Komposisi Fungsi - Matematika Wajib Kelas XI Kurikulum Merdeka

Summary

This educational video script discusses the concept of function composition in mathematics, an essential topic for 11th-grade students following the Merdeka curriculum. It explains function composition as the combination of two or more functions to form a new one, using specific rules. The script provides a step-by-step explanation of how to perform function composition, including substituting one function into another, and demonstrates this with examples using the functions f(x) = 2x + 1 and g(x) = x^2 - 3x + 4. It also emphasizes the non-commutative property of function composition, showing that the order of composition affects the outcome.

Takeaways

• 📘 The video discusses the concept of function composition in mathematics, specifically for high school curriculum.
• 🔗 Function composition is likened to the composition of products, which are made up of various ingredients or components.
• ➡️ The composition of functions involves combining two or more functions to create a new function, following specific rules.
• 📐 The operation of function composition is commonly denoted with symbols like '∘' or 'o', representing the composition or 'bundling' of functions.
• 👉 In function composition, the function on the right (e.g., f(x)) is applied first, followed by the function on the left (e.g., g(x)).
• 📊 Function composition can be visualized using an arrow diagram, illustrating the mapping from one set to another through multiple functions.
• 🔄 There are two possible compositions from two given functions: f ∘ g and g ∘ f, but they may not be commutative, meaning the order affects the result.
• 📚 The script provides a step-by-step example of how to calculate the composition of two functions, f(x) = 2x + 1 and g(x) = x^2 - 3x + 4.
• 🧮 The process involves substituting the inner function (rightmost) into the outer function (leftmost) and simplifying the expression.
• 📉 The video concludes by highlighting that the results of function composition may vary even with the same functions, emphasizing the importance of understanding the order of operations.

Q & A

What is the main topic discussed in the video?

The main topic discussed in the video is the concept of function composition in mathematics, specifically for high school level 11 curriculum.

What does the term 'composition' refer to in the context of functions?

In the context of functions, 'composition' refers to the process of combining two or more functions to create a new function, following certain rules.

How is the composition of functions denoted mathematically?

The composition of functions is usually denoted with the symbol '∘' or 'o', and it is read as 'composition' or 'circle'.

What is the order of operations when composing functions?

When composing functions, the function on the far right is performed first, followed by the functions on the left.

Can you provide an example of function composition from the script?

Yes, the script provides an example with functions f(x) = 2x + 1 and g(x) = x^2 - 3x + 4. The composition of these functions is discussed.

What is the first composition of functions mentioned in the script?

The first composition mentioned in the script is f(g(x)), which means the function g(x) is applied first, followed by f(x).

How is the composition of f(g(x)) calculated?

The composition f(g(x)) is calculated by substituting g(x) into f(x) wherever there is an 'x', resulting in 2(g(x)) + 1.

What is the second composition of functions discussed in the script?

The second composition discussed is g(f(x)), which means the function f(x) is applied first, followed by g(x).

How is the composition of g(f(x)) calculated?

The composition g(f(x)) is calculated by substituting f(x) into g(x) wherever there is an 'x', resulting in g(f(x)) = (2x + 1)^2 - 3(2x + 1) + 4.

Does function composition always follow the commutative property?

No, function composition does not always follow the commutative property. The script illustrates that f(g(x)) and g(f(x)) can yield different results even if they are composed from the same functions.

What is the final result of the composition f(g(x)) as discussed in the script?

The final result of the composition f(g(x)) is 2x^2 - 6x + 8 + 1, which simplifies to 2x^2 - 6x + 9.

What is the final result of the composition g(f(x)) as discussed in the script?

The final result of the composition g(f(x)) is 4x^2 - 2x - 3 + 4, which simplifies to 4x^2 - 2x + 1.

Outlines

00:00

📘 Introduction to Function Composition

The paragraph introduces the concept of function composition in the context of high school mathematics, specifically for grade 11 students following the Merdeka curriculum. It explains that function composition is similar to the composition of products, where multiple ingredients combine to form a new entity. Function composition involves combining two or more functions to create a new function, following certain rules. The composition is typically represented by a formula, such as G(F(x)), which can be read as 'G composed with F' or 'G of F'. The composition is performed from right to left, meaning the function on the right is evaluated first. The paragraph also introduces the concept of mapping sets using functions, where a set 'a' is mapped to set 'b' by function 'f', and then the result is mapped to set 'c' by function 'G', resulting in the composition G(F(x)).

