Ecuaciones diferenciales Homogéneas | Ejemplo 5
Summary
TLDRThis educational video script offers a detailed walkthrough of solving a homogeneous second-order differential equation. The instructor begins by recommending viewers watch introductory videos for context. The script then guides through the process of identifying the equation as homogeneous, separating variables, and transforming it into a solvable form. It covers the method of substitution, simplification, and integration, ultimately leading to the solution with a constant of integration. The instructor emphasizes the importance of practice and invites viewers to engage with more content for a deeper understanding of differential equations.
Takeaways
- 📚 The video is a tutorial on solving homogeneous differential equations, specifically for viewers who are new to the topic.
- 🔍 The script emphasizes checking if an equation is homogeneous and of the first degree before attempting to solve it.
- 📝 The first step in solving the equation is to separate the differentials, which involves moving terms involving 'dx' to one side and 'dy' to the other.
- 🔄 The process includes a substitution technique to transform the homogeneous equation into a separable variables equation.
- ✍️ The script provides a detailed walkthrough of the algebraic manipulations needed to simplify the equation, such as factoring and combining like terms.
- 📉 The video demonstrates the integration process, including handling of inverse trigonometric integrals and logarithmic integrals.
- 🔍 It highlights the importance of recognizing when an integral can be solved by substitution or parts, and when it requires a different method.
- 📐 The tutorial includes a step to eliminate fractions by multiplying through by the denominator, simplifying the equation.
- 📝 The final step involves back-substitution to convert the solution back into the original variables, x and y.
- 📚 The presenter suggests practicing with the given example and comparing it with the solution provided in the video for better understanding.
- 👍 The video concludes with an encouragement for viewers to subscribe, comment, share, and like the video for further assistance and support.
Q & A
What is the main topic of the video?
-The main topic of the video is solving homogeneous differential equations.
What does the instructor recommend for viewers who are new to the topic?
-The instructor recommends that new viewers watch the introductory video on homogeneous differential equations before proceeding with this one.
How does the instructor verify if the given equation is homogeneous?
-The instructor verifies if the equation is homogeneous by checking if both terms in the equation have the same degree and if the functions in the numerator and denominator are homogeneous of the same degree.
What is the first step in solving a homogeneous differential equation according to the script?
-The first step is to separate the differentials, which involves moving the differential of x to the other side of the equation and multiplying the terms accordingly.
What substitution does the instructor suggest to transform the homogeneous equation into a separable variables equation?
-The instructor suggests substituting the variable 'y' with 'u' (or any letter with a hat, like 'u^'), and replacing the differential 'dy' with the differential of the new variable.
How does the instructor approach the process of integrating after separating the variables?
-The instructor integrates by first simplifying the equation, then identifying direct integrations and inverse trigonometric integrals, and applying the appropriate integration techniques.
What is the significance of the instructor's observation about the terms having the same variable?
-The observation about terms having the same variable is significant for factorization, which simplifies the equation and makes it easier to integrate.
How does the instructor handle the presence of fractions in the integrated equation?
-The instructor eliminates fractions by multiplying the entire equation by the denominator, which simplifies the equation and removes the need for fractions.
What technique does the instructor use to simplify the final answer involving logarithms and arctangents?
-The instructor uses the property of logarithms that allows combining multiple logarithms into a single logarithm with the arguments multiplied together.
Why does the instructor suggest reviewing the final answer for any remaining substituted variables?
-The instructor suggests reviewing the final answer to ensure that all substituted variables have been correctly replaced back to their original form, ensuring the solution is in terms of the original variables.
What does the instructor recommend for viewers who want to practice solving homogeneous differential equations?
-The instructor recommends that viewers practice by watching the next video, pausing it to attempt the exercise, and then comparing their work with the instructor's explanation.
