Los orígenes del CÁLCULO infinitesimal

El Axioma del Infinito
25 Jan 202222:34

Summary

TLDREl script explora los orígenes y desarrollo del cálculo, enfocándose en las contribuciones de matemáticos como Newton y Leibniz, pero también reconociendo la importancia de figuras como Cavalieri, Torricelli, Roberval, Fermat, Pascal y Barrow. Destaca la transición gradual del cálculo desde una colección de técnicas aritméticas y geométricas hacia un sistema formalizado, y cómo la idea del infinitesimal y el uso de límites fueron fundamentales para su evolución. La narrativa incluye la historia de los pilares conceptuales del cálculo, su conexión con la tradición griega y la geometría analítica, así como las luchas y logros en la cuadratura de curvas y el concepto de derivada.

Takeaways

  • 📚 Aunque Newton y Leibniz son reconocidos como los principales creadores del cálculo, su descubrimiento es el resultado de la acumulación de aportes de varios matemáticos a lo largo de un proceso gradual.
  • 🔑 Los tres pilares fundamentales del cálculo matemático moderno son los números reales, las funciones y los límites, y ninguno de ellos estaba completamente establecido en el siglo XVII.
  • 📈 El legado de los matemáticos griegos, como Euclides y Arquímedes, influenció en cómo los matemáticos del siglo XVII concebían la continuidad, la cantidad variable y el infinito.
  • 🤔 La idea del infinito y el concepto de límite eran reticentes en el siglo XVII debido a la falta de un sistema aritmético completo y la rechazo a la idea del infinito por parte de los griegos.
  • 📈📉 La geometría analítica, introducida por Descartes, fue un punto de inflexión que permitió la unión de la geometría y el álgebra, lo que llevó a la aparición de nuevas técnicas para estudiar curvas.
  • 📝 El método de los indivisibles, desarrollado por Cavalieri, fue una técnica innovadora para calcular áreas y volúmenes, aunque fue criticado por su falta de rigurosidad dimensional.
  • 📐 Los matemáticos como Roberval, Fermat, Wallis y Pascal contribuyeron a la evolución de los métodos de cálculo de áreas, empleando técnicas aritméticas y conceptos de infinitesimales.
  • 📈 La cuadratura de arcos y curvas parabolicas y hiperbólicas fue un foco principal de investigación en el siglo XVII, con avances significativos por parte de varios matemáticos.
  • 📝 Fermat introdujo el cociente incremental en 1637, que sería el precursor del concepto de derivada, aunque su enfoque era puramente algebraico y no relacionado con el infinitesimal ni el límite.
  • 🔍 Barrow, el tutor de Newton, fue uno de los primeros en vislumbrar la relación inversa entre el cálculo de tangentes y las cuadraturas, aunque no logró desarrollarla completamente.
  • 🙏 El video termina rindiendo homenaje a Torricelli y Pascal, dos matemáticos destacados cuyos trabajos influyeron significativamente en el desarrollo del cálculo.

Q & A

  • ¿Quiénes son considerados los creadores del cálculo?

    -Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz son considerados los creadores del cálculo.

  • ¿Cómo se describe el proceso de descubrimiento del cálculo en el script?

    -El descubrimiento del cálculo se describe como la culminación de un largo proceso que se fue fraguando de forma gradual, con aportaciones sucesivas de varios matemáticos.

  • ¿Cuáles son los tres pilares fundamentales del cálculo matemático moderno?

    -Los tres pilares fundamentales del cálculo matemático moderno son los números reales, las funciones y los límites.

  • ¿En qué año se sistematizaron completamente los números reales?

    -Los números reales no fueron completamente sistematizados hasta 1872, años en los que Dedekind y Cantor publicaron dos construcciones independientes de ellos.

  • ¿Qué es la idea clave detrás del cálculo que Newton y Leibniz 'aislaron' de los resultados geométricos?

    -La idea clave que Newton y Leibniz aislaron es que permitía convertir los resultados en fórmulas y los métodos en algoritmos.

  • ¿Qué es el método de esta opción y cómo se relaciona con el cálculo?

    -El método de esta opción es un esquema de razonamiento de doble reducción que se utilizó antes del cálculo para resolver problemas geométricos y que se relaciona con el cálculo en su forma de manejar el infinito.

  • ¿Qué cambio revolucionario se produjo en la matemática con la introducción de los sistemas de coordenadas por Descartes?

    -La introducción de los sistemas de coordenadas por Descartes fundó la geometría analítica, permitiendo estudiar objetos geométricos mediante simbolismo algebraico y transformar una curva en una ecuación que satisfacen las coordenadas de sus puntos.

  • ¿Qué es el método de los indivisibles y cómo se relaciona con la cuadratura de figuras?

    -El método de los indivisibles es una técnica para calcular cuadraturas, introducida por Cavalieri, que utiliza objetos geométricos de una dimensión menor para comparar y deducir áreas de figuras planas nuevas a partir de áreas o volúmenes conocidos.

  • ¿Quién fue el primero en introducir el símbolo del infinito en matemáticas y en qué contexto?

    -John Wallis fue el primero en introducir el símbolo del infinito en matemáticas, en su trabajo sobre la cuadratura de arcos parabólicos y su correspondencia con exponentes racionales.

  • ¿Cuál fue la contribución de Fermat al cálculo diferencial y cómo se describe en el script?

    -Fermat introdujo el cociente incremental en su método para investigar máximos y mínimos, lo que daría origen al concepto de derivada. El script describe este método como puramente algebraico y operacional, sin un uso explícito de conceptos de límite o infinitesimales.

  • ¿Qué relación entre el cálculo de tangentes y las cuadraturas fue vislumbrada por Barrow y cómo influenció a Newton?

    -Barrow fue el primero en vislumbrar la relación inversa entre el cálculo de tangentes y las cuadraturas, aunque su conservadurismo por los métodos geométricos le impidió sacarle partido. Esta relación fue crucial para el descubrimiento posterior del cálculo por Newton.

  • ¿Qué contribuciones destacadas se mencionan de Torricelli y Pascal al cálculo y por qué son importantes?

    -Torricelli fue el primero en demostrar la cuadratura básica para exponentes internacionales y también realizó la cuadratura y construcción de la tangente de la circunferencia. Pascal, por su parte, con su teorema del hexágono y su correspondencia con Fermat, marcó el inicio de la teoría de probabilidades, y su tratado sobre los senos de los cuadrantes circulares fue crucial para el descubrimiento del cálculo integral.

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