CALCULAR EL ÁREA BAJO LA CURVA. CALCULO INTEGRAL (1)
Summary
TLDREl video ofrece una explicación didáctica para calcular el área bajo la curva de la función y = x + 1 en el intervalo cerrado de 1 a 5. Se utiliza un enfoque visual, trazando la gráfica en un plano cartesiano y utilizando la cuadrícula para estimar el área. Además, se aplica el método de integración para confirmar el cálculo de la área, resultando en 16 unidades cuadradas. El presentador, Rodolfo Rodríguez, enfatiza la importancia de la visualización y la aplicación práctica de los conceptos matemáticos.
Takeaways
- 📚 Se discute cómo calcular el área bajo una curva utilizando un método didáctico.
- 📈 Se describe el proceso de graficar la función lineal y = x + 1 en un intervalo cerrado de 1 a 5.
- 📝 Se explica cómo ubicar los valores de x y y en un plano cartesiano para formar la gráfica.
- 🔢 Se detallan los valores de y correspondientes a x = 1, x = 3 y x = 5, resultando en y = 2, y = 4 y y = 6 respectivamente.
- 📏 Se utiliza una cuadrícula para estimar visualmente el área bajo la curva.
- 🎨 Se describe el proceso de colorear los cuadritos en la cuadrícula para representar el área a calcular.
- 🧮 Se hace una estimación de 16 unidades cuadradas como el área bajo la curva utilizando la cuadrícula.
- ✏️ Se introduce el método de integración para calcular el área de forma matemática.
- 📐 Se resuelve la integral del 1 al 5 de la función y = x + 1, utilizando el teorema fundamental del cálculo.
- 📉 Se compara el resultado de la integración con la estimación visual, ambos dando como resultado 16 unidades cuadradas.
Q & A
¿Cuál es el objetivo principal del video?
-El objetivo principal del video es enseñar cómo calcular el área bajo la curva de una función lineal, específicamente y = x + 1, en el intervalo cerrado de 1 a 5.
¿Quién es el presentador del video?
-El presentador del video es Rodolfo Rodríguez Alférez.
¿Qué método didáctico se utiliza en el video para enseñar a graficar la función lineal?
-Se utiliza el método de dar valores a x y calcular los correspondientes valores de y para luego ubicarlas en un plano cartesiano.
¿Cuáles son los valores de x que se utilizan para graficar la función y = x + 1 en el video?
-Los valores de x utilizados para graficar la función son 1, 3 y 5.
¿Cómo se determina la ubicación de los puntos en el plano cartesiano en el video?
-La ubicación de los puntos se determina reemplazando los valores de x en la función y = x + 1 y encontrando el correspondiente valor de y.
¿Cómo se representa visualmente la función y = x + 1 en el video?
-La función y = x + 1 se representa visualmente traza uniendo los puntos obtenidos al reemplazar los valores de x y coloreando la gráfica con rojo.
¿Cuál es la función que representa el eje x en el video?
-La función que representa el eje x en el video es y = 0.
¿Cómo se estima el área bajo la curva en el video?
-El área se estima contando los cuadritos de la cuadrícula que están debajo de la curva y completos, utilizando la unidad patrón proporcionada.
¿Cuál es el resultado de la estimación del área en el video?
-La estimación del área bajo la curva da como resultado 16 unidades cuadradas.
¿Cómo se calcula el área utilizando el método de la integración en el video?
-El área se calcula utilizando la fórmula de integración de la función dominante y = x + 1 menos la función y = 0, evaluando desde 1 hasta 5 y resolviendo la integral.
¿Cuál es el resultado final del cálculo del área utilizando la integración en el video?
-El resultado final del cálculo del área utilizando la integración es 16 unidades cuadradas, lo cual coincide con la estimación previa.
Outlines
📊 Introducción a la gráfica de la función
En este primer párrafo, el presentador Rodolfo Rodríguez comienza explicando el problema de hallar el área bajo la curva de la función y = x + 1 en el intervalo de 1 a 5. Muestra cómo se realiza la gráfica de esta función lineal, calculando valores para diferentes puntos de x (1, 3, y 5) y obteniendo los correspondientes valores de y. El gráfico se realiza sobre un plano cartesiano y se detallan los pasos para dibujarlo correctamente, asegurándose de que el público pueda seguir la explicación de manera didáctica.