Outlines
📚 Introduction to Solving Homogeneous Differential Equations
The speaker begins by greeting the audience and introducing the topic of solving homogeneous differential equations. They suggest that newcomers watch the introductory video before proceeding. The speaker then presents a differential equation and explains the first step in solving it, which is to check if the equation is homogeneous and of the first degree. They clarify that both terms in the equation should have the same degree for it to be considered homogeneous. The process of separating the differentials is outlined, which involves moving terms to the other side of the equation and multiplying by necessary factors to isolate the functions and their differentials.
🔍 Detailed Steps in Transforming the Equation
This paragraph delves into the specifics of transforming the given homogeneous differential equation into a form that allows for separation of variables. The speaker describes the process of replacing the variable 'y' with a new variable 'u' to simplify the equation. They provide a step-by-step guide on how to perform the substitution, including taking the derivative of 'u' with respect to 'x' and replacing 'y' and its differential 'dy' with expressions involving 'u'. The goal is to rewrite the equation in a way that makes it easier to integrate by separating the variables.
📝 Separating Variables and Integrating
The speaker continues by demonstrating how to separate the variables in the transformed equation and prepare it for integration. They explain the process of moving all terms involving 'dx' to one side and all terms involving 'du' to the other side. After successfully separating the variables, the speaker discusses the integration of each part. They mention that one part of the equation can be integrated directly, while the other part may require a substitution method, which they will explain in a separate video.
🧐 Simplifying the Integrated Equation
In this part, the speaker focuses on simplifying the integrated equation. They discuss the possibility of simplifying the equation by canceling out terms and using properties of logarithms and inverse trigonometric functions. The speaker also mentions changing the variable back to its original form and eliminating fractions by multiplying through by the common denominator. They emphasize the importance of simplifying the solution to make it as clear and concise as possible.
🎓 Conclusion and Encouragement to Practice
The speaker concludes by summarizing the steps taken to solve the homogeneous differential equation and encourages the audience to practice the process. They suggest watching the complete course for a deeper understanding of the topic or other recommended videos for further study. The speaker also hopes that the information was useful, especially for those preparing for assignments or exams, and ends the video with an invitation to subscribe, comment, share, and like the video.
Mindmap
Keywords
💡Differential Equations
💡Homogeneous Differential Equation
💡Separation of Variables
💡Derivative
💡Integral
💡Substitution
💡Trigonometric Functions
💡Logarithmic Functions
💡Integration by Parts
💡Constant of Integration
Highlights
Introduction to the course on differential equations, focusing on solving homogeneous differential equations.
Recommendation for newcomers to watch introductory videos on recognizing and solving homogeneous differential equations.
Explanation of the first step in solving a differential equation: ensuring the derivative is isolated.
Verification of the equation's homogeneity and degree, emphasizing the importance of terms having the same degree.
The method of separating differentials to transform the equation into a form that allows for separation of variables.
The choice of substitution to simplify the equation, opting for the function with more positive terms for ease of calculation.
Derivation of the substitution method, including the replacement of variables and differentials to create a separable equation.
Multiplication of terms and the reorganization of the equation to facilitate the separation of variables.
Observation of terms to identify which can be factored out or eliminated to simplify the equation further.
The process of integrating the separated variables, including the identification of integral types and methods.
Simplification of the equation by canceling out terms and using properties of logarithms and trigonometric functions.
The use of substitution to solve integrals, particularly when dealing with inverse trigonometric functions.
Identification of integrals that can be solved directly or through methods such as parts or substitution.
Reversion to original variables after integration, ensuring the solution is in terms of the initial problem's variables.
Final simplification of the solution, combining logarithmic terms and using properties of exponents to achieve a simplified form.
Advice on checking the final solution for any remaining substituted variables and ensuring the solution is in terms of the original variables only.
Encouragement for students to practice with the provided exercises and to compare their work with the explained solutions.
Invitation for students to subscribe, comment, share, and like the video for further engagement and support.
