui vont moins vite

fresnes celles qui sont au dessus elle

exerce la force opposée et la définition

de la viscosité la définition d'un flux

newtonien est directement reliée à c'est

ce qu'on appelle une contrainte une

contrainte c'est une force par unité de

surface donc la pression c'est aussi une

contrainte mais c'est un scalaire là on

va on peut définir ce alors même en

norme parce que cette formule à les

donner en norme tu peux la voir à la

fois comme une définition de la

viscosité et aussi comme la définition

d'un fluide newtonien donc cette force

par unité de surface qui est en jean

ciel elle est proportionnelle

on pourrait dire aux gradient de vitesse

transversales ont plus simplement donc à

la dérive et de cette vitesse donc on

l'a on a un champ de vitesse qui est du

type v qui y est dirigé selon x mais qui

dépend de y donc vecteur du x6 on

appelle pu y cet axe et x cet axe donc

pour un chant comme ça et nous on va

résonner sur un show comme ça puis après

on va admettre la généralisation

donc voilà l'expression de cette force

surfacique les alors plus la différence

de vitesse entre des couches qui sont

proches est grande plus cette dérive

et qui mesure ce gradient de vitesse

dans la direction y va être grand et

plus la force d'entraînement des couches

rapide sur les couches moins rapide va

être grande également si on est dans un

écoulement où tout le monde va à peu

près à la même vitesse

il n'y a pas de force de viscosité ce

gradient nuls et si on est au repos a

fortiori cette force nuls également

voilà pourquoi on n'en a pas parlé en

première année quand on fait de la

statique on n'en parle même pas le

fluide est réel il est visqueux

mais sa viscosité ne se manifeste pas

voilà alors ça c'était la définition de

la viscosité donc ce truc là c'est ce

qu'on appelle la viscosité dynamique

donc on voit que plus elle est grande et

plus cette force est grande plus le

fluide et visqueux donc pour donner des

ordres de grandeur pour l'air ça vaut un

8/10 moins 5 pour l'eau c'est à peu près

10 - 3 pour la glycérine c'est à dire la

cire de bougie fondu c'est de l'ordre de

l'unité 0,8 à peu près donc on voit bien

que ce coefficient voilà lille et

intuitivement ce qu'on en attend un

fluide visqueux

l'air est moins visqueux que l'eau est

moins visqueux que la glycérine

on verra peut-être plus tard qu'on peut

définir aussi un autre coefficient de

viscosité cinématiques qui joue un rôle

important aussi qui est homogène un

coefficient tu diffusion mais bon on va

rester sur la viscosité dynamique ça

s'exprime empoisonne donc symbole grand

p petits tels jean-louis mois marie

poizat c'était un médecin et un

polytechnicien qui a étudié les

écoulements notamment la circulation

sanguine

alors j'ai toute une épreuve je crois de

ccp il ya un ou deux ans corrigé sur la

circulation sanguine avec l'écoulement

de poiseul c'est le même jean louis

marie poizat cocorico il était français

donc on voit qu'un poison bon ça c'est

des pascal d'éviction des grecs ça c'est

des seconds - 1

donc ça fait un poison c'est un pascal

second donc c'est une unité dérivé du

système international bien entendu alors

donc on va plonger une particule de

fluides parallélépipédique de volume des

xd y dz

qui si on a un point de coordonnées x y

z donc on va plonger un petit peu comme

ce qu'on avait fait avec l'équivalent en

volume idée force de pression on prend

une géométrie cartésienne parce que

c'est facile à démontrer car qu'on peut

généraliser à d'autres systèmes de

coordonner donc on va plonger cette

particule de fluide dans un écoulement

de ce genre avec donc une vitesse qui

augmente selon y met la vitesse elle est

dirigée selon x et on va se poser la

question mais quelle est la force

exercée par les autres particules de

fleet sur cette particule de fluides en

particulier on va faire ça sur les deux

faces la face du dessus et la face du

dessous et on va tout simplement

utiliser notre définition des fluides

newtonien donc on voit que comme les

particules qui sont au dessus vont plus

vite

elles vont accélérer la particule donc

on a une force dans ce sens là alors que

celles qui sont en dessous

eh bien elles vont moins vite dans

quelles elles vont freiner notre

particules de fluide donc quelle est la

force exercée sur la surface du dessus

