EXPONENTIELLES Wachstum Bakterien – Textaufgabe, Wachstumsprozess Exponentialfunktion aufstellen

Summary

In diesem Video wird das Konzept des exponentiellen Wachstums anhand einer Bakterienkultur erklärt, die sich stündlich verdoppelt. Zuerst wird die Funktionsgleichung für das Wachstum aufgestellt, wobei die Anzahl der Bakterien als Funktion der Zeit dargestellt wird. Danach werden Beispiele durchgerechnet, um die Anzahl der Bakterien nach bestimmten Zeiten zu ermitteln, und es wird gezeigt, wie man mit logarithmischen Funktionen arbeitet, um die Zeit zu berechnen, wann sich die Bakterienzahl verzehnfacht. Das Video ist eine anschauliche Einführung in das Thema exponentielles Wachstum und bietet praktische Lösungen zu typischen Aufgabenstellungen.

Takeaways

• 😀 Die Aufgabe behandelt exponentielles Wachstum, das hier an einer Bakterienkultur demonstriert wird.
• 😀 Zu Beginn besteht die Bakterienkultur aus 1000 Bakterien, die sich jede Stunde verdoppeln.
• 😀 Die allgemeine Formel für exponentielles Wachstum lautet f(t) = 1000 * 2^t, wobei t die Zeit in Stunden ist.
• 😀 Der Wachstumsfaktor der Bakterienkultur beträgt 2, da sich die Bakterien jede Stunde verdoppeln.
• 😀 Um die Anzahl der Bakterien nach zweieinhalb Stunden zu berechnen, setzt man t = 2.5 in die Funktion ein und erhält 5656 Bakterien.
• 😀 Für die Berechnung nach 180 Minuten (3 Stunden) ergibt sich eine Population von 8000 Bakterien.
• 😀 Beim Berechnen der Bakterienzahl nach einer bestimmten Zeit ist es wichtig, auf die Einheit der Zeit zu achten (Stunden, Minuten, etc.).
• 😀 Eine der Herausforderungen besteht darin, das Exponentialwachstum für verschiedene Zeitpunkte zu berechnen, insbesondere bei nicht ganzzahligen Zeitwerten.
• 😀 Die Frage, wann sich die Bakterienzahl verzehnfacht, wird durch die Gleichung 10000 = 1000 * 2^t gelöst.
• 😀 Um die Zeit t zu finden, wenn sich die Bakterien verzehnfachen, wird der Logarithmus verwendet. Die Lösung ergibt t = 3,3 Stunden.
• 😀 Der Logarithmus hilft dabei, die Exponentialgleichung nach der unbekannten Zeitvariable aufzulösen und ermöglicht so die Berechnung des Zeitpunkts, an dem die Bakterienzahl 10.000 erreicht.

Q & A

Was beschreibt das exponentielle Wachstum in diesem Beispiel?

Das exponentielle Wachstum in diesem Beispiel beschreibt die Vermehrung einer Bakterienkultur, deren Anzahl sich jede Stunde verdoppelt.

Wie viele Bakterien sind zu Beginn der Zeitrechnung vorhanden?

Zu Beginn der Zeitrechnung besteht die Bakterienkultur aus 1000 Bakterien.

Was ist der Wachstumsfaktor der Bakterienkultur?

Der Wachstumsfaktor ist 2, da sich die Anzahl der Bakterien jede Stunde verdoppelt.

Welche Funktion beschreibt das exponentielle Wachstum der Bakterienkultur?

Die Funktion lautet f(t) = 1000 * 2^t, wobei t die Zeit in Stunden ist und f(t) die Anzahl der Bakterien zu diesem Zeitpunkt.

Was muss man beachten, wenn man den Zeitpunkt für eine andere Zeitangabe wie 180 Minuten berechnen möchte?

Man muss die Zeitangabe in Minuten in Stunden umrechnen, bevor man sie in die Funktion einsetzt. 180 Minuten entsprechen 3 Stunden.

Wie viele Bakterien sind nach zweieinhalb Stunden vorhanden?

Nach 2,5 Stunden sind 5656 Bakterien vorhanden, da man 1000 * 2^2,5 berechnet und das Ergebnis auf die nächste ganze Zahl aufrundet.

Warum müssen Bakterienzahlen auf ganze Zahlen gerundet werden?

Da es keine halben Bakterien gibt, muss die Zahl der Bakterien auf die nächste ganze Zahl gerundet werden.

Wie viele Bakterien sind nach 180 Minuten (also 3 Stunden) vorhanden?

Nach 3 Stunden sind 8000 Bakterien vorhanden, da man 1000 * 2^3 berechnet.

Wann wird sich die Anzahl der Bakterien verzehnfacht haben?

Die Anzahl der Bakterien wird sich nach etwa 3,3 Stunden verzehnfacht haben, da die Anzahl von 1000 auf 10.000 steigt.

Wie löst man die Gleichung zur Bestimmung des Zeitpunktes, an dem sich die Bakterienzahl verzehnfacht hat?

Man setzt 10.000 für f(t) ein, löst die Gleichung nach t auf und verwendet dabei Logarithmen, um t zu berechnen. Das Ergebnis ist t ≈ 3,3 Stunden.