Transcripts
qué tal amigos espero que estén muy bien
bienvenidos al curso de ecuaciones
diferenciales y ahora veremos un ejemplo
de solución de una ecuación diferencial
homogénea
sí
[Música]
y en este vídeo vamos a resolver esta
ecuación diferencial que pues obviamente
es homogénea pero antes de empezar les
recomiendo si ustedes este es el primer
vídeo que ven de solución de ecuaciones
diferenciales homogéneas les recomiendo
que vayan por lo menos al primer vídeo
en el que hago una introducción a este
tema porque allí les explico
detenidamente cómo saber qué es una
ecuación diferencial homogénea como
reconocer si una ecuación es diferencial
a ojén ya o no y cuáles son los pasos a
seguir para resolverlo sí pero si
ustedes ya vieron esos vídeos pues
pueden tomar este ejercicio como una
práctica entonces pausa en el vídeo
resuelvan el ejercicio y comparan con lo
que yo voy a hacer yo voy a empezar
obviamente un poco más rápido porque
pues ya hemos visto varios vídeos no
primero que todo cuál es el primer paso
despejar la derivada en este caso la
derivada ya está despejada entonces pues
no hago ese paso sí pues porque ya es
como lo más fácil digámoslo así ya
cuando está despejada verificamos si
esta ecuación si es homogénea si en este
caso arriba hay dos términos cada uno
este término no tiene exponente o sea
exponente uno éste tampoco tiene
exponente o sea export
como los dos términos este es de grado 1
y este es de grado 1
entonces la ecuación de arriba es
homogénea de grado 1 lo mismo sucede
abajo el primer término es de grado 1 el
segundo término también es de grado 1
como los dos términos son del mismo
grado o sea de grado 1 entonces ésta
también es homogénea de grado 1 y como
las dos la de arriba la función de
arriba y la de abajo del denominador son
homogéneas del mismo grado entonces esta
es una ecuación diferencial homogénea
entonces ya sabemos que para resolverla
pues vamos a seguir los pasos de las
homogéneas el primer paso cuál es
separar los diferenciales el diferencial
de x que generalmente está abajo lo
pasamos al otro lado a multiplicar y
esto que está en el denominador la
pasamos para el otro lado para separar
las funciones con sus diferenciales no
entonces esto que está dividiendo pasa a
multiplicar como son dos términos que
eran entre paréntesis ye más x
acompañado de el diferencial de y igual
y este diferencial de x pasa acá
entonces aquí se lleve menos x como son
dos términos los colocamos entre
paréntesis porque van a ir acompañados
de el diferencial
y aquí observamos cuál es la letra que
vamos a reemplazar porque hay aquí
acordemos que vamos a hacer un reemplazo
para cambiar esta ecuación que es
homogénea por una que es de variables
separables bueno entonces observamos las
dos funciones la que está acompañando al
diferencial de x y la que está
acompañando al diferencial de ye perdón
y al diferencial de x en este caso son
muy parecidas entonces cuál es la más
fácil recomendación yo generalmente como
cojo como más fácil la que tenga más
positivos generalmente cuando hay
negativos pues no resulta complicándose
un poquito más bueno entonces consejo
como la función más fácil está
acompañando al diferencial de y lo que
vamos a reemplazar es la letra g
entonces por aquí escribo que
reemplazamos la letra g por un excel
siempre después generalmente por u equis
o cualquier letra con la equis como
vamos a reemplazar la aie también
tenemos que reemplazar el diferencial de
y entonces derivamos la derivada de y es
el diferencial de igual como esto es una
multiplicación primero por derivada del
segundo primero por derivada del segundo
más segundo por derivada
del primero entonces vamos a reemplazar
de esta forma como nos quedaría siempre
donde diga la letra y lo reemplazamos
por equis y donde diga el diferencial de
hielo reemplazamos por toda esta suma
entonces reemplazamos las equis quedan
iguales solamente reemplazamos las y
