Logistisches Wachstum, logistische Funktion | Mathe by Daniel Jung

Summary

Das Video erklärt das Konzept des logistischen Wachstums, das sich von beschränktem Wachstum unterscheidet. Es wird gezeigt, wie die Wachstumsgeschwindigkeit zu Beginn zunimmt und später abnimmt, was zu einem asymptotischen Verhalten führt. Der Verlauf wird mathematisch beschrieben, wobei die Funktionsvorschrift und die Bedeutung der Parameter wie die Schranke und der y-Achsenabschnitt erläutert werden. Das Video verdeutlicht, wie man an Werte für die Funktion kommt und den typischen Verlauf des logistischen Wachstums nachvollziehen kann, wobei eine obere Schranke das Wachstum begrenzt.

Takeaways

• 😀 Das logistische Wachstum zeigt einen asymptotischen Verlauf, bei dem die Steigung der Funktion mit der Zeit immer kleiner wird und sich einem bestimmten Wert annähert.
• 😀 Im Gegensatz zum beschränkten Wachstum nimmt die Wachstumsgeschwindigkeit beim logistischen Wachstum zunächst zu, bevor sie wieder abnimmt.
• 😀 Die Wachstumsgeschwindigkeit wird durch die erste Ableitung der Funktion beschrieben, die die Steigung des Graphen anzeigt.
• 😀 Der Verlauf des logistischen Wachstums zeigt, dass die Wachstumsgeschwindigkeit mit der Zeit zunimmt und später abnimmt, bis sie gegen null tendiert.
• 😀 Mathematisch wird das logistische Wachstum durch eine spezielle Funktionsvorschrift dargestellt: F(t) = A / (B + C * e^(D * t)).
• 😀 Der Wert, gegen den sich das Wachstum langfristig einpendelt, ist die Schranke des logistischen Wachstums, der durch die obere Zahl geteilt durch die Zahl in der Basis berechnet wird.
• 😀 Die Zahl, die im Nenner der Funktionsformel alleine steht, ist der Y-Achsenabschnitt, der die Höhe bei t=0 beschreibt.
• 😀 Wenn der Wert von t gegen unendlich geht, tendiert die Funktion zu einem festen Wert, was den asymptotischen Verlauf des Wachstums darstellt.
• 😀 Die allgemeine Form des logistischen Wachstums lautet: F(t) = A * S / (A + S * e^(-k * t)), wobei A der Y-Achsenabschnitt, S die Schranke und k eine Konstante ist.
• 😀 Der Wert der Wachstumsgeschwindigkeit verändert sich je nach Zeit, wobei sie zu Beginn steigt, dann aber wieder sinkt, was als Wendepunkt bezeichnet werden kann.
• 😀 Um die Werte für eine konkrete Aufgabe zu berechnen, kann man eine Funktion wie F(t) nutzen und mit gegebenen Zwischenschritten (z.B. Höhe nach 2 Tagen) die unbekannten Parameter bestimmen.

Q & A

Was beschreibt das logistische Wachstum?

Logistisches Wachstum beschreibt ein Wachstumsmodell, bei dem die Wachstumsrate zunächst zunimmt, dann abnimmt und sich langfristig einem oberen Grenzwert (Asymptote) annähert.

Wie unterscheidet sich logistisches Wachstum von beschränktem Wachstum?

Im Unterschied zum beschränkten Wachstum, bei dem das Wachstum kontinuierlich abnimmt, nimmt beim logistischen Wachstum die Wachstumsrate zuerst zu, erreicht dann ein Maximum und nimmt danach wieder ab.

Was bedeutet asymptotisches Verhalten in Bezug auf das logistische Wachstum?

Asymptotisches Verhalten bedeutet, dass das Wachstum langfristig einem festen Wert (Asymptote) zustrebt, ohne diesen jemals vollständig zu erreichen.

Was gibt die erste Ableitung der logistischen Wachstumsfunktion an?

Die erste Ableitung der logistischen Funktion gibt die Wachstumsrate an, also die Steigung der Tangente an den Graphen zu einem bestimmten Zeitpunkt.

Wie verändert sich die Wachstumsrate beim logistischen Wachstum?

Zu Beginn nimmt die Wachstumsrate zu, erreicht ein Maximum und nimmt dann wieder ab, bis sie gegen null tendiert.

Was beschreibt die allgemeine Funktionsvorschrift des logistischen Wachstums?

Die allgemeine Funktionsvorschrift des logistischen Wachstums lautet: F(t) = A / (B + C * e^(-kt)), wobei A der obere Grenzwert, B der y-Achsenabschnitt und C sowie k Konstanten sind, die die Wachstumsdynamik steuern.

Was bedeutet der Grenzwert t gegen unendlich für das logistische Wachstum?

Wenn t gegen unendlich geht, nähert sich der Funktionswert einem festen Wert, der die obere Schranke des Wachstums darstellt, ohne sie vollständig zu erreichen.

Wie bestimmt man die Werte in der logistischen Wachstumsformel?

Um die Werte in der Formel zu bestimmen, benötigt man den y-Achsenabschnitt (zu Beginn des Wachstums) und den Grenzwert, bei dem sich das Wachstum langfristig stabilisiert, sowie Daten zu bestimmten Zeitpunkten.

Wie wird der y-Achsenabschnitt im logistischen Wachstum interpretiert?

Der y-Achsenabschnitt stellt den Anfangswert des Wachstums dar, also den Wert der Funktion zu Beginn, wenn t = 0 ist.

Warum ist es wichtig, den Wert für k in der logistischen Wachstumsformel zu berechnen?

Der Wert von k bestimmt die Geschwindigkeit des Wachstums und ist entscheidend, um die zeitliche Entwicklung des Wachstums zu modellieren und präzise Vorhersagen zu treffen.