05:01

🔍 Detailed Explanation of Function Composition

This paragraph delves deeper into the mechanics of function composition by discussing two possible compositions that can be formed from two given functions, F and G. It explains that the composition can be either F composed with G (F(G(x))) or G composed with F (G(F(x))). The paragraph emphasizes that the function on the right is evaluated first, followed by the function on the left. It uses an example with functions F(x) = 2x + 1 and G(x) = x^2 - 3x + 4 to demonstrate how to calculate the composition F(G(x)) by substituting G(x) into F(x). The process involves replacing the variable 'x' in F(x) with the entire expression of G(x), resulting in a new function that represents the composition.

10:04

📚 Calculation of Function Composition Examples

The paragraph continues the discussion by providing a step-by-step calculation of the composition F(G(x)) using the previously mentioned functions F(x) and G(x). It shows how to substitute G(x) into F(x) and perform the necessary algebraic operations to obtain the resulting function. The paragraph also touches on the importance of using parentheses correctly when substituting to avoid errors. It then proceeds to calculate the composition G(F(x)) by substituting F(x) into G(x) and simplifies the expression to find the final result. The paragraph highlights the non-commutative property of function composition, where F(G(x)) is not necessarily equal to G(F(x)), even when composed from the same functions.

15:07

📌 Conclusion and Encouragement for Further Learning

In the concluding paragraph, the speaker summarizes the discussion on function composition and encourages students to practice and understand the concept. They express hope that the material has been comprehended and invite students to share their thoughts and answers in the comments section. The speaker also motivates students to stay enthusiastic and strive for excellence, promising more educational content in upcoming videos.

Keywords

💡Composition of Functions

The composition of functions refers to combining two or more functions to produce a new function. In the video, it is likened to the composition of ingredients in a product, where each function is applied sequentially. For example, if you have functions f(x) and g(x), the composition f(g(x)) applies g first and then f to the result.

💡Function Notation

Function notation, such as f(x) or g(x), is used to denote functions. In the video, this notation is crucial for understanding how functions are combined in composition. For example, f(g(x)) means that the function g is applied to x, and then the result is used as the input for function f.

💡Arrow Diagram

An arrow diagram visually represents how elements of one set are mapped to elements of another set through functions. In the video, arrow diagrams help illustrate the concept of function composition by showing the mapping from one set to another via different functions.

💡Domain

The domain of a function is the set of all possible input values. In the video, it’s mentioned in the context of understanding how functions map elements from one set to another, with the domain being the starting set from which inputs are drawn.

💡Codomain

The codomain of a function is the set of all possible output values. It is discussed in the video as part of understanding how functions map inputs to outputs, where the codomain represents the set that outputs belong to after applying the function.

💡Range

The range of a function is the actual set of outputs produced by the function from the domain. In the video, the range is highlighted in the context of function composition, showing how applying functions results in specific outputs within the codomain.

💡F Composition G

F composition G, denoted as (f∘g)(x), means that function g is applied first, and then function f is applied to the result. The video uses this concept to explain how to substitute the output of one function into another, such as substituting g(x) into f(x).

💡G Composition F

G composition F, denoted as (g∘f)(x), means that function f is applied first, and then function g is applied to the result. The video contrasts this with F composition G, demonstrating how the order of applying functions affects the outcome.

💡Substitution

Substitution in the context of function composition involves replacing a variable in one function with another function's output. The video illustrates this by showing how to substitute one function's output as the input for another.

Highlights

Introduction to the concept of function composition in mathematics.

Analogy of function composition to product ingredients to explain the concept.

Definition of function composition as the combination of two or more functions.

Explanation of the notation used for function composition.

The rule of performing function composition from right to left.

Use of a diagram to illustrate the concept of function composition.

Discussion on the domain, codomain, and range in the context of function composition.

Clarification on the process of mapping sets in function composition.

The possibility of two types of compositions from two given functions.

Detailed example of calculating the first composition of functions f(x) and g(x).

Step-by-step substitution process in function composition explained.

Calculation of the second composition of functions g(f(x)) and f(g(x)).

Emphasis on the importance of correct substitution in function composition.

Final calculation and simplification of the composed functions.

Conclusion on the non-commutative property of function composition.

Encouragement for viewers to practice and discuss their understanding of function composition in the comments.

Anticipation for further discussions on function composition in upcoming videos.