aquí abrimos paréntesis ya la ye la
reemplazamos por equis más x y eso está
acompañado del diferencial de y que
tenemos que cambiarlo entonces borro
aquí porque estamos cambiando la y aquí
en lugar del diferencial de allí escribo
esto o deje el perdón de x mas x de eeuu
como son dos términos siempre van entre
paréntesis
aquí dice x acompañado del diferencial
de ye igual aquí nuevamente empieza con
la letra g que la ye la cambiamos por
equis menos equis acompañado del
diferencial de x que no se cambia no
aquí al final debemos revisar que aquí
ya no debe aparecer en ningún lado la
letra i porque es la que estamos
reemplazando ahora sí ya como hicimos el
reemplazo entonces esta es una ecuación
de variables separables entonces tenemos
que separarlas para eso pues primero
generalmente nos va a quedar
multiplicaciones entonces hacemos esas
multiplicaciones acordémonos que aquí
como son dos términos y los términos que
hacemos multiplicamos el primer término
por los otros dos que están en el otro
paréntesis y lo mismo haríamos aquí
entonces pues voy a hoy explicándoles lo
mismo aquí la multiplicación que tenemos
que hacer es el diferencial de x lo
multiplicamos por estos dos términos que
están dentro del paréntesis entonces
como nos queda aquí nos quedaría x x de
equis entonces uno por uno es o al
cuadrado
x no hay más entonces queda x acompañado
de el diferencial de x seguimos con la
uv pero ahora la multiplicamos por x de
entonces y no hay más entonces más por
más da más y x x x x al cuadrado con el
diferencial de eeuu lo mismo hacemos
ahora con la letra x entonces
multiplicamos esa letra por los dos
términos que están en el otro paréntesis
entonces primero la x con de x entonces
generalmente sea primero la u
x de x aunque si ustedes escriben x y
está igualmente bien porque la
multiplicación no importa el orden no es
conmutativa y nuevamente la x con x de
entonces x por x mas x más da más x x x
es x al cuadrado acompañados del
diferencial de aquí igual y
multiplicamos estos dos x por de x pues
es x de x menos x x de x que pues es x
de x ya como están todos los términos
separados entonces ahora sí observamos
para separar los diferenciales no todos
los términos con el diferencial de x a
un lado
y con el diferencial de eeuu al otro
lado aquí observó que en este lado están
dos términos con el diferencial de x
entonces ya voy a pasar todos los del
diferencial de x para la derecha y los
del diferencial de eeuu los voy a dejar
acá o sea este término que tiene el
diferencial de x lo pasó para el otro
lado este término que también tiene el
diferencial de x también lo pasó para el
otro lado y aquí van a quedar los que
tiene a la izquierda los que tienen el
diferencial de eeuu entonces estos dos
términos quedan iguales o x al cuadrado
de eeuu
y x al cuadrado dv
quedan con su mismo signo igual a estos
dos que están al lado derecho
y estos dos que pasan para el otro lado
entonces este está positivo cambia de
signo no sea estaba sumando pasa a
restar menos o al cuadrado x de equis
y este o x de x como estaba positivo
menos x de x aquí que es lo que tenemos
que hacer factorizar los diferenciales
pero antes aquí estoy observando lo
siguiente bien que aquí dice un x de x -
x de x entonces como son iguales y uno
positivo y el otro negativo generalmente
uno menos 1 a 0 no generalmente uno dice
se eliminan porque esto da cero así como
para que me quede más fácil ahora si
aquí a la izquierda que es lo que se
factorizar siempre se va a factorizar el
diferencial de eeuu y muchas veces se
pueden factorizar algo más en este caso
miren que los dos términos tienen la x
al cuadrado entonces voy a factorizar x
al cuadrado de entonces pues lo escribió
primero no x al cuadrado por el
diferencial del factor de aquí si a este
término le quitamos estos dos nos queda
solamente la u más y aquí si quitamos
todo pues nos queda el número uno x al
cuadrado
