APA ITU BILANGAN KOMPLEKS ? (Materi Kurikulum Merdeka)
Summary
TLDRThis video script delves into the concept of complex numbers, explaining their composition of real and imaginary parts. It distinguishes between rational and irrational numbers, and further breaks down real numbers into whole numbers, natural numbers, and negative numbers. The script explores the utility of imaginary numbers in solving equations with no real roots, such as x² + 1 = 0. It also introduces three representations of complex numbers: Cartesian form, polar form, and exponential form, providing examples and their geometric interpretations on the Cartesian plane. The explanation aims to clarify the nature and applications of complex numbers, offering viewers a comprehensive understanding of this mathematical domain.
Takeaways
- 😀 The video discusses the concept of complex numbers and their relationship with real and imaginary numbers.
- 🔍 Real numbers are divided into rational and irrational numbers, with rational numbers further categorized into fractions and whole numbers.
- 🌐 Imaginary numbers are defined as the square root of negative one, specifically \( \sqrt{-1} \).
- 📚 Complex numbers are a combination of real and imaginary numbers, forming a higher level of numbers.
- 🧩 The script explains that irrational numbers, like the square root of 5, cannot be simplified and are part of the real numbers.
- 📐 The concept of imaginary numbers is introduced through the solution of quadratic equations that have no real roots, such as \( x^2 + 1 = 0 \).
- 📈 There are three ways to represent complex numbers: Cartesian form, polar form, and exponential form.
- 📊 Cartesian form is represented as \( z = x + yi \) where \( x \) is the real part and \( y \) is the imaginary part.
- 🌀 Polar form is expressed as \( r(\cos \theta + i\sin \theta) \), where \( r \) is the magnitude of the complex number and \( \theta \) is the angle.
- 🌟 Exponential form uses the identity \( e^{i\theta} = \cos \theta + i\sin \theta \), making it equivalent to the polar form.
- 📚 The video encourages viewers to understand these concepts and provides examples of how complex numbers can be represented graphically on a Cartesian plane.
Q & A
What is a complex number?
-A complex number is a combination of a real number and an imaginary number.
What are the types of numbers mentioned in the script?
-The script mentions real numbers and imaginary numbers.
What is an imaginary number?
-An imaginary number is the square root of -1, represented as i.
How are real numbers categorized?
-Real numbers are categorized into rational and irrational numbers.
What are rational numbers further divided into?
-Rational numbers are further divided into fractions and whole numbers.
What is the Cartesian form of a complex number?
-The Cartesian form of a complex number is z = x + yi, where x and y are real numbers.
What does x represent in the Cartesian form of a complex number?
-In the Cartesian form, x represents the real part of the complex number.
What does y represent in the Cartesian form of a complex number?
-In the Cartesian form, y represents the imaginary part of the complex number.
How is a complex number represented in polar form?
-A complex number in polar form is represented as r(cos θ + i sin θ), where r is the magnitude and θ is the angle.
What is the exponential form of a complex number?
-The exponential form of a complex number is r * e^(iθ), where r is the magnitude and θ is the angle.
Outlines
📚 Introduction to Complex Numbers
This paragraph introduces the concept of complex numbers, explaining that they are a combination of real and imaginary numbers. The real numbers are further divided into rational and irrational numbers, with rational numbers being either fractions or whole numbers, and irrational numbers being roots that cannot be simplified. The imaginary unit 'i' is defined as the square root of -1. The paragraph also discusses the representation of complex numbers in Cartesian form (z = x + y * i), where 'x' is the real part and 'y' is the imaginary part. Examples are given to illustrate how complex numbers can be represented graphically on a Cartesian coordinate system, with points corresponding to their real and imaginary components.
📐 Polar and Exponential Forms of Complex Numbers
This paragraph delves into the polar and exponential forms of complex numbers. It explains that a complex number can be represented in polar form as R * cos(Theta) + I * sin(Theta), where R is the magnitude (or modulus) of the complex number, and Theta is the argument (or angle). The paragraph provides an example of converting a complex number from Cartesian form to polar form, calculating the magnitude and angle for the number 1 - i. It also introduces the exponential form of complex numbers, which is e^(i * Theta), and shows that it is equivalent to the polar form. The paragraph concludes by emphasizing the three forms of complex numbers: Cartesian, polar, and exponential, and encourages viewers to subscribe, like, and share the video.
Mindmap
Keywords
💡Complex Numbers
💡Real Numbers
💡Imaginary Numbers
💡Rational Numbers
💡Irrational Numbers
💡Cartesian Form
💡Polar Form
💡Exponential Form
💡Square Root of -1
💡Diagram
Highlights
Introduction to complex numbers and their significance in mathematics.