📐 Estimación del área bajo la curva usando cuadrículas
En este segundo párrafo, el presentador explica cómo calcular el área bajo la curva utilizando una cuadrícula en el plano cartesiano. Utiliza la unidad patrón (un cuadrito) para estimar el área de la gráfica de y = x + 1 entre los valores de x de 1 a 5. Se cuentan los cuadros completos y fraccionados dentro del área delimitada, obteniendo una estimación de 16 unidades cuadradas. Este método didáctico busca enseñar a los estudiantes cómo se puede aproximar el área bajo una curva sin usar cálculos avanzados.
📏 Cálculo del área mediante integración
En el tercer párrafo, el presentador pasa del método de estimación al cálculo exacto del área bajo la curva mediante integración. Utiliza el teorema fundamental del cálculo para explicar el proceso de integrar la función y = x + 1 con respecto a x, desde 1 hasta 5. Descompone la integral en dos partes, calcula cada una, y evalúa los límites de integración. Al final, obtiene un área de 16 unidades cuadradas, coincidiendo con la estimación previa, y refuerza el concepto de que las áreas bajo la curva se expresan en unidades cuadradas. Cierra el video recordando su nombre y despidiéndose de la audiencia.
Mindmap
Keywords
💡Área bajo la curva
💡Gráfica
💡Intervalo
💡Función lineal
💡Método didáctico
💡Cuadriculado
💡Integral
💡Teorema fundamental del cálculo
💡Unidades cuadradas
💡Evaluar la integral
Highlights
Inicio de la explicación para calcular el área bajo la curva de y = x + 1 en el intervalo cerrado de 1 a 5.
Importancia de la didáctica en el método de cálculo.
Construcción de la gráfica de la función lineal y = x + 1.
Selección de valores de x para obtener y y graficar los puntos (1,2), (3,4) y (5,6).
Ubicación de los puntos en el plano cartesiano para formar la gráfica.
Conexión de los puntos para visualizar la función y = x + 1.
Determinación de los límites del intervalo de integración con líneas verdes.
Introducción de la función y = 0 como referencia en el eje x.
Explicación del proceso de cuadrícula para estimar el área bajo la curva.
Estimación de 16 unidades cuadradas como área bajo la curva mediante la cuadrícula.
Introducción del método de integración para calcular el área.
Fórmula de integración aplicada para encontrar el área entre las curvas.
Pasos para resolver la integral de x + 1 desde 1 hasta 5.
Aplicación del teorema fundamental del cálculo para evaluar la integral.
Cálculo del área exacto utilizando la integral, obteniendo 16 unidades cuadradas.
Comparación entre la estimación de cuadritos y el cálculo integral para el área.
Conclusión del vídeo con la confirmación del área bajo la curva de 16 unidades cuadradas.
Agradecimiento y despedida del presentador Rodolfo Rodríguez.