/ / x al cuadrado de úbeda
1 aquí nos quedaría igual aquí que lo
que vamos a factorizar pues el
diferencial no entonces sería el
diferencial de x pero además en los dos
términos está la letra x entonces factor
hizo los dos entonces a bueno otra cosa
miren que otros consejos que les voy
dando no miren que los dos términos
están negativos entonces para no para
que no queden tantos términos negativos
voy a factorizar ese negativo también
porque se repiten entonces factor hizo
el negativo y factor hizo la equis con
el diferencial de x eso factor de
entonces aquí si quitamos el negativo
quitamos la xy quitamos el diferencial
de x quitamos todo o sea queda uno o
esto dividido entre eso mismo down aquí
menos x menos dan más o al cuadrado
bueno si le quitamos a todo este término
el negativo la equis y el de x nos queda
solamente o al cuadrado positivo
acuérdense que cuando factor izamos el
negativo lo que está aquí adentro queda
con signos cambiado no eso hay que
revisarlo el primero estaba negativo que
da positivo y el segundo estaba negativo
que a positivo no que esta era la idea
que estos términos llame
en positivos y ahora sí ya después de
haber factor izado ya podemos entonces
separar las variables que estará la idea
no entonces a la izquierda está el
diferencial de o sea todo lo que tiene
la uv a la izquierda a la derecha está
el diferencial de x todo lo que tenga la
equis a la derecha entonces aquí a la
izquierda este x al cuadrado lo tengo
que quitar entonces solamente me queda
el diferencial generalmente se deja al
final no entonces nos quedaría uno más
uno acompañado del diferencial de eeuu
está x al cuadrado va a pasar a dividir
aquí lo que tenga la 1 tenemos que pasar
para el otro lado de la igualdad no aquí
es igual aquí bueno algo que yo estoy
observando desde que factor hice es que
aquí dice uno más o al cuadrado esto
generalmente acuérdense que a veces
cuando están en el denominador resulta
siendo una integral trigonométricas
inversa bueno ahorita miramos a ver si
sí pero eso generalmente yo lo hago de
una vez bueno como para reír revisar
entonces aquí nos quedaría dividido
entre uno más o al cuadrado eso que pasa
a dividir pues pasa al denominador
perdón uno más o al cuadrado aquí no hay
necesidad del paréntesis porque como
esto no se está operando con nada no hay
problema ahora a la derecha está menos x
de x y está x al cuadrado que estaba
multiplicando pasa al otro lado a
dividir entonces aquí queda sobre x al
cuadrado y como ya separamos las
variables ahora sí podemos integrar
entonces cositas que observo acá primero
aquí podemos simplificar una x de arriba
con una de abajo otra cosita que veo
pues aquí ya lo primero que miro es si
se puede resolver por sustitución en
este caso si yo derivó esto no me da lo
de arriba acordémonos que para poderlo
resolverla por sustitución si la
derivada de abajo da lo de arriba o algo
muy parecido entonces es porque sí se
puede por sustitución en este caso la
derivada de esto la derivada de uno es
cero y la derivada de al cuadrado es dos
y tv pero aquí dice 2
dv pero acompañado de ese 1 como está
dentro de un paréntesis no se puede por
sustitución bueno por partes pues
tampoco se puede porque
partes generalmente son multiplicaciones
pero lo que sí veo es que puedo separar
la un aparte y el uno aparte no porque
se puede separar porque recordemos que
tenemos por ejemplo fracciones
homogéneas supongamos cinco tercios más
ocho tercios si acordémonos que la suma
de fracciones homogéneas o sea del mismo
denominador se puede hacer de la
siguiente forma sigue quedando el mismo
denominador y lo de arriba los sumamos y
ya aquí sería 5 813 creo pues aquí voy a
colocar las sumas y 5 más 8 entonces que
es lo que vamos a hacer vamos a realizar
el paso inverso sean bien que tenemos
una suma con algo abajo eso lo podemos
cambiar por una suma si en la que hay
dos fracciones sí o sea separando los