Complex numbers are a combination of real and imaginary numbers.
Imaginary numbers are roots of -1, which are not found in real mathematics.
Real numbers are divided into rational and irrational numbers.
Rational numbers include fractions and whole numbers.
Fractions can be pure fractions and mixed fractions.
Whole numbers start from 0, 1, 2, and so on.
Whole numbers are further divided into prime numbers and composite numbers.
Irrational numbers are roots that cannot be simplified.
The use of imaginary numbers in solving quadratic equations where roots are not real.
Complex numbers consist of a real part and an imaginary part.
Cartesian form of complex numbers is expressed as z = x + y * i.
The real part of a complex number is denoted by x, and the imaginary part by y.
Examples of complex numbers are 5 - i and -7 + 2i.
Complex numbers can be represented graphically on a Cartesian coordinate system.
Polar form of complex numbers is expressed as R * cos Theta + I * sin Theta.
R is the square root of the sum of the squares of the real and imaginary parts.
Theta is the angle formed by the complex number in the Cartesian plane.
Exponential form of complex numbers is expressed as r * e^(i * Theta).
The exponential form is equivalent to the polar form in complex number representation.
Three forms of complex numbers are discussed: Cartesian, polar, and exponential.
Transcripts
Halo semua ketemu lagi bersama saya di
video kali ini saya akan bahas tentang
bilangan Kompleks ya Apa itu bilangan
Kompleks untuk mengetahui bidang
Kompleks kita harus tahu tentang
jenis-jenis bilangan
nah secara umum jenis bilangan itu
adalah bilangan real
dan bilangan imajiner
yang mana bilangan imajiner itu adalah
akar dari -1 jadi bilangan Kompleks ini
ternyata gabungan dari keduanya bilangan
real dan bilangan imajiner bilangan real
sendiri itu dibagi menjadi bilangan
irasional dan rasional bilangan rasional
dibagi menjadi bilangan pecahan dan
bilangan bulat bilangan pecahan ada
pecahan murni dan pecahan campuran
bilangan bulat itu ada bilangan cacah
Lan bilangan negatif bilangan cacah
adalah bilangan mulai dari angka 0 ya
012 dan seterusnya nah dibagi lagi
menjadi bilangan asli bilangan asli itu
mulai dari angka 1 2 3 dan bilangan nol
itu sendiri jadi di sini
bilangan Kompleks itu adalah yang paling
atas ya
terdiri dari bilangan real dan bilangan
imajiner Apa itu bilangan irasional
bilangan irasional adalah bilangan akar
ya jadi misalkan akar 5 tidak
disederhanakan ya Nah itu adalah
bilangan irasional
Nah kita masuk dulu ke bilangan imajiner
ya Ini tadi ada bilangan real dan
bilangan imajiner
bila imajiner adalah I = √-1 nah Apa
gunanya bilangan imajiner contohnya
kalau misalkan kita persamaan kita punya
persamaan kuadrat x² + 1 = 0
penyelesaian x nya itu dalam akar minus
ya plus minus akar -1 nah akar -1 itu
tidak dikenal di dalam matematika ya
berarti dia dinyatakan sebagai bilangan
I contoh lain kalau ada x² + 3 = 0
berarti x² + 3 maka x-nya itu di akar ya
+ -√ dari -3 nah akar minus 3 itu juga
tidak dikenal dalam matematika ya
berarti dia bisa Nyatakan sebagai akar 3
dikali akar min 1 ini sifat akar ya
Sehingga akar -1-nya itu adalah seperti
itu ini adalah contoh penggunaan pilihan
imajiner penyelesaian dari persamaan
kuadrat yang akarnya itu adalah tidak
real diganti dengan bilangan imajiner
kita balik ke bilangan Kompleks bilangan
Kompleks ini tadi terdiri dari bilangan
real ya dan
imajiner jadi dia ada dua bagian
dua-duanya itu termasuk bilangan
Kompleks gabungan keduanya ya Nah cara
menyatakan bilangan Kompleks ini ada 3
ya Yang pertama adalah bilangan