Transcripts
muy buenos días amigos y amigas vamos a
calcular el área bajo la curva Sí ya
tenem de un problema y ya tenemos aquí
su gráfica Recuerden que es con el
licenciado Rodolfo Rodríguez alférez
empezamos ya Bueno vamos a resolver este
problema recuerde que vamos a hacerlo
por un método muy
didáctico cierto entonces presten
atención a lo que voy a hacer Bueno acá
ya tengo el plano cartesiano
te dice Hallar el área debajo de y = x +
1 en el intervalo cerrado 1 hasta 5
cierto ent en primer lugar me está
diciendo que haga la Gráfica cierto y
vamos a hacer esa gráfica bueno entonces
esa
gráfica cierto de y = x + 1 es la
siguiente Bueno ya la habíamos hecho en
un video anterior cierto pero entonces
acá la vamos a volver a hacer Bueno
entonces tengo que graficar esta función
lineal y le vamos a dar valores a x para
obtener valores de Y qué valores le
vamos a dar entonces del 1 al 5 Vamos a
darle tres valores Sí a la x entonces un
valor sería el 1 otro valor pongámosle
3 y otro valor el
c si x vale 1 entonces reemplazamos aquí
donde está la x 1 + 1 daría 2 quiere
decir que el valor de la y es 2 Ahora
cuando x vale 3 3 + 1 daría 4 quiere
decir que y vale 4 y ahora cuando x vale
5 5 + 1 6 cierto entonces y vale 6 estas
coordenadas las vamos a ubicar acá en
este plano cartesiano Entonces cuando x
vale 1 y vale 2 entonces aquí por eso
tengo esta hoja cuadriculada y yo busqué
que
que las coordenadas de y y las
coordenadas de X me formaran cuadrados
sí Mira para que ustedes observen una
didáctica que voy a hacer en este video
si x vale 3 y vale 4 entonces 1 2
y cierto si x vale 5 ubicamos AC donde
está el 5 y vale 6 1 2 3 4 5 y 6 dese
cuenta 5 y miramos miramos la imagen 6
cuando x vale 3 y vale 4 como usted
puede observar acá y si x vale
1 vale
2 Entonces ya podemos
formar la la Gráfica Entonces vamos a
tomar aquí nuestra escuadra y la vamos a
hacer con rojo con rojo para que se vea
bien en el ví es el objetivo que ustedes
puedan apreciar lo que yo hago
acá Bueno entonces hago
Esto entonces esta gráfica que que acabé
de trazar cierto uniendo esos puntos
Cuál es Pues resulta que es y = x + 1
entonces aquí y es igual a x +
1
Bueno ahora vamos a colocar los
límites del 1 al 5 y lo vamos a hacer
con verde con color verde entonces del 1
entonces acá donde está x = 1
vamos a
trazar esta
recta cuando x vale 1 y cuando x vale
5 Bueno entonces ahí la
trazamos como usted puede
observar también hay otra
función cierto y esa función no la no la
nombraron ahí pero es el donde está el
eje x Y esa función es y = 0 que es la
que voy a hacer en este momento vamos a
hacerla con rojo sí entonces preste
atención entonces voy a tomar todo esto
así vamos a trazar hasta
ahí
esta Va a
ser y = a 0 ya tengo dos funciones la
función x + 1 y la otra función cero
cierto entonces para que usted lo
analice más detalladamente porque es lo
que vamos ahorita a reemplazar Bueno
entonces presten atención a lo que vamos
a hacer aquí primero que todo vamos a
hallar el área cierto
utilizando la
cuadrícula Entonces vamos a hacer esto
vamos a a tomar
estos estos cuadros
cierto y vamos a llenar toda esta área
que nos están pidiendo Entonces lo vamos
a cuadricular entonces hacemos esto
observe que es lo que estoy haciendo
aquí en el en el video y ustedes lo van
a hacer en las casas o en la institución
donde están estudiando bueno dese cuenta
que yo hago esto recuerde que este es un
video muy
didáctico donde usted va a ver cómo es
que salen esas
áreas a ustedes le dicen Hallar el área
bajo la curva cierto de y = x + 1 cierto
y en el intervalo 1 hasta cco cierto
Entonces vamos a contar Cuántos cuadros
hay recuerde que la unidad patrón es lo
que está aquí la vamos a colorear de
azul este la unidad patrón este cuadrito
Sí entonces necesitamos sa ver cuántos
cuadritos
hay de esta Así en esta forma Cuántos
cuadritos Entonces vamos a
utilizar la
estimación Bueno entonces vamos a
estimar Cuántos cuadritos hay así como
este cierto que es la unidad patrón
entonces empezamos a contar
uno Este sería el dos cierto tres vamos
contando muy bien van tres