dos de arriba y el denominador queda
para los dos entonces cómo nos quedaría
primero van a quedar dos integrales no
entonces primero la integral de
solamente lado
con el diferencial de eeuu sí porque
estamos separando él a su mano sobre y
lo que está en el denominador va a
quedar para las dos fracciones o sea uno
más o al cuadrado
luego seguiría más integral del 1
entonces el 1 por dv pues de una vez lo
quito es solamente de un sobre y el
denominador lo colocamos también igual
no uno más o al cuadrado aquí si ya
observó que esta es una derivada directa
sí que es trigonométricas inversa porque
es de u sobre estas uno generalmente se
las tiene que aprender de memoria no y
aquí arriba también observó que no es
trigonométricas inversa pero que ya se
puede por parte de perdón por
sustitución porque al derivar aquí nos
da un teu sí que es lo de arriba bueno
pero bueno ya lo voy a explicar aquí
como les decía simplificamos una equis
entonces como arriba y abajo está la
equis esa equis de arriba se va con una
de las dos de abajo y abajo queda una
sola
además el negativo generalmente uno lo
saca para atrás de la integral entonces
menos la integral de arriba quedó
solamente de x sobre y abajo quedó la x
entonces esta integral es directa no
esta integral se resuelve por
sustitución como les decía en los vídeos
anteriores generalmente cuando se
resuelva una integral por sustitución o
por partes
realicen la aparte y aquí colocan
solamente el resultado para que no se
les alargue el proceso yo generalmente
cuando estoy haciendo esto en un
cuaderno lo que hago es cojo por ejemplo
esta integral que es la que se resuelve
por sustitución la hago a un ladito del
cuaderno le hago un redondeo como para
identificar que era eso y escribo aquí
solamente en la respuesta y reemplazamos
lo del denominador entonces que es es
uno más o al cuadrado eso lo cambiamos
por una letra en este caso otra letra
que no haya estado en el ejercicio la
letra v derivamos la derivada de uno es
cero la derivada de igual cuadrado es
bajarle el exponente bajamos el
exponente le restamos uno como derivamos
la acompañamos de la diferencial de y
estos son av igual la derivada de v es
el diferencial de v aquí que es lo que
tenemos que buscar arriba tenemos que
buscar
dv sí que ya casi está bueno esto es una
uva ya arreglarla porque nos confundimos
aquí ya dice vudú pero ese 2 me sobra
que es lo que tengo que hacer pues
pasarlo para el otro lado entonces me
queda
igual al diferencial de v y el 2
estaba multiplicando pasas a dividir
ahora si realizamos ese reemplazo cuál
es donde veamos un 1 más o al cuadrado
lo cambiamos por la letra v y donde
veamos
lo cambiamos por dv sobre 2 entonces
aquí nos queda igual ya obviamente va a
saltar paso 1 v
dv eso es de b sobre 2 y abajo en el
denominador dice uno más o al cuadrado
que eso es v vuelvo a decirles aquí me
salte varios pasos no igual la integral
bueno este 2 sale de la integral como
está en el denominado sale en el
denominador arriba pues colocaríamos un
1 y nos queda la integral de debe sobre
b o de tve sobre v que es logaritmo
natural de v pero la v la cambiamos
nuevamente por uno más o al cuadrado
entonces esta es la respuesta de la
primera integral como les decía esto
aparte y de una vez aquí colocamos el
resultado está integral el resultado es
un medio del logaritmo natural de uno
más o al cuadrado
esta integral que bueno esta ya es una
trigonométricas inversa que bueno esa
integral les voy a dejar el link en la
descripción del vídeo de el vídeo en el
que les explico las integrales
trigonométricas inversas que son muy
sencillas solamente hay que aprender nos
lastimamos lo así entonces la
integral de esto es bueno aquí dice más
arco tangente es la integral de esta es
la arco tangente que se puede colocar
como arco tangente o tangente a la menos
1 arco tangente de eeuu igual aquí dice
menos y la integral del de x sobre x es