Transcripts

Oke Assalamualaikum warahmatullahi

wabarakatuh baik teman-teman sekalian

kembali lagi di bsmart channel pada

video kali ini kita masih melanjutkan ya

pembahasan kita di materi Matematika

wajib ya kelas 11 untuk kurikulum

Merdeka yaitu mengenai komposisi fungsi

Nah mungkin teman-teman pernah dengar ya

kata komposisi gimana biasanya

di dalam kemasan ya produk-produk

biasanya satu produk itu

tercantum ya komposisinya artinya apa

bahan-bahannya gitu ya berarti apa dong

komposisi artinya produk itu gabungan

dari beberapa bahan yang ada gitu ya Nah

sehingga begitu juga komposisi

di sini ya Secara pengertian

komposisi fungsi yaitu penggabungan dua

atau lebih ya fungsi

dimana akan menghasilkan suatu fungsi

baru ya jadi digabungkan dua atau lebih

fungsi digabungkan menghasilkan fungsi

yang baru dengan catatan menggunakan

aturan tertentu ya jadi komposisi fungsi

itu sama seperti komposisi pada umumnya

ya yaitu penggabungan dua atau lebih

fungsi gitu ya

nah operasi komposisi fungsi biasa

dilambangkan dengan rumus seperti ini ya

biasa dibaca komposisi atau Bundaran ya

nah misalnya nih ada fungsi fx dan GX

maka fungsi G komposisi F dapat

dituliskan dalam rumus G komposisi F ya

Jadi tadi

simbolnya ini bisa dibaca komposisi atau

Bundaran ya jadi

bisa pakai salah satunya tapi yang umum

kita pakai g komposisi F saja ya yang

menandakan bahwa rumus ini memang adalah

rumus komposisi gitu ya yaitu fungsi

yang dipetakan oleh fungsi fx kemudian

dilanjutkan oleh fungsi gx Nah jadi

begini teman-teman komposisi fungsi itu

yang dikerjakan itu yang paling kanan

dulu ya di sini kan G komposisi F yaitu

fungsi yang dipetakan oleh fungsi fx

fungsi f nya kan berada di kanan nih ya

kan berarti fungsi yang paling kanan

yang kita kerjakan terlebih dahulu

kemudian fungsi yang di kiri ya jadi

dari kanan ke kiri gitu ya nah

nah komposisi

G

komposisi F dapat dituliskan dalam

diagram panah biar lebih paham Maksudnya

seperti apa sih Misalnya nih ada

himpunan a himpunan b dan Himpunan c di

mana himpunan a dipetakan Anggaplah

anggotanya X gitu ya kemudian dipetakan

ke himpunan b oleh fungsi f maka

diperoleh daerah hasil Ya ini kemarin

sudah kita bahas ya di video sebelumnya

mengenai

domain kodomain dan range ya daerah asal

daerah kawan dan daerah hasil nah

anggota himpunan a ini dalam hal ini x

dipetakan ke himpunan b oleh fungsi f

maka diperoleh daerah hasil FX gitu ya

kemudian himpunan b dipetakan lagi ke

Himpunan c oleh fungsi G maka diperoleh

apa diperoleh daerah hasil yaitu

gfe nah

dalam hal ini kan

dari pemetaan himpunan a ke himpunan b

kemudian dipetakan lagi ke Himpunan c

ini kan melibatkan dua fungsi atau lebih

ya kan sehingga ini bisa dikatakan

komposisi nah bagaimana kalau tidak

melalui proses seperti ini misalnya

langsung dari himpunan a Himpunan c Maka

itulah komposisi fungsinya ya Jadi tidak

perlu lagi didetailkan dari a ke b

kemudian B ke c intinya kan dari a ke c

gitu ya Nah inilah yang dikatakan

komposisi fungsi ya yang memetakan

himpunan

a ke himpunan C yaitu diletakkan oleh

komposisi y komposisi F gitu ya nah oke

kemudian

jika ada fungsi fx dan GX maka komposisi

fungsi yang dapat terbentuk adalah ya

Jadi ada dua nih kemungkinan komposisi

dari dua fungsi yang ada ya Jadi kita

ambil minimalnya saya nih