cuat van cuatro
c
6
si
ocho en este momento hay
ocho cuadritos cierto entonces seguimos
nueve este sería el
10
11
12
13 14
14 cuadritos completos y ahora
observemos que este y este completan uno
y acá también entonces 14 este sería con
este el 15 y este con este 16 quiere
decir que el
área el
área cierto sería igual a
16 unidades
cuadradas Esta es la estimación que
nosotros hicimos contando esos esos
cuadros cierto y esos cuadritos es la
unidad patrón que estamos utilizando en
este ejercicio bueno entonces ahora
vamos a utilizar el método de la
integración Bueno vamos a empezar pero
antes voy a
colocarle aquí a remarcar un poquito más
estas líneas que no no se no se ven
cierto cuando x vale
1
entonces esa línea y cuando x vale
5 porque es el intervalo del 1 hasta el
5 Bueno ahora ya se puede observar mucho
mejor Bueno
entonces ya sabiendo eso sabemos muy V
que la el teorema fundamental del
cálculo es esto que están viendo ustedes
ahí que es cuando nosotros evaluamos esa
integral cierto entonces empezamos a
resolver Bueno entonces el
área es igual entonces acá vamos a
copiar una especie de fórmula de a hasta
B siempre colocamos la función
dominante yo siempre la coloco como F
cierto menos la otra función que en este
caso sería y =
0 debemos tenerla en
cuenta cierto F
GX bueno acá
cerramos
cerramos y acá d x porque estamos
trabajando en el eje x Bueno Este es una
fórmula Y con esa fórmula vamos a
empezar Hallar el área de esta
figura si Nos salió como una especie de
trapecio Entonces vamos a hallar el área
de esto de lo que está con
azul Bueno entonces el área es igual
observamos los límites los límites desde
el uno hasta el 5 t integral desde el 1
hasta el 5 la función dominante es esta
que está aquí que es y = x + 1 entonces
acá quedaría x+ + 1 menos la otra
función que es esta que está sobre el
eje x que sería y = 0 entonces - 0
cerramos d x Bueno al resolver Esto me
queda lo mismo x + 1 Entonces el área
del integral del 1 hasta el
5 de x + 1
dx es igual y Aquí vamos a a resolver la
integral recuerde que la integral de x +
1 nos quedaría de la siguiente forma
entonces aquí ustedes observan esto
cierto la integral de de X Entonces se
resuelve así y la integral de de 1 de X
es así como observan aquí en este en
esta otra propiedad Bueno entonces de
una vez haciéndole Me quedaría la
primera Sí si usted quiere lo podemos
separar para que lo entienda mejor
entonces separémonos
la integral del 1 hasta el 5
dx
dx más la
integral del 1 hasta el 5 de X Entonces
ya ustedes lo pueden observar que es
esta es idéntica a esta a esta propiedad
y esta otra es a esta Bueno entonces el
área es igual y la integral de integral
de x de X entonces resolviéndolo me
quedaría 1 + 1 2 sobre 2 entonces
quedaría x al cuadrado sobre 2 cierto y
lo vamos a
evaluar desde 1 hasta
5 más ahora la integral de x y ya
sabemos que es x
Entonces cuál es la la integral de x
pues x cierto entonces quedaría aquí x
evaluada desde un hasta 5 Bueno ya
sabiendo eso lo vamos a resolver pero
aquí a mí siempre me gusta de pronto s2
sacarlo de
la de acá y entonces me quedaría
1/2 Y entonces reemplazamos cuando x
vale 5 y cuando x vale 1 recuerde el
teorema fundamental del cálculo Bueno
entonces quedaría 5
cu men 1 al cuadrado estamos evaluando
la x no más ahora sigue este otro cuando
x vale 5 menos cuando x vale 1 entonces
quedaría 5 - 1 5 cuad da 25 Entonces de
una vez
1/2 Entonces acá 25 - 1 + 5 - 1 daría 4
a 25 le quito 1 eso nos daría 24
24 Med + 4 24+ div 2 eso nos da
12 + 4 observamos que nos da
16 y como estos son áreas el área viene
viene en unidades cuadradas entonces
unidades cuadradas entonces la solución
de este
ejercicio es 16 unidades cuadradas
entonces acá Me
faltó cuadra
das acá cuadradas Bueno entonces
observamos que nos quedó bien Espero que
les haya gustado este video y nos vemos
en la siguiente en el siguiente video
chao
chao mi nombre es rolfo Rodríguez y nos
vemos en el siguiente
video nombre es
Mi nombre es mi nombre es Rodolfo
Rodríguez y nos gustan las matemáticas
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