logaritmo natural de x y pues obviamente
como ya integramos entonces le agregamos
la constante de integración y ya como
integramos entonces recordemos que la
ecuación diferencial al comienzo estaba
solamente con la letra x la variable x y
la variable y entonces recuerden que
tenemos que volver a esas variables
entonces la letra la tenemos que volver
a cambiar nuevamente por la letra x y la
letra i y para eso pues tenemos que
acordarnos de la sustitución que hicimos
al comienzo no la sustitución que
hicimos fue la ye la cambiamos por y x
como aquí vamos a cambiarla entonces
despejamos de aquí la pasando esta x que
está multiplicando a dividir entonces
nos queda dividido entre x igual av
o sea que ahora donde esté la letra la
voy a cambiar por ye sobre x pero además
aquí veo otro paso que se puede hacer
miren que aquí hay un término que es
este otro término que es este otro
término el logaritmo natural y otro
término la c si ustedes observan aquí
hay un solo término que tiene una
fracción entonces para quitar esa
fracción que ya no me quede en
fracciones porque pues es como más
complicado con fracciones entonces voy a
multiplicar toda la ecuación por este
denominador sí para que para eliminarlo
y eso como nos queda por ejemplo el
primer término
si lo multiplicamos por 2 que lo podemos
multiplicar aquí a la derecha eso es lo
de menos porque no importa el orden aquí
se puede simplificar o eliminar el 2 del
denominador con el 2 por el que estoy
multiplicando la ecuación entonces pasa
lo que les decía se elimina la fracción
y entonces colocamos lo que nos quedó no
entonces el primer término al
multiplicarlo por 2 nos quedó 1 por el
logaritmo natural que eso es el
logaritmo natural de uno más o al
cuadrado pero acordemos que la ula vamos
a reemplazar por 10 sobre x como esaú
aquí donde la vamos a reemplazar está
elevada al cuadrado entonces acordémonos
que aquí tenemos que elevar cada uno de
los dos al cuadrado entonces quedaría
llega al cuadrado sobre x al cuadrado
luego sigue más y acordemos que estamos
multiplicando todos los términos por 2
no para poder eliminar este entonces
este segundo término por 2 pues que
quedaría dos veces la arco tangente de
la letra a perdón la ula estamos
cambiando entonces no copiamos la uv
sino que copiamos 10 sobre x
igual a menos logaritmo natural como
aquí ya no está el agua entonces todos
los términos los multiplicamos por 2
entonces menos logaritmo natural de x
por 2 es menos dos veces el logaritmo
natural de x más la cee por 2 pues es
dos veces la letra c y ahora sí esta es
la respuesta de nuestra ecuación
diferencial porque pues porque ya
integramos y porque ya le volvimos a las
variables iniciales pero en matemáticas
pues generalmente se trata de entregar
una respuesta simplifica entonces vamos
a tratar de simplificar para esto por lo
que vamos a hacer es lo que hemos hecho
en vídeos anteriores miren que aquí hay
un término con logaritmo natural y otro
terminó con logaritmo natural entonces
lo que voy a hacer es pasarlos para el
mismo lado de la igualdad para
convertirlos en un solo logaritmo
natural y pues bueno voy a mirar a ver
qué más se puede hacer por ahora además
acordémonos que cuando multiplicamos dos
por una constante eso es otra constante
entonces en lugar de esto voy a escribir
constante 1 como para decir que esto es
otra constante entonces pasamos los
logaritmos para la izquierda porque aquí
hay un logaritmo éste lo puedo pasar
para que me quede positivo entonces me
queda este logaritmo quedaría
logaritmo natural pero pues de una vez
voy a hacer esta operación uno más al
cuadrado sobre x al cuadrado
aquí le colocamos un 1 en el denominador
y nos queda el método de la carita feliz
1 x x al cuadrado que es x al cuadrado
luego cruzado 1 x x al cuadrado que es x
al cuadrado más y al cuadrado por 1 que
eso es y al cuadrado entonces esta
operación me queda como x al cuadrado