Jadi yang pertama komposisi fungsi yang

dapat terbentuk yaitu F komposisi g gitu

ya Artinya apa G komposisi G tadi ya

Ingat dibaca Bundaran ini Rumus ini

dibaca F komposisi G atau F Bundaran g

gitu ya yang artinya Apa fungsi yang

dipetakan oleh fungsi gx jadi ingat

pemetaannya dimulai dari fungsi yang di

sebelah kanan dulu ya jadi

F komposisi G yaitu fungsi yang

dipetakan oleh fungsi gx kemudian

dilanjutkan oleh fungsi fx Maksudnya apa

jadi fungsi g-nya dulu yang dikerjakan

ya fungsi y-nya dulu yang dikerjakan

dalam hal ini fungsi G berada di sebelah

kanan ya kemudian

hasilnya di subtitusikan ke fungsi f

atau fungsi di sebelah kiri sehingga

komposisi yang pertama ini dapat

dituliskan dalam rumus f komposisi G itu

dapat dituliskan dijabarkan menjadi

fgx artinya Apa fungsi gx kita

subtitusikan ke fungsi f itu kira-kira

ya lebih mudahnya ya Kemudian yang kedua

komposisi yang kedua yaitu tentunya

kebalikan kalau tadi F komposisi G

Sekarang berarti G komposisi F ya jadi

dibaca G komposisi f atau G Bundaran F

yang artinya Apa artinya fungsi itu

dipetakan oleh fungsi fx kemudian

dilanjutkan oleh fungsi G ya jadi fungsi

f-nya dulu yang berada di kiri ini

kemudian

di subtitusikan ya ke fungsi sebelah

kanan atau fungsi G nya atau bisa

dituliskan dalam rumus G komposisi FX

itu sama saja gfx artinya Apa fungsi fx

di subtitusikan ke fungsi gx gitu ya nah

jadi

ini

apalagi namanya komposisi yang bisa

dibentuk dari dua fungsi yang ada Apakah

F komposisi G atau k g komposisi

Nah untuk lebih jelas kita bahas contoh

soalnya misalnya nih diketahui fungsi fx

2x + 1 dan GX X ^ 2 - 3X + 4 nah

tentukanlah rumus komposisi yang pertama

F komposisi G dan yang kedua G komposisi

F nah yang pertama dulu nih eh komposisi

tadi bisa dijabarkan ya Atau eh artinya

apa ini tadi fungsi g-nya dulu yang

dikerjakan kemudian dilanjutkan ke

fungsi f atau lebih mudahnya

subtitusikan eee fungsi gx ke fungsi fx

ya atau dapat dituliskan dalam rumus f

GX gitu ya Nah SGX ini seperti apa

Maksudnya mau di subtitusi Nah begini di

sini kan ada fungsi fx nih ya kan

kemudian yang kita mau tanyakan Seperti

apa fqx-nya Nah sekarang perhatikan

fungsi fx-nya kan di awal dalam

kurungnya nih ya dalam kurungnya kan X2

sekarang berubah menjadi GX gitu ya

berarti artinya Apa artinya semua

variabel x pada fungsi fx tadi harus

menjadi GX berarti di sini ada nih 2x

berarti x-nya harus menjadi apa harus

menjadi GX gitu ya ditambah 1 tetap

sehingga F GX di sini menjadi 2 GX + 1

gitu ya Nah itu maksudnya substitusikan

fungsi gx untuk fungsi fx Nah sekarang

di sini ada GX nih ya kan artinya fungsi

gx sementara di soal juga fungsi gx nya

ada tuh ya kan nah X ^ 2 - 3X + 4

sehingga GX yang ada di sini kita ganti

dengan nilai yang ada yaitu X ^ 2 - 3X +

4 gitu ya Heeh ditambah 1 karena tetap

tidak ada variabel x-nya tadi Nah

usahakan jika menggantikan sesuatu atau

subtitusikan suatu nilai selalu pakai

kurung ya teman-teman Sehingga ee Ini

menandakan bahwa Oh yang dalam kurung

ini adalah GX ya yang diganti di awal ya

Nah selanjutnya diapakan selanjutnya

tinggal kita kalikan ya kalian masuk ini

kan tanda kurung artinya kali masuk gitu

ya Artinya 2 yang di depan ini punya

semua yang ada di dalam kurung sehingga

kita akan masuk 2 * x ^ 2 2x ^ 2 2 * -3x

menjadi -6x 2 * 4 jadi 8 selesai tambah