cartesius bentuk cartesius itu seperti
ini z = x + y * y gimana x sama y itu
bilangan real ya X itu juga Dibilang
bagian yang real
kalau y adalah bagian yang
imajiner Nah contoh kalau ada 5
dikurangi berarti bagian relnya itu
adalah 5 bagian tidak realnya adalah -1
kalau ada 2i kurang 7 bagian realnya -7
bagian tidak realnya adalah 2
Jadi yang pertama dengan cartesius Nah
karena kartesius ini berhubungan dengan
diagram ya diagram kartesius seperti
menyatakan titik Nah kita juga bisa
Nyatakan bilangan ini di dalam X dan
Nah misalkan contoh yang tadi ya 5 - I
cara gambarnya gimana itu seperti titik
ya Jadi ini seperti titik x,y Ya ini
berarti seperti titik kalau ada 5
kurangi itu seperti titik
5,-1 yang ini seperti titik
-7,2 Ya seperti itu ya Nah 5,-1
gambarnya gimana ya ini 5 ke kanan -1
itu ke bawah ya Jadi kurang lebih
gambarnya itu yang ini ya Ini adalah
5,-1 atau kalau dalam bilangan
kompleksnya 5 kurangi Lalu ada
-7,2 berarti -7 ke kiri ya -7 lalu
duanya ke atas kurang lebih di sini
ini adalah titik -7,2 yang atau -7 + 2
dalam diagram cartesius ya sumbu x dan
sumbu y kalau ini sumbu y adalah y nah
bentuk kedua ada namanya bentuk polar ya
bentuk polar ini R * cos Teta + I * sin
Teta di mana R itu adalah akar dari x² +
y² dan X itu R cos Teta y-nya juga R Sin
Teta ini pengubahan dari bentuk
kartesius ya Jadi seandainya kita punya
satu kurangi 1 + id ya yang gampang dulu
kita tahu Exist 1 y-nya juga 1 Maka
kalau bentuk ini mau dinyatakan dalam
bentuk polar berarti kita harus cari
yang namanya R yaitu akar x kuadrat
tambah y kuadrat yaitu akar 2 lalu x nya
itu adalah R * cos Teta di mana x-nya 1
R nya √2 Nah dari sinilah dapat cost
datanya
1/√2 yaitu tetanya adalah
45 derajat nah bentuk cartesius ini bisa
Nyatakan dalam bentuk polar yang
bentuknya z = r
dikali dengan cos Teta + I * sin Teta
gitu ya
seperti itu
bentuk polar ya yang kedua nah ini tadi
contohnya Satu tambah I adalah 1,1 ya
kalau Nyatakan dalam diagram
seperti ini cartesius ya diagram yang
tadi dalam titik ya dalam bentuk titik
itu di sini kurang lebih ya ini satu
Misalkan ini satu juga dia garis seperti
ini jadi dia ke kanan berapa ke atas
berapa Nah tapi juga bisa Nyatakan
sebagai R
yaitu akar 2 sama tetanya 45° Maksudnya
apa R itu adalah yang garis miringnya
panjangnya ini adalah akar 2 lalu dia
sudutnya itu 45° Ini ya Sama aja jadi
ini sebagai titik dan sebagai polar itu
sama di dalam diagram kartesius ya cuman
dia dalam sudut yang ketiga adalah
bentuk eksponen bentuk eksponen ini r *
e ^ i Teta ternyata ada identitas itu =
cos Teta + isin theta jadi ini
sebenarnya sama persis dengan bentuk
polar ya Jadi kalau ada Z = 1 + i ya
yang seperti yang tadi kan kita udah
tahu r nya itu tadi akar 2 lalu tetanya
45° ya Sehingga bentuk polarnya
itu kan z = r * cos Teta + I * sin Teta
akar 2 kali cos 45 + Q * sin 45 gitu ya
Nah ini juga bisa Nyatakan dalam bentuk
eksponen
z nya adalah R
dikali dengan e pangkat I kali Teta gitu
ya
I kali 45° seperti itu Jadi kita tahu
ada tiga bentuk dari
bilangan kompleks yang ada bentuk
cartesius bentuk polar dan bentuk
eksponen
semoga jelas sampai sini ya Sampai
ketemu di video berikutnya jangan lupa
subscribe dan like juga video ini bantu
share ke teman-teman kalian
Посмотреть больше похожих видео
Complex Numbers 01 | Introduction to Complex Numbers | Class 11 | JEE
Classification of Numbers (Natural, Whole, Integers, Rational, Irrational, Real) - Nerdstudy
SISTEM BILANGAN REAL (MATEMATIKA DASAR 1-Part 1)
BAB 1 Sistem Bilangan | Matematika Dasar | Alternatifa
מבוא לתורת הקבוצות - 1 - ממה מורכבת המתמטיקה?
Identifying Sets of Real Numbers
5.0 / 5 (0 votes)