más y al cuadrado sobre x al cuadrado
ahora este logaritmo que lo voy a pasar
para el otro lado como está negativo si
está restando pasa al otro lado a sumar
entonces quedaría más dos veces el
logaritmo natural de x igual y al otro
lado pues va a quedar la arco tangente y
éste se 1 constante 1 no generalmente
primero se escribe siempre se explique
se escribe al final la constante
entonces voy a pasarla a calcular con
tangente para acá como está sumando pasa
a restar entonces menos 2 arco tangente
de 10 sobre x este logaritmo ya lo
escribí allá y más la constante 1 para
que coloque los logaritmos en el mismo
lado para poderlos unir pero acuérdense
que para poder unir los logaritmos no
deben estar multiplicados por nada
aquí vamos a utilizar la propiedad que
dice que cuando hay algo multiplicando
el logaritmo ese numerito lo podemos
pasar aquí como exponente del argumento
entonces para no hacer un paso con eso
simplemente lo borro de aquí y lo
escribo aquí como exponente del
argumentos y ahora sí están los dos
logaritmos acordémonos que si tenemos la
suma de dos logaritmos eso se puede
escribir como un solo logaritmo y sus
argumentos quedan multiplicados y
entonces aquí nos quedaría un solo
logaritmo el logaritmo natural y estos
dos argumentos quedan multiplicados
entonces el primer argumento x al
cuadrado más y al cuadrado sobre x al
cuadrado más perdón más no g acordémonos
que esos argumentos quedan multiplicados
entonces por este otro argumento por
primero argumento por el segundo que es
x al cuadrado y al otro lado pues no veo
algo así que se puede hacer entonces voy
a dejarlo igual 2 negativos perdón menos
2 arco tangente de ye sobre x más la
constante número uno aquí miren que y
muchas veces va a pasar eso como lo
hemos visto en vídeos anteriores
aquí se puede eliminar esta equis al
cuadrado con esta x al cuadrado porque
se pueden eliminar porque ésta está
dividiendo a todo y ésta está
multiplicando a todos y entonces podemos
eliminarlas o simplificar las pilas
porque este x al cuadrado acuérdense que
no se puede simplificar porque no está
multiplicando esta es sumando a todos
los demás entonces por eso ésta no se
podía eliminar ni aquí desde aquí aquí
no se puede eliminar se se puede
eliminar está porque está multiplicando
y bueno la verdad no veo así nada más
que se pueda realizar si vuelvo a
decirles eso depende del gusto de cada
quien si uno quiere por ejemplo puede
pasar este arco tangente para la
izquierda para que quede sola la
constante aquí no se puede despejar la
aie porque miren la que está aquí dentro
del logaritmo natural y dentro del arco
tangente entonces no se puede despejar
entonces yo lo voy a dejar así
simplemente voy a copiar lo que quedó el
logaritmo natural de x al cuadrado más
ya al cuadrado igual a menos 2 veces el
arco tangente más la constante número
uno acuérdense que al final yo les
recomiendo revisar que no esté la letra
1
debe estar al final la letra x nada más
y la letra o sea como constante sí
porque a veces uno a uno se le olvide a
cambiar alguna u y entonces aquí ya veo
que no hay ninguna y entonces hasta aquí
termino como siempre pues no en este
caso no les voy a dejar vídeos como los
vídeos de las homogéneas porque como se
dan cuenta es un proceso muy largo que
no cabría aquí en el tablero para
explicarles entonces pues si quieren
practicar los invito a que vayan al
siguiente vídeo y practiquen con ese
ejercicio pueden pausar el vídeo y
después revisan y comparan con lo que yo
les voy a explicar bueno amigos espero
que les haya gustado la clase si les
gustó los invito a que vean el curso
completo para que profundicen un poco
más sobre este tema o algunos vídeos
recomendados y si están aquí por alguna
tarea o evaluación espero que les vaya
muy bien los invito a que se suscriban
comenten compartan y le den laical vídeo
y no siendo más bye bye
[Música]
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