satu gitu ya

tinggal kita selesaikan 2x ^ 2 tetap

tidak ada variabel x pangkat 2 yang lain

-6x juga tetap karena tidak ada variabel

x yang lain 8 + 1 ini kan sama ya

sehingga kita operasikan 8 + 1 9 Maka

itulah S komposisi gx-nya gitu ya bisa

ya oke Bisa dong nah sekarang yang kedua

kalau tadi F komposisi g-nya Nah

sekarang bagaimana dia komposisi f-nya

ah sama artinya kan kita selesaikan dulu

fungsi fx-nya kemudian kita subtitusikan

ke fungsi g-nya ya atau dituliskan dalam

rumus G FX gitu ya

artinya apa tadi Nah gantinya ganti

semua variabel x pada fungsi gx dengan

fx ya kan di sini kan ada GX nih yang

diminta gfx artinya X yang ada di sini

diganti menjadi

FX gitu ya Sehingga ada x ^ 2 nih

berarti x ^ 2 x nya diganti menjadi FX

menjadi FX ^ 2 gitu ya

kemudian -3x - 3x variabel x nya juga

harus diganti dengan fx berarti menjadi

-3 FX +

44 nya tetap karena tidak ada variabel

x-nya gitu ya Maksudnya oke nah sekarang

karena di sini ada FX ya kan ini kan

suatu fungsi ini nah sementara di soal

fungsi fx-nya juga ada yaitu nilainya 2x

+ 1 sehingga semua FX yang ada di sini

kita ganti dengan Heeh 2x + 1 sehingga x

^ 2 menjadi 2x + 1 ^ 2 - 3 FX berarti -3

* 2x + 1 + 4 gitu ya Heeh jadi

subtitusikan

fungsi yang paling kanan ke fungsi

paling kiri ya Oke berarti tinggal kita

selesaikan nih ya kan 2x + 1 ^ 2 nah ini

seperti apa nih caranya masih ingat

nggak rumus jika ada a + b ^ 2 bisa

dijabarkan langsung menjadi apa yaitu a

pangkat 2 ditambah 2 kali AB ditambah B

pangkat 2 Dalam hal ini a-nya kan yang

2x ya b-nya yang satu sehingga a pangkat

2 berapa Berarti 2x ^ 2 ya berarti 4 x ^

2 kemudian 2 * ab a-nya di sini 2x b-nya

1 berarti 2 * 2x 4x * 1 fungsinya

4x kemudian b^2 b-nya kan 1 1 ^ 2

berarti 1 gitu ya jadi rumus-rumus

seperti ini teman-teman harus eh

dihafalkan ya Sehingga jika ada

penjabaran eee yang harus kita

selesaikan ndak perlu lagi kita Uraikan

secara lengkap ya langsung saja sesuai

dengan rumus yang ada gitu ya kemudian

kita lanjutkan di sini -3 pakai kurung

artinya dikali masuk ya jadi ingat kalau

harus seperti ini dikali masuk ke semua

nilai yang ada dalam kurung Jangan hanya

nilai yang paling depan ya karena

biasanya itu yang membuat pekerjaan kita

salah ya karena kurang teliti sehingga

-3 ini kali masuk kali dulu kedua x -3 *

2x - 6x - 3 kalikan juga ke 1 yaitu -3 +

4 ya selesai tinggal kita eee operasikan

ya apa yang bisa

dijumlahkan yaitu variabel yang sama ya

x ^ 2 hanya 1 yaitu 4X ^ 2 kemudian

variabel x-nya ada dua nih 4x - 6x

berarti 4 - 6 - 2x kemudian 1 - 3 + 4

berarti jawabannya 2 ya Sehingga itulah

hasil G

komposisi fx-nya gitu ya

Nah dari hasil ini

kita dapat simpulkan nih ya kan Coba

perhatikan hasil F komposisi G dengan G

komposisi f nya dimana kira-kira

hasilnya padahal komposisi ini dari dua

fungsi yang sama ternyata pada operasi

komposisi fungsi tidak berlaku sifat

komutatif ya yaitu F komposisi G tidak

sama dengan y komposisi eh ya jadi

meskipun dari fungsi yang sama hasilnya

berbeda gitu ya Oke

untuk pemahaman teman-teman

silakan dikerjakan mungkin bisa

ditiriskan ya di kolom komentar jawaban

teman-teman sekalian mungkin itu yang

bisa kita bahas terkait materi komposisi

fungsi Semoga bisa dipahami nantikan

pembahasan yang lainnya pada video

berikutnya tetap semangat dan selalu

berprestasi