c'est tout simplement état dvx sur des y

prit en x alors attention ici on est en

y plus d y z et la surface qui est là

avec le choix que j'ai fait c'est dx dz

donc le gradient étant positifs ici on a

bien voilà une force positive donc ça

c'est des fx en y plus d y ait un x et z

bien sûr et en dessous donc on a des

seins fixant x y et z qui vaut alors

attention là y aura un signe au moins

c'est à nous d'aller brisée c'est une

des difficultés de l'utilisation de

cette formule c'est que c'est à nous de

mettre les signes à la main donc dx des

z et maintenant on peut faire la somme

de ces deux forces

alors donc on voit que des fx total qui

est la somme algébrique de ces deux

forces on peut mettre et à des x

dz en facteur est donc on obtient dvx

sur des y donc en x y plus d y est un

peu fastidieux mais pour tout écrire

pour bien comprendre - dvx est sûre d y

en x y et z

donc voilà et donc on voit qu'on a la

fonction dvx sur des y

on y peut y moins on y donc ça c'est un

développement de taylor sur des

fonctions de plusieurs variables

donc on va avoir la dérive et par

rapport à y de cette fonction qui est

elle même une dérive et ce qui va nous

donner une dérivée seconde finalement

donc ça va donner et à des xd y dz et

oui parce qu'on sort un d y dans le

développement de taylor d2 vx sur des y

deux ans on x y et z et là on est super

content comme avec l'équivalent

volumique des forces de pression parce

que là on reconnaît le volume del tatto

et donc on voit que sur x la force ces

cris et on peut définir une force

volumique dfx total sur des taux est

égal à état des deux vx sur des y 2 donc

en x y et z est alors l'étape

supplémentaire

ça c'est ce qu'on appelle aussi le

laplace y 1,2 v x alors pourquoi est ce

que c'est le laps l'acien 2 de v x le

laplace hien de vxv x est un chant

scalaires c'est des devises sur dx2

attention hein c'est il ya toutes les

composantes des deux sections d y 2 la

somme de ces trois dérivée seconde et de

véhic sur des z

alors évidemment je suis dans un cas

particulier où vx ne dépendait que d'eux

y voilà pourquoi ici voilà ces deux

dérivés sont nulles et

le lap l'acien de vx se réduit à des

deux vx sur des y de je te renvoie un

peu à la vidéo avec nab la situe à un

petit peu du mal parce que très souvent

les candidats pensent que les étudiants

pensent que delta v x cd de véhic sur

des x 2 c'est faux ou alors le la place

tien d'un vecteur de manière générale

qu'est ce que c'est c'est le laps

l'acien de vx le laplace hien devait y

le la place tien de vz et le laplace ya

la chance qu'a l'air c'est la divergence

du gradient sénat blaquart et va voir

cette vidéo sur nabla et bien voilà

c'est un terme de ce genre sur x ici et

après on remplace vvx par vais y et vz

donc ici comme la vitesse était dirigée

uniquement selon x y avait que vx qui

n'était pas nul donc vais y et vz était

nulle et comme vx ne dépendait que d'eux

y donc il ya que ce terme qui n'est pas

nul comme d'habitude dans ta tête faut

que tu sais par bien la direction d'un

vecteur et sa dépendance vis-à-vis des

coordonnées donc nous évidemment on a

démontré dans un cas très particulier

que sur x et même on peut l'écrire

maintenant vectorielle mans df viscosité

sur des taux et bien c est à la place y

un vecteur on l'a démontré dans un cas

particulier on l'admet dans le cas

général

même dans n'importe quel système de

coordonnées par exemple en cylindrique

pour les quads l'écoulement de poiseul

c'est très pratique

alors je crois que dans une des épreuves

ccp on demandait un peu de faire le même

raisonnement sur une particule mais en

servant des déplacements élémentaires en

cylindrique j'ai corrigé ça tu pourras

regardez c'est un petit peu un petit peu

difficile mais indirectement on veut

démontrer comme ça l'expression du lap

l'acien en cylindrée que c'est assez

joli

de la même manière ici on voit que dans

ce cas particulier là on est retombé sur

les coordonnées du la place y un voile à

100 sans même entre guillemets le

vouloir c'est arrivé naturellement

alors ça c'est vrai pour un écoulement

incompressibles il ya une petite

restriction dans dans ce dans ce fait là

il faut que le l'écoulement soit un

conte précis bhl voilà et bien

maintenant on est prêt à recoller tous

les morceaux pour énoncer label

équations de navier stokes

donc sans plus attendre on a tout ce

qu'il faut maintenant pour écrire

l'équation de navier stokes

on a fait une vidéo de cinématiques dans

laquelle on a expliqué comment remonter

au chant eux les rien des accélérations

c'est la dérive est particulière de la

vitesse donc voilà on peut on peut s'en

servir donc ça ferro del tatto donc la

dérive et locales associées au caractère

stationnaire ou non du champ des

vitesses la dérive et convective

attaches qui décrit le caractère

uniforme ou non du champ des vitesses

donc ce terme là c'est un terme non

linéaire c'est ce qui fait à la fois la

richesse et la difficulté de l'équation

de l'investisseur site de l'étude de la

mécanique des fluides en général donc ça

c'est mass fois accélération de la

particule de fluide alors dans la

première vidéo on avait défini toutes

les forces volumique les forces à

distance donc typiquement on travaille

dans le référentiel du sol donc on

définit le poids

éventuellement on peut rajouter la force

de coriolis pour l'étude des vents si le

référentiel est considéré comme non

galiléen j'ai fait une vidéo là dessus

avec le nombre de rosbif l'étude des

vents le fait que les anticyclones les

dépressions tourner en sens inverse dans

les hémisphères nord et sud tu peux

aller regarder ça donc là attention

c'est un moins donc rondes et aux

accélérations de coriolis

on avait même introduit alors ça c'est

très rare mais un équivalent volumique

des forces électromagnétiques roues

électriques donc la densité volumique de

charges eu plus d vectorielle b bon ça

c'est vraiment assez exceptionnel donc

un fluide chargé en écoulement à la

vitesse

donc fois del tatto et oui il faut pas

que j'oublie parce que dans un instant

on va simplifier par del tatto et puis

évidemment le gros boulot qu'on a fait

c'est de mettre la pression sous la

forme d'un équivalent volumique et la

viscosité également donc voilà

maintenant c'est le moment d'en profiter

tout ça pour ça pour sortir le sabre

laser

voilà mes étudiants me reconnaîtront et

on simplifie par del tatto et donc on

obtient lé équations de navier stokes

arles équations de navier stokes

c'est quand on travaille dans le

référentiel du sol supposé galiléen et

donc voilà il n'y a pas ces deux termes

là donc c'est cette belle équation j'ai

envie de la réécrire peut-être encore

d'une manière différente parce que tu

sais peut-être que la dérive et

convective elle a aussi une autre

expression

donc c'est gradient devait carrés sur

deux plus rotationnelle devait

vectorielle v alors ça ça peut être

assez utiles également pour toutes les

histoires de bernouilli après pour un

flic parfait donc puisque l'équation de

l'hers et c'est la même équation sans un

seul terme sans le terme de de viscosité

donc pour un écoulement parfait on

néglige les faits de la viscosité en

dehors de la couche limite un là aussi

j'ai fait toute une vidéo sur les

histoires de deux couches limite la

validité du domaine du fluide parfait

c'est en dehors de la couche limite la

viscosité se manifestent très peu et

donc on obtient l'équation de l'air

alors attention à cause du terme de

viscosité cette équation c'est pour un

écoulement incompressibles bon je n'ai

pas vraiment miss me cette hypothèse

voilà c'est admis dans le cadre du

programme

par contre quand on enlève ce terme là

du coup l'équation de navier stokes

devient l'équation de l'air donc pour un

fluide parfait et à ce moment là on peut

lever la condition d'un compressibilité

en particulier quand on va faire de

l'acoustique on va linéarité les

équations l'acoustique c'est la

propagation du son donc typiquement

c'est l'écoulement compressible par

excellence donc on aura besoin d'une

équation qui soit vrai en écoulement

compressibles et ce sera le cas de

l'équation de l'air même si c'est pas le

cas pour l'équation de

aviez stokes voilà bon finalement j'en

ai fait plus que ce que je pensais

aujourd'hui j'ai voilà on est on a

carrément la totalité de l'équation de

navier stokes et même en à l'équation de

l'air comme un sous-produit voilà on se

retrouve

il ya plein de vidéos sur la chaîne de

mécanique des fluides et bilan en

référentiel galiléen pas galiléen bref

tu peux te régaler il ya beaucoup

beaucoup de choses

voilà à très bientôt sur e-learning

physique